Seite 1 (von 11) Abiturprüfung 2009 MATHEMATIK. als Leistungskursfach. Arbeitszeit: 240 Minuten

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1 Seite 1 (von 11) Abiturprüfung 009 MATHEMATIK ls Leistungskursfch Arbeitszeit: Minuten Der Fchusschuss wählt je eine Aufgbe us den Gebieten LM1, LM und LM zur Berbeitung us.

2 Seite (von 11) LM1. INFINITESIMALRECHNUNG I. x 1. Gegeben ist die Schr der Funktionen fk : x mit k + x der Definitionsmenge I R. Der Grph von f k wird mit + k IR und G k bezeichnet. ) Untersuchen Sie G k uf Symmetrie und geben Sie ds Verhlten von f für x und x + n. k 7 b) Bestimmen Sie Art und Lge der Extrempunkte von G k. Die Hochpunkte von G k bilden den Grphen einer Funktion h. Ermitteln Sie Funktionsterm und Definitionsmenge von h. [Teilergebnis: Hochpunkt bei x = k c) Zeigen Sie, dss zwei verschiedene Grphen der Schr nur den Koordintenursprung gemeinsm hben. 5 d) Skizzieren Sie unter Verwendung der bisherigen Ergebnisse die Grphen G k für k = 0, 5 und k = 1 in ein gemeinsmes Koordintensystem (Längeneinheit cm). Zeichnen Sie uch den Grphen von h ein. 7 e) Für jedes k begrenzt G k mit der x-achse im I. Qudrnten ein Flächenstück, ds sich ins Unendliche erstreckt. Zeigen Sie, dss dieses Flächenstück keinen endlichen Inhlt besitzt. Für beliebige positive k 1, k ( k1 k ) begrenzen G k 1 und Gk im I. Qudrnten ein Flächenstück, ds sich ebenflls ins Unendliche erstreckt. Zeigen Sie, dss dieses Flächenstück einen endlichen Inhlt ht, und geben Sie diesen n. x 5. Nun wird die Schr der Funktionen fk : x für k IR 0 k + x betrchtet. Geben Sie die mximle Definitionsmenge D k von f k in Abhängigkeit von k n. Zeigen Sie, dss n den Definitionslücken Polstellen vorliegen. Ht f k n den Polstellen einen Vorzeichenwechsel? Begründen Sie Ihre Antwort. (Fortsetzung nächste Seite)

3 Seite (von 11) 4. ) Die drei folgenden Abbildungen zeigen Hlbkreise mit Rdius r und Mittelpunkten ( 0 0), ( 0 r) und ( r 0). Begründen Sie, dss der Hlbkreis in Bild 1 Grph der Funktion f1 : x r x mit r x r ist. Die Hlbkreise der Bilder und sind Grphen der Funktionen f und f. Geben Sie jeweils Term und Definitionsmenge für f und f n. Bild 1 Bild Bild 6 b) Ein kugelförmiger Tnk ht den Innenrdius r und ist mit einer Flüssigkeit gefüllt. Die Höhe der eingefüllten Flüssigkeit ist h. Zeigen Sie mit Hilfe der Integrlrechnung, h dss für ds Volumen V der eingefüllten Flüssigkeit gilt: V = π(rh 1 h ).

4 Seite 4 (von 11) II. Gegeben ist die Schr der Funktionen f : x x e mit IR und der Definitionsmenge I R. Der Grph von f wird mit G bezeichnet. Die Abbildung zeigt G für = 0, 04. x + 1. ) Untersuchen Sie m Funktionsterm ds Verhlten von f für x und für x +. Begründen Sie, dss G nie unterhlb der x-achse verläuft. 7 b) Bestimmen Sie Art und Lge der Extrempunkte von G. [Zur Kontrolle: Tiefpunkt bei x = 0 und Hochpunkt bei. Nun werden die in I R definierten Integrlfunktionen F : x f x 0 x = (t) dt betrchtet. 4 ) Begründen Sie ohne Ausführung der Integrtion, dss der Grph von F + für lle IR durch den Koordintenursprung verläuft und dort einen Terrssenpunkt besitzt. 10 b) Berechnen Sie durch prtielle Integrtion einen integrlfreien Term für F. Geben Sie den Grenzwert von F für x + n und interpretieren Sie ds Ergebnis m Grphen G. x + [Teilergebnis: F (x) = e ( x + x ) 6 c) Nun sei = 0, 04. Der Grph der Funktion F 0, 04 besitzt für x > 0 einen Wendepunkt W. Bestimmen Sie die Koordinten von W. Skizzieren Sie unter Berücksichtigung der bisherigen Ergebnisse den Grphen von F 0, 04 im Bereich 0 x 00 in ein Koordintensystem (x-achse: 50 LE,5 cm, y-achse: 1 LE,5 cm). Verwenden Sie dzu ohne Nchweis: F 0, 04 ( 0) 1, 45 und F 0, 04 (00) 1, 97. (Fortsetzung nächste Seite)

