( ) = '( ) ( 3) Analysis, Geometrie, Stochastik 1.1. a x x P a (x p ; y p ) x p > 0 Q a (x q ; y q ) x q < 0. Schnittpunkte von f a und g a a

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1 Lösungen Abitur Leistungsurs themti Seite von 5 P Anlysis, Geometrie, Stochsti. 9 g R, R, >.. P ( p ; y p ) p > Q ( q ; y q ) q < Schnittpunte von und g g und (d -) ( ) ( ; ) P Q ( ; ) g P (; ) y m + n. Ableitungen: ' 9 g 9 ' Anstiege der Tngenten: m ' m g ' g Winel zwischen den Tngenten: 5 5 m m g tnα + m 5 m g α 7,57.. Fläche zwischen und g : A g d d Ableitungen von A(): A' d A '' > ür lle > inimum

2 Lösungen Abitur Leistungsurs themti Seite von 5 inimler Flächeninhlt: A' ( ) entällt, d > in A () + Der Flächeninhlt wird ür in miniml und beträgt dnn FE.. g: 5 + r h: + s r, s R.. Ebene E(g,h): n.. S(; ; -) P ( 5; ; ) E(g,h) n + z d d E(g,h): + z 7 Gleichung der Gerden : : + t.. t R (Ortsvetor: OS ; Richtungsvetor: n ) g: 5 + r h: + s r, s R ( ; ; ) Ein Ecpunt ist der Schnittpunt der Gerden g und h: 5 + r + s 5 r s 5 r + + r r + + r s + s s r + s + A( ;; ) C liegt u der Digonle AC und der Abstnd zu A ist A : OC OA + A + 5 C ( ; ; 5)

3 Lösungen Abitur Leistungsurs themti Seite von 5 Ein weiterer Ecpunt des Prllelogrmms muss Schnittpunt der Gerden h und g (C,Richtungsvetor von g) sein: g': + t t R 5 Schnittpunt h und g : + s + t 5 + s t + ( + t) t t s + t s s s 5+ t D ( ; ; ) OB OA + DC + 5 B ( ; 5; ) Die Ecpunte des Prllelogrmms sind: A( ;; ), B ( ; 5; ), C ( ; ; 5), D ( ; ; ) (Es sind nur drei Ecpunte geordert.) Zeichnung:.. p,5 X Anzhl unveräulicher Pole X ist B 5;,5 -verteilt (binomilverteilt mit n 5 und p,5) Whrscheinlicheiten: PA PX ( ) PX ( ) + PX ( ) + PX ( ) Erwrtungswert: PB P(5 X< ) PX ( 5) + PX ( ) + PX ( 7) 5,75 5,5,75,5,75,,% , 5,75, 5,75, 5,75,5 5, %

4 Lösungen Abitur Leistungsurs themti Seite von 5 E( X) n p 5,5,5 Stndrdbweichung: σ ( X) n p p 5,5,75,5 Der Erwrtungswert sgt us, um welchen Wert Stichprobenwerte im ittel streuen werden. Die Stndrdbweichung gibt n, wie str die Stichprobenwerte um den ittelwert streuen. Im σ -Intervll sind die Stichprobenwerte mit großer Whrscheinlicheit nzutreen. Stichprobenwerte liegen mit hoher Whrscheinlicheit im Intervll [,5,7;,5 +,7] [,;,]. Die Stichprobenwerte sind mit hoher Whrscheinlicheit, 5,, 7 oder... X Anzhl der richtigen Kugeln X ist hypergeometrisch verteilt Whrscheinlicheit: PX ( ), 99% P Anlysis. Augben..,..,.. siehe Augben..,..,.... g + 7 Schnittpunte mit den Koordintenchsen: g ( ) + 7 g P ( ;) P ( ;) P ; Flächeninhlt des Dreiecs P P P : F PP OP Der Flächeninhlt des Dreiecs P P P beträgt FE ln Deinitionsbereich: R, Symmetrie: 9 und

