1. Gegeben ist die Funktionenschar f : IR IR,

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1 Schriftliche Abiturprüfung 005 Seite Fch: Mthemtik Prüfungsrt:./. Prüfungsfch 5 Stunden Hilfsmittel: Zugelssener Tschenrechner, zugelssene Formelsmmlung Die Aufgbenstellung umfsst 4 Seiten. Aufgbe. Gegeben ist die Funktionenschr f : IR IR, x x e, IR x. Bestätigen Sie, dss für den Funktionsterm der. Ableitung gilt: x x 4x f ( x) = e +, x IR \{ }. Zeigen Sie, dss zwei verschiedene Funktionen der Schr stets genu einen Punkt gemeinsm hben.. Untersuchen Sie ds Schubild von f uf Schnittpunkte mit der x-achse und uf Extrempunkte. (Zur Kontrolle: Mximumstelle bei ).4 Berechnen Sie die Gleichung der Ortskurve, uf der lle Hochpunkte der Schr liegen..5 Zeigen Sie, dss bei jeder Schrkurve die Mximumstelle in der Mitte zwischen den beiden Wendestellen liegt..6 Untersuchen Sie ds Grenzverhlten von f in Abhängigkeit von n den Rändern der Definitionsmenge..7 Bestimmen Sie die Funktion der Schr, deren Grph n der Stelle eine Tngente besitzt, die prllel zur x-achse verläuft..8 Skizzieren Sie mit den Informtionen us den vorhergehenden Aufgbenteilen ohne weitere Diskussion ds Schubild von f..9 Zeigen Sie durch prtielle Integrtion, dss eine Stmmfunktion zu f die Gleichung x F ( x) = ( x x ) e ht. Berechnen Sie die Mßzhl der ins Unendliche reichenden Fläche, die vom Grph der Funktion f und der positiven x-achse begrenzt wird

2 Schriftliche Abiturprüfung 005 Seite Fch: Mthemtik Prüfungsrt:./. Prüfungsfch 5 Stunden. Schch und mtt In untenstehender Abbildung ist der Querschnitt einer bezüglich der x-achse rottionssymmetrischen, mssiven Schchfigur gegeben. Der obere Rnd des Querschnitts ist der Grph einer Funktion h mit h ( x) = sin( x) + b, wobei x [0,5;,5] und, b IR ist. Die Schchfigur wird us einem Holzzylinder hergestellt. Der Querschnitt des Zylinders ist ebenflls in der Abbildung drgestellt.. Berechnen Sie und b so, dss die bgebildete Figur n der Stelle. Bestimmen Sie für = und b = ds Volumen der Schchfigur. π x = m breitesten ist. 4 Hinweis: Eine Stmmfunktion zu f mit f(x) = sin (x) ist F mit F(x) = ( x sin(x)cos(x) ), x IR.

3 Schriftliche Abiturprüfung 005 Seite Fch: Mthemtik Prüfungsrt:./. Prüfungsfch 5 Stunden Aufgbe :. In der Ecke eines großen Museumsrumes wurde für eine Kunstinstlltion entsprechend nebenstehender Drstellung ein dreieckiger Spiegel eingebut. Ds bgebildete Koordintensystem soll der folgenden Aufgbe zu Grunde liegen.. Stellen Sie eine Koordintengleichung der Ebene e uf, in der der Spiegel liegt. [mögliches Ergebnis: x + x + x = 0] Wnd I.. Berechnen Sie ds Mß des Winkels, um den der Spiegel gegen den Boden geneigt ist. Welchen Abstnd ht der Spiegel von der Rumecke?. Wie groß ist ds Volumen des Körpers, der in der Ecke durch den Spiegel vom Rum bgetrennt wird?.4 An der seitlichen Wnd I ist im Punkt P(4 0 ) ein Lser ngebrcht, der einen feinen Lichtstrhl ussendet. Er ist so eingestellt, dss sein Strhl prllel zum Boden schräg uf den Spiegel fällt. Sein Verluf knn durch den Richtungsvektor u = beschrieben werden Berechnen Sie die Koordinten des Punktes S, in dem der Lichtstrhl uf die Ebene e trifft. [zur Kontrolle: S( )].4. Begründen Sie, dss S uf der Spiegelfläche liegt..4. Die Gerde durch die Punkte P und S wird n der Ebene e gespiegelt; bestimmen Sie die Gleichung dieser Spiegelgerden.. Zwei Schüler A und B unterhlten sich über die Eigenschften dreier Vektoren r, b r und c r us IR, die lle verschieden vom Nullvektor sind. Schüler A behuptet: Wenn bei den drei Vektoren r, b r und c r jeder zu jedem nderen orthogonl ist, dnn sind sie uch liner unbhängig voneinnder. Schüler B behuptet: Es genügt bereits, wenn r b r und b r c r ist; dnn sind r, b r und c r liner unbhängig. Zeigen Sie: Schüler A ht Recht, und Schüler B irrt sich. x 4 x Spiegel Wnd II Boden x - 4 -

