Mecklenburg-Vorpommern Wahlaufgaben ohne CAS

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1 Abiturprüfung Mecklenburg-Vorpommern Whlufgben ohne CAS Dtei Nr. 75 Stnd. Oktober FRIEDRICH W. BUCKEL INTERNETBIBLIOTHEK FÜR SCHULMATHEMATIK

2 75 MV Abiturprüfung ohne CAS Vorwort Es wurden drei Gruppen von Aufgben gestellt: Teil A Teil B enthält Whlufgben A, A und A, von denen jeder zwei uszuwählen ht. enthält Whlufgben für die Prüfung mit erhöhten Anforderungen (LK-Niveu). Schüler, die im Fch Mthemtik eine Prüfung uf erhöhtem Niveu mchen wollen, müssen us den Aufgben B und B eine uswählen. Die Lösungen wurden ohne CAS bzw. GTR durchgeführt. Die Abbildungen wurden mit MtheGrfix erstellt. Inhlt Aufgben Lösung A Anlysis 9 A Anlytische Geometrie 4 A Anlysis und Stochstik 5 8 B Anlysis und Stochstik B Anlytische Geometrie 7 5

3 75 MV Abiturprüfung ohne CAS A Anlysis Gegeben ist eine Funktion f mit der Gleichung Der Grph von f ist G. 4 f x x 8x 7 mit x.. Nennen Sie die Art der Symmetrie von G. Begründen Sie. Ermitteln Sie die Koordinten der Schnittpunkte von G mit den Koordintenchsen. Berechnen Sie die Koordinten der Extrem- und der Wendepunkte von G. Weisen Sie die Art der Extrem und die Existenz der Wendepunkte nch. Geben Sie die benötigten Ableitungsfunktionen n.. Skizzieren Sie G im lntervll -,85 < x <,85 in einem geeigneten Koordintensystem.. Bestimmen Sie eine Gleichung der Tngente t n G im Punkt P. Zeichnen Sie t in ds Koordintensystem Es existieren weitere Stellen, n denen jeweils die Tngente n G prllel zu t verläuft. Geben Sie diese Stellen näherungsweise n..4 Der Grph einer qudrtischen Funktion p verläuft durch die Punkte P 7,P,P Bestimmen Sie eine Gleichung für p..5 lm Intervll -<x< wird die Funktion q mit qx 7x 7 mit x ls Näherungsfunktion für f verwendet. Skizzieren Sie den Grphen von q im Koordintensystem us Aufgbe.. Bestimmen Sie die Stellen x p, n denen die Differenz qx fx Geben Sie die mximle Differenz n. P mximlwird. P. Betrchtet wird die Funktionenschr f mit der Gleichung 4 f x x 8x mit x und 7. Für jeden Wert von begrenzen der Grph von f, die x-achse und die Gerden x = und x = zwei Teilflächen. Bestimmen Sie den Wert von so, dss die Inhlte der beiden Teilflächen übereinstimmen.

4 75 MV Abiturprüfung ohne CAS 4 A Anlytische Geometrie Gegeben ist eine Pyrmide ABCS. Ihre Grundfläche ist ds Dreieck ABC. Die Punkte hben in einem krtesischen Koordintensystem die Koordinten A, B 8, C 5 und S8 5.. Stellen Sie die Pyrmide ABCS in einem Koordintensystem dr.. Prüfen Sie, ob folgende Aussgen whr sind. Ds Dreieck ABC ist rechtwinklig. Ds Dreieck ABC ist gleichschenklig. Der Punkt P,5 4 liegt uf der Dreiecksseite AC.. Geben Sie eine Koordintengleichung für die Ebene n, in der ds Dreieck ABC liegt..4 Der Punkt S wird n gespiegelt. Bestimmen Sie die Koordinten des Bildpunktes S'..5 Ermitteln Sie den Neigungswinkel der Seitenfläche ABS gegenüber der Grundfläche der Pyrmide.. Eine zur xy-ebene prllele Ebene verläuft durch den Punkt C. Bestimmen Sie den Inhlt der Schnittfläche von mit der Pyrmide..7 Berechnen Sie ds Volumen der Pyrmide..8 Der Punkt D liegt uf der Knte SC. Bestimmen Sie die Koordinten von D so, dss die Ebene durch die Punkte A, B und D die Pyrmide in zwei volumengleiche Körper teilt.