5 Seite 5 (von 11). Die Gruppe Die toten Rosen gibt ein Konzert. Es beginnt um 0 Uhr, der Einlss wird b 18 Uhr gewährt. Der Besucherzustrom soll durch eine Funktion g der Form g(x) = k f (x) mit geeignetem und geeignetem k > 0 modelliert werden. Dbei bedeutet x die seit 18 Uhr vergngene Zeit in Minuten. g (x) gibt die momentne Zunhme der Besucherzhl in Besucher pro Minute n. 5 ) Bestimmen Sie die Prmeter und k, wenn ds Mximum der Funktion g um Uhr uftritt und 6 Besucher pro Minute beträgt. 5 b) Berechnen Sie für = 0, 04 und k = 100 unter Verwendung des in Teilufgbe b ermittelten Terms F (x) ds Integrl g (x)dx und interpretieren Sie ds Ergebnis im Anwendungszusmmenhng. 10 0

6 Seite 6 (von 11) LM. WAHRSCHEINLICHKEITSRECHNUNG/STATISTIK III. Eine kleine Pension mit 5 Gästezimmern im ersten Stock und 4 weiteren im zweiten Stock wird renoviert. Die individuell gestlteten Zimmer unterscheiden sich durch Lge, Größe und Ausstttung. 1. Für die Bäderrenovierung der Gästezimmer bestellt der Pensionsinhber 500 Fliesen. Aus Kostengründen entscheidet er sich für Fliesen II. Whl, wobei der Verkäufer versichert, dss höchstens 10 % derrtiger Fliesen fehlerhft sind. Die Fliesen werden in Krtons zu je 50 Stück geliefert. ) Der Pensionsinhber ist gegenüber der 10%-Angbe skeptisch und vereinbrt dher mit dem Verkäufer: Ein Krton us der Lieferung wird zufällig usgewählt und sein Inhlt geprüft. Wenn mehr ls 5 Fliesen fehlerhft sind, wird die Annhme der Lieferung verweigert, nsonsten kzeptiert. Mit welcher Whrscheinlichkeit wird die Lieferung ngenommen, obwohl im Mittel 15 % der Fliesen fehlerhft sind? 4 b) Die Whrscheinlichkeit für eine fehlerhfte Fliese sei p. Wie würde die Entscheidungsregel mit einem möglichst großen Ablehnungsbereich luten, wenn mn die Nullhypothese H 0 : p > 0, 1 nhnd der 50 Fliesen eines Krtons uf dem Signifiknzniveu 5 % testen würde? Im Folgenden ist die Whrscheinlichkeit für eine fehlerhfte Fliese 10 %. Verwenden Sie jeweils die Normlverteilung ls Näherung. c) Berechnen Sie die Whrscheinlichkeit dfür, dss von den 500 Fliesen höchstens 60 fehlerhft sind. 7 d) Berechnen Sie die Grenzen eines möglichst kleinen Intervlls symmetrisch zum Erwrtungswert, in dem die Anzhl fehlerhfter Fliesen der gesmten Lieferung mit einer Whrscheinlichkeit von mindestens 95 % liegt.. Nch der Renovierung kommen die ersten 5 Übernchtungsgäste gleichzeitig n: Fruen und Männer. Jeder Gst möchte ein eigenes Zimmer. 5 ) Die Gäste äußern unbhängig voneinnder ihren Zimmerwunsch. Die Zimmerwhl ist nicht geglückt, wenn mindestens ein Zimmer mehrfch gewünscht wird. Wie viele Möglichkeiten gibt es, dss die Whl nicht glückt, wenn nur dnch unterschieden wird, wie oft ein Zimmer gewählt wurde? b) Die Gäste einigen sich schließlich druf, dss die Zimmer der Fruen in einem der beiden Stockwerke liegen und die der Männer im nderen Stockwerk. Wie viele verschiedene Zimmerbelegungen sind möglich, wenn dbei uch nch den einzelnen Personen unterschieden wird? (Fortsetzung nächste Seite)