4 Schriftliche Abiturprüfung 005 Seite 4 Fch: Mthemtik letzte Seite Prüfungsrt:./. Prüfungsfch 5 Stunden Hilfsmittel: Zugelssener Tschenrechner, zugelssene Formelsmmlung Aufgbe. Am Strßenrnd sind genu 4 Stellplätze für Personenkrftwgen vorhnden und mrkiert. Arno, Bert, Christine und Doris prken in zufälliger Reihenfolge mit ihrem PKW m Strßenrnd in Fhrtrichtung hintereinnder.. Berechnen Sie die Whrscheinlichkeit, dss zwischen Arno und Bert genu ein nderes Fhrzeug prkt.. Jeder Fhrer und jede Fhrerin lesen den Kilometerstnd ihres Fhrzeugs b und notieren sich die Einerziffer des Kilometerzählers. Berechnen Sie die Whrscheinlichkeiten folgender Ereignisse: N: Alle Kilometerzähler zeigen die Einerziffer Null. E: Alle Kilometerzähler zeigen die gleiche Einerziffer. V: Alle Kilometerzähler zeigen verschiedene Einerziffern.. Bei der Produktion von Autoreifen sind erfhrungsgemäß % ller Reifen fehlerhft.. Vor dem Versnd werden 0 Reifen zufällig herusgegriffen und überprüft. Berechnen Sie die Whrscheinlichkeiten folgender Ereignisse: A: Mindestens ein Reifen ist fehlerhft. B: Höchstens zwei Reifen sind fehlerhft.. Berechnen Sie die Anzhl der Reifen, die mn mindestens herusgreifen muss, dmit mit mehr ls 95%iger Whrscheinlichkeit mindestens ein fehlerhfter Reifen dbei ist.. Ein Reifen gilt ls fehlerhft, wenn ds Ereignis D oder ds Ereignis G eintreten: D: Die Drhtrmierung des Reifens ist schdhft. G: Der Gumminteil des Reifens ist fehlerhft. Beide Ereignisse sind voneinnder unbhängig; die Whrscheinlichkeit für D ist,5 %. Berechnen Sie die Whrscheinlichkeit für ds Ereignis G..4 Aus der Produktion werden 600 Reifen herusgegriffen. Die Zufllsgröße X beschreibe die Anzhl der fehlerhften Reifen und sei binomilverteilt. Schätzen Sie mit Hilfe der Ungleichung von Tschebyscheff b, wie groß die Zhl der fehlerhften Reifen mit mindestens 90%iger Whrscheinlichkeit höchstens ist.. Ev bietet Adm ein Spiel n: Ein Würfel, bei dem die Zhl Sechs mit einer Whrscheinlichkeit von 0, fällt, wird zweiml geworfen. Adm beginnt jedes einzelne Spiel mit dem gleichen Strtkpitl 8 und würfelt zweiml. Fällt eine Sechs, verdoppelt sich jeweils sein ugenblickliches Kpitl, ndernflls zhlt er n Ev. Mit welchem Endkpitl knn Adm uf lnge Sicht rechnen?