5 75 MV Abiturprüfung ohne CAS 5 A Anlysis und Stochstik. Gegeben ist die Funktion f mit der Gleichung x f x x 8x e mit x. Ihr Grph ist G... Berechnen die die Nullstellen von f, die Koordinten der loklen Extrempunkte von G. Weisen Sie jeweils die Art der loklen Extrempunkte nch. Geben Sie die benötigten Ableitungsfunktionen n. Begründen Sie, dss sich die Art der Krümmung von G im lntervll x nicht ändert. F x x 4x 4 e eine Stmmfunktion von f ist. Der Grph G und die x-achse begrenzen eine Fläche A vollständig. Berechnen Sie den Inhlt von A. x mit x.. Zeigen Sie, dss die Funktion F mit der Gleichung.. Ermitteln Sie den Wert von, 4, für den gilt f x dx e 4. An der Huptstrße einer Ortschft regeln drei voneinnder unbhängige Ampeln den Durchgngsverkehr. Jede der Ampeln zeigt mit der Whrscheinlichkeit,7 beim Hernfhren grün n. Die Zufllsvrible X gibt die Anzhl der Ampeln bei einer Ortsdurchfhrt n, die grün" zeigen. X wird ls binomilverteilt ngenommen... Berechnen Sie die Whrscheinlichkeitsverteilung von X. Stellen Sie die Whrscheinlichkeiten in einem Digrmm grfisch dr... Bestimmen Sie die Anzhl von,grün" nzeigenden Ampeln, mit denen mn durchschnittlich bei dieser Ortsdurchfhrt rechnen muss. Berechnen Sie die Stndrdbweichung von X... Ein Autofhrer trifft n keiner der drei Ampeln uf grün". Entscheiden Sie, ob der Fhrer dmit hätte rechnen müssen. Begründen Sie Ihre Entscheidung...4 Zusätzlich und unbhängig wird hinter den bestehenden Ampeln eine vierte Ampel im Ort errichtet. Berechnen Sie, mit welcher Mindestwhrscheinlichkeit die vierte Ampel grün nzeigen muss, dmit die Whrscheinlichkeit einer Ortsdurchfhrt ohne Hlt mindestens, beträgt.

6 75 MV Abiturprüfung ohne CAS B Anlysis und Stochstik. Gegeben ist eine Funktionenschr f durch die Gleichung f x x 4 x mit x, ; ; x. Die zugehörige Kurvenschr ist G... Geben Sie die Gleichungen ller Asymptoten von G n. Berechnen Sie die Koordinten des Extrempunktes von G, in Abhängigkeit von und begründen Sie mit Hilfe der ersten Ableitung die Art des Extremums. Beschreiben Sie ds Monotonieverhlten von G im gesmten Definitionsbereich... Für jeden Wert von schneidet G die x-achse für x > im Punkt A. Betrchtet werden in A die Tngente t und die Normle n n G. Bestimmen Sie je eine Gleichung für t und n in Abhängigkeit von. Die Tngente t und die Koordintenchsen begrenzen ds Dreieck D t. Die Normle n und die Koordintenchsen begrenzen ds Dreieck D n. D t und D n rotieren um die x-achse. Die entstehenden Rottionskörper besitzen die Volumin V t bzw. V n. Ermitteln Sie den Wert von so, dss V n neunml so groß ist wie V t... Zeigen sie, dss F x ln x ln x x eine Stmmfunktion von f mit > und x ist.. Eine Urne enthält eine rote Kugel, drei blue, drei grüne und vier schwrze Kugeln. Bei einem Spiel zhlt ein Spieler zunächst einen Einstz in der Höhe e n den Spielleiter. Anschließend zieht der Spieler mit einem Griff drei Kugeln us der Urne. Hben lle gezogenen Kugeln die gleiche Frbe, so erhält der Spieler ds Achtfche seines Einstzes vom Spielleiter zurück. Sind zwei Kugeln blu, so erhält der Spieler ds Viererfche seines Einstzes zurück. Wurde eine blue, eine grüne und eine schwrze Kugel gezogen, so erhält der Spieler ds Doppelte seines Einstzes zurück. Bei llen nderen Ausgängen verliert der Spieler seinen Einstz. Geben Sie die Whrscheinlichkeitsverteilung für den Gewinn des Spielers n. Entscheiden Sie, ob ds Spiel fir ist und begründen Sie.

7 75 MV Abiturprüfung ohne CAS 7 B Anlytische Geometrie In einem krtesischen Koordintensystem wird ein Spt ABCDEFGH betrchtet. Gegeben sind die Koordinten der Eckpunkte A, B5 5, C 5,E 4, F 7 und H.. Ermitteln Sie die Koordinten der Punkte D und G. Zeichnen Sie den Körper in ein krtesisches Koordintensystem.. Berechnen Sie ds Volumen des Sptes.. Die Gerde g mit der Gleichung und BCGF. 7 Zeigen sie, dss der Punkt x t, t durchstößt die Seitenflächen ADHE 4 P uf g und innerhlb des Sptes liegt Berechnen Sie den Abstnd der Knte AE zur Knte BF. (Zur Kontrolle: Abstnd: ).5 Für jeden Wert von, schneidet die Ebene mit der Gleichung z = die Knte AE im Punkt R und die Knte BF im Punkt S. 7 Berechnen Sie den Wert von so, dss der Inhlt der Fläche ABS R A ist.

