Abiturprüfung Leistungskurs 1998/99

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1 Abiturprüfung Leistungskurs 998/99 Gymnsium Mecklenburg-Vorpommern Schsen Schsen-Anhlt Thüringen Berlin Brndenburg p petec Gesellschft für Bildung und Technik mbh Berlin

2 Autoren für die einzelnen Bundesländer bzw. die usgewählten Schulen: Mrgit Liskow (Mecklenburg-Vorpommern) Dr. Riner Heinrich (Schsen) Birgit Mier (Schsen-Anhlt) Dr. Ev-Mri Westerhoff (Thüringen) Dr. Rolf Ebel (Beethoven-Oberschule Berlin-Steglitz) Ut Erfurt (Stuffenberg-Gymnsium Berlin-Hohenschönhusen) Dr. Andres Tosch (Sängerstdt-Gymnsium Finsterwlde) U Gedruckt uf chlorfrei gebleichtem Ppier.. Auflge Die letzte Zhl bezeichnet ds Jhr dieses Druckes. petec Gesellschft für Bildung und Technik mbh, Berlin 999 Redktion: Lyout: Dr. Hubert Bossek, Prof. Dr. hbil. Krlheinz Weber Mrtin Bossek, Günter Liesenberg, Tino Mi, Erik Netzmnn, Jörg Prommersberger, Jörg-Peter Schütt Umschlggestltung: Birgit Kintzel Druck: Sle-Druck Numburg GmbH ISBN

3 Inhlt Vorwort Mecklenburg-Vorpommern Aufgben Erwrtungsbilder Schsen Aufgben Erwrtungsbilder Schsen-Anhlt Aufgben Erwrtungsbilder Thüringen Aufgben Erwrtungsbilder Berlin / Beethoven-Oberschule Berlin-Steglitz Aufgben Erwrtungsbilder Berlin / Stuffenberg-Gymnsium Berlin-Hohenschönhusen. 5 Aufgben Erwrtungsbilder Brndenburg / Sängerstdt-Gymnsium Finsterwlde Aufgben Erwrtungsbilder

4 Vorwort Ds vorliegende Heft enthält die Aufgben, die in den zentrlen Abiturprüfungen des Schuljhrs 998/99 für Mthemtik-Leistungskurse in den Bundesländern Mecklenburg-Vorpommern, Schsen, Schsen-Anhlt und Thüringen gestellt wurden. D es in Berlin und Brndenburg kein Zentrlbitur für ds Fch Mthemtik gibt, wurden ls Beispiele weiterhin die Abiturprüfungsrbeiten von zwei Berliner und einer Brndenburger Schule in ds Heft ufgenommen. Die Erwrtungsbilder skizzieren in der Regel einen möglichen Lösungsweg, wobei stets uch wesentliche Zwischenschritte Aufnhme fnden, um den Nchvollzug des Gednkengngs zu erleichtern und für den Lernenden die Möglichkeiten zur Selbstkontrolle zu erhöhen. Die ngegebenen Bewertungsvorschläge hben empfehlenden Chrkter. Einigen Arbeiten vorngestellte Hinweise informieren über länderspezifische Modlitäten der Prüfungsdurchführung. Hinsichtlich der Symbolik und Zeichensetzung wie uch der Bechtung der reformierten Rechtschreibung folgen die Aufgbentete den Originlfssungen, worus teilweise Unterschiede zwischen den Vorgehensweisen in den einzelnen Arbeiten resultieren. Aus Pltzgründen wr es erforderlich, mitunter fortlufende Gleichungen oder Schlussketten zu verwenden. Ds Zeichen wird dbei ls Abkürzung für drus folgt, drus ergibt sich u. Ä. genutzt, lso nicht llein zur Kennzeichnung einer Impliktion im strengen Sinne. Der PAETEC Schulbuchverlg hofft, mit dieser Aufgbensmmlung den Lehrkräften Anregungen für die Gestltung eigener Klusur- und Prüfungsrbeiten sowie den Schülerinnen und Schülern Hilfe bei der Vorbereitung uf ds Abitur zu geben. Drüber hinus erlubt die geschlossene Veröffentlichung der Prüfungsufgben us einem Schuljhr gewiss interessnte Vergleiche bezüglich Schwerpunktsetzung, Anforderungsniveu, Aufgbengestltung usw. in den verschiedenen Bundesländern, worus wiederum Ansätze für eigenes Nchdenken erwchsen können. Die Redktion Berlin, September 999

5 Abiturprüfung Leistungskurs 998 / 99 Gymnsium Mecklenburg-Vorpommern

6 Mecklenburg-Vorpommern Hinweise: Die Schüler erhielten zwei Aufgbenblöcke, bestehend us Pflicht- und Whlteil, von denen einer uszuwählen wr. Der Pflichtteil wr vollständig, von den Whlufgben wren zwei zu berbeiten. Zur Aufgbenuswhl stnd den Schülern eine Zeit von Minuten zur Verfügung, die reine Arbeitszeit betrug Minuten. Zugelssene Hilfsmittel wren: Tfelwerk; nichtprogrmmierbrer und nicht grfikfähiger Tschenrechner; Zeichengeräte; Duden (Rechtschreibung) Aufgbe P: Geometrie In einem krtesischen Koordintensystem wird ein Dreieck ABC durch die Eckpunkte A( ), B( 6 ) und C(8 7 7) gegeben. A, B und C bestimmen die Ebene ε.. Zeichnen Sie ds Dreieck ABC in ein krtesisches Koordintensystem. Berechnen Sie einen Innenwinkel und den Flächeninhlt des Dreiecks ABC.. Weisen Sie nch, dss der Punkt Q(8 ) uf der Seite AB des Dreiecks ABC liegt.. Zeigen Sie, dss die Gerde g durch die Punkte R( 9,5) und T(5 6) nicht in der Ebene ε liegt. Die Gerde g schneidet die Seitenhlbierende s c des Dreiecks ABC im Punkt S. Berechnen Sie die Koordinten von S. Aufgbe P: Anlysis Gegeben ist eine Funktion f durch die Gleichung y = f() = e,5, R.. Berechnen Sie einige Funktionswerte f() für 5 und skizzieren Sie den Grphen der Funktion.. Ermitteln Sie die Gleichung der Tngente t n den Grphen von f im Punkt P( f()). Die Tngente t, der Grph f und die y-achse begrenzen eine Fläche vollständig. Berechnen Sie den Inhlt dieser Fläche. 6

7 Aufgben. Gegeben sind eine geometrische Zhlenfolge ( n ) mit = und q =,7 und Folgen (b n ) mit b n = k e cn, c, k R.... Bestimmen Sie k und c so, dss = b und = b sind. Zeigen Sie, dss dnn uch für lle n N gilt: n = b n... Berechnen Sie die Anzhl der Glieder der Folge ( n ), die größer ls, sind. Aufgbe P: Stochstik. Einer Umfrge zufolge hben % ller Abiturienten einen eigenen Zugng zum Internet. Wie groß ist die Whrscheinlichkeit, dss unter zufällig usgewählten Abiturienten nur miml zwei über einen eigenen Internetzugng verfügen?. Ein Mthemtiklehrer behuptet, dss mindestens 5 % ller Abiturienten in Mecklenburg-Vorpommern einen Computer zur Lösung von Husufgben einsetzen. Andere Kollegen hlten diese Zhl für zu hoch. Bei einem Test soll die Behuptung bgelehnt werden, flls von 5 befrgten Schülern nur höchstens den Computer zur Lösung von Husufgben einsetzen... Wie groß ist die Whrscheinlichkeit, dss mn die Behuptung fälschlicherweise blehnt?.. In welcher Art müsste ds oben gennnte Kriterium verändert werden, wenn die Irrtumswhrscheinlichkeit höchstens 5 % betrgen soll? 7

8 Mecklenburg-Vorpommern Binomilverteilung (Summenfunktion) F n;p (k) = B n;p (O) B n;p (k) p n k,,,,5,,,,, , Nicht usgeführte Werte sind (uf Dez.), Bei p,5 gilt: F n;p (k) = bgelesener Wert ,98,97,96,95,9 5,8,7,6,5 k n -- 6 p

