Zentrale schriftliche Abiturprüfung Mathematik. Leistungskurs

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1 Ministerium für Bildung, Jugend und Sport Zentrle schriftliche Abiturprüfung 008 Mthemtik Aufgbenstellung A1 und A (Whl für Prüflinge) Aufgbenstellung A3 (siehe Extrbltt) (wird durch die Lehrkrft usgewählt) für Prüflinge Hilfsmittel: Gesmtberbeitungszeit: Nchschlgewerk zur Rechtschreibung der deutschen Sprche, nicht progrmmierbrer und nicht grfikfähiger Tschenrechner, n der Schule eingeführtes Tfelwerk/ Formelsmmlung 4 Zeitstunden Aufgbenstellung A1 Them/Inhlt: Hinweise: Anlysis II Wählen Sie eine der beiden Aufgben 1.1 oder 1. zur Berbeitung us. Aufgbe 1.1 Seite Aufgbe 1. Seite 3 Aufgbenstellung A Them/Inhlt: Hinweise: Anlytische Geometrie II / Linere Algebr Wählen Sie eine der beiden Aufgben.1 oder. zur Berbeitung us. Aufgbe.1 Seite 4 Aufgbe. Seite 5 Seite 1 von 5 Mthemtik 08_M_L_A_1_1.doc

2 Lnd Brndenburg Aufgbe 1.1 (Anlysis II) Gegeben ist die Funktionenschr x R ; R, 0, 1. Ihr Grph sei G. 1 x x f durch ( ) ( ) f x = e + e ; Bestimmen Sie die Koordinten des Schnittpunktes von G mit der y Achse und geben Sie ds Verhlten der Funktionswerte von für x + n. Berechnen Sie die Nullstelle von f. f 1.1. Jeder Grph G besitzt in Abhängigkeit von genu einen Extrempunkt. Weisen Sie nch, dss dieser stets uf der y-achse liegt. Bestimmen Sie für den Fll, dss der Extrempunkt ein lokler Hochpunkt ist. Untersuchen Sie, ob G n der Stelle x = ln sein Krümmungsverhlten ändert. 1 x x [Kontrollergebnis: ( ) ( ) f x = e + e ] Die Gerde x = b ; b > 0 ; die Koordintenchsen und G begrenzen für < 1 im vierten Qudrnten eine Fläche mit dem Inhlt A ( b). Bestimmen Sie A ( b). Ermitteln Sie für = den Grenzwert lim b. A b + ( ) Berechnen Sie ds Volumen V des Körpers, der entsteht, wenn die von Koordintenchsen im dritten Qudrnten eingeschlossene Fläche um die rotiert. G und den x Achse Eine Kurve, die die Form einer frei trgenden ufgehängten Kette einnimmt, bezeichnet mn ls Kettenlinie. Spnnseile n Hängebrücken knn mn zum Beispiel durch eine Kettenlinie beschreiben. Im Bild ist die Kettenlinie G 1 drgestellt. G 1 Glilei htte fälschlich vermutet, dss es sich um eine Prbel hndelt. Eine solche liefert zwr eine gute Näherung, ber die exkte Form einer Kettenlinie (Ctenri) wurde erst 1690 von Leibniz ngegeben. Stellen Sie eine Funktionsgleichung für eine qudrtische Prbel p uf, die für x in guter Näherung der Kettenlinie G 1 entspricht. Begründen Sie, dss die von Ihnen ermittelte Prbelgleichung nicht im gesmten Definitionsbereich von ls gute Näherung für die Kettenlinie G geeignet ist. f1 1 Seite von 5 Mthemtik 08_M_L_A_1_1.doc