5 Schriftliche Abiturprüfung 005 Seite Fch: Prüfungsrt: Mthemtik. Prüfungsfch Stunden Hilfsmittel: Zugelssener Tschenrechner, zugelssene Formelsmmlung Die Aufgbenstellung umfsst Seiten. Aufgbe Gegeben ist die Funktionenschr f : IR IR, x x x e, IR \{ 0 }.. Bestätigen Sie, dss für den Funktionsterm der. Ableitung gilt: x x 4x f ( x) = e +, x IR. Untersuchen Sie ds Schubild von f uf Schnittpunkte mit der x-achse und uf Extrempunkte. (Zur Kontrolle: Mximumstelle bei ). Zeigen Sie, dss bei jeder Schrkurve die Mximumstelle in der Mitte zwischen den beiden Wendestellen liegt. 4. Untersuchen Sie ds Grenzverhlten von f in Abhängigkeit von n den Rändern der Definitionsmenge. 5. Bestimmen Sie die Funktion der Schr, deren Grph n der Stelle eine Tngente besitzt, die prllel zur x-achse verläuft. 6. Skizzieren Sie mit den Informtionen us den vorhergehenden Aufgbenteilen ohne weitere Diskussion ds Schubild von f. 7. Zeigen Sie durch prtielle Integrtion, dss eine Stmmfunktion zu f die Gleichung x F ( x) = ( x x ) e ht. Berechnen Sie die Mßzhl der ins Unendliche reichenden Fläche, die vom Grph der Funktion f und der positiven x-achse begrenzt wird. - -

6 Schriftliche Abiturprüfung 005 Seite Fch: Mthemtik Prüfungsrt:. Prüfungsfch Stunden Aufgbe Wnd II In der Ecke eines großen Museumsrumes wurde für eine Kunstinstlltion entsprechend nebenstehender Drstellung ein dreieckiger Spiegel eingebut. Wnd I x Spiegel Ds bgebildete Koordintensystem soll der folgenden Aufgbe zu Grunde liegen.. Stellen Sie eine Koordintengleichung der Ebene e uf, in der der Spiegel liegt. x 4 Boden x [mögliches Ergebnis: x + x + x = 0]. Berechnen Sie ds Mß des Winkels, um den der Spiegel gegen den Boden geneigt ist. Welchen Abstnd ht der Spiegel von der Rumecke?. An der seitlichen Wnd I ist im Punkt P(4 0 ) ein Lser ngebrcht, der einen feinen Licht strhl ussendet. Er ist so eingestellt, dss sein Strhl prllel zum Boden schräg uf den Spiegel fällt. Sein Verluf knn durch den Richtungsvektor u = beschrieben werden. 0. Berechnen Sie die Koordinten des Punktes S, in dem der Lichtstrhl uf die Ebene e trifft. [zur Kontrolle: S( )]. Begründen Sie, dss S uf der Spiegelfläche liegt.. Die Gerde durch die Punkte P und S wird n der Ebene e gespiegelt; bestimmen Sie die Gleichung dieser Spiegelgerden. - -