9 Aufgben Aufgbe A: Anlysis, Geometrie Gegeben sind eine Schr von Kreisen k durch die Gleichung + y y =, R, > und eine Prbel p durch die Gleichung y = f() = --.. Berechnen Sie die Mittelpunkte und die Rdien der Kreise in Abhängigkeit von. Zeichnen Sie in ein krtesisches Koordintensystem die Kreise k für =,,, und 5 sowie die Prbel p.. Welcher der Kreise k schneidet die Prbel p im Punkt S( )? Berechnen Sie für diesen Kreis den Schnittwinkel mit der Prbel im Punkt S( ).. Die Prbel schneidet us der Kreisfläche von k zwei zueinnder kongruente Flächenstücke b, die bei Rottion um die y-achse einen Körper erzeugen. Berechnen Sie den Inhlt von einem dieser Flächenstücke und ds Volumen des Rottionskörpers.. Die Kreise k hben mit der Prbel entweder genu einen Punkt oder genu drei Punkte gemeinsm. Für welche Werte von gibt es genu einen gemeinsmen Punkt? Der größte dieser Werte von sei r k. Bestätigen Sie, dss gilt: r k f''() =. Aufgbe A5: Anlysis Gegeben sind die Funktionen f und g b durch die Gleichungen y = f () = e, 5, R, R, > und y = g b () = e b +,5, R, b R, b >. Die zugehörigen Grphen seien F und G b. 5. Untersuchen Sie die Funktionen f und g b uf Monotonie und Symmetrie. Berechnen Sie die Wendestellen von f. Skizzieren Sie F und G in ein und dsselbe Koordintensystem. 5. Berechnen Sie die Koordinten des gemeinsmen Punktes von F und G. Vergleichen Sie die Anstiege der beiden Grphen in diesem Punkt miteinnder. 5. Der Grph G, die Koordintenchsen und die Gerde mit der Gleichung = z, z >, begrenzen eine Fläche mit dem Flächeninhlt A(z) vollständig. Berechnen Sie A(z) und lim A(z). z 9

10 Mecklenburg-Vorpommern 5. Aus einer Tbelle entnimmt mn für den Flächeninhlt unter F im Intervll,5 den Wert,799 Flächeneinheiten. Um den Flächeninhlt näherungsweise zu berechnen, werden zwei Verfhren ngewendet: () Sttt f wird die Funktion h mit der Gleichung y = h() =,5,5 + verwendet. Berechnen Sie dmit den Flächeninhlt dieser Fläche. () Der Flächeninhlt zwischen F und der -Achse wird durch fünf Rechtecke der Breite, unterhlb des Grphen ngenähert (Untersumme). Berechnen Sie uch dmit den Flächeninhlt. Dzu werden folgende Werte ermittelt: f (),,995,,98,,956,,9 y,9,7,5,, F,5,885 O,,,5, Vergleichen Sie die beiden Ergebnisse mit dem ngegebenen Flächeninhlt. Aufgbe A6: Geometrie Gegeben sind eine dreiseitige Pyrmide ABCD durch die Eckpunkte A(7 ), B( ), C( ), D( ) sowie die Punkte P(5 ) und Q(7 9 ). R ist der Mittelpunkt der Strecke CD und ε ist die Ebene PQR. 6. Stellen Sie die Pyrmide in einem krtesischen Koordintensystem dr. 6. Zeigen Sie, dss P die Strecke AD und Q die Strecke BD jeweils im Verhältnis : teilen. Begründen Sie, dss die Gerden AB und PQ prllel zueinnder sind. 6. Ermitteln Sie die Koordintengleichung der Ebene ε und den Inhlt der Schnittfläche dieser Ebene mit der dreiseitigen Pyrmide. 6. Die Ebene ε zerlegt die Pyrmide in zwei Teilkörper. Berechnen Sie ds Verhältnis der Volumin der beiden Teilkörper.

11 Aufgben Aufgbe B: Anlysis Gegeben ist eine Schr von Funktionen f k durch die Gleichung y = f k () = -- ( k) +, R, k R. G k sei der zu f k gehörige Grph.. Geben Sie den Wertebereich von f k n. Zeichnen Sie G, G, G 8 in ein und dsselbe krtesische Koordintensystem.. Die Tngente t n G in P ( f ()) und die Tngente t 8 n G 8 in P ( f 8 ()) bilden mit der Gerden y = 8 ein Dreieck. Berechnen Sie den Flächeninhlt dieses Dreiecks.. Der Grph G und die Gerde y = 8 schließen eine Fläche vollständig ein. Berechnen Sie den Flächeninhlt dieser Fläche.. Der in. ngegebenen Fläche wird ein Rechteck einbeschrieben, dessen eine Seite uf der Gerden y = 8 liegt. Wie sind die Mße des Rechtecks zu wählen, dmit sein Flächeninhlt miml wird? Aufgbe B5: Anlysis Gegeben ist eine Schr von Funktionen f durch die Gleichung y = f () = ln( + ), R, >. G sei der zu f gehörige Grph. 5. Bestimmen Sie den Definitionsbereich von f und die Koordinten der Schnittpunkte von G mit den Koordintenchsen. 5. Skizzieren Sie die Grphen G, G und G in ein und dsselbe Koordintensystem. 5. Bestimmen Sie die Gleichung der Normlen n G im Schnittpunkt von G mit der -Achse. Für > bilden die Koordintenchsen und die Normle für jeden Wert von ein Dreieck. Für welche Werte von beträgt der Flächeninhlt dieses Dreiecks,5 Flächeneinheiten? 5. Die -Achse, G und die Gerde mit der Gleichung =,5 schließen eine Fläche vollständig ein. Berechnen Sie den prozentulen Fehler, der uftritt, wenn mn zur Berechnung dieser Fläche den Grphen G durch den Grphen der Funktion g mit der Gleichung y = g() = ersetzt. Hinweis: lnz dz = z lnz z + c

12 Mecklenburg-Vorpommern Aufgbe B6: Geometrie In einem krtesischen Koordintensystem sind der Punkt P( 7), die Gerde g mit der Gleichung y = sowie der Kreis k mit dem Mittelpunkt M (7 6) und dem Rdius r = 5 gegeben. 6. Zeichnen Sie den Kreis k und die Gerde g in ein krtesisches Koordintensystem. Geben Sie einen Gleichung für den Kreis k n. 6. Durch den Punkt P verlufen genu zwei Tngenten n den Kreis k. Weisen Sie nch, dss die Gerde g eine dieser beiden Tngenten ist. Berechnen Sie die Koordinten des Berührungspunktes der zweiten Tngente g mit dem Kreis und geben Sie eine Gleichung für diese Tngente n. Berechnen Sie den Schnittwinkel der beiden Tngenten g und g. 6. Es gibt genu einen Kreis k mit dem Rdius 5, der den gegebenen Kreis k im Punkt R( ) berührt. Geben Sie die Gleichung des Kreises k n. 6. Die Winkelhlbierende des. Qudrnten teilt die Fläche des Kreises k in zwei Teilflächen. Berechnen Sie den Inhlt einer dieser beiden Teilflächen.

13 Erwrtungsbilder Erwrtungsbild zu Aufgbe P: Geometrie. Dreieck ABC im krtesischen Koordintensystem: A( ) 6 8 Ermitteln von ABC: 6 BA = 6 ; BC = ; BA = = 9; BC = = 5 = 6 cos ( BA BC ) = = = ,85 ( BA BC ) = ABC = 65,9 oder: Ermitteln von BAC: 6 AB = 6 ; AC = 7 ; AB = = 9; AC = = 9 z 7 C(8 7 7) y B( 6 ) BA BC BA BC AB AC AB AC cos ( AB AC ) = = = = -- =,6 ( AB AC ) = BAC = 8,

14 Mecklenburg-Vorpommern oder: Ermitteln von ACB: CA 7 = 7 ; CB = ; CA = = 9; CB = = 5 = 6 CA CB cos ( CA CB ) = = = ,85 CA CB ( CA CB ) = ACB = 65,9 Flächeninhlt des Dreiecks ABC: Es gilt A ABC = -- AB AC Mit AB = 6, AC = 7 erhält mn: 6 AB i j k 66 7 AC = = ( + )i ( + )j + ( )k = AB AC = 5 + ( 6) + 8 6,7 Drus folgt: A ABC = 6,7 FE, FE Lösungsvrinte : A ABC = AB AC ( AB AC) Mit AB = = 8; AC = = 8 AB AC = + = 5; ( AB AC ) = 96 erhält mn A ABC = FE, FE. Lösungsvrinte : A ABC = -- AB AC sin ( AB AC ) A ABC = sin 8,, FE