3 Lnd Brndenburg Aufgbe 1. (Anlysis II) Gegeben ist die Funktionenschr mit der Gleichung x + f ( x) = ; x D ; R, 0 f x 3. Die Grphen dieser Schr seien. f G 1..1 Geben Sie den mximlen Definitionsbereich und ds Verhlten der Funktionswerte von f für x + und x n und bestimmen Sie die Nullstellen sowie die Gleichungen ller Asymptoten von f. G 1.. Jeder Grph besitzt genu zwei lokle Extrempunkte. Zeigen Sie, dss E ( f ( )) einer dieser Extrempunkte ist. Auf den Nchweis der Art des Extrempunktes wird verzichtet. x + 4x + 3 [Kontrollergebnis: f ( ) = ] ( x 3 ) Berechnen Sie den Prmeter, für den die Tngenten n G in den Schnittpunkten mit der x-achse und der y-achse orthogonl zueinnder verlufen Für < 0 ist E us Teilufgbe 1.. lokler Tiefpunkt von G. Ermitteln Sie eine Gleichung für die Ortskurve ller Tiefpunkte von den dzugehörigen Definitionsbereich n. G und geben Sie Bestimmen Sie die Abszisse des Punktes P, der uf der Kurve mit der Gleichung 1 y = ; x > 0 liegt und für den der durch P verlufende Kreis um den Koordintenursprung O einen minimlen Flächeninhlt x ht Es sei g die Funktion mit der Gleichung Ermitteln Sie für der Funktion g 1 g ( x) = ; x. f ( x) > 0 den Inhlt der Fläche, die von der x-achse und dem Grphen im III. und IV. Qudrnten eingeschlossen wird. Seite 3 von 5 Mthemtik 08_M_L_A_1_1.doc

4 Lnd Brndenburg Aufgbe.1 (Anlytische Geometrie II / Linere Algebr) In einem krtesischen Koordintensystem sind die Punkte A ( 4 3) und B( 4 4 5), die uf der Gerden k liegen, gegeben. Weiterhin sind die Gerdenschr g durch AB + 1 x = 4 + r + ; r, R 3 + sowie die Ebene E mit der Gleichung x + y z = 6 beknnt..1.1 Bestimmen Sie die Koordinten des Spurpunktes S der Gerden mit der y-z-ebene. Berechnen Sie den Schnittwinkel der Gerden und. Die Gerde h verläuft durch den Punkt B und prllel zur Gerden g 0. Ermitteln Sie eine Gleichung in Koordintenform für die Ebene F, die die Gerden h und g 0 enthält. g 0 k AB k AB.1. Zeigen Sie, dss lle Gerden der Schr g in der Ebene E liegen. Geben Sie eine Gleichung der Ebenenschr H n, deren Ebenen jeweils eine Gerde von g enthlten und senkrecht uf E stehen. Ermitteln Sie die Koordinten ller Punkte der Gerden g, deren Abstnd von der y-z-ebene und der x-y-ebene gleich groß ist..1.3 Ermitteln Sie den Prmeterwert für den Fll, dss k AB zur Schr g gehört. Bestimmen Sie eine Beziehung, die zwischen den Prmetern zweier verschiedener Gerden von g gelten muss, so dss die zugehörigen Gerden einnder orthogonl schneiden. Seite 4 von 5 Mthemtik 08_M_L_A_1_1.doc

5 Lnd Brndenburg Aufgbe. (Anlytische Geometrie II / Linere Algebr) Die Gerde g verläuft durch die Punkte A ( 1 3) und ( 1 5) Die Ebene F enthält die Punkte 3 1, B. P ( ) Q ( 5 1) und ( 1 4 1) R. Die Ebene E mit der Gleichung 3 x + y + z 4 = 0 ist eine Ebene der Schr mit der 3 E 1 Gleichung x 1 = 0. R Geben Sie eine Gleichung der Ebene F n und untersuchen Sie die Lge der Gerden g zur Ebene F. Die Ebene F schneidet die drei Koordintenchsen in den Punkten S x, Weisen Sie nch, dss ds Dreieck mit den Eckpunkten ist. S x, S y und S y und S z. S z gleichseitig.. Bestimmen Sie eine Gleichung der Schnittgerden s der Ebenen F und E 3 und weisen Sie nch, dss s in llen Ebenen der Schr E liegt. 0 1 [Kontrollergebnis: s : x = 0 + u 1 ; u R ] 4 Zeigen Sie, dss die Schnittgerde s prllel zur Gerden g verläuft. Berechnen Sie den Abstnd der Gerden g und s...3 Untersuchen Sie die Lge der Gerden g zu jeder Ebene der Schr E in Abhängigkeit von. Prüfen Sie, ob F zur Ebenenschr E gehört...4 Zeigen Sie, dss keine Ebene der Schr E orthogonl zur x-y-ebene verläuft. Die Ebene G enthält die Schnittgerde s us.. und ist keine Ebene der Schr E. Bestimmen Sie eine Gleichung der Ebene G. Seite 5 von 5 Mthemtik 08_M_L_A_1_1.doc