7 Seite 7 (von 11). Eine Zufllsgröße X mit der Wertemenge { 0; 1; ; } und Erwrtungswert 1 ht folgende Verteilung: k + P(X = k) = b mit k {0; 1; ; } und,b IR. 5 ) Berechnen Sie und b. [Ergebnis: = 4 ; b = 0, 4 4 b) Begründen Sie, dss X nicht die Anzhl der Treffer einer binomil verteilten Zufllsgröße beschreiben knn. 6 c) Die Zufllsgröße X gibt die Anzhl der Treffer bei einem dreistufigen Zufllsexperiment n. Dieses Zufllsexperiment wird durch ds unten stehende Bumdigrmm beschrieben. Berechnen Sie p 1 und p 4 und ermitteln Sie je einen möglichen Wert für p und p so, dss sich mit diesen vier Werten die Verteilung der Zufllsgröße X ergibt. T: Treffer N: Niete T N T N T N p 1 p p p 4 T N T N T N T N

8 Seite 8 (von 11) IV. Die folgenden Angben zum Ruchverhlten beziehen sich uf den Drogenund Suchtbericht der Bundesregierung us dem Jhr 008. Personen, die regelmäßig ruchen, werden unbhängig vom Geschlecht ls Rucher bezeichnet. Die nderen Personen werden ls Nichtrucher bezeichnet. 1. Ein Drittel der Erwchsenen in Deutschlnd sind Rucher. ) Mit welcher Whrscheinlichkeit sind unter 15 zufällig usgewählten Erwchsenen mehr ls die Hälfte Nichtrucher? 5 b) Es werden zufällig ncheinnder n Erwchsene befrgt. Die Whrscheinlichkeit dfür, dss bei der Befrgung Rucher und Nichtrucher einnder immer bwechseln, werde mit p n bezeichnet, wobei der erste Befrgte Rucher oder Nichtrucher sein knn. Zeigen Sie, dss für eine ungerde Anzhl n 1 n gilt: ( ) p n =. c) Ab welcher Anzhl n ist die Whrscheinlichkeit p n us Teilufgbe 1b kleiner ls ein Millirdstel? 6. Im Jhr 005 wren 0 % der 1- bis 17-jährigen Jugendlichen Rucher. Es wird vermutet, dss durch diverse Kmpgnen diese Rucherquote uf 18 % gesenkt werden konnte. Um diese Vermutung zu testen, werden 500 Jugendliche dieser Altersgruppe nonym befrgt. Die Nullhypothese Mindestens 0 % der Jugendlichen sind Rucher wird bgelehnt, wenn weniger ls 19 % der Befrgten regelmäßig ruchen. Berechnen Sie unter der Annhme, dss die Kmpgnen so erfolgreich wren wie vermutet, die Whrscheinlichkeit für den Fehler. Art. Verwenden Sie die Normlverteilung ls Näherung.. Im Folgenden werden usschließlich Schülerinnen und Schüler der Sekundrstufe I, die die Jhrgngsstufen 5-10 umfsst, betrchtet. Von diesen besuchen in Byern jeweils 5 % eine Huptschule beziehungsweise ein Gymnsium. Vereinfchend werde ngenommen, dss die Übrigen eine Relschule besuchen. Es soll ngenommen werden, dss die folgenden Rucherquoten us dem Bericht der Bundesregierung uch für Byern gelten: In der Sekundrstufe I sind insgesmt 16 % Rucher; n Huptschulen ist die Quote der Rucher mit 4 % mehr ls dreiml so hoch wie n Gymnsien mit 7 %. (Fortsetzung nächste Seite)

9 Seite 9 (von 11) 6 ) Wie groß ist die Rucherquote n Relschulen? Mit welcher Whrscheinlichkeit besucht ein us der Sekundrstufe I zufällig usgewählter Rucher ein Gymnsium? [Teilergebnis: Rucherquote n Relschulen: 17 % 5 b) Mit welcher Whrscheinlichkeit besuchen us der Sekundrstufe I zufällig usgewählte Personen die gleiche Schulrt und mindestens eine der beiden Personen rucht regelmäßig? 5 c) An einem Gymnsium besuchen 800 Schüler die Klssen 5 bis 10, von denen jeder mit einer Whrscheinlichkeit von 7 % regelmäßig rucht. Geben Sie mit Hilfe der Ungleichung von Tschebyschow ein möglichst kleines Intervll symmetrisch um den Erwrtungswert n, in dem die Zhl der regelmäßigen Rucher der Sekundrstufe I mit einer Whrscheinlichkeit von mindestens 90 % liegt ) An einem Gymnsium werden die 8 Interessenten m Grundkurs Physik, von denen 1 regelmäßig ruchen, uf Kurse mit 18 beziehungsweise 0 Teilnehmern zufällig verteilt. Mit welcher Whrscheinlichkeit sind in jedem der beiden Kurse gleich viele Rucher? b) Für die K1 eines Gymnsiums sind im Fch Geschichte 4 Kurse mit jeweils mindestens 0 Teilnehmern eingerichtet worden. Wie viele verschiedene Aufteilungen der 0 Rucher der K1 uf diese 4 Kurse sind prinzipiell möglich, wenn nur zwischen Ruchern und Nichtruchern unterschieden wird?