15 Erwrtungsbilder. Nchweis: Beh.: Q AB, wobei 6 Strecke AB: = + t 6 ; t R, t. Q(8 ) Nch Einsetzen des Koordinten des Punktes Q in die Gleichung der Strecke AB (I) 8 = + 6t (II) = 6t (III) = t folgt us Gleichung (I), (II), (III): t = -- Die Bedingung t ist erfüllt. Q AB. Zu zeigen ist: g RT ε Es genügt nchzuweisen: R ε; ε: = OA + r AB + s AC ; r, s R 6 Aus = + r 6 + s 7 mit R( 9,5) ergibt sich: (I) = + 6r + s (II) = 6r + 7s (III) 9,5 = r + s (II) (I): = + s s = Aus (I) folgt dnn r =. Die Werte r und s in (III) eingesetzt: führen zu dem Widerspruch 9,5 = R ε, lso g RT ε Lösungsvrinte: Würde g in ε liegen, so wäre ds Sptprodukt us RT, AB und AC gleich : 5, 5 5 5, 6 RT = ; AB = 6 ; AC = 7 V = 6 6 = 9 g RT ε. 7 5

16 Mecklenburg-Vorpommern Berechnen der Schnittpunktkoordinten S der Gerden g und s c : g: = OR + t RT = + t ; t R s c : = OM + r MC ; r R; OM = OA + -- AB = + = ; = MC = 7 + r, 5 5, 5 Zuerst wird untersucht, ob ein Schnittpunkt S eistiert: (I) + 5t = 7 + r (II) + t = + r (III) 9,5,5t =,5 + 5,5r (II) (I): 8t = 5 t = Aus (I) folgt 5 -- = 7 + r r = Die Probe mit (III) führt zu einer whren Aussge. Die Gerden g und s c schneiden einnder in S. Koordinten von S 5 9, 5, 5 Aus g: OS = + -- = 5 S(7,5 5,5) Aus s c : OS = + -- = 9, 5 7, 5 7, 5, 5 5, 5 Bewertungsvorschlg:. Zeichnung des Dreiecks; Innenwinkelgröße; Flächeninhlt des Dreiecks BE. Beweis BE. Gerdengleichung; Gleichungssystem; Widerspruch 8 BE 5 BE ,, 5, 5 75, 5 5, 5, 5 6

17 Erwrtungsbilder Erwrtungsbild zu Aufgbe P: Anlysis. Grph der Funktion: y = f() = e,5 ; R, 5,5 5 f(),68,,99,7,9,5 y,5,5 f,5 O,5,5,5,5,5 5,5. Gleichung der Tngente t im Punkt P( f()): t: y = m + n f'() = (,5) e,5 =,7 e,5 f'() =,7 e,5, lso m =,7 e,5 Berechnung für n: f() = e,5 = e,5 =,7 e,5 + n n =, e,5 Gleichung für t: y =,7 e,5 +, e,5 oder y =,5 +,5 Flächeninhlt: Inhlt der Fläche ergibt sich us [f() g()]d= [ e,5 (,7 e,5 +, e,5 )]d 7, e 5, = [ e, , e,5 ], 5,9996 +,9, ( 5,785),5696 Flächeninhlt: A,5 FE 7

18 Mecklenburg-Vorpommern. Gegeben sind die Folgen ( n ) mit = und q =,7, d. h. n =,7 n (b n ) mit b n = k e cn ; c, k R.. Bestimmen von k und c: n n, b n k e c k e c Für = b gilt: = k e c k = Für = b gilt:, = k e c k = e c, e c Drus folgt: ---- = , lso e c =, e c bzw. e c =,7 c = ln,7 (,57) e ln7, 7, 7 k = = = (,857) ---- e c, e c Zu zeigen ist: n = b n für lle n, n N n =,7 n ; b n = k e c n, wobei c =,7 und k = b n = e ln,7 n = ,7 n =,7 n = n 7 7,.. Anzhl der Glieder der Folge ( n ) mit n >, n =,7 n >, bzw.,7 n >,7 9, 567 (n ) ln,7 > ln,7, lso n < , 57 n < 6,8 und dmit n < 7,8 Für 7 Glieder der Zhlenfolge ( n ) gilt: n >, Bewertungsvorschlg:. Funktionswerte; Grph BE. Tngentengleichung; Flächeninhlt 7 BE.. Bestimmen von k und c; Nchweis für n = b n 5 BE.. Anzhl der Glieder von ( n ) BE 8 BE 8

19 Erwrtungsbilder Erwrtungsbild zu Aufgbe P: Stochstik. X: Anzhl der Schüler (unter ), die eigenen Internetzugng hben X ist B(,) - verteilt, d. h. P(X = k) = (,) k (,) k k P(X ) = P(X = ) + P(X = ) + P(X = ) = (,88) +, (,88) 9 + (,) (,88) 8,85 Die Whrscheinlichkeit ist,85 (8,5 %).. X: Anzhl der Schüler (von 5), die mit Computer Husufgben mchen X ist B(5 p) - verteilt.. Gegeben ist H o Hypothese mit p,5 Gesucht ist die Irrtumswhrscheinlichkeit α P(X ) = α P(X = k) = P 5 p k ( p) 5 k k k = k = Flls H o whr, gilt p =,5 im Etremfll. P(X ) =,6 (s. Tbelle mit p =,5, n = 5, k = ) α =,6 Die Whrscheinlichkeit, dss mn die Behuptung fälschlicherweise blehnt, ist,6 (6, %)... Es müssen gelten: P(X g),5 g = 8 Wenn die Irrtumswhrscheinlichkeit 5 % betrgen soll, ist der Ablehnungsbereich (,,,..., 8). Abgeändertes Kriterium: Bei einem Test soll die Behuptung bgelehnt werden, flls von 5 befrgten Schülern nur höchstens 8 den Computer zur Lösung von Husufgben einsetzen. Bewertungsvorschlg:. Anzhl der Schüler; Whrscheinlichkeit BE.. Irrtumswhrscheinlichkeit α BE.. Abgeändertes Kriterium BE 8 BE 9

20 Mecklenburg-Vorpommern Erwrtungsbild zu Aufgbe A: Anlysis, Geometrie. Mittelpunkte und Rdien: k : + y y =, lso + y y + = + (y ) = Die Kreise k hben die Mittelpunkte M( ) und Rdien r = Zeichnung: y f 6 5 O 5. Kreis k ist zu ermitteln, für den gilt: k p = {( )} Aus der Zeichnung lässt sich vermuten: k p = {( )}, lso = Rechnerische Überprüfung: Aus + (y ) = folgt mit S( ): =, lso = Schnittwinkel zwischen Kreis k und p in S( ): p: f() = -- y M α β f f'() = -- ; f'() = tn ß = ß = 6, 5 O 5 Somit ergibt sich der Schnittwinkel zwischen k und p durch α = 9 6, = 6,56

21 Erwrtungsbilder. Flächeninhlt: Der Inhlt der Fläche unterhlb der Prbel ergibt sich us A p = f() d = d = [ ] -- 6 = = 5, (FE) A = A p B A (5,,) FE A,9 FE Volumen V des Rottionskörpers V = V Hlbkugel V Prboloid V Hlbkugel = π 8 -- = π y O B = A Qudrt A Viertelkreis B = (6 π) FE, FE 6 A B 5 f Berechnung des Prboloids: b V y = π dy; mit y = f() = -- lso = y, gilt dmit: V y = π y dy = π [y ] = π (VE) Dmit ergibt sich für ds Volumen des Rottionskörpers: 8 V = ( π π) VE = π VE. Wert für ( R, > siehe Vorussetzung) Gemeinsme Punkte von k : + y y = und p: y = f() = -- 6 Einsetzen ergibt: =, lso = + (6 8) = ( + 6 8) = = oder = = oder, = ± 8 6 d. h.