6 Ministerium für Bildung, Jugend und Sport Zentrle schriftliche Abiturprüfung 008 Aufgbenstellung A3.1 (Whl für Lehrkräfte) Mthemtik für Prüflinge Them/Inhlt: Hilfsmittel: Gesmtberbeitungszeit: Stochstik II Nchschlgewerk zur Rechtschreibung der deutschen Sprche, nicht progrmmierbrer und nicht grfikfähiger Tschenrechner, n der Schule eingeführtes Tfelwerk/ Formelsmmlung 4 Zeitstunden Seite 1 von Mthemtik 08_M_L_A_31_1.doc

7 Lnd Brndenburg Aufgben: Allergien befinden sich uf dem Vormrsch. Lut "Weißbuch Allergie in Deutschlnd" (004) leiden u.. 15 % der Bundesbürger n Heuschnupfen, 9 % n einer Kontktllergie, 5 % n Asthm, 5 % n einer Nhrungsmittelllergie und 4% n einer Insektenllergie Berechnen Sie die Whrscheinlichkeiten der folgenden Ereignisse: A: Unter zwnzig zufällig usgewählten Bundesbürgern befinden sich mindestens zwei Personen, die eine Kontktllergie hben. B: Von 500 zufällig usgewählten Bundesbürgern leiden mindestens 369 und höchstens 404 Personen n Heuschnupfen Berechnen Sie, wie viele Bundesbürger mindestens befrgt werden müssten, um mit mindestens 97,5 % Sicherheit wenigstens einen mit einer Nhrungsmittelllergie zu ermitteln Ein Fchrzt führt wöchentlich eine Allergiesprechstunde durch. In seinem Wrtezimmer sitzen n Ptienten, von denen genu zehn n Heuschnupfen leiden ( n N, n > 10). Es werden zufällig zwei Ptienten us dem Wrtezimmer "mit einem Griff" usgewählt. Die Whrscheinlichkeit des Ereignisses C, dss sich unter den zwei usgewählten Ptienten genu ein Ptient befindet, der n Heuschnupfen leidet, beträgt P( C) = 0,5. Berechnen Sie die Anzhl n der Ptienten im Wrtezimmer Eine Firm stellt Sprydosen für ein Antillergikum her, ds von einem Phrmunternehmen vertrieben wird. Bei der Produktion der Sprydosen können "Mterilfehler" (M) und Fehler im "Sprühmechnismus" (S) uftreten. Der Fehler S tritt mit einer Whrscheinlichkeit von 0,045 uf Um die mit dem Fehler S behfteten Sprydosen heruszufinden, werden die produzierten Dosen einem Testverfhren unterzogen. Ds Testverfhren sortiert irrtümlich 4 % der Dosen, die den Fehler S nicht hben, us. Weiterhin werden 97,5 % der mit Fehler S behfteten Dosen ussortiert. Berechnen Sie die Whrscheinlichkeiten der folgenden Ereignisse: D: Eine Dose wird ussortiert. E: Eine ussortierte Dose ist ttsächlich fehlerhft. F: Eine nicht ussortierte Dose ist dennoch fehlerhft Die Fehler M und S sind voneinnder (stochstisch) unbhängig. Die Whrscheinlichkeit dfür, dss mindestens einer der beiden Fehler uftritt, beträgt 0,069. Berechnen Sie die Whrscheinlichkeit für ds Auftreten des Fehlers M. Seite von Mthemtik 08_M_L_A_31_1.doc