10 Seite 10 (von 11) LM. ANALYTISCHE GEOMETRIE V. Gegeben sind in einem krtesischen Koordintensystem des I R die Punkte 8 7 A (5 1 0) und B (1 5 ), die Gerde g : x = + λ 5 1 1, λ IR, sowie die Ebenenschr : kx + x + kx 11 0, k IR. Ek 1 = 4 1. ) Es gibt eine Gerde h, die in llen Ebenen der Schr E k enthlten ist. Ermitteln Sie eine Gleichung der Gerden h in Prmeterform. 6 b) Weisen Sie nch, dss genu eine Ebene der Schr echt prllel zur Gerden g ist. In welcher Lgebeziehung stehen folglich g und h? Begründen Sie Ihre Antwort. 4. ) Zeigen Sie, dss die Punkte A und B in der Ebene E liegen, und bestimmen Sie die Koordinten des Schnittpunkts C von E mit der Gerden g. [Zur Kontrolle: C( 1 1 6) 5 b) Weisen Sie nch, dss ds Dreieck ABC gleichschenklig-rechtwinklig ist, und ermitteln Sie die Koordinten eines Punkts D so, dss ds Viereck ABCD ein Qudrt ist. Ds Qudrt ABCD ls Grundfläche bildet zusmmen mit einem Punkt S ls Spitze eine vierseitige Pyrmide ABCDS. Der Punkt S liegt dbei uf der Gerden g und ist so gewählt, dss die Pyrmide gerde ist, ds heißt, der Fußpunkt F der Pyrmidenhöhe ist gleichzeitig der Digonlenschnittpunkt des Qudrts. 4 c) Bestimmen Sie die Koordinten der Punkte F und S. [Zur Kontrolle: S (6 7) 6 d) Ermitteln Sie ds Volumen der Pyrmide sowie den Inhlt ihrer Oberfläche. 7 e) K sei die Kugel, uf der lle Ecken der Pyrmide ABCDS liegen. Bestimmen Sie die Koordinten des Mittelpunkts M und den Rdius r der Kugel K und zeigen Sie, dss M im Inneren der Pyrmide liegt. 4 f) Betrchtet werden nun eine gerde Pyrmide mit dem Qudrt ABCD ls Grundfläche und der Höhe h ' > 0 sowie die Kugel durch die Ecken dieser Pyrmide. Für welche Werte von h ' liegt der Mittelpunkt dieser Kugel ußerhlb der Pyrmide?

11 Seite 11 (von 11) VI. Gegeben sind in einem krtesischen Koordintensystem des IR die Ebene F, die prllel zur x-achse ist und die Punkte A( 1,5 6) und B (0 0) enthält, sowie die Ebenenschr E : x1 + x + x = 0 mit IR. 4 ) Berechnen Sie eine Gleichung der Ebene F in Normlenform. [Zur Kontrolle: :x 4x F 1 = 4 b) Die Kugel K mit dem Mittelpunkt M( 1 0) berührt die Ebene F. Berechnen Sie die Koordinten des Berührpunkts und den Rdius r der Kugel. [Teilergebnis: r = 5 c) Die Punktspiegelung der Kugel K m Punkt A ergibt die Kugel K '. Bestimmen Sie die Koordinten des Mittelpunkts M ' der Kugel K ' und geben Sie deren Rdius r ' n. [Teilergebnis: M'( 7 4 1) 6 d) Zeigen Sie, dss die Ebenen E 1 und E symmetrisch bezüglich des Punktes A liegen, und berechnen Sie den Abstnd dieser beiden Ebenen. 8 e) Die Ebene E 1 schneidet die Kugel K in einem Kreis. Berechnen Sie den Mittelpunkt N und den Rdius ρ dieses Kreises. Wrum ht der Schnittkreis von E mit der Kugel K ' ebenflls den Rdius ρ? [Teilergebnis: N (5 1 1) 8 f) Die Kreise us Teilufgbe e bilden die Grund- und die Deckfläche eines schiefen Zylinders. Berechnen Sie ds Volumen dieses schiefen Zylinders und den Winkel ϕ, um den die Zylinderchse gegen die Grundfläche geneigt ist. 7 g) In welcher Ebene der Schr E liegt der Punkt M '? Für welche Werte des Schrprmeters schneiden sich die Kugel und die Ebene E in einem Kreis? K '