22 Mecklenburg-Vorpommern Für R, < (lso 8 6 ) gibt es genu einen gemeinsmen Punkt; r k =. (Für R, > gibt es genu drei gemeinsme Punkte.) Zu zeigen ist: r k f''() = mit r k = f() = -- ; f'() = -- ; f''() = -- ; f''() = Dmit ist r k f''() = -- =. w. z. b. w. Bewertungsvorschlg:. Mittelpunkte der Rdien; Zeichnung BE. Kreis k ; Schnittwinkel BE. Flächeninhlt; Volumen des Rottionskörpers 6BE. Gemeinsme Punkte von k und p 5BE 9BE -- Erwrtungsbild zu Aufgbe A5: Anlysis 5. Untersuchung uf Monotonie: f'() = e, 5 ; > Für < ist f '() > f () ist monoton wchsend. Für = ist f '() = Für > ist f '() < f () ist monoton fllend. g b '() = b e b +,5 < (für b > ) g () ist monoton fllend für lle R. Untersuchung uf Symmetrie: f () = e, 5 = e, 5( ) = f ( ) F ist ilsymmetrisch bezüglich der y-achse. b +,5 g b () = e g b () g b ( ), d. h. G b ist nicht symmetrisch. b +,5 g b ( ) = e Wendestellen von f : f ''() = e, 5 + ( ( e, 5 )) = e, 5 ( ) e, 5 f ''( w ) = ( w w ) =

23 Erwrtungsbilder e, 5 D, folgt w w = und wegen > : w = = ; = w -- w -- e, 5 e, 5 e, 5 f '''() = ( ) + = ( + ) f '''( -- ) = e,5 ( ) = e,5 -- f '''( -- ) = e,5 ( ) = e,5 -- ( ) Dmit sind = ; = -- Wendestellen der Funktionen f (). Wendepunkte (in der Aufgbe nicht gefrgt): w -- w -- P w f ( ) = e,5, lso ( ) -- P w f ( ) = e,5, lso ( ) Skizze der Grphen F und G : e e f () = e, 5,5,6,6,5 g () = e +,5,8,8,65,6,8 y G F O,5

24 Mecklenburg-Vorpommern 5. Gemeinsme Punkte der Grphen F und G : e, 5 = e +,5, lso,5 = +,5 + = mit, = ; f() = e,5, lso P( ). Vergleich der Anstiege in P( ): f '() = ; f '() = e,5 = g '() = e +,5 ; g '() = e,5 e = e f '() = g '(): In P besitzen beide Grphen den gleichen Anstieg. 5. Flächeninhlt A(z): Inhlt der Fläche: z A(z) = (e +,5 ) d = [ e +,5 ] z = e z +,5 + e,5 = e ( ---- ) (FE) Grenzwert lim A(z): z lim A(z) = lim e ( ---- ) = e (FE) z 5. Flächeninhlt unter F : f () = e, 5 () Annäherung durch h mit h() =,5,5 +, 5 e e, 5 z (,5,5 + ) d = [, ],5 =,785,8 +,5 =, A =,7995 (FE) e z () Annäherung durch die Summe der Rechteckflächen: A =,(f (,) + f (,) + f (,) + f (,) + f (,5)) =,(,995 +,98 +,956 +,9 +,885) =,768 (FE) A =,768 (FE) Vergleich der Ergebnisse () und () mit dem ngegebenen Flächeninhlt zu () geg. Flächeninhlt A =,799 FE A =,7995 FE A ist um,5 FE größer ls A. 6 e e z

25 Erwrtungsbilder zu () geg. Flächeninhlt A =,799 FE A =,768 A ist um,6 FE kleiner ls A Annäherung durch A ist besser. Bewertungsvorschlg: 5. Monotonie; Symmetrie; Wendestellen; Grph 8 BE 5. Gemeinsme Punkte; Vergleichen der Anstiege BE 5. Flächeninhlt BE 5. Flächeninhlt unter F () und (); Vergleich BE 9 BE Erwrtungsbild zu Aufgbe A6: Geometrie 6. Drstellung der Pyrmide P(5 ) A(7 ) 8 z R( 5) D( ) C( ) 5 y Q(7 9 ) B( ) 6. ) Behupt.: AP : PD = :, d. h. AP = 6 9 Nchweis: AD = -- AD = 6 9 AP = = -- = -- AD oder: Behupt.: AP : PD = :, d. h. PD = -- AD -- AD 5

26 Mecklenburg-Vorpommern Nchweis: AD = -- AD = PD = = -- = b) Behupt.: BQ : QD = :, d. h. BQ = oder = -- BD QD 9 9 Nchweis: BD = 9 BQ = = oder: Behupt.: BQ : QD = :, d. h. QD = 9 9 Nchweis: BD = 9 -- BD = 6 6 QD = 6 = BD -- BD 6 -- AD -- BD BD Lösungsvrinte: AP = ; AP = AD = ; AD = 6 BQ = ; BQ = BD = 9 = 9 ; BD = 9 AP : AD = : 6 = : BQ : BD = : Begründung, dss g AB g PQ g AB g PQ AB PQ, lso AB = t PQ Nchweis: AB = PQ = 8 ; AB = = -- 8 = (Begründung ist uch durch die Strhlensätze möglich.) -- PQ 6

27 Erwrtungsbilder 6. Koordintengleichung der Ebene ε ε: = OP + p PQ + r PR ; p, r R 5 OR = OC + -- CD = + -- = ε: = + p 8 + r (*) Koordintengleichung: Eingesetzt in ( OP ) ( PQ PR ) = ergibt sich: y 5 z 8 i j k 5 y z 8 8 = = 8 = (8 )i ( )j + ( + )k = n = = y + + 8z 7 ε: y + 8z 9 = Lösungsvrinte: Aus (*) folgt: (I) = 5 + p r (II) y = + 8p + r (III) z = + r r = z = 5 + p (z ) = + p z y = + 8p + (z ) = 7 + 8p + z = 8 8p + 6z y = 7 + 8p + z + y = 9 + 8z ε: y + 8z 9 = Flächeninhlt des Dreiecks PQR: Es gilt 5 A PQR = -- PQ PR = -- (s. 6.) = = ,9; A PQR = 8,7 (FE) 7

28 Mecklenburg-Vorpommern 6. Verhältnis der Volumin der beiden Teilkörper: V : Volumen der Pyrmide PQRD mit D( ) und n = Allgemein V = -- A PQR h h = = ; A PQR = -- 6 FE 9 V = = = ; V = VE 9 6 V: Volumen der Pyrmide ABCD mit D( ) ε ABCD : = OA + t AB + r AC, t, r R 7 6 = + t + r Koordintengleichung: AB AC = = i + j + 8k = n = 7 y z 7 = y + 7z 7 ε ABCD : y 7z = V = -- A ABC h A ABC = -- AB AC = = h = = i V = = = 5 V = 5 VE V = V V = 5 VE Verhältnis zwischen V und V : V = = V j k

29 Erwrtungsbilder Lösungsvrinte: Anwendung des Sptprodukts (nicht im Rhmenpln) 6 V = -- DA ( DB DC ) = = 5 6 V = -- DA ( DQ DR ) = = V = V V = V V 5 = = -- 7 Bewertungsvorschlg: 6. Pyrmide im räumlichen Koordintensystem BE 6. Verhältnisse AP : AD bzw. PD : AD ; Nchweis der Prllelität 6 BE 6. Koordintengleichung der Ebene ε; Flächeninhlt 5 BE 6. Verhältnis der Volumin der Teilkörper 6 BE 9 BE Erwrtungsbild zu Aufgbe B: Anlysis.. Wertebereich von f k y R, y Zeichnung: y G G P G 8 P y = 8 t t 8.. Flächeninhlt des Dreiecks P P S S: Schnittpunkt der Tngenten in P ( 8) und P ( 8) Tngentengleichung t : f () = ( ) + = ( ) + = f '() = -- ; f '() = m = S 9

30 Mecklenburg-Vorpommern Aus y = m + n mit P ( 8) folgt 8 = + n, lso n = 8 t : y = + 8 Tngentengleichung t 8 : f 8 () = ( 8) + = ( ) + = -- + f 8 '() = -- ; f 8 '() = m = Aus y = m + n mit P ( 8) folgt 8 = + n, lso n = 6 t 8 : y = 6 Koordinten des Schnittpunktes: 6 = + 8 =, lso = 6; y = S(6 ) D P und P uf g = 8 liegen, gilt für die Höhe h des Dreiecks P SP : h = + 8 =. D P P =, folgt: A P = (FE) = 7 FE SP --.. Flächeninhlt: y A G y = 8 A = A A f () = -- + ( + ) d = [ + ] O 6 8 = ( ) = A = FE Inhlt der Fläche unter G A = 6 FE 8 6 A = ( ) FE = FE y A =, FE.. Mße des Rechtecks Zielfunktion: A R = b Nebenbedingungen u. Zielfunktion in Abhängigkeit von : A R O b f y = 8