8 Ministerium für Bildung, Jugend und Sport Zentrle schriftliche Abiturprüfung 008 Aufgbenstellung A3. (Whl für Lehrkräfte) Mthemtik für Prüflinge Them/Inhlt: Hilfsmittel: Gesmtberbeitungszeit: Anlysis III Nchschlgewerk zur Rechtschreibung der deutschen Sprche, nicht progrmmierbrer und nicht grfikfähiger Tschenrechner, n der Schule eingeführtes Tfelwerk/ Formelsmmlung 4 Zeitstunden Seite 1 von Mthemtik 08_M_L_A_3_1.doc

9 Lnd Brndenburg Aufgben: Gegeben ist die Funktionenschr f mit f ( x) = x x ; x D ; R 3 f, > 0. A B Die Grphen dieser Schr seien G Geben Sie den mximlen Definitionsbereich von f n. Untersuchen Sie G uf Symmetrie. Bestimmen Sie die Koordinten der Schnittpunkte von G mit den Koordintenchsen. Ordnen Sie den Grphen A und B ihren jeweiligen Prmeter zu. 3.. Für zwei Grphen der Schr f gilt: Der Anstieg der Tngente t n G im Punkt P ( 1 f (1) ) ist gleich dem Wert des Prmeters. Zeigen Sie, dss G einer dieser beiden Grphen ist und stellen Sie eine Gleichung der Tngente t uf. Bestimmen Sie den Prmeter für den zweiten Grphen, für den der beschriebene Schverhlt zutrifft. x [zur Kontrolle: ( ) ( 3 4x ) f x = ] x G 3..3 Jeder Grph schließt mit der x-achse im ersten Qudrnten eine Fläche vollständig ein. Rotiert diese Fläche um die x-achse, entsteht ein Körper. Ermitteln Sie einen gnzzhligen Wert für den Fll, dss ds Volumen dieses 104 Rottionskörpers π VE beträgt Berechnen Sie den Flächeninhlt der Fläche, die G 4 mit der x-achse einschließt. [Hinweis: Ein möglicher Substitutionsnstz ist z = 4 x.] Seite von Mthemtik 08_M_L_A_3_1.doc

10 Ministerium für Bildung, Jugend und Sport Zentrle schriftliche Abiturprüfung 008 Aufgbenstellung A3.3 (Whl für Lehrkräfte) Mthemtik für Prüflinge Them/Inhlt: Hilfsmittel: Gesmtberbeitungszeit: Anlytische Geometrie III / Linere Algebr Nchschlgewerk zur Rechtschreibung der deutschen Sprche, nicht progrmmierbrer und nicht grfikfähiger Tschenrechner, n der Schule eingeführtes Tfelwerk/ Formelsmmlung 4 Zeitstunden Seite 1 von Mthemtik 08_M_L_A_33_1.doc

11 Lnd Brndenburg Aufgben: A ( ) B ( ) ( 5 6 8) Die Punkte 1 4 3, 7 6 und D liegen in der Ebene E L ist der Fußpunkt des Lotes von D uf AB. Berechnen Sie ds Verhältnis der Flächenmßzhl des Prllelogrmms ABCD zur Flächenmßzhl des Dreiecks ADL. 1 Der Punkt A entsteht us dem Punkt A durch die Verschiebung v = 4 ; t R. t Berechnen Sie den Prmeter t so, dss ds Volumen der Pyrmide ABCD A den Wert 96 VE besitzt Die Strecke BD ist Durchmesser einer Kugel K. Ermitteln Sie eine Gleichung der Kugel K. [Kontrollergebnis: K : ( x 6) + ( y ) + ( z 7) = 18 ] Bestimmen Sie je eine Gleichung der zur Ebene E prllelen Tngentilebenen n die Kugel K Die Ebene F verläuft durch den Punkt D und senkrecht zur Gerden durch die Punkte A und B. Untersuchen Sie die Lge der Ebene F zur Kugel K und ermitteln Sie gegebenenflls die Koordinten des Berührungspunktes bzw. Mittelpunkt und Rdius des Schnittkreises Die Strecke AB ist Digonle eines Qudrtes, ds in der Ebene E liegt. Bestimmen Sie die Koordinten der weiteren Eckpunkte dieses Qudrtes. Seite von Mthemtik 08_M_L_A_33_1.doc