Mathematik-Aufgabenpool > Normalparabeln, spezielle allgemeine Parabeln I

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1 Michel Buhlmnn Mthemtik-Aufgbenool > Normlrbeln, sezielle llgemeine Prbeln I Einleitung: Normlrbeln sind qudrtische Funktionen von der Form: y = + + q (Normlform), y = ( d) + c (Scheitelform), y = (- )(- ) (Produktform) mit reellen Zhlen, q, dem Scheitelunkt S(d c) und den Nullstellen N ( 0), N ( 0). Eine sezielle llgemeine Prbel besitzt die Form y = + c mit Scheitel S(0 c) (uf der y-achse); sie ist nch oben geöffnet, wenn >0, nch unten geöffnet, wenn <0; für =- ergibt sich eine nch unten geöffnete Normlrbel. Ist -<<, so ist die Prbel gestucht, ist <- oder >, so ist die Prbel gestreckt im Vergleich zur nch oben geöffneten Normlrbel y =. y =, y = 0,5, y =, y =-, y = -05 y = (+)(-4) = (-) 9 = 8 Aufgbe : Bestimme die Scheitel- und Normlform der Funktionsgleichung einer Normlrbel y = ++q, wenn der Scheitelunkt S(d c) der Prbel gegeben ist. ) S(0 4) b) S(- 0) c) S(4 ) d) S(- -8) e) S(-5-5) f) S( -) g) S(- ) h) S(4 -) Vorgehensweise: Aus dem Scheitelunkt S(d c) folgt die Scheitelform der Normlrbel ls: y = (-d) +c, drus die Normlform y = ++q, wenn die Klmmer in der Scheitelform mit Hilfe der binomischen Formeln ufgelöst wird. Die binomischen Formeln luten: (+b) = +b+b (. binomische Formel); (-b) = b+b (. binomische Formel). Lösungen: ) y = +4; b) y = (+) = ++; c) y = (-4) + = -8+8; d) y = (+) 8 = +4-4; e) y = (+5) 5 = +0+0; f) y = (-) = -6+8; g) y = (+) = +4+; h) y = (-4) = -8+. Aufgbe : Bestimme die Funktionsgleichung der Normlrbel, wenn ls (teilweise) zu bestimmende Normlform und ls Punkte P, Q oder Scheitelunkt S gegeben sind: ) y = q, P( 8) b) y = +, P(- 5) c) y = + +, P(4,5 7,75) d) y = + + q, P(0 4), Q( ) e) y = + + q, P(- ), Q(,5 ) f) y = + + q, P(- 0), Q(5 0) g) y = + + q, P(-4-4), Q(-,5-0,5) h) y = + + q, S(-,5 ) Michel Buhlmnn, Mthemtik-Aufgbenol > Normlrbeln, sezielle llgemeine Prbeln I

2 Vorgehensweise: I. Einsetzen der Punkte P, Q in die Normlenform y = ++q (Punktrobe) ergibt eine linere Gleichung oder ein lineres Gleichungssystem, die oder ds nch und q ufgelöst wird. II. Im Fll, dss die Nullstellen, der Normlrbel gegeben sind gilt die Produktform: y = (- )(- ), die durch Ausmultilizieren der Klmmern in die Normlform y = ++q umgewndelt werden knn. III. Aus dem Scheitelunkt S(d c) folgt die Scheitelform der Normlrbel ls: y = (-d) +c, drus die Normlform y = ++q. Lösungen: ) y = +5+; b) y = -6-; c) y = -+; d) y = -+4; e) y = +0,5-; f) y = (+)(-5) = --5; g) y = +7-. Aufgbe : Bestimme die Funktionsgleichungen der Normlrbeln y = ++q us den Grhen. Vorgehensweise: Zum Grhen der jeweiligen Prbelfunktion y = ++q ist der Scheitelunkt S(d c) zu ermitteln; es ergibt sich die Scheitelform y = ( d) + c und drus die Normlform. Lösungen: ) S(0-9) -> y = -9; ) S(- -6) -> y = +4-; ) S( 0) -> y = -6+9; 4) S(-4 ) -> y = +8+9; 5) S(0,5 -) -> y = --,75; 6) S(8-5) -> y = Aufgbe 4: Bestimme die Funktionsgleichung der llgemeinen Prbel y = +c, wenn ls Koeffizienten, c bzw. ls Punkte P, Q oder Scheitelunkt S gegeben sind: ) = -, P( -) b) c = -5, P(-4 ) Michel Buhlmnn, Mthemtik-Aufgbenol > Normlrbeln, sezielle llgemeine Prbeln I