5 Lösungen Abitur Leistungsurs themti Seite 5 von 5.. ( ) ( ) ln ln 9 9 ist eine gerde Funtion G ist ilsymmetrisch zur Ordintenchse Schnittpunte mit den Koordintenchsen: ( ) ln 9 Ableitungen: S und S ( ) und ( entällt) ; ; Es eistiert ein Schnittpunt mit der Ordintenchse, d nicht zum Deinitionsbereich von gehört. 9 ln [ ln ln 9] ' [ ln ln 9] + [ ln ln 9 + ] ln + 9 '' [ ln ln 9 + ] [ ln ln 9 + ] + [ ln ln 9 + ] ln + 9 Etrempunte: '( ) E E e e ln + ln 9 9 e '' ln + + > e e e '' ln + + > e e [ ] e e [ ] 9 e e 9 inimum e 9 e e inimum e 9 e e Pin e 9 ; e e P in e 9 ; e e.. F ln 9 9 Ableitung von F() muss () ergeben: F ln ln ln ln 9 F' ln ln ln ln S ( ; ) 9 ln ' ln + 9 y m +n Berechnung der Tngente: m ' ln + + n n t: y

6 Lösungen Abitur Leistungsurs themti Seite von 5 W Anlysis R,,, R, >.. Schnittpunte mit der Abszissenchse: ( ) Nenner von wird ür gleich Null ür R, >, Verhlten im Unendlichen: lim lim lim ± ± ± Asymptoten: Polsymptoten: und Wgerechte Asymptote: y.. < < Au den Nchweis der Etremstellen mittels der. Ableitung nn verzichtet werden. Ableitungen: ' ( ) ( ) + Etremstellen: ' + ( ) E, E ± ± + + >, d ]; [ Es eistieren zwei Etremstellen... b b R,,, R, >, b R, b > und b Nchweis. ür b: b b b b (d nn durch dividiert werden) b Widerspruch b

7 Lösungen Abitur Leistungsurs themti Seite 7 von 5... Ableitung von n einer Etremstelle: + ''( E) ''( ) + ( ) E Etrempunte: ± ± E, E E E + '' < ( ) + '' > 9 imum 9 inimum 9 P ; 9 P in ;.. b c R,,, b R, b R Berechnung von b und c: b c b c ( ) b c b c b Koeizientenvergleich b c c c b b.. Stmmuntion von : F d d ln ln + c mit c R Flächeninhlt: A d F F ln ln ln + ln ln ln ln Der Flächeninhlt beträgt ln FE.. ( ) ( ) ür Grenzwert: lim lim Bei eistiert eine hebbre Unstetigeitsstelle, eine Lüce.

8 Lösungen Abitur Leistungsurs themti Seite von 5 Sizze: () W Anlysis R,, R, >. π V VE 9 Nullstellen von : und Bestimmung von : π V π d d π π d d π π π π 9 π V VE 9 π π 9 9 entällt, d > Für beträgt ds Volumen des Rottionsörpers π VE. 9

9 Lösungen Abitur Leistungsurs themti Seite 9 von 5. Gesucht ist der Etrempunt von, bei ihm wird der mimle Durchmesser erreicht. Ableitungen: ' ''( E) < E ür lle E imum Etremstelle: ' (Nenner von ) E imler Durchmesser: d 9 Der mimle Durchmesser beträgt. ' 9 LE. Winel der Tngente mit der Abszissenchse: ' tnα α,. S b d π V V π 9 Berechnung von S :.5 b π d π d π ( ) d 9 S ( ) d V V π 9 5 d Die Abszisse S des Schwerpuntes des Rottionsörpers beträgt 9 Zylinder: r ; h 5. Der mimle Durchmesser des Körpers beträgt LE

10 Lösungen Abitur Leistungsurs themti Seite von 5 < Der Zylinder psst nicht hinein, wenn ein Rdius und die Abszissenchse prllel sind. Die Höhe des Zylinders (genuer: die ittellinie) muss u der Abszissenchse liegen. Die Funtion ht ein imum und sonst eine Etremwerte und Wendepunte. Außerdem ist stetig. Deshlb psst der Zylinder hinein, wenn es Funtionswerte ( ) und ( + ) eistieren, ür die gilt: und ( + ). Lösung durch Ausprobieren von Funtionswerten von : (), 57 < zu lein 7, < zu lein 9, > ( 9) < zu lein 5 5, 5 > 7 7, 59 > Der Zylinder psst hinein. Anstz über Lösen einer Gleichung: ( ) Bestimmen einer Nullstelle der Gleichung mit einem Näherungsverhren Gewähltes Näherungsverhren: Newton 9 + ' ( ) '( ) 9 Schätzen von :,,,,+,, 5 Der Zylinder psst hinein. W Anlytische Geometrie A(; ; ), B(; ; -), C(-; ; ), S(; ; ) Pyrmide ABCS mit Grundläche ABC. Dreiec ABC gleichseitig: AB BC CA AB BC CA Dreiec ABC ist gleichseitig. Ebenengleichung E (ABC): AB AC ne E (ABC): + y+ z d A E (ABC) d + + E (ABC): + y+ z

11 Lösungen Abitur Leistungsurs themti Seite von 5 Zeichnung: Unsichtbre Knten: AC, BC, CS. E : y+ 7z+ Gerde h(bs): h(bs): + r mit r R Schnittpunt D von h(bs) mit E : ( r) ( r) ( r) r 9 r [; ] Schnittpunt D liegt u Knte BS r D ( ;9;) Pyrmide ABCS wird in zwei Pyrmiden ABCD und ACDS zerlegt. (Es ist nur die Berechnung des Volumens eines Teilörpers geordert.) VABCD ( AB AC) AD VACDS ( AC AD) AS 7 5 Winel zwischen E und E : E : + y+ z E : y+ 7z+ 7 cosα, 7 α,7

12 Lösungen Abitur Leistungsurs themti Seite von 5. Ein solcher Zylinder eistiert, wenn der Abstnd des Lotes von S u die Ebene E vom ittelpunt des Umreises nicht größer ls der Rdius des Zylinders ist. ittelpunt ( ; y ; z ) des Umreises: A B y y z z + ( ) + ( y ) + ( z ) ( ) + ( y ) + ( z + ) ( ) + ( y ) + ( z ) ( ) + ( y ) + ( z + ) + 9 y + z + + y + + z + y + z y + z A C + y y z z ( ) + ( y ) + ( z ) ( + ) + ( y ) + ( z ) ( ) + ( y ) + ( z ) ( + ) + ( y ) + ( z ) + 9 y + z + + y + z + 9 y z y z E + y + z Gleichungssystem: y + z y z y z + y + z ( ; ;) Rdius des Umreises: r A y z y z y z 9 y z z y z + y + z y y Lot (Fußpunt) F von S u E : E : + y+ z ne (S; n E ): + s mit s R Schnittpunt von mit E : + s + + s + + s s F s ( ; ;) Abstnd des Lotes von S u die Ebene E vom ittelpunt des Umreises: F r Es lässt sich ein gerder Zylinder inden, der die Fläche des Umreises des Dreiecs ABC ls Grundläche ht und die Pyrmide ABCS umsst.

13 Lösungen Abitur Leistungsurs themti Seite von 5. g: + t mit t R S, S g V V V ABCS ABCS ABCS AB AC Volumen der Pyrmide ABCS: VABCS AB AC AS Oder: V V + V + ABCS ABCD ACDS Volumin der Pyrmiden ABCS und ABCS : S S, ABCS,, S S, V AB AC AS y y z z S S, + y + z + y + z S, S, S, S, S, S, V V V und S, S g ABCS ABCS ABCS + y + z + t+ t+ t 5 5t t S S S t t S ( ; ;) + t t S ( ; ; ) Die zwei gesuchten Punte sind S ( ; ;) und ( ; ; ) S. W Stochsti p Nico, p Re ne, 75 Behuptung: ptim,5 Einstz:,5 ür Würe X Anzhl der Treer Y Anzhl der Würe, die dneben gehen X Y. n X ist B ;, -verteilt (binomilverteilt mit n und p,) Whrscheinlicheiten lut Tbelle: PA PY P X B 5,%. ;, ({ }) ;, ({ }) ;, ({}) ;, ({ }) ;, ({ }) ;, ({ }) ;, ({ }) ;, ({ }) ;, ({ }) ;, ({ }) ;, ({ }) PB P X B + B 7 + B + B 9 + B,% PC P < X< 9 B + B 5 + B + B 7 + B 9,9% Linsseitiger Signiinztest: H : p,5 H : p <,5 Y Anzhl der Würe, die dneben gingen X Anzhl der Treer H whr X ist B ;,5 -verteilt (binomilverteilt mit n und p,5) A { ;;...;7} (Y X 7) P( X ) B;,5 ({ }) 7 ;;...;7,79 7,9% Die Irrtumswhrscheinlicheit beträgt 7,9%. Es hndelt sich hierbei um die Whrscheinlicheit, einen Fehler. Art zu begehen, lso um ds Signiinzniveu.

14 Lösungen Abitur Leistungsurs themti Seite von 5. Linsseitiger Signiinztest: H : p,5 H : p <,5 X Anzhl der Treer H whr X ist B ;,5 -verteilt (binomilverteilt mit n und p,5) α,5 A { ;;...; l} P( X ) α ({ l} ) B;,5 ;;...;,5 B ;,5 ({ ;;...;} ),9 B ;,5 ({ ;;...;7} ),79 l Bei,,,,, 5 oder Treern wird Tims Behuptung mit höchstens 5%iger Whrscheinlicheit bgelehnt. (Frgestellung ist irreührend und nicht durchdcht.). A { ;;...;} n p Nico, p Re ne, 75 p Tim,5 D Alle drei Jungen weren höchstens einml dneben. Whrscheinlicheiten: P ( Y ) P ( X 9) B 9 + B,% Nico Nico ({}) ({ }) ({}) ({ }) ({}) ({ }) ;, ;, P ( Y ) P ( X 9) B 9 + B, % Re ne Re ne ;,75 ;,75 P ( Y ) P ( X 9) B 9 + B 5, % Tim Tim ;,5 ;,5 PD PNico ( X 9) PRe ne ( X 9) PTim ( X 9),,, 5, % Die Whrscheinlicheit, dss lle drei Jungen höchstens einml dneben weren, beträgt,%..5. Die Frgestellung sollte lrer ormuliert sein: Es önnte eventuell uch gemeint sein, dss lle Jungen zusmmen höchstens einml dneben weren. E Alle drei Jungen weren zusmmen höchstens einml dneben. PNico ( X ) PRe ne ( X ) PTim ( X ) + PNico ( X 9) PRe ne ( X ) PTim ( X ) PE,5% + PNico ( X ) PRe ne ( X 9) PTim ( X ) + PNico ( X ) PRe ne ( X ) PTim ( X 9) 5 5;75,75, 5 Whrscheinlicheitsverteilung: K 5 B X in %,9,5,79,7 9,55,7 5 X ist B 5;,75 -verteilt. B ( X ) Digrmm: 5;75 Whrscheinlicheitsverteilung von X 5 5 P(X ) in %

15 Lösungen Abitur Leistungsurs themti Seite 5 von 5.5. Bernoulliette der Länge n 5 mit p,75 öglicheiten der Simultion: 5-mliges Ziehen us einer Urne mit Zurüclegen; In der Urne beinden sich blue Kugeln und eine rote Kugel. Als Erolg wird ds Ziehen einer bluen Kugel gewertet. Zullsgröße X ist die Anzhl der insgesmt gezogenen bluen Kugeln. 5-mliges Drehen eines Glücsrdes. Ds Glücsrd ist in Setoren mit den Auschriten,,, 5 eingeteilt. Jeder Setor nimmt 9 des Vollreises ein. Als Erolg wird ds Drehen einer Primzhl gewertet. Zullsgröße X ist die Anzhl der insgesmt gedrehten Primzhlen.. p,9 PY,99 P( X n ) Berechnung von n: P X n,99 Bn;,9 ({ n }) Bn;,9 ({} n ) +,99 n n + n n n n n,9, +,9,99 n n,9,,9,,99 Probieren:,9,+,9,99,9,+,9,995,9,+,9, ,9,+,9,95,99 X ist B n;,9 -verteilt Ein Werer mit der Treerquote 9% muss mindestens vierml weren, dmit er mit mindestens 99% Whrscheinlicheit höchstens einml dneben wirt. D die Abweichungen von,99 bei n sehr gering sind, muss ein Werer mit der Treerquote 9% mindestens vierml weren, dmit er mit 99% Whrscheinlicheit höchstens einml dneben wirt.