31 Erwrtungsbilder f () = -- + D G symmetrisch zur y-achse liegt und eine Rechteckseite uf y = 8 (lso prllel zur -Achse), muss ein Rechteckseitenpr prllel zur y-achse liegen. Dnn gilt: A R () = (8 f ( -- )) = (8 [ ]) = ( ) = Untersuchung uf ds lokle Mimum: A R '() = A R '() = = = = -- 6 Nchweis: 8 8 A R ''() = -- ; A R ''( -- ) = = < = -- ist lokle Mimumstelle 6 8 b = = -- = Für = -- LE und b = -- LE ist der Inhlt der einbeschriebenen Rechtecksfläche miml. Bewertungsvorschlg:. Wertebereich; Zeichnung BE. Flächeninhlt des Dreiecks 7 BE. Flächeninhlt der Fläche unter der Kurve BE. Mße des Rechtecks 6 BE 9 BE Erwrtungsbild zu Aufgbe B5: Anlysis 5.. Definitionsbereich von f R mit + > >, R, > Schnittpunkte zwischen G und den Koordintenchsen Schnittpunkt mit der -Achse: = ln ( + ) (wegen ) ln ( + ) =, lso + = bzw. = ; P ( ) Schnittpunkt mit der y-achse: f () = ln ; P y ( ln )

32 Mecklenburg-Vorpommern 5.. Grphen G, G und G,5,5,5 5 f () = ln( + ),69,69,9,7,6,79 f () = ln( + ),9,8,9,9,77,,58,89 f () = ln( + ),7,,8,75,9,6,8 5,7 5,8 6, y G G G 5.. Gleichung der Normlen n in P ( ): y = f () = ln ( + ); f '() = ; f '( ) = = + + Der Anstieg der Tngente in P ist m t =. Anstieg der Normlen in P : m n = -- Wegen y = m + b gilt für die Normle in P ( ) mit m n = -- : = -- ( ) + b b = -- und dmit n: y = Ermitteln des Wertes >, für den gilt A =,5 FE: y A = -- P O P y O P = = (d > ) t O P y O = -- = -- (d > ) 9 n A = -- = -- ( ) ( ) P 8 A P y = ( +) -- 9 = +, lso = G G G

33 Erwrtungsbilder = ± ; = ( = -- entfällt, d > ; s. Vor.) Probe: A =,5 FE 9 A = -- ( ) ( ) = = -- 8 Für = gilt A =,5 FE. 5.. Ermitteln des prozentulen Fehlers: Flächeninhlt durch y = g() = : y =,5 A G, d = = (,5), (,5) (,5),85 = A N,5 FE Flächeninhlt durch y = f () = ln( + ) = (,5 ln,5,5),5 A,5 FE Der Inhlt der Fläche A wird um, FE kleiner ermittelt, wenn mn G durch den Grphen von g ersetzt. Ds entspricht rd.,56 % Abweichung von A A N dem ekten Wert: ( ,56) A Bewertungsvorschlg: 5. Definitionsbereich von f ; Schnittpunktskoordinten mit den Achsen BE 5. Zeichnung der Grphen BE 5. Gleichung der Normlen im Schnittpunkt; Werte von 7 BE 5. Prozentuler Fehler 6 BE 9 BE,5 ln( + ) d = [( + ) ln( + ) ( + ) ],5,5

34 Mecklenburg-Vorpommern Erwrtungsbild zu Aufgbe B6: Geometrie 6.. g y 9 8 P( 7) 6 5 R( ) T( ) r = 5 g M(7 6) y = Q( ) g : y = ; P( 7) k : M(7 6) ; r = 5 Gleichung für k : ( 7) + (y 6) = Beh.: ) P g b) g ist Tngente n k zu ) g : y = ; P( 7) 7 = (whre Aussge) P g zu b) Wenn g Tngente n k ist, so müssen g und k genu einen gemeinsmen Punkt hben: g : y = k : ( 7) + (y 6) = 5 ( 7) + ( ) = = = = = ± 6 6, lso =, y = Dmit ist gezeigt, dss k und g genu den Punkt T ( ) gemeinsm hben:

35 Erwrtungsbilder g ist Tngente n k und geht durch P. Tngente g : Viereck RPTM ist ein Qudrt, denn PT = ( ) +( 7) = 5 d.h. PT = TM = MR. PT TM ; PR RM Drus folgt: TP = MR 7 Koordinten des Berührungspunktes: OR = OM + TP = 7 + = 6 R( ) Gleichung für die Tngente g : g enthält die Punkte P( 7) und R( ), dmit gilt: 7 = m + n n = 7 = m + n = m + 7 m = -- g : y = Schnittwinkel der beiden Tngenten g und g : D Viereck RPTM ein Qudrt ist, folgt g g. Oder: g : y = m = -- g : y = m = -- m m = -- ( -- ) = g g 6.. Gleichung für k Mittelpunkt M für den Kreis k ergibt sich us OM = OR + MR = + = M ( ). k : ( + ) + y = Flächeninhlt der Teilfläche A (oder A ): Koordinten der Schnittpunkte zwischen y = und k g y P R. Ṭ r A g M Q (I) y = (II) ( 7) + (y 6) = 5 R α A 5

36 Mecklenburg-Vorpommern (I) in (II): ( 7) + ( 6) = = = 69 + =, lso = ± = ; y = = ; y = Schnittpunkte: R( ), Q( ) Winkel RMQ ergibt sich mit MR =, MQ = us cos ( MR / MQ ) = = =, α = RMQ = 6,7 r A = --- πα sinα mit r = 5 und α = 6,7 8 5 A = π ,, 7999 FE, FE 8 A = πr A A = ( 78, 5, ) FE 6, FE Bewertungsvorschlg: 6. Kreis und Gerde im Koordintensystem; Kreisgleichung BE 6. Koordinten des Berührungspunktes; Gleichung der Tngente; Winkel 9 BE 6. Kreisgleichung BE 6. Inhlt der Teilflächen 6 BE 9 BE 6

37 Abiturprüfung Leistungskurs 998 / 99 Gymnsium Schsen

38 Schsen Aufgben (Ersttermin und Nchtermin) Aufgbe A: Anlysis Gegeben sind Funktionen f durch y = f () = ln( ) ( R, > ; D f ). ) Geben Sie den größtmöglichen Definitionsbereich der Funktionen f n. Zeigen Sie, dss die Funktionen f ungerde sind und bestimmen Sie die Nullstellen sowie die Koordinten der loklen Etrempunkte. Weisen Sie die Art der Etrem nch. Ermitteln Sie eine Gleichung der Funktion, uf deren Grph lle loklen Etrempunkte der Funktionen f liegen. (Erreichbre Bewertungseinheiten: ) b) Zeigen Sie, dss die Grphen der Funktionen f keine gemeinsmen Punkte besitzen. (Erreichbre Bewertungseinheiten: ) c) Es gibt genu eine Gerde mit der Gleichung y = c (c R, c > ), die mit dem Grph der Funktion genu zwei Punkte S und S gemeinsm ht. f Ermitteln Sie die Länge der Strecke S S. (Erreichbre Bewertungseinheiten: ) d) Für jedes ( R, > ) eistiert eine Tngente t n den Grph der Funktion f im Schnittpunkt S( > ; ) mit der -Achse. Ermitteln Sie eine Gleichung dieser Tngente. Durch die -Achse, die Tngente t und durch die Gerde, die durch den Koordintenursprung und den jeweiligen loklen Mimumpunkt bestimmt ist, wird für jedes ein Dreieck begrenzt. Weisen Sie nch, dss lle so gebildeten Dreiecke zueinnder ähnlich sind. (Erreichbre Bewertungseinheiten: ) Außerdem sind Funktionen h t durch y = h t () = (t R, t > ; R) gegeben. + t 8