3 c) = 4, P(0 -) d) = -, S(0 7) e) =, P( 0) f) S(0-4), P( 4) g) P(0 -), Q(4 ) h) P(-,75), Q( ) i) P(- -4), Q( ) j) P(-5-9,5), Q(4-5) Vorgehensweise: ) Mit den Koeffizienten bzw. c und der Punktrobe mit dem Punkt P ergibt sich die Prbelgleichung y = +c. b) Aus dem Scheitelunkt S(0 c) folgt der Koeffizient c der Prbelgleichung y = +c. c) Sind zwei Punkte P, Q vorgegeben, so ergibt sich mit den Punktroben der beiden Punkte ein lineres Gleichungssystem, ds nch den Koeffizienten und c ufzulösen ist. Lösungen: ) y = - +; b) y = 0,5-5; c) y = 0,75 -; d) y = - +7; e) y = - /+6; f) y = -4; g) y = /6-; h) y = 0,5 +0,75; i) y = -6; j) y = -0,5 +. Aufgbe 5: Bestimme die Funktionsgleichungen der llgemeinen Prbeln y = +c us den Grhen. Vorgehensweise: Zum Grhen der jeweiligen Prbelfunktion y = +c ist zunächst der Scheitelunkt S(0 c) und dmit der Koeffizient c zu ermitteln. Der Koeffizient knn dnch durch Punktrobe mit einem geeigneten Prbelunkt P( y) bestimmt oder ls Differenz von y-wert n der Stelle = und Koeffizient c errechnet werden. Michel Buhlmnn, Mthemtik-Aufgbenol > Normlrbeln, sezielle llgemeine Prbeln I

4 Lösungen: ) S(0-4), = -> y = -4; ) S(0 ), =0,5 -> y = 0,5 +; ) S(0 -), =-0,5 -> y = -0,5 -; 4) S(0-8), = -> y = -8; 5) S(0 9), =-,5 -> y = -,5 +9; 6) S(0 0), =0,5 -> y = 0,5. Aufgbe 6: Bestimme die Funktionsgleichungen der Normlrbeln y = ++q bzw. der llgemeinen Prbeln y = +c us den Grhen. Vorgehensweise: I. Normlrbeln: Zum Grhen der jeweiligen Prbelfunktion y = ++q ist der Scheitelunkt S(d c) zu ermitteln; es ergibt sich die Scheitelform y = ( d) + c und drus die Normlform. II. Allgemeine Prbeln: Zum Grhen der jeweiligen Prbelfunktion y = +c ist zunächst der Scheitelunkt S(0 c) und dmit der Koeffizient c zu ermitteln. Der Koeffizient knn dnch durch Punktrobe mit einem geeigneten Prbelunkt P( y) bestimmt oder ls Differenz von y-wert n der Stelle = und Koeffizient c errechnet werden. Lösungen: ) S(0-5), = -> y = -5; ) S(0,5), =-0,5 -> y = -0,5 +,5; ) S(- ), = -> y = +4+6; 4) S(4-9), = -> y = -8+7; 5) S(0 4), =- -> y = - +4; 6) S(0 4), =0,5 -> y = 0,5 +4. Aufgbe 7: Bestimme den Scheitelunkt der Norml- bzw. llgemeinen Prbel y. ) y = 0,5 b) y = ( 5) + c) y = 7 + d) y = + 8 Michel Buhlmnn, Mthemtik-Aufgbenol > Normlrbeln, sezielle llgemeine Prbeln I 4