7 Schriftliche Abiturprüfung 005 Seite Fch: Mthemtik letzte Seite Prüfungsrt:. Prüfungsfch Stunden Aufgbe. Am Strßenrnd sind genu 4 Stellplätze für Personenkrftwgen vorhnden und mrkiert. Arno, Bert, Christine und Doris prken in zufälliger Reihenfolge mit ihrem PKW m Strßenrnd in Fhrtrichtung hintereinnder.. Berechnen Sie die Whrscheinlichkeit, dss zwischen Arno und Bert genu ein nderes Fhrzeug prkt.. Jeder Fhrer und jede Fhrerin lesen den Kilometerstnd ihres Fhrzeugs b und notieren sich die Einerziffer des Kilometerzählers. Berechnen Sie die Whrscheinlichkeiten folgender Ereignisse: E: Alle Kilometerzähler zeigen die gleiche Einerziffer. V: Alle Kilometerzähler zeigen verschiedene Einerziffern.. Bei der Produktion von Autoreifen sind erfhrungsgemäß % ller Reifen fehlerhft.. Vor dem Versnd werden 0 Reifen zufällig herusgegriffen und überprüft. Berechnen Sie die Whrscheinlichkeiten folgender Ereignisse: A: Mindestens ein Reifen ist fehlerhft. B: Höchstens zwei Reifen sind fehlerhft.. Ein Reifen gilt ls fehlerhft, wenn ds Ereignis D oder ds Ereignis G eintreten: D: Die Drhtrmierung des Reifens ist schdhft. G: Der Gumminteil des Reifens ist fehlerhft. Beide Ereignisse sind voneinnder unbhängig; die Whrscheinlichkeit für D ist,5 %. Berechnen Sie die Whrscheinlichkeit für ds Ereignis G.. Aus der Produktion werden 600 Reifen herusgegriffen. Die Zufllsgröße X beschreibe die Anzhl der fehlerhften Reifen und sei binomilverteilt. Schätzen Sie mit Hilfe der Ungleichung von Tschebyscheff b, wie groß die Zhl der fehlerhften Reifen mit mindestens 90%iger Whrscheinlichkeit höchstens ist.

8 Schriftliche Abiturprüfung 005 Seite Fch: Mthemtik Prüfungsrt:. Prüfungsfch Abendgymnsium 4. Prüfungsfch Freie Wldorfschule,5 Stunden Hilfsmittel: Zugelssener Tschenrechner, zugelssene Formelsmmlung Die Aufgbenstellung umfsst Seiten. Aufgbe Gegeben sei die Funktionenschr f : D IR; x ( IR) 6x +. x 6x + 4. Zeigen Sie, dss keine Funktion der Schr Polstellen besitzt.. Bestimmen Sie den Prmeter so, dss der Funktionsgrph von f die x-achse n der Stelle x 0 = schneidet. 6x 6. Diskutieren Sie die Funktion f:d IR; x. x 6x + 4 x x + x Zur Kontrolle : f (x) = 08 ( x 6x + 4) 4. Der Grph von f schneidet die Koordintenchsen in den Punkten S x und S y. Bestimmen Sie die Gleichung der Gerden, die durch diese beiden Punkte geht. 5. Zeigen Sie, dss die drei Wendepunkte des Grphen von f uf einer Gerden liegen. 6. Der Grph von f und die Gerde g: y =,5x,5, x IR, schließen im. Qudrnten eine Fläche ein. Berechnen Sie deren Mß. - -

9 Schriftliche Abiturprüfung 005 Seite Fch: Mthemtik Prüfungsrt:. Prüfungsfch Abendgymnsium 4. Prüfungsfch Freie Wldorfschule,5 Stunden Hilfsmittel: Zugelssener Tschenrechner, zugelssene Formelsmmlung Aufgbe Gegeben seien die Ebene C(5 5 ). 7 r e: 4 o x 8= 0 sowie die Punkte A(8 4 0), B( 6 5) und 4. Zeigen Sie, dss die drei Punkte A, B und C nicht uf einer Gerden liegen.. Überprüfen Sie, ob ds Dreieck ABC spitzwinklig ist.. Weisen Sie nch, dss der Punkt C in e liegt. 4. Die Punkte A und B liegen uf einer Gerden g. Ermitteln Sie die gegenseitige Lge der Gerden g und der Ebene e und bestimmen Sie den Schnittpunkt bzw. den Abstnd von g und e. 5. Die Gerde g wird n der Ebene e gespiegelt. Ermitteln Sie eine Gleichung dieser Spiegelgerden h. 6. Begründen Sie, dss der Nullpunkt O(0 0 0) uf der Gerden g liegt und geben Sie n, in welchem Verhältnis O die Strecke AB teilt. 7. Die Punkte A, B und C liegen in einer Ebene e. Geben Sie möglichst ohne Rechnung eine Gleichung der Schnittgerden der Ebenen e und e n.