8 75 MV Abiturprüfung ohne CAS 8

9 75 MV Abiturprüfung ohne CAS 9 Gegeben ist eine Funktion f mit der Gleichung A Anlysis - Lösung 4. Nennen Sie die Art der Symmetrie von G. Begründen Sie. D f nur gerde Exponenten ht, gilt fx fx für lle x. Dher ist G symmetrisch zur y-achse. f x x 8x 7 mit x. Der Grph von f ist G. Ermitteln Sie die Koordinten der Schnittpunkte von G mit den Koordintenchsen. Schnittpunkt mit der y-achse: f 7 S 7 4 Schnittpunkt mit der x-achse: Bedingung: fx x 8x 7 Diese biqudrtische Gleichung substituiert mn mit z 8z 7 z, Rücksubstitution: y z x : z 7 x 7 x, 7,5 z x x,4 Ergebnis: N 7, N,,4 Berechnen Sie die Koordinten der Extrem- und der Wendepunkte von G. Weisen Sie die Art der Extrem und die Existenz der Wendepunkte nch. Geben Sie die benötigten Ableitungsfunktionen n. Ableitungen: f' x 4x x, f'' x x, f ''' x Extrempunkte: Notwendige Bedingung: f' x 4x x 4x x 4 4x Ein Produkt ist, wenn einer der Fktoren ist.. Fktor: 4x xe. Fktor: x 4 x 4 x y-koordinten: Hinreichende Bedingung: E, f 7 f 7 9 f'' f '' 48 T 9 Wendepunkte: Notwendige Bedingung: f'' x x x x,5 4 4 W, y-koordinten: H 7 Hochpunkt , Tiefpunkte. f 8 7 7, Hinreichende Bedingung: f ''' 4 Ergebnis: W 4 7,5,89, 9

10 75 MV Abiturprüfung ohne CAS. Skizzieren Sie G im Intervll -,85 < x <,85 in einem geeigneten Koordintensystem. Rndpunkte: f,85 8, L,85 8, R,85 8. Bestimmen Sie eine Gleichung der Tngente t n G im Punkt P. Zeichnen Sie t in ds Koordintensystem Tngentensteigung: f ' 4 Tngentengleichung mit der Punkt-Steigungs-Form y x t: y x Es existieren weitere Stellen, n denen jeweils die Tngente n G prllel zu t verläuft. Geben Sie diese Stellen näherungsweise n. Interprettion der Frgestellung: Es heißt geben Sie die Stellen näherungsweise n. Dies knn mn so interpretieren, dss mn sie us der Zeichnung blesen soll, lso nicht berechnen. Wer sie jedoch berechnen will und dzu keinen GTR oder CAS verwenden drf, muss ds Newtonsche Näherungsverfhren nwenden, ws ich unten für eine Stelle zeige. () Ablesen der Stellen us der Zeichnung. Die beknnte Berührstelle ist x P =. Der zugehörige Berührpunkt liegt links vom Wendepunkt. D G m Wendepunkt m steilsten fällt, gibt es wenig rechts von W einen weiteren Berührpunkt mit der Tngentensteigung, etw bei x P =,. Dnn findet mn eine. Stelle links vom Tiefpunkt T, etw bei -,. Sie ist gestrichelt im Schubild eingetrgen. () Näherungslösung mit dem Newtonschen Itertionsverfhren für die Stelle x = -, Bedingung: f' x 4x x x 4x Hilfsfunktion hx x 4x mit h' x x 4 Itertionsformel zur Berechnung der Nullstellen von h: d. h. hier: h x xn xn h' x x n n x 4x x 4x x 4x x n n n n n n n n xn N N N N x 4 x 4 x 4 x 4 Ich verwende den Strt-Näherungswert x,4 (ndere sind möglich). Dnn liefert ein einfcher Tschenrechner mit Zwischenspeicherung diese Zhlenfolge:

11 75 MV Abiturprüfung ohne CAS Der Screenshot zeigt zuerst die Berechnung x,78... In der. Zeile hbe ich ds Ergebnis der Vriblen A zugewiesen. Dmit wurde in der. Zeile berechnet: x,79... Diesen Wert hbe ich erneut in A gespeichert. Dmit wurde dnn x berechnet: x,77... Mn erkennt, dss sich die. Dezimle nicht mehr ändert, sodss mn diesen Näherungswert ngeben knn: xp,:.4 Der Grph K einer qudrtischen Funktion p verläuft durch die Punkte P 7,P,P : Bestimmen Sie eine Gleichung für p. Anstz: px x bx c Bedingungen: P 7 K d. h. P K d. h. P K d. h. Ergebnis: px 7x 7.5 lm Intervll -<x< wird die Funktion q mit p 7 d. h. c 7 qx 7x 7 mit x ls Näherungsfunktion für f verwendet. Skizzieren Sie den Grphen von q im Koordintensystem us Aufgbe.. p d. h. b 7 () p d. h. b 7 () () (): b b In (): 7 Bestimmen Sie die Stellen x p, n denen die Differenz fx qx P mximlwird. P Geben Sie die mximle Differenz n. d x q(x) f(x) 7x 7 x 8x 7 4 Ich definiere die Differenzfunktion d durch 4 dx x x Ableitungen: d' x 4x x, d'' x x Extremwertbedingung: d' x 4x x x 4x Es liegt ein Nullprodukt vor.. Fktor: x. Fktor: 4x x x Kontrolle:, d" Minimum Mximlwert: d" Mximum d 4 Rndwerte: d 4 4 Dies ist kleiner ls der Mximlwert bei. Dort ht mn lso ein bsolutes Mximum.

12 75 MV Abiturprüfung ohne CAS. Betrchtet wird die Funktionenschr f mit der Gleichung 4 f x x 8x mit x und 7. Für jeden Wert von begrenzen der Grph von f, die x-achse und die Gerden x = und x = zwei Teilflächen. Bestimmen Sie den Wert von so, dss die Inhlte der beiden Teilflächen übereinstimmen. Trick: Die beiden Teilflächen sind gleich groß, wenn gilt: f xdx einerseits und ndererseits: f x dx x 8x dx x x x 4 d. h Hinweis: Die Lösungsidee, beide Teilflächen getrennt zu berechnen ist schlecht, denn dzu müsste mn zuerst die Nullstelle der Kurve in Abhängigkeit von berechnen. Dieser Wert ist dnn ls Grenze zu verwenden. Ds wird sehr problemtisch. Es sei denn mn rechnet lnge llgemein. F sei eine Stmmfunktion von f : xn x N X N A f x dx F x F F x N N xn A f x dx F x F F x Die Fläche liegt unter der x-achse. Bedingung: A A FX N F F FxN -F(x N ) FF 5 8 Mit der Stmmfunktion 5 8 F x x x x folgt Und ds ergibt 5 5 5

13 75 MV Abiturprüfung ohne CAS A Anlytische Geometrie - Lösung Gegeben ist eine Pyrmide ABCS. Ihre Grundfläche ist ds Dreieck ABC. Die Punkte hben in einem krtesischen Koordintensystem die Koordinten A, B 8, C 5 und S8 5.. Stellen Sie die Pyrmide ABCS in einem Koordintensystem dr.. Prüfen Sie, ob folgende Aussgen whr sind. () Ds Dreieck ABC ist rechtwinklig. Seitenvektoren: AB, 4 4 AC, BC 4 AB AC ABBC BC AC 9 4, D keines dieser Sklrprodukte Null ist, sind keine zwei der Seitenvektoren orthogonl. Ds Dreieck ist lso nicht rechtwinklig. () Ds Dreieck ABC ist gleichschenklig, denn es gilt: 4 AC LE 4 BC LE Ds Dreieck ist gleichschenklig. AC BC () Der Punkt P,5 4 liegt uf der Dreiecksseite AC.. Lösungsmethode: Gleichung von AC: 4 x r Punktprobe mit P: 4 4,5 r 4,5 r 4 Die Gleichung wird zur whren Aussge für r =,5. Also liegt P uf der Gerden (AC), ber ußerhlb der Strecke AC (dzu müsste r gelten.

14 75 MV Abiturprüfung ohne CAS 4. Lösungsmethode: A Mn muss gr nicht die Gerdengleichung ufstellen. Es genügt der Nchweis, dss AP kac ist mit k. 4 k Anstz: 4,5 k k k Weil nun AP AC liegt P uf der Gerden (AC) ber so, dss P ußerhlb von AC ist, genuer gesgt liegt C uf der Strecke AP. (Ds ist die kürzere Lösung.) P C Im D-Schrägbild sieht ds so us:. Geben Sie eine Koordintengleichung für die Ebene n, in der ds Dreieck ABC liegt.. Methode: Prmetergleichung umwndeln: 4 : x s t AB AC x 4t y st z t () : x z 8 Elimintion von t durch D s nur in einer Gleichung steht, knn es nicht eliminiert werden. () () () n. Methode: Normlenvektor mit Sklrprodukt bestimmen: Es sei n n. n n Bedingungen: () AB n n n n n 4 n () BCn n 4n n n n n n D für die drei Unbeknnten nur Gleichungen vorliegen, ist eine frei wählbr. Ich wähle n n. Normlenvektor: n n. Normlengleichung der Ebene: nx k x z k Punktprobe mit A ergibt; k 8, Ergebnis: x z 8.

15 75 MV Abiturprüfung ohne CAS 5. Methode: Normlenvektor mit dem Vektorprodukt bestimmen: Der Normlenvektor muss uf AB und AC senkrecht stehen, lso ist n ABAC ein Normlenvektor von n Normlengleichung der Ebene: nx k 4x 8z k. Punktprobe mit A ergibt; k 48, : 4x 8x : 4 Ergebnis: xz 8.4 Der Punkt S wird n gespiegelt. Bestimmen Sie die Koordinten des Bildpunktes S'. Methode: Mn fällt ds Lot von S uf. Für die Lotgerde verwendet mn einen Normlenvektor der Ebene ls Richtungsvektor. Dnn schneidet mn Lotgerde mit Ebene: r 8 Lot L: x 5 r r S S Schnitt mit : 8r r 8 5r 8 8 5r r 4 Dnn gilt für ds Spiegelbild S': r 8 n r 4 F Ergebnis: S' 5 8 OS' r 8 S'.5 Ermitteln Sie den Neigungswinkel der Seitenfläche ABS gegenüber der Grundfläche der Pyrmide. Der Winkel zwischen zwei Ebenen wird zwischen ihren Normlenvektoren gemessen: Der Normlenvektor der Grundfläche wurde zu n berechnet. Berechnung des Normlenvektors zur Seitenfläche ABS:. Möglichkeit: Berechnung mit Sklrprodukt. Anstz: m m m m Bedingungen: () () m ABm m m m m m AS m m m m 9m 9 m

16 75 MV Abiturprüfung ohne CAS 9 () in (): m 9m m 9m m m 9 Wähle m =, dnn folgt: m 9 ergibt: m. Möglichkeit: Berechnung mit dem Vektorprodukt. 8 9 m ABAS Mit m folgt dnn: n m cos cos 75,9 7 n m O O. Eine zur xy-ebene prllele Ebene verläuft durch den Punkt C. Bestimmen Sie den Inhlt der Schnittfläche von mit der Pyrmide. Gleichung von : z, denn es ist j C 5. Diese Ebene muss mn mit den Gerden (AS) und (BS) schneiden: (AS): x r ergibt für z = : 9r 9r r 9 9 (BS) x 8r 9 Der dritte Eckpunkt ist C x S ergibt für z = : 9r 9r r x 8 S Nun sollte mn senkrecht von oben uf die Ebene sehen, in der j ds Dreieck S S C liegt:. (elementre) Berechnungsmöglichkeit: für den Dreiecksinhlt: Ds Dreieck ht eine zur y-achse prllele Seite. Dher lässt sich der Inhlt gnz einfch berechnen: D C FE A SS DC y y x x Berechnungsmöglichkeit: A S CSS (FE) 9

17 75 MV Abiturprüfung ohne CAS 7.7 Berechnen Sie ds Volumen der Pyrmide. Hierzu verwendet mn die Formel für ds Sptprodukt: V ABAC AS bzw. V AB AC AS Mit Zhlen (Determinntenberechnung nch Srrus) 4 4 V 4 4 VE 9.8 Der Punkt D liegt uf der Knte SC. Bestimmen Sie die Koordinten von D so, dss die Ebene durch die Punkte A, B und D die Pyrmide in zwei volumengleiche Körper teilt. Diese Ebene schneidet CS in einem Punkt D. Der obere Körper ist die Pyrmide ABDS. Sie ht dnn ds hlbe Volumen des gnzen Körpers: 4 V' VE. Andererseits knn mn dieses Volumen berechnen, wenn mn D ls Punkt der Gerden (CS) bestimmt: 7 CS s 4 AD 7s (CS): x 5s s 5 7s Dmit wird berechne ich mit der Sptformel: s4 s4 V ' AB AD AS 7s 9 7s 8 8 V ' 4 7s 8 s 4 8 8s 8s 7 8 8s s 4 Bedingung: V' s Folgerung: D5 5,5 8 8s 4 8s 4 s KURZVERSION: Wenn mn (Beispiel Dreieck) eine Seite durch eine Prllele zur Grundseite hlbiert, dnn wird uch die Höhe hlbiert. Also knn mn vorhersgen, dss bei hlber Höhe die Seite hlbiert wird. So knn mn sich klr mchen, dss dnn D der Mittelpunkt der Strecke CS sein muss. Und so folgt dnn gnz kurz: 8 5 d cs ,5

18 75 MV Abiturprüfung ohne CAS 8 A Anlysis und Stochstik - Lösung. Gegeben ist die Funktion f mit der Gleichung f x x 8x e x mit x. Ihr Grph ist G... Nullstellen von f: Bed.: x D e bleibt, muss x f x x 8x e x 8x sein. xx 4 x, x 4 Lokle Extrempunkte von G: Ableitungen mit der Produktregel: x x x f' x 4x 8 e x 8x e x x 8 e f '' x 4x e x x 8 e x x e x x x Notwendige Bedingung: f' x x x8 :4 x x 94,7 xe 5 5,4 y-koordinten: f(,7), f 5,4,7, Hinreichende Bedingung: f '',7 4,7 lokles Minimum Ergebnis; H5,4,7, T,7, f '' 5,4,5 Lokles Mximum Begründen Sie, dss sich die Art der Krümmung von G im Intervll x nicht ändert. Die Art der Krümmung wird durch ds Vorzeichen von f" x x x e f" x bestimmt. x ht den positiven Fktor e x und den Klmmerfktor. Die Hilfsfunktion kx x x ht folgende Nullstellen: ,8, 55 xn 4 4 4,45 D. h. zwischen diesen Stellen liegt keine Nullstelle von f", d.h. ändert sich die Krümmung von G nicht. Also trifft es zu, dss sich die Krümmung im Intervll x nicht ändert... Zeigen Sie, dss die Funktion F mit der Gleichung Stmmfunktion von f ist. Dzu muss mn nchweisen, dss F' x fx F x x 4x 4 e x mit x eine gilt. Ableiten mit der Produktregel: F' x 4x 4 e x x 4x 4 e x x 8x e x f x Der Grph G und die x-achse begrenzen eine Fläche A vollständig. Berechnen Sie den Inhlt von A A f x dx f x dx F x x 4x 4 e 4 e 4 e 4 4 A e 4 4, FE x 4

19 75 MV Abiturprüfung ohne CAS 9.. Ermitteln Sie den Wert von, 4, für den gilt f x dx e 4 x fxdx x 4x 4 e 4e 44e 4 44e Vergleichen: 4 44 e e 4 +4 ergibt 4 4 e e , Der Wert,58 erfüllt die Bedingung. Stochstik-Teil. An der Huptstrße einer Ortschft regeln drei voneinnder unbhängige Ampeln den Durchgngsverkehr. Jede der Ampeln zeigt mit der Whrscheinlichkeit,7 beim Hernfhren grün n. Die Zufllsvrible X gibt die Anzhl der Ampeln bei einer Ortsdurchfhrt n, die grün" zeigen. X wird ls binomilverteilt ngenommen... Berechnen Sie die Whrscheinlichkeitsverteilung von X. Stellen Sie die Whrscheinlichkeiten in einem Digrmm grfisch dr. X ist binomil verteilt mit p =,7. Whrscheinlichkeitsverteilung (Binomilfunktion): Ds Bumdigrmm wr nicht verlngt: PX,,7 P X,7,,89 PX,7,,44 PX,7,4 Drstellung im Histogrmm:.. Bestimmen Sie die Anzhl von,grün" nzeigenden Ampeln, mit denen mn durchschnittlich bei dieser Ortsdurchfhrt rechnen muss. Berechnen Sie die Stndrdbweichung von X. Erwrtungswert: EX np,7, Stndrdbweichung: X n p p,7,,,79

20 75 MV Abiturprüfung ohne CAS.. Ein Autofhrer trifft n keiner der drei Ampeln uf grün". Entscheiden Sie, ob der Fhrer dmit hätte rechnen müssen. Begründen Sie Ihre Entscheidung. Nein, er muss nicht dmit rechnen, denn der Erwrtungswert ist,, lso muss er mit zwei grünen Ampeln rechnen. Die Whrscheinlichkeit für X = ist uch ds Mximum...4 Zusätzlich und unbhängig wird hinter den bestehenden Ampeln eine vierte Ampel im Ort errichtet. Berechnen Sie, mit welcher Mindestwhrscheinlichkeit die vierte Ampel grün nzeigen muss, dmit die Whrscheinlichkeit einer Ortsdurchfhrt ohne Hlt mindestens, beträgt. Die Whrscheinlichkeit für grün bei der 4. Ampel sei. Dnn gilt für Ortsdurchfhrt ohne Hlt die Whrscheinlichkeit: P,7. Bedingung:,,7,7,,874

21 75 MV Abiturprüfung ohne CAS B Anlysis und Stochstik - Lösung. Gegeben ist eine Funktionenschr f durch die Gleichung f x x 4 x mit. Die zugehörige Kurvenschr ist G. x, ; ; x.. Geben Sie die Gleichungen ller Asymptoten von G n. D Grd Z = Grd N ht G eine wgrechte Asymptote. Dzu berechnet mn den Grenzwert der Funktion für x : 4 4 x x x x x x x x x x x 4 lim lim lim 4 denn lim und lim x x x x D f für x den Grenzwert ht, besitzt G die wgrechte Asymptote y =. Vorrbeit für die senkrechten Asymptoten: Zähler x 4 x Nenner x x D > ist, existieren diese vier Stellen und sind verschieden (!). Also ht f zwei Polstellen: xp und xp. Dher ht G zwei senkrechte Asymptoten: x und x. Hinweis: Ich hbe hier die usführliche Begründungen für lle Asymptoten ngefügt. D die Aufgbe jedoch lutet Geben Sie n, reicht in diesem Flle diese Angbe: Ergebnis: G ht die wgrechte Asymptote y = und die senkrechten Asymptoten x und x. Berechnen Sie die Koordinten des Extrempunktes von G, in Abhängigkeit von und begründen Sie mit Hilfe der ersten Ableitung die Art des Extremums. Beschreiben Sie ds Monotonieverhlten von G im gesmten Definitionsbereich. Ableitung: f ' x x x x x x x x x 4 x x x 8x x x Notwendige Bedingung für Extrempunkte: y-koordinte: Monotonieverhlten: f ' x x 4 f 4 Mn muss wegen der Polstellen den Definitionsbereich in drei Teile splitten: \D ; ; ;

22 75 MV Abiturprüfung ohne CAS Außerdem gilt: Für x < ist f ' x und für x > ist f ' x. (Ds richtet sich lleine nch dem Zähler, denn der Nenner ist ein Qudrt und dher stets positiv.) Für die Monotonie muss mn ds Vorzeichen von f' in einem Intervll betrchten, in dem f stetig ist. ist f stetig und ist f stetig und ist f stetig und ist f stetig und. Für x. Für x. Für x 4. Für x f ' x, lso fällt dort f streng monoton. f ' x, lso fällt dort f streng monoton. f ' x, lso steigt dort f streng monoton. f ' x, lso steigt dort f streng monoton. Hinweis: Mn drf den. und. Fll nicht zusmmennehmen und behupten: Für x < ist f stetig und f ' x, lso fällt dort f streng monoton. Ds ist flsch, denn von links von nch rechts von steigt f n der Polstelle sprunghft n. Anloges gilt für den. und 4. Fll. Diese Monotonieüberlegung muss mn ls Begründung für den Extrempunkt hernziehen, wenn mn keine. Ableitung ht, und wenn mn wie hier verlngt wird, dzu die erste Ableitung verwenden soll: D f in x streng monoton fällt. und in x streng monoton steigt, ht f n der Stelle ein lokles Minimum, d. h. G ht den Tiefpunkt T 4... Für jeden Wert von schneidet G die x-achse für x > im Punkt A. Betrchtet werden in A die Tngente t und die Normle n n G. Bestimmen Sie je eine Gleichung für t und n in Abhängigkeit von. Schnittpunkte von G mit der x-achse: N, N. Tngente in N : Steigung: m f' f x Zähler und Nenner (s. o.) t Punkt-Steigungs-Form: y 4 x Normle in N : Steigung: 4 8 y x Punkt-Steigungs-Form: y x m n n m 4 4 (durch gekürzt) 4 y x 4

23 75 MV Abiturprüfung ohne CAS Die Tngente t und die Koordintenchsen begrenzen ds Dreieck D t. Die Normle n und die Koordintenchsen begrenzen ds Dreieck D n. D t und D n rotieren um die x-achse. Die Rottionskörper besitzen die Volumin V t bzw. V n. Ermitteln Sie den Wert von so, dss V n neunml so groß ist wie V t. Zur Vernschulichung zeige ich eine Abbildung mit G 4, t, n und den beiden Dreiecken. (Diese Abbildung wr nicht verlngt) Bei Rottion um die x-achse entstehen zwei Kegel. Tngentenkegel: V r h t t Der Rdius ist gegeben durch den y-achsenbschnitt 8 der Tngente: r, h x V 8 4 t 9 t 7 N Normlenkegel: V r h n n Der Rdius ist gegeben durch den y-achsenbschnitt der Normle: r, h x 9 Vn 4 n N Bedingung: Vn 9 Vt d. h. 9 : / ,8 / 9.. Zeigen sie, dss F x ln x ln x x eine Stmmfunktion von f mit > und x ist. ws zu beweisen wr. F'x x x F'x x x x x F'x x x F'x x x x x 4 x x x F'x f x,

24 75 MV Abiturprüfung ohne CAS 4. Eine Urne enthält eine rote Kugel, drei blue, drei grüne und vier schwrze Kugeln. Bei einem Spiel zhlt ein Spieler zunächst einen Einstz in der Höhe e n den Spielleiter. Anschließend zieht der Spieler mit einem Griff drei Kugeln us der Urne. Hben lle gezogenen Kugeln die gleiche Frbe, so erhält der Spieler ds Achtfche seines Einstzes vom Spielleiter zurück. Sind zwei Kugeln blu, so erhält der Spieler ds Viererfche seines Einstzes zurück. Wurde eine blue, eine grüne und eine schwrze Kugel gezogen, so erhält der Spieler ds Doppelte seines Einstzes zurück. Bei llen nderen Ausgängen verliert der Spieler seinen Einstz. Geben Sie die Whrscheinlichkeitsverteilung für den Gewinn des Spielers n. Entscheiden Sie, ob ds Spiel fir ist und begründen Sie. Urneninhlt: r b g 4s Ziehen mit einem Griff ht dieselbe Wirkung wie Ziehen ohne Zurücklegen. Gewinnpfde und Whrscheinlichkeitsverteilung. A: Achtfcher Einstz: Drei gleichfrbige Kugeln. P A, V: Vierfcher Einstz: Zweiml blu. PB, D: Doppelter Einstz: blu, grün und schwrz. PC, Hinweis: Mn knn z. B. PD uch über die Kombintorik berechnen: PD g pro Pfd. m Günstige Fälle: Für blu Möglichkeiten, für grün uch, für schwrz 4. g4 Mögliche Fälle: m 9 99 Für einen Pfd: 4 P 9 99 Frben lssen sich ber uf! = Arten nordnen (Permuttion). Also PD Erwrtungswert für die Auszhlung: E 8e 4e e e e 4e e Weil dies mehr ist ls der Einstz e, ist ds Spiel nicht fir, der Spieler ht einen Gewinnvorteil.

25 75 MV Abiturprüfung ohne CAS 5 B Anlytische Geometrie - Lösung In einem krtesischen Koordintensystem wird ein Spt ABCDEFGH betrchtet. Gegeben sind die Koordinten der Eckpunkte A, B5 5, C 5,E 4, F 7 und H.. Ermitteln Sie die Koordinten der Punkte D und G. Prllelogrmmbedingung für ABCD: AD BC d c b 5 d cb 55 D Prllelogrmmbedingung für EFGH: FG EH g f h e 4 g f he 7 7 G 7. Berechnen Sie ds Volumen des Sptes. Dzu gibt es ds Sptprodukt: V AB AD AE bzw. V AB AD AE Mit Zhlen (Determinntenberechnung nch Srrus) Ergebnis: Der Spt ht ds Volumen 8 VE.. Die Gerde g mit der Gleichung und BCGF. Zeigen sie, dss der Punkt x t, t durchstößt die Seitenflächen ADHE 4 7 P uf g und innerhlb des Sptes liegt Punktprobe von P mit g: Also liegt P uf g t t t für lle drei Gleichungen.

26 75 MV Abiturprüfung ohne CAS Zum Nchweis, dss P innerhlb des Spts liegt, stelle ich AP ls Linerkombintion durch die Kntenvektoren AB, AD und AE uf. diese spnnen ds Spt uf. Anstz: AP r AB s AD t AE d. h r s t 4 4 d. h. Elimintion von t durch : r 4st 4 () r t () 4 r t () 4 r r In (): t t t In (): 4s 4s s Ergebnis: D r, s und t Zhlen us dem Intervll ; sind, liegt P im Innern des Spts..4 Berechnen Sie den Abstnd der Knte AE zur Knte BF. (Zur Kontrolle: Abstnd: ) Diese Knten sind prllel. Also sucht mn den Abstnd prlleler Gerden. Dieser ist gleich groß wie der Abstnd z. B. des Punktes B5 5 von der Gerden (AE).. Berechnungsmethode: Verwendung der Lotebene. Ich lege durch B eine Ebene orthogonl zu (AE). Dzu verwende ich AE ls Normlenvektor der Lotebene E L : E L : x y z k Punktprobe mit B: k 4 Lotebene: x y z 4 : E L : xyz 7 Z n (AE) B E L Der Schnittpunkt Z von (AE) mit E L ist der Fußpunkt des Lotes von B uf (AE): x r einsetzen: rr r 7 8 r 7 r r d(b,ae) BZ , LE 5 Lotfußpunkt Z: z Z

27 (AE) 75 MV Abiturprüfung ohne CAS 7. Berechnungsmethode: Opertives Verfhren Der zunächst noch unbeknnte Lotfußpunkt ist zunächst nur ein beliebiger Punkt von (AE). Also übernimmt mn seine Koordinten us der Gerdengleichung mit unbeknntem r: u X x r Bedingung für F: BX u lso Xr½r½ r (Opertive Methode) F L Lotvektor B Dieses Nullprodukt erzeugt den rechten Winkel bei F: Mit B5 5 folgt: r 5 r r 5 r 4r 4r r r r Ds liefert: 44r r d(b,ae) BZ , LE 5 Lotfußpunkt Z: z Z.5 Für jeden Wert von, Gerde AE: schneidet die Ebene mit der Gleichung z = die Knte AE im Punkt R und die Knte BF im Punkt S. 7 Berechnen Sie den Wert von so, dss der Inhlt der Fläche ABS R A ist. Schnitt mit z = : x r r r Schnittpunkt: r R 5 Gerde BF: x 5s Schnitt mit z = : s s Schnittpunkt: s 5 5 S 5 5 Die Fläche ABS R ist ein Trpez: A AR BS h Dbei ist h die Höhe, und diese ist schon ls Abstnd des Punktes B von (AE) berechnet worden: h Inhltsformel: R A h S B

28 75 MV Abiturprüfung ohne CAS 8 AR BS Eingesetzt in die Trpezformel: A AR BS h Vereinfchen: Also: A 7 Bedingung lut Aufgbe: A 7 5 d. h..