5 e) y = f) y = (+) g) y = ( 4)(+) h) y = + 9 +,5 Vorgehensweise: I. Normlrbeln: ) Aus der Scheitelform der Prbel y = ( d) + c folgen sofort die Koordinten des Scheitelunkts S(d c). b) Ist die Prbel in der Normlform y = ++q gegeben, so führt die qudrtische Ergänzung: y = + + q = q = + + q uf die Scheitelform und den Scheitelunkt S( q ). c) Ist die Prbel in der Form y = ++q gegeben, so bestimmt sich die - Koordinte des Scheitelunkts ls: d = und dem Errechnen der y-koordinten y = Form y = +c hben den Scheitelunkt S(0 c)., so dss mit dem Einsetzen des Wertes = in die Prbelgleichung q = c der Scheitelunkt S(d c) ergibt. II. Allgemeine Prbeln der Lösungen: ) S(0 -); b) S(5 ); c) S(,5-0,5); d) S(0 8); e) S(-7-58); f) S(- -); g) S(0,5 -,5); h) S(-4,5 ). Aufgbe 8: Wndle die Funktionsgleichung der Normlrbel y von der Scheitel- in die Normlform bzw. von der Norml- in die Scheitelform um. ) y = (+) 5 b) y = c) y = d) y = ( ) + 4 e) y = f) y = + g) y = h) y = ( ) + 9 Vorgehensweise: I. Scheitelform -> Normlform: Aus Scheitelform der Normlrbel y = (-d) +c folgt die Normlform y = ++q, wenn die Klmmer in der Scheitelform mit Hilfe der binomischen Formeln ufgelöst wird. II. Normlform -> Scheitelform: ) Ist die Prbel in der Normlform y = ++q gegeben, so führt die qudrtische Ergänzung: y = + + q = q = + + q uf die Scheitelform und den Scheitelunkt S( q des Scheitelunkts ls: d = Errechnen der y-koordinten y = folgt. ). b) Ist die Prbel in der Normlform y = ++q gegeben, so bestimmt sich die -Koordinte, so dss mit dem Einsetzen des Wertes = in die Prbelgleichung und dem q = c der Scheitelunkt S(d c) ergibt, worus die Scheitelform y = ( d) + c Lösungen: ) y = +-4; b) y = (+) ; c) y = (-6,5),5; d) y = 0,5+8/48; e) y = (-,5) 0,5; f) y = (+) ; g) y = (+5) 8; h) y = 6+9/9. Aufgbe 9: Welche Prbelgleichungen gehören zu welchen Prbelkurven? Prbelgleichungen: A: y = B: y = ( ) + 4 C: y = - D: y = + + E: y = F: y = + 6 Michel Buhlmnn, Mthemtik-Aufgbenol > Normlrbeln, sezielle llgemeine Prbeln I 5

6 Prbelkurven: Vorgehensweise: I. Normlrbeln: ) Aus der Scheitelform der Prbel y = ( d) + c folgen sofort die Koordinten des Scheitelunkts S(d c). b) Ist die Prbel in der Normlform y = ++q gegeben, so führt die qudrtische Ergänzung: y = + + q = q = + + q uf die Scheitelform und den Scheitelunkt S( q ). c) Ist die Prbel in der Form y = ++q gegeben, so bestimmt sich die - Koordinte des Scheitelunkts ls: d = und dem Errechnen der y-koordinten y =, so dss mit dem Einsetzen des Wertes = in die Prbelgleichung q = c der Scheitelunkt S(d c) ergibt. II. Allgemeine Prbeln der Form y = +c hben den Scheitelunkt S(0 c). III. Mit dem Scheitelunkt S(d c) lässt sich bei Normlrbeln die Prbelkurve eindeutig ermitteln; bei llgemeinen Prbeln y = +c ist noch der Koeffizient zu bechten, der sich ergibt, wenn mn sich im Koordintensystem vom Scheitelunkt der Prbel Längeneinheit nch rechts und Längeneinheiten nch oben (>0) bzw. unten (<0) fortbewegt, um den Prbelunkt der Stelle d+ zu erreichen. Lösungen: A ; B ; C 6; D ; E 4; F 5. Michel Buhlmnn, Mthemtik-Aufgbenol > Normlrbeln, sezielle llgemeine Prbeln I 6