39 Aufgben e) Durch die Grphen der Funktionen, h und die Gerden mit den Gleichungen = und = wird eine Fläche vollständig begrenzt. Ermitteln Sie den Inhlt dieser Fläche mithilfe des grfikfähigen Tschenrechners oder unter Verwendung der Funktionen F mit y = F () = ---- (ln( ) ) ( R, > ) ls Stmmfunktionen der Funktionen f. (Erreichbre Bewertungseinheiten: ) f) Für jede Funktion h t wird für jedes ( R, > ) durch die Punkte O(; ), Q(; ) und P t (; h t ()) genu ein rechtwinkliges Dreieck bestimmt. Jedes dieser Dreiecke erzeugt bei Rottion um die -Achse einen gerden Kreiskegel. Ermitteln Sie die Stelle in Abhängigkeit von t, für die ds Volumen des zugehörigen Kreiskegels miml ist. Hinweis: Auf die Überprüfung einer hinreichenden Bedingung für die Eistenz des loklen Mimums knn verzichtet werden. (Erreichbre Bewertungseinheiten: ) Aufgbe A : Anlysis f Gegeben ist die Funktion f durch y = f() = ( D f ). ( ) ) Bestimmen Sie den größtmöglichen Definitionsbereich der Funktion f, geben Sie deren Nullstellen n und untersuchen Sie ds Verhlten der Funktion f im Unendlichen. Geben Sie für die Funktion f die Koordinten des loklen Etrempunktes n. (Erreichbre Bewertungseinheiten: ) b) Es eistieren genu zwei Tngenten n den Grphen der Funktion f, die durch den Koordintenursprung O(; ) verlufen. Ermitteln Sie rechnerisch für jede dieser Tngenten je eine Gleichung. (Erreichbre Bewertungseinheiten: 5) 8 c) Für jedes u (u R, -- < u < ) sind die Punkte Q(; ) und P u (u; f(u)) Eckpunkte eines chsenprllelen Rechtecks. Unter diesen Rechtecken gibt es genu eines mit mimlem Flächeninhlt. Ermitteln Sie für diesen Fll die Koordinten des Punktes und den Flächeninhlt des Rechteckes. (Erreichbre Bewertungseinheiten: ) 9

40 Schsen d) Die Funktion F mit F() = + ln( ) ( R, > ) ist eine Stmmfunktion der Funktion f für >. Durch den Grphen der Funktion f sowie die Gerden mit den Gleichungen y = und = wird eine Fläche vollständig begrenzt. Diese Fläche wird durch 7 die Gerde mit der Gleichung y = -- in zwei Teilflächen zerlegt. Ermitteln Sie ds Verhältnis der Flächeninhlte dieser Teilflächen. (Erreichbre Bewertungseinheiten: ) Für jedes ( R, > ) ist eine Funktion f durch y = f () = ( D f ) gegeben. ( ) e) Zeigen Sie, dss der Grph der Funktion f 6 keine loklen Etrempunkte besitzt. Untersuchen Sie, ob es weitere Werte gibt, für die die Funktion f keine loklen Etremstellen besitzt. Ermitteln Sie den Wert, für den die Funktion f die Wendestelle w = besitzt. (Erreichbre Bewertungseinheiten: 8) Aufgbe A: Anlysis (erhöhter Schwierigkeitsgrd) Gegeben ist die Funktion f durch y = f() = ( D f ). ) Geben Sie den größtmöglichen Definitionsbereich der Funktion f n. Untersuchen Sie ds Verhlten der Funktion f im Unendlichen. (Erreichbre Bewertungseinheiten: ) b) Ermitteln Sie eine Gleichung einer Stmmfunktion der Funktion f. Der Grph der Funktion f, die -Achse und die Gerden mit den Gleichungen 5 5 = -- und = b (b R, b > -- ) begrenzen eine Fläche vollständig. Berechnen Sie die irrtionle Zhl b, für die der Inhlt der zugehörigen Fläche ln( 6 ) beträgt. (Erreichbre Bewertungseinheiten: ) Es eistieren Gerden g, die den Grphen der Funktion f ußer im Koordintenursprung O noch jeweils in genu zwei weiteren Punkten S und S schneiden. c) Bestimmen Sie lle möglichen Werte des Anstiegs der Gerden g. (Erreichbre Bewertungseinheiten: ) d) Betrchtet werden nun die Punkte S ( ; y ) mit ( < ) und S ( ; y ) mit ( > ). Für genu eine der Gerden g ist der Abstnd dieser Punkte miniml. Geben Sie den Anstieg dieser Gerden n. (Erreichbre Bewertungseinheiten: )

41 Aufgben Aufgbe A: Anlysis (erhöhter Schwierigkeitsgrd) Gegeben sind die Funktionen y = f () = ln ( R, > ; R, > ) ) Ermitteln Sie eine Gleichung der Funktion, uf deren Grphen lle loklen Etrempunkte der Grphen der Funktionen f liegen. (Erreichbre Bewertungseinheiten: ) b) Zeigen Sie, dss es genu eine Funktion gibt, die genu eine Nullstelle besitzt. Ermitteln Sie diese Nullstelle. (Erreichbre Bewertungseinheiten: ) c) Für jedes eistiert eine Tngente t n den Grph der Funktion f, die durch den Koordintenursprung verläuft. Der Koordintenursprung, der Berührungspunkt B ( B ; f( B )) dieser Tngente mit dem Grphen der Funktion f und der Punkt P ( B ; ) bestimmen ein Dreieck. Ermitteln Sie den Wert, für den ds zugehörige Dreieck den Flächeninhlt 5 besitzt. (Erreichbre Bewertungseinheiten: ) Aufgbe B: Geometrie/Algebr In einem krtesischen Koordintensystem sind die Punkte A(; ; ), B(; 5; ), C(; ; ), D(; ; 5), F( ; ; ) und die Ebene E durch y = gegeben. Der Punkt C liegt in der Ebene E. ) Weisen Sie nch, dss die durch die Punkte A und B verlufende Gerde in der Ebene E liegt. Geben Sie die Koordinten ller Schnittpunkte dieser Ebene mit den Koordintenchsen n und beschreiben Sie die Lge der Ebene E im Koordintensystem. (Erreichbre Bewertungseinheiten: ) b) Durch die Punkte D und F verläuft die Gerde g. Berechnen Sie die Koordinten des Schnittpunktes und den Schnittwinkel der Gerden g mit der Ebene E. (Erreichbre Bewertungseinheiten: ) c) Ein Punkt Q wird n der Ebene E gespiegelt. Der Bildpunkt Q' ht die Koordinten ( ; ; ). Ermitteln Sie die Koordinten des Punktes Q und den Abstnd der Punkte Q und Q'. (Erreichbre Bewertungseinheiten: )

42 Schsen d) Ds Dreieck ABC ist die Grundfläche von Pyrmiden, die ein Volumen von hben. Ermitteln Sie die Höhe einer solchen Pyrmide. Jede Pyrmidenspitze dieser Pyrmiden liegt in genu einer von zwei prllelen Ebenen. Ermitteln Sie für diese Ebenen je eine Gleichung. (Erreichbre Bewertungseinheiten: ) Aufgbe B: Geometrie / Algebr In einem krtesischen Koordintensystem sind die Punkte A(6; ; 6) und B( ; 5; ), die Gerden g: = + t (t R) und h: = 5 + k (k R) sowie eine Ebenenschr 7 E : ( 5 + ) + ( ) y z = 8 + ( R, -- ) gegeben. ) Weisen Sie nch, dss durch den Punkt A und die Gerde g eine Ebene E eindeutig bestimmt wird. Ermitteln Sie eine Gleichung der Ebene E in prmeterfreier Form. Berechnen Sie den Schnittwinkel zwischen der Gerden h und der Ebene E. Weisen Sie nch, dss die Gerden g und h zueinnder windschief sind. (Erreichbre Bewertungseinheiten: 8) b) Auf der Gerden g gibt es genu einen Punkt C, so dss ds Dreieck ABC ein gleichschenkliges Dreieck mit der Bsis AB ist. Berechnen Sie die Koordinten des Punktes C. (Erreichbre Bewertungseinheiten: ) c) Zeigen Sie, dss die Gerde h Schnittgerde ller Ebenen E ist. Zwei Ebenen E und E der Ebenenschr E stehen ufeinnder senkrecht. Ermitteln Sie für diesen Fll den Prmeter in Abhängigkeit vom Prmeter. (Erreichbre Bewertungseinheiten: )

43 Aufgben Aufgbe B: Geometrie /Algebr (erhöhter Schwierigkeitsgrd) Für jedes k (k R, 6 k 6) sind Gerden g k und h k durch g k : = + t k (t R) und h k : = + s k (s R) gegeben. k ) Zeigen Sie, dss der Punkt S(;,; 5,) Schnittpunkt eines Gerdenpres g k und h k ist. Untersuchen Sie, ob es Werte k gibt, für die die Gerden g k und h k prllel sind. (Erreichbre Bewertungseinheiten: 5) b) Es eistieren Werte k, für die die Gerden g k und h k windschief sind. Ermitteln Sie den Wert k in diesem Intervll, für den der Abstnd der Gerden g k und h k miml ist, und geben Sie diesen Abstnd n. Hinweis: Auf die Überprüfung einer hinreichenden Bedingung für die Eistenz des loklen Mimums knn verzichtet werden. (Erreichbre Bewertungseinheiten: 5) Aufgbe B: Geometrie /Algebr (erhöhter Schwierigkeitsgrd) Für den Ausbu der Bundesstrße B 7 wurde zur Ortsumgehung der Stdt Zschopu eine Brücke gebut. Diese überquert u.. die Sttsstrße S 8 und den Fluss Zschopu (vgl. Skizze). Der Fhrbhnrnd der S 8 knn in dem betrchteten Abschnitt in einem krtesischen Koordintensystem (LE m) näherungsweise durch die Gerde g mit der Gleichung = 58 + s (s R) beschrieben werden. 5 Die Fhrbhn der B 7 liegt in dem betrchteten Abschnitt näherungsweise in einer der Ebenen E t mit der Gleichung ( 6 + 7t) + (8 t)y + 8z = 56 + t (t R). Alle Ebenen E t schneiden sich in ein und derselben Gerden. ) Untersuchen Sie die Lge der Gerden g zu den Ebenen E t. (Erreichbre Bewertungseinheiten: ) b) Der Punkt P( 9; 55; ) befindet sich uf der Fhrbhn der B 7. Berechnen Sie die Durchfhrtshöhe für die Fhrzeuge uf der S 8, wenn die Fhrbhnen der B 7 und der S 8 in zueinnder prllelen Ebenen liegen und die Stärke der Brücke (einschließlich Fhrbhnbelg) Meter beträgt. Hinweis:Die in Aufgbenteil c) beschriebene Anhebung der Fhrbhn der S 8 soll hier nicht berücksichtigt werden. (Erreichbre Bewertungseinheiten: )

44 Schsen c) Die Fhrbhn der Rmpe zur Abfhrt von der B 7 mündet rechtwinklig uf die S 8 und knn ebenflls näherungsweise durch eine der Ebenen E t beschrieben werden. Um die gesetzlich vorgeschriebene höchstmögliche Neigung der Rmpe gegenüber der Fhrbhn der B 7 von,86 einzuhlten, musste die Fhrbhn der S 8 prllel zur lten Strßenführung in Richtung der z-achse ngehoben werden. Der ursprünglich der Gerden g entsprechende Fhrbhnrnd knn nun durch die Gerde g* beschrieben werden (vgl. Skizze). B 7 Rmpe l S 8 Fluss Zschopu Ermitteln Sie, um wie viel Meter die Fhrbhn der S 8 mindestens ngehoben werden musste. z y g* (Skizze nicht mßstäblich) (Erreichbre Bewertungseinheiten: ) Aufgbe C: Stochstik Von vier Firmen wurde eine Brücke gebut. Firm I lieferte dbei % der LKW- Ldungen mit Fertigbeton, Firm II %, Firm III % und Firm IV %. Beknnt ist, dss in Firm I bei % der LKW-Ldungen mit Fertigbeton die Mischung nicht den gestellten Qulitätsnforderungen entsprch, in Firm II glt ds für, %, in Firm III für, % und in Firm IV für, % der LKW-Ldungen. ) Ermitteln Sie die Whrscheinlichkeit, mit der eine während der Burbeiten zufällig usgewählte LKW-Ldung mit Fertigbeton nicht ds richtige Mischungsverhältnis besß. (Erreichbre Bewertungseinheiten: ) b) Mn betrchte folgenden Vorgng: Bei der Anlieferung von Fertigbeton erfolgen Qulitätskontrollen. Für diese Überprüfungen werden zufällig LKWs usgewählt. Ermitteln Sie die Anzhl der Kontrollen, die mindestens nötig sind, dmit mit einer Whrscheinlichkeit größer ls,9 wenigstens eine LKW-Ldung von Firm I unter den kontrollierten ist. (Erreichbre Bewertungseinheiten: )

45 Aufgben c) Während des Bugeschehens wurden in einer Woche LKW-Ldungen mit Fertigbeton gezählt. Auch in dieser Woche betrug die Whrscheinlichkeit dfür, dss ein zufällig usgewählter LKW eine Lieferung von Firm IV gelden htte, %. Die Zufllsgröße Y beschreibt die Anzhl der LKW-Ldungen, die in dieser Woche von Firm IV kmen. Berechnen Sie die Stndrdbweichung der Zufllsgröße Y. Wie groß ist die Whrscheinlichkeit dfür, dss weniger ls 9 dieser LKW- Ldungen von Firm IV kmen? (Erreichbre Bewertungseinheiten: ) d) Bei der Bubnhme wurden Risse entdeckt, die uf Fehler im Mischungsverhältnis des Betons zurückzuführen wren. Die Kosten für die drus resultierende Reprtur beliefen sich uf, DM. D es nch Bubschluss nicht möglich wr, den Verurscher dieser Schäden zu ermitteln, musste ein Vorschlg zur Verteilung der Reprturkosten uf die m Bu beteiligten Firmen erstellt werden. Entwickeln Sie unter Bechtung des möglichen Verurscherprinzips einen solchen Vorschlg. (Erreichbre Bewertungseinheiten: ) Aufgbe C: Stochstik Im Rhmen eines Projektes im Mthemtikunterricht beobchten Schüler der Jhrgngsstufe die folgenden Schverhlte und werten diese us. ) In einer Freistunde würfeln Anne, Britt und Cludius. Sie nutzen einen idelen Würfel und würfeln in lphbetischer Reihenfolge. Bei einer Würfelrunde würfelt jeder höchstens einml, sie ist ber zu Ende, wenn ein Teilnehmer die würfelt und dmit die Runde gewinnt. Wird in einer Runde keine gewürfelt, gibt es für diese Runde keinen Gewinner. Die Schüler der Jhrgngsstufe bezweifeln, dss dieses Spiel gerecht ist. Geben Sie jeweils die Gewinnwhrscheinlichkeit für die drei Spieler n und äußern Sie sich zum Chrkter des Spieles. (Erreichbre Bewertungseinheiten: ) b) In einer Puse unterhlten sich Schüler über die Aussgekrft von Eignungstests. Von einem solchen Test ist Folgendes beknnt: Von den für die Stelle ungeeigneten Bewerbern wurden 96 % richtig, von den geeigneten ber 7 % flsch eingestuft. 9 % ller Bewerber wren für die Stelle geeignet. Die Schüler interessiert jeweils die Whrscheinlichkeit folgender Ereignisse: Ereignis D: Ein zufällig usgewählter Bewerber wird ls geeignet eingestuft. Ereignis E: Ein ls ungeeignet eingestufter Bewerber ist geeignet. Ermitteln Sie diese Whrscheinlichkeiten. (Erreichbre Bewertungseinheiten: ) 5

46 Schsen c) Von der für die Lehrbuchversorgung verntwortlichen Lehrerin erfuhren die Schüler, dss erfhrungsgemäß 95 % der neu erworbenen Mthemtikbücher für den nächsten Jhrgng ein weiteres Ml verwendet werden können. Die Schüler interessiert nun, wie groß unter dieser Vorussetzung die Whrscheinlichkeit dfür ist, dss von den neu usgegebenen Lehrbüchern für Stochstik mindestens 96 wieder verwendet werden können. Ermitteln Sie diese Whrscheinlichkeit. (Erreichbre Bewertungseinheiten: ) d) Eine Fotogentur will Freundschftsbilder von jedem Schüler des Gymnsiums nfertigen und verkufen. Sie geht dvon us, dss die Zhl der Käufer unter den 8 Schülern binomilverteilt ist mit einer ihr beknnten Erfolgswhrscheinlichkeit p und erwrtet deshlb, dss 779 Schüler die Fotos kufen. Die Schüler der Jhrgngsstufe hinterfrgen ds Kufverhlten und ermitteln, dss mehr ls 5 der insgesmt 8 Schüler die Bilder nicht kufen werden. Berechnen Sie (usgehend von der Annhme der Fotogentur) unter Nutzung des Näherungsverfhrens von MOIVRE-LAPLACE die Whrscheinlichkeit dfür, dss mehr ls 5 der insgesmt 8 Schüler die Bilder nicht kufen. (Erreichbre Bewertungseinheiten: ) 6

47 Erwrtungsbilder Erwrtungsbild zu Aufgbe A: Anlysis ) y = f () = ln( ) ( R, >, Df ) Definitionsbereich: D f = { R, } gerde/ungerde: f ( ) = ( ) ln(( ) ) = ln() = f () f ist ungerde. Nullstellen: = ln( ) () N = (entfällt, d nicht in D f ) () ln( ) = =, lso = -- und dmit N = -- ; N = Etrempunkte: Mit u = ; u' = ; v = ln( ); v' = = -- folgt f '() = ln( ) -- = ln( ) ; f ''() = = --. Lokle Etremstellen: f '( E ) =, lso ln( ) = e = e E = = = ; E = e Nchweis: f ''( ) = > lokles Minimum; e e e e f ''( ) = < lokles Mimum e e -- Koordinten der loklen Etrempunkte: f ( )= ln( ) = ( ) = P MIN ( ; ) e e e e f ( ) = ln( )= ( ) = P MAX ( ; ) e e e e e e e e e e 7

48 Schsen Ermittlung der Gleichung der Funktion: D bei beiden loklen Etrempunkten die y-koordinte jeweils ds Doppelte der -Koordinte ist, knn die gesuchte Funktion nur die Funktion mit der Gleichung y = sein. Erkennt mn dies nicht, so knn wie folgt vorgegngen werden: P MAX ( ; ); = = e = e e Einsetzen in y-koordinte: y = e e e = Aufgrund der Symmetrie des Grphen zum Koordintenursprung gilt diese Eigenschft uch für die loklen Minimumpunkte. Gleichung der gesuchten Funktion: y = b) Wähle. Sollten die Grphen beider zugehöriger Funktionen gemeinsme Punkte hben, müsste gelten: ln( )= ln( ) = (entfällt lt. D f ) ln( ) = ln( ) =, lso ( ) = = (entfällt) oder = (entfällt nch Vorussetzung). Die Grphen besitzen keine gemeinsmen Punkte. Hinweis: Ds Bild des GTR lässt leicht vermuten, dss (; ) gemeinsmer Punkt sei, llerdings ist hier die Funktion nicht definiert, die Grphen hben eine Lücke. Die Abbildung zeigt eine Kurvenschr für =,;,5;,5; ; c) Die beschriebene Gerde muss durch den loklen Mimumpunkt des Grphen der Funktion verlufen, denn nur in diesem Fll eistieren genu zwei gemeinsme Punkte. Ermitteln der y-koordinte des loklen Mimumpunktes mit GTR liefert: y,667 Einzeichnen der Funktion y =,667 und Ermitteln der Schnittstellen mit dem Grph von : S (,7768;,667); S (,6;,667) f Differenz der Schnittstellen liefert Länge s der Strecke S S : s 5, Einige GTR verfügen über eine Funktion, die den Abstnd zweier Punkte ermittelt. S S 5, e 8

49 Erwrtungsbilder d) Tngente im Schnittpunkt mit der -Achse: Nullstelle: -- Anstieg der Tngente: f'( -- ) = ln( -- ) = ln = Gleichung der Tngente: y = + Gerde durch den loklen Mimumpunkt und den Punkt O(; ): e y = m = m m = = (bzw. m = = = y = ) Die Anstiege dieser Gerden und der oben betrchtetentngenten sind vom Prmeter unbhängig. Deshlb sind die Schnittwinkel beider Gerden mit der -Achse und dmit uch zwei Winkel der Dreiecke unbhängig vom Prmeter. Alle Dreiecke stimmen in zwei Winkeln überein und sind nch Huptähnlichkeitsstz zueinnder ähnlich. (Beide Winkel betrgen 6,. Angbe ist nicht gefordert.) e) Drstellung der Grphen der Funktionen und h mit dem GTR. Flächeninhlt A: A = ( f () h ()) d= ( ()) d (h ()) d f =,89,69 =,75,7 (FE) f) Zielfunktion: e V= -- πr h V() = -- π (h t ()) = -- π = ( > ). Ableitung der Zielfunktion: u = ; u' = ; v = ( + t ) ; v' = ( + t ) V'() = = -- V'() = + t = -- e e π ( + t ) ( + t ) ( + t ) f ( + t ) y m m π π + t ( + t ) e e ( + t ) ( + t ) = = (entfällt lt. Definitionsb.) 9

50 Schsen + t = ; t = ; = t (entfällt lt. Definitionsb.) = t (trifft zu) Stellt mn die Funktion der. Ableitung grfisch (hier h ) dr, so erkennt mn den Vorzeichenwechsel n der Stelle von positiv nch negtiv und dmit den Monotoniewechsel von monoton steigend zu monoton fllend. Es liegt lso ein lokles Mimum vor. (Nchweis wr nicht gefordert.) Bewertungsvorschlg: ) größtmöglicher Definitionsbereich; Untersuchung uf gerde / ungerde; Nullstellen; Anstz für. Ableitung;. Ableitung;. Ableitung; Etremstellen; Koordinten der loklen Etrempunkte; Nchweis und Art der Etrem; Anstz für Gleichung der Funktion; Gleichung der Funktion BE b) Anstz; Nchweis BE c) Anstz; Länge der Strecke BE d) Anstieg der Tngente; Gleichung der Tngente; Anstieg der weiteren Gerde; Nchweis BE e) Anstz; Flächeninhlt BE f) Zielfunktion;. Ableitung; Anstz zum Lösen der Gleichung; Wert BE 5 BE Erwrtungsbild zu Aufgbe A : Anlysis ) Definitionsbereich: D f = { R, ) Einen ersten Überblick über den Verluf der Grphen der Funktion f erhält mn mit dem GTR: Nullstellen: = 8 = ( 8) N = ; N = diesen Stellen ungleich null) (Ermittlung uch mit ROOT-Befehl möglich) 8 -- (d Nennerfunktion n 5

51 Erwrtungsbilder Verhlten im Unendlichen: lim ± + = lim = Koordinten des loklen Etrempunktes: Der Grph der Funktion f wird mit TRACE oder (besser) mit Stndrdroutinen zur Bestimmung lokler Etrem untersucht. P MAX (; ) lokles Mimum Anmerkung: D für Aufgbenteil b) sowieso f'() benötigt wird, knn mn die nch Aufgbenstellung eistierenden Etremstellen uch ohne zusätzlichen Aufwnd durch Nullsetzen der. Ableitung gewinnen. Durch die grfische Drstellung im Aufgbenteil ) ist die Überprüfung M./Min. mittelts. Ableitung nicht erforderlich. b) Für die Gleichung der Tngenten wird die. Ableitung von f() benötigt. f() = ; u = 8; u' = 6 8; v = ( ) ; v' = ( ) f'() = = Die Gleichung der Tngente t im Punkt O(; ) ht die Form y = m, d sie durch den Koordintenursprung geht. f'() = ; Gleichung der Tngente: y = ( R) (Zur Kontrolle knn mn die Tngente mit dem GTR drstellen.) Auch die zweite Tngente geht durch den Koordintenursprung, ihre Gleichung ht lso die Form y = m. Mit m = f'() = y = m = Schnitt der Tngente mit dem Grphen der Funktion f: ( ) = 8 -- ± ( ) ( 6 8) ( ) ( 8) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) muss gelten: + 6 = ( 8) ( ) = ; lso = = ( ) = (entfällt); = (trifft zu) 5