10 Schriftliche Abiturprüfung 005 Seite Fch: Mthemtik letzte Seite Prüfungsrt:. Prüfungsfch Abendgymnsium 4. Prüfungsfch Freie Wldorfschule,5 Stunden Hilfsmittel: Zugelssener Tschenrechner, zugelssene Formelsmmlung Aufgbe Ds nebenstehende Glücksrd lässt sich um seinen Mittelpunkt drehen. Es ist in vier gleich große Felder geteilt, die durch die Zhlen,, und 4 gekennzeichnet sind. Nch dem Drehen des Rdes zeigt der Pfeil immer genu uf ein Feld und bestimmt ddurch die entsprechende Zhl. Alle Zhlen treten mit derselben Whrscheinlichkeit uf. 4. Beim ersten Spiel wird zweiml gedreht. Betrchten Sie folgende Ereignisse: A: Die Zhl, die mn bei der ersten Drehung erhält, ist kleiner ls, die Zhl bei der zweiten Drehung ist ungerde. B: Die Summe der beiden ngezeigten Zhlen ist ungerde. C: Die Summe der beiden ngezeigten Zhlen beträgt mindestens 6.. Geben Sie eine geeignete Ergebnismenge Ω n und berechnen Sie jeweils die Whrscheinlichkeiten der Ereignisse A, B, C, B oder C, weder B noch C.. Untersuchen Sie die Ereignisse A und B sowie A und C uf Abhängigkeit.. Ein zweites Spiel besteht im dreimligen Drehen des Glücksrdes. Mn gewinnt, wenn gleiche oder verschiedene Zhlen uftreten.. Mit welcher Whrscheinlichkeit gewinnt mn ein Spiel? (Zur Kontrolle: p = 0,475).. Wie groß ist die Whrscheinlichkeit bei 4 Spielen öfter zu gewinnen ls zu verlieren?, Wie oft muss mn spielen, um mit mindestens 95%iger Whrscheinlichkeit wenigstens ein Spiel zu gewinnen?.4 Wie groß muss bei einem beliebigen Spiel die Gewinnwhrscheinlichkeit mindestens sein, dmit ein Spieler bei 5 Spielen mit mehr ls 95 % Whrscheinlichkeit wenigstens einml gewinnt?

11 Schriftliche Abiturprüfung 005 Nchtermin Seite Fch: Mthemtik Prüfungsrt:. Prüfungsfch Abendgymnsium 4. Prüfungsfch Freie Wldorfschule,5 Stunden Hilfsmittel: Zugelssener Tschenrechner, zugelssene Formelsmmlung Die Aufgbenstellung umfsst Seiten. Aufgbe Gegeben ist die Funktionenschr f 4x : D IR, x IR \{ 0 }. x 4x +. Bestimmen Sie die mximle Definitionsmenge D in Abhängigkeit von.. Untersuchen Sie die Anzhl der Extremstellen der Funktionen f in Abhängigkeit von.. Bestimmen Sie die Gleichung der gemeinsmen Asymptote ller Funktionen der Schr. Welche Funktionen schneiden die Asymptote n der Stelle? 4x 4. Diskutieren Sie die Funktion f : D IR, x. x 4x + 4 (Zur Kontrolle: x + = ( x ) f '' ( x) ) 4 5. Zeigen Sie: Die Funktion 4x f : D IR, x lässt sich drstellen in der Form x 4x + 4 f ( x) = x ( x ) x D. 6. Der Grph von f und die Asymptote schließen im Intervll [ ;6] Berechnen Sie deren Mß. eine Fläche ein. - -

12 Schriftliche Abiturprüfung 005 Nchtermin Seite Fch: Mthemtik Prüfungsrt:. Prüfungsfch Abendgymnsium 4. Prüfungsfch Freie Wldorfschule,5 Stunden Hilfsmittel: Zugelssener Tschenrechner, zugelssene Formelsmmlung Aufgbe Gegeben sind die Punkte A(/-/), B(//), C(6//5) und S k (k-/-5k/4k+5,5). k IR.. Stellen Sie eine Koordintengleichung der Ebene durch die Punkte A, B und C uf.. Zeigen Sie, dss lle Punkte S k uf einer Gerden liegen.. Zeigen Sie, dss die Gerde g: x = + λ 5, λ IR prllel zur Ebene 5,5 4 e: -4x + x + 9 = 0 verläuft und berechnen Sie ihren Abstnd von e. 4. Bestimmen Sie die Gleichung der Spiegelgerden von g n der Ebene e. 5. Zeigen Sie, dss ds Dreieck ABC gleichschenklig und rechtwinklig ist. Bestimmen Sie einen Punkt D so, dss A, B, C und D die Eckpunkte eines Qudrtes sind. 6. Zeigen Sie, dss es einen Punkt S uf g gibt, so dss die Verbindungsgerde von S mit dem Mittelpunkt der Strecke AC senkrecht zu e verläuft. Bestimmen Sie die Koordinten von S. 7. Berechnen Sie ds Volumen der durch die Punkte A, B, C, D und S(-,5/0,5/7,5) festgelegten qudrtischen Pyrmide. Hinweis: Für ds Volumen einer Pyrmide mit der Grundfläche G und der Höhe h gilt: V = G h 8. Welchen Winkel bildet eine Seitenknte der Pyrmide mit der Digonlen der Grundfläche?

13 Schriftliche Abiturprüfung 005 Nchtermin Seite Fch: Mthemtik letzte Seite Prüfungsrt:. Prüfungsfch Abendgymnsium 4. Prüfungsfch Freie Wldorfschule,5 Stunden Hilfsmittel: Zugelssener Tschenrechner, zugelssene Formelsmmlung Aufgbe Eine Gruppe von 0 Schülerinnen und 0 Schülern beschließt, ein Skisportwochenende m Feldberg zu verbringen. Hierzu qurtieren sie sich in der gnz in der Nähe gelegenen Jugendherberge ein.. Zuerst werden die Zimmer belegt. Für die Mädchen stehen fünf Viererzimmer, für die Jungen ein Vierer- und zwei Dreierzimmer zur Verfügung. Wie viele Möglichkeiten der Zimmerbelegung gibt es für die Mädchen, wie viele für die Jungen?. Nch der Zimmerbelegung gibt es ein wrmes Essen. Sechs der 0 Gruppenmitglieder sind Vegetrier. Dies wurde vorb der Jugendherberge mitgeteilt. Alle setzen sich n die Tische und ds Essen wird ufgetrgen. Dbei werden die 4 Fleischgerichte und die sechs Vegetrierteller whllos verteilt. Mit welcher Whrscheinlichkeit erhlten () lle Vegetrier einen Teller mit vegetrischem Essen; (b) lle Vegetrier einen Teller mit einem Fleischgericht?. Die Gruppe besteht je zur Hälfte us fortgeschrittenen Skifhrern und us Anfängern. Für Anfänger ist ds Schleppliftfhren nicht gnz einfch, und so fllen c. 0 % beim ersten Ml us dem Lift. Mit welcher Whrscheinlichkeit bewältigen lle 5 Anfänger ihre erste Liftfhrt ohne Probleme? 4. Nun sind lle uf dem Berg. Erfhrungsgemäß wird ein Anfänger die Abfhrt mit einer Whrscheinlichkeit von % ohne zu stürzen überstehen, während ein Fortgeschrittener mit 90%iger Whrscheinlichkeit eine sturzfreie Abfhrt schfft. Berechnen Sie die Whrscheinlichkeit, dss bei der Abfhrt () lle Anfänger stürzen; (b) mindestens ein Fortgeschrittener stürzt. 5. Ds Skiwochenende geht zu Ende und zum Abschluss fhren lle in einer lngen Schlnge hintereinnder den Berg hinunter. Auf wie viele Arten können sich die 0 Personen zu einer Schlnge formieren?