7 Aufgbe 0: Zeichne die Norml- und llgemeinen Prbeln y in ein geeignetes -y-koordintensystem. ) y = ( 4) 7 b) y = - c) y = 0,5 + d) y = e) y = f) y = +5 4 g) y = 6 h) y = (+) Vorgehensweise: I. Liegt die Scheitelform der Normlrbel y = ( d) + c vor, so ergibt sich sofort der Scheitelunkt S(d c); im Fll der Normlform y = ++q knn die Bestimmung des Scheitelunkts S(d c) mit Hilfe der qudrtischen Ergänzung erfolgen: d = y = + + q = q = + + q oder vermöge, so dss sich mit dem Einsetzen des Wertes = Koordinten y = in die Prbelgleichung und dem Errechnen der y- q = c der Scheitelunkt S(d c) ergibt. II. Eine -y-wertetbelle ergänzt die Bestimmung des Scheitelunkts S(d c), wobei wegen der Symmetrie der links und rechts vom Scheitel liegenden Prbelunkte die Gleichheit der y-werte der Prbelunkte gilt (besonders bei gnzzhligen -Werten in der Tbelle); nsonsten können vom gegebenen Scheitelunkt bzw. von einem vorhergehenden Prbelunkt us im -y-koordintensystem eine Längeneinheit nch rechts bzw. links und,, 5, 7, (ungerde Zhlen ufsteigend) Längeneinheiten nch oben (>0) bzw. unten (<0) zum nächsten Prbelunkt bgemessen werden (Normlrbel: =). Lösungen: ) S(4-7), Normlrbel; b) S(0 0), =-, llgemeine Prbel; c) S(0 ), =0,5, llgemeine Prbel; d) S(,5 -,5), Normlrbel; e) S(- -9), Normlrbel; f) S(0 5), =-0,5, llgemeine Prbel; g) S(0,5-6,5), Normlrbel; h) S(- -), Normlrbel. Aufgbe : Bestimme die Nullstellen der Norml- und llgemeinen Prbel y. ) y = 8 b) y = c) y = 5 d) y = 4 e) y = (+5) 9 f) y = + 4 g) y = h) y = + Michel Buhlmnn, Mthemtik-Aufgbenol > Normlrbeln, sezielle llgemeine Prbeln I 7

8 Vorgehensweise: I. Normlrbeln: Zur Bestimmung der Nullstellen der Normlrbel y = ( d) + c = ++q ist die Gleichung: y = 0 zu lösen. Dies geschieht uf Grund von: ) (Scheitelform:) (-d) +c = 0 => = d ± c, (rein qudrtische Gleichung) sowie: b) (Normlform:) ++q = 0 =>, = ± q (-q-formel). Im Fll der Eistenz der Lösungen, heißen die Nullstellen: N ( 0), N ( 0). II. Allgemeine Prbeln: Zur Bestimmung der Nullstellen der llgemeinen Prbel y = +c ist die Gleichung: y = 0 zu lösen. Dies geschieht uf Grund von: +c = 0 => c, (rein qudrtische Gleichung). Im Fll der Eistenz der Lösungen, heißen die Nullstellen: N ( 0), N ( 0). y= +0,5 5: S(-0,5-5,065), Q=S y(0-5), N (-,5 0), N ( 0) Lösungen: ) N (- 0), N ( 0); b) keine Nullstellen; c) N (0 0), N (5 0); d) N (- 0), N ( 0); e) N (-8 0), N (- 0); f) N (-8 0), N (4 0); g) N (- 6 0), N ( 6 0); h) N ( 0), N( 0). Aufgbe : Bestimme die Schnittunkte der llgemeinen Prbel y mit den Achsen des Koordintensystems. ) y = b) y = -,5 + 6 c) y = + d) y = e) y = (-) + 5 f) y = 0,5 8 g) y = h) y = + 0 Vorgehensweise: I. Normlrbeln: ) Schnittunkt mit der y-achse: Aus =0 folgt für y = ++q mit y = q der y- Achsenbschnittsunkt Q=S y(0 q). b) Schnittunkte mit der -Achse: Zur Bestimmung der Nullstellen der Normlrbel y = ( d) + c = ++q ist die Gleichung: y = 0 zu lösen. Dies geschieht uf Grund von: ) (Scheitelform:) (-d) +c = 0 =>, = d ± c (rein qudrtische Gleichung) sowie: ) (Normlform:) ++q = 0 => = ± q (-q-formel). Im Fll der Eistenz der Lösungen, heißen die Nullstellen: N ( 0), N ( 0). II. Allgemeine Prbeln: ) Schnittunkt mit der y-achse: Aus =0 folgt für y = +c mit y = c der y-achsenbschnittsunkt Q=S y(0 c). b) Schnittunkte mit der -Achse: Zur Bestimmung der Nullstellen der llgemeinen Prbel y = +c ist die Gleichung: y = 0 zu lösen. Dies geschieht uf Grund von: +c = 0 => Eistenz der Lösungen, heißen die Nullstellen: N ( 0), N ( 0). c, (rein qudrtische Gleichung). Im Fll der Lösungen: ) S y(0 4), N( 0) = S( 0); b) S y(0 6) = S(0 6), N (- 0), N ( 0); c) S y(0 ) = S(0 ), keine Nullstellen; d) S y(0-4), N (-7 0), N ( 0); e) S y(0 9), keine Nullstellen; f) S y(0-40,96), N (-4 0), N (4,5 0); g) S y(0 5), keine Nullstellen; h) S y(0 0) = N (0 0), N (-0 0)., Aufgbe : Für die gegebenen Prbeln y sind der Scheitelunkt, die Nullstellen und der Schnittunkt mit der y-achse zu bestimmen. ) y = 0,4 b) y = -0,5 + 8 c) y = (+,5) + d) y = ( ) 4 e) y = f) y = + 0,5 5 g) y = h) y = i) y = 80 j) y = (+4,5) 5 Michel Buhlmnn, Mthemtik-Aufgbenol > Normlrbeln, sezielle llgemeine Prbeln I 8

9 Vorgehensweise: I. Normlrbeln: ) Liegt die Scheitelform der Normlrbel y = ( d) + c vor, so ergibt sich sofort der Scheitelunkt S(d c); im Fll der Normlform y = ++q knn die Bestimmung des Scheitelunkts S(d c) mit Hilfe y = + + q = + +, so dss sich mit dem Einsetzen des Wertes = der qudrtischen Ergänzung erfolgen: oder vermöge d = + q = + + q in die Prbelgleichung und dem Errechnen der y-koordinten y = q = c der Scheitelunkt S(d c) ergibt. b) Schnittunkt mit der y-achse: Aus =0 folgt für y = ++q mit y = q der y-achsenbschnittsunkt Q=S y(0 q). c) Schnittunkte mit der -Achse: Zur Bestimmung der Nullstellen der Normlrbel y = ( d) + c = ++q ist die Gleichung: y = 0 zu lösen. Dies geschieht uf Grund von: ) (Scheitelform:) (-d) +c = 0 =>, = d ± c (rein qudrtische Gleichung) sowie: ) (Normlform:) ++q = 0 => = ± q, (-q-formel). Im Fll der Eistenz der Lösungen, heißen die Nullstellen: N ( 0), N ( 0). II. Allgemeine Prbeln: ) Allgemeine Prbeln der Form y = +c hben den Scheitelunkt S(0 c). b) Schnittunkt mit der y-achse: Aus =0 folgt für y = +c mit y = c der y-achsenbschnittsunkt Q=S y(0 c). c) Schnittunkte mit der -Achse: Zur Bestimmung der Nullstellen der llgemeinen Prbel y = +c ist die Gleichung: y = 0 zu lösen. Dies geschieht uf Grund von: +c = 0 => Eistenz der Lösungen, heißen die Nullstellen: N ( 0), N ( 0). c, (rein qudrtische Gleichung). Im Fll der Lösungen: ) S(0-0,4), N(-, 0), N(, 0), S y(0-0,4); b) S(0 8), N(-4 0), N(4 0), S y(0 8); c) S(-,5 ), S y(0 8,5); d) S( -4), N( 0), N(5 0), S y(0 5); e) S(,5-0,5), N( 0), N( 0), S y(0 6); f) S(-0,5-5,065), N(-,5 0), N( 0), S y(0-5); g) S(0 ), S y(0 ); h) S(- ), S y(0 6); i) S( -8), N(-8 0), N(0 0), S y(0-80); j) S(-4,5-5), N(-9,5 0), N(0,5 0), S y(0-4,75). Aufgbe 4: Berechne die Schnittunkte zwischen Prbel und Gerde. ) y = +, y = - 7 b) y = + 5, y = 4 + c) y = (+), y = -4 d) y = + +, y = - e) y = 5 + 7, y = 0,5 f) y = 5 + 8,5, y = g) y = 5, y = h) y = (+0,5) 5, y = - i) y = ( ) +, y = 6 0 j) y = , y = k) y = +, y = -0, l) y = - + 6, y = + 0 y=- +, y=0,5,5: S (- -4), S (,5 -,75) Vorgehensweise: I. Normlrbeln: Zur Bestimmung der Schnittunkte zwischen der Prbel y = ++q und der Gerden y = m+b ist die Gleichung: ++q = m+b zu lösen, d.h. eine qudrtische Gleichung (*) der Form: +(b-m)+q-b = 0, die nch der -q-formel die (eventuellen) Lösungen: m b m b + b q besitzt. Mit den y-werten, y, = m, + b =, +, + q ergeben sich die Schnittunkte S ( y ), S ( y ). II. Allgemeine Prbeln: Zur Bestimmung der Schnittunkte zwischen der Prbel y = +c und der Gerden y = m+b ist die Gleichung: +c = m+b zu lösen, d.h. eine qudrtische Gleichung (**) der Form: m+c-b = 0 bzw.: m/+(c-b)/ = 0, die nch der -q-formel die (eventuellen) Lösungen: m m b c + besitzt. Mit den y-werten, y, = m, + b =, + c ergeben sich die Schnittunkte S ( y ), S ( y ). III. Ht die Gleichung (*) bzw. (**) zwei Lösungen, ist die Gerde eine Seknte zur Prbel, ht die Gleichung (*) eine Lösung, eine Tngente, ht die Gleichung (*) keine Lösung, eine Pssnte. Michel Buhlmnn, Mthemtik-Aufgbenol > Normlrbeln, sezielle llgemeine Prbeln I 9

10 Lösungen: ) S (-5 8), S ( -0); b) S (- 7), S ( ); c) keine Schnittunkte; d) S (- -); e) keine Schnittunkte; f) S (,5 ), g) S ( -7), S ( -5); h) S (-9/6 9/9), S (,5 -); i) S (5 0); j) S (-4-4), S (- ); k) S (0,4 4,04), S (,5 5,5); l) S (- 4), S ( ). Aufgbe 5: Berechne die Schnittunkte zwischen den Prbeln. ) y = +, y = b) y = 4, y = 0,5,5 c) y = + 4, y = + + d) y = + 5, y = e) y = 7 +, y = +,5 f) y = ( ) + 6, y = + 5 0,5 g) y= (+5,5), y = ( 4) + 5,5 h) y = y = i) y = +, y = + j) y = (+) +, y = k) y = ( 4) 0, y = l) y = +, y= ( 5) +,5 y= 4 5, y=-0,5 7: S ( ), S( -9) Vorgehensweise: I. Zur Bestimmung der Schnittunkte zwischen zwei Normlrbeln y = + +q und y = + +q ist die Gleichung: + +q = + +q zu lösen, d.h. es ergibt sich eine linere Gleichung (*) der Form: ( - ) = q -q, die ls q Lösung: q = besitzt ( ). Mit dem y-wert + + q = + q y = + ergibt sich der Schnittunkt S ( y ). II. Zur Bestimmung der Schnittunkte zwischen einer Normlrbel y = ++q und einer llgemeinen Prbel y = +c ergibt sich die qudrtische Gleichung: ++q = +c, d.h. es ergibt sich die qudrtische Gleichung (**) von der Form: (-) +c-q = 0 bzw.: /(-)+(c-q)/(-) mit den (eventuellen) Lösungen:, ( ) ( ) q c + ( ). Mit den y- Werten y, =, +, + q =, + c ergeben sich die Schnittunkte S ( y ), S ( y ). III. Zur Bestimmung der Schnittunkte zwischen zwei llgemeinen Prbeln y = +c und y = +c ist die Gleichung +c = +c, d.h. es ergibt sich die rein qudrtische Gleichung (***) der Form: ( - ) = c -c mit den (eventuellen) Lösungen: c c, ( ). Mit den y-werten,, + c =, c y = + ergeben sich die Schnittunkte S ( y ), S ( y ). IV. Die qudrtischen Gleichungen (**) und (***) können zwei Lösungen, eine Lösung oder keine Lösung hben, die linere Gleichung (*) eine oder keine Lösung. Lösungen: ) S (- 6), S ( 6); b) S (- -), S ( -); c) S (7 74); d) S (0 5); e) S ( ); f) S (,5 8,5); g) S ( 56,5); h) S (-5-5), S ( 6); i) S ( 4), S (,5 48,75); j) S (-0 67), S (5 5); k) keine Schnittunkte; l) S ( 7,5), S (7 47,5). Aufgbe 6: ) Ermittle den Flächeninhlt des Dreiecks, ds im -y-koordintensystem Scheitel und Nullstellen der Prbel y = 8 ls Ecken ht. b) Ermittle den Flächeninhlt des Dreiecks, ds im -y-koordintensystem y-achsenbschnittsunkt und Nullstellen der Prbel y = 7+6 ls Ecken ht. c) Wie groß ist der Umfng des Dreiecks, dessen Ecken Scheitel und Nullstellen der Prbel y = 6,5 sind? d) Wie groß ist der Flächeninhlt des Dreiecks, ds im -y-koordintensystem Scheitel, y- Achsenbschnittsunkt und ositive Nullstelle der Prbel y = 5 6 ls Ecken ht? Vorgehensweise: I. Normlrbeln: ) Liegt die Scheitelform der Normlrbel y = ( d) + c vor, so ergibt sich sofort der Scheitelunkt S(d c); im Fll der Normlform y = ++q knn die Bestimmung des Scheitelunkts S(d c) mit Hilfe Michel Buhlmnn, Mthemtik-Aufgbenol > Normlrbeln, sezielle llgemeine Prbeln I 0

11 y = + + q = + +, so dss sich mit dem Einsetzen des Wertes = der qudrtischen Ergänzung erfolgen: oder vermöge d = + q = + + q in die Prbelgleichung und dem Errechnen der y-koordinten y = q = c der Scheitelunkt S(d c) ergibt. b) Schnittunkt mit der y-achse: Aus =0 folgt für y = ++q mit y = q der y-achsenbschnittsunkt Q=S y(0 q). c) Schnittunkte mit der -Achse: Zur Bestimmung der Nullstellen der Normlrbel y = ( d) + c = ++q ist die Gleichung: y = 0 zu lösen. Dies geschieht uf Grund von: ) (Scheitelform:) (-d) +c = 0 =>, = d ± c (rein qudrtische Gleichung) sowie: ) (Normlform:) ++q = 0 = ± => q, (-q-formel). Im Fll der Eistenz der Lösungen, heißen die Nullstellen: N ( 0), N ( 0). II. Allgemeine Prbeln: ) Allgemeine Prbeln der Form y = +c hben den Scheitelunkt S(0 c). b) Schnittunkt mit der y-achse: Aus =0 folgt für y = +c mit y = c der y-achsenbschnittsunkt Q=S y(0 c). c) Schnittunkte mit der -Achse: Zur Bestimmung der Nullstellen der llgemeinen Prbel y = +c ist die Gleichung: y = 0 zu lösen. Dies geschieht uf Grund von: +c = 0 => c, (rein qudrtische Gleichung). Im Fll der Eistenz der Lösungen, heißen die Nullstellen: N ( 0), N ( 0). III. Es gilt für ein Dreieck ΔABC zwischen Scheitel, y-achsenbschnitt und/oder Nullstellen einer llgemeinen Prbel: Fläche A = gh/ (g ls Grundseite, h ls Höhe); Umfng u = AB + BC + AC mit: PQ = ( Q P ) + ( yq yp ) für Punkte P( P y P), Q( Q y Q) ls Abstnd. Für ein Dreieck ΔABC lässt sich die Fläche uch ls Fläche eines ds Dreieck umfssenden Rechtecks minus der Flächen n ds Dreieck ngrenzender rechtwinkliger Dreiecke berechnen. ) b) c) d) Lösungen: ) S( -9), S y(0-8), N (- 0), N (4 0) -> g=6, h=9 -> A=7 FE; b) S y(0 6), N ( 0), N (6 0) -> g=5, h=6 -> A=5 FE; c) S(0 6) = S y(0 6), N ( 8 0), N 8 6 ( 0) -> N N =, SN = SN = 6, -> u = 7,77 LE; d) S(,5 -,5), S y(0-6), [N (- 0)], N (6 0) -> Rechteckfläche A R, Flächen rechtwinkliger Dreiecke A, A, A -> A = A R A A A = 6,5,5,5/ 6 6/,5 6,5/ = 6,5 FE. Aufgbe 7: ) Bestimme den Abstnd zwischen den Schnittunkten der Prbel y = + und der Gerden y = +. b) Die Prbel : y = 8+ wird um 5 Längeneinheiten nch links und um 6 Längeneinheiten nch oben zur Prbel verschoben. Wo schneiden sie die beiden Prbeln? c) Gegeben sind die Prbeln : y = +8 und : y =. Die Scheitelunkte bilden zusmmen mit den Schnittunkten der beiden Prbeln ein Viereck. Berechne den Flächeninhlt 5 0 dieses Vierecks. Um welche Art von Viereck hndelt es sich? d) Die Schnittunkte von Prbel y = +8 und Gerden y = -4+0 bilden zusmmen mit dem Scheitelunkt der Prbel ein Dreieck. Berechne dessen Umfng. Vorgehensweise: I. Zur Bestimmung der Schnittunkte zwischen zwei Normlrbeln y = + +q und y = + +q ist die Gleichung: + +q = + +q zu lösen, d.h. es ergibt sich eine linere Gleichung (*) der Form: ( - ) = q - q q, die ls Lösung: q = besitzt ( ). Mit dem y-wert y = + + q = + + q ergibt sich der Schnittunkt S ( y ). II. Zur Bestimmung der Schnittunkte zwischen einer Normlrbel y = ++q und einer llge- Michel Buhlmnn, Mthemtik-Aufgbenol > Normlrbeln, sezielle llgemeine Prbeln I

12 meinen Prbel y = +c ergibt sich die qudrtische Gleichung: ++q = +c, d.h. es ergibt sich die qudrtische Gleichung (**) der Form: (-) +c-q = 0 bzw.: /(-)+(c-q)/(-) mit den (eventuellen) Lösungen: q c, + ( ). Mit den y-werten y, =, +, + q =, + c ( ) ( ) ergeben sich die Schnittunkte S ( y ), S ( y ). III. Zur Bestimmung der Schnittunkte zwischen zwei llgemeinen Prbeln y = +c und y = +c ist die Gleichung +c = +c, d.h. es ergibt sich die rein qudrtische Gleichung (***) der Form: ( - ) = c -c mit den (eventuellen) Lösungen:,, + c =, c c c, ( ). Mit den y-werten y = + ergeben sich die Schnittunkte S ( y ), S ( y ). IV. Der Abstnd zwischen zwei (Schnitt-) Punkten P( P y P), Q( Q y Q) berechnet sich ls: PQ = ( Q P ) + ( yq yp ). V. V>0 bedeutet eine Verschiebung (um V Längeneinheiten) nch rechts, V<0 nch links; y V>0 bedeutet eine Verschiebung nch oben, y v<0 nch unten. Mit der Scheitelform y = (-d) +c ist die Gleichung der verschobenen Prbel y = (-d- V) +c+y V, us dem Scheitelunkt S(d c) wird durch Verschiebung um V bzw. y V der Scheitelunkt S (d- V c+y V). VI. Für einen Drchen ABCD gilt: Fläche A = ef/ (e, f ls Digonlen). VII. Es gilt für ein Dreieck ΔABC: Umfng u = AB + BC + AC mit: PQ = ( Q P ) + ( yq yp ) für Punkte P( P y P), Q( Q y Q) ls Abstnd. ) b) c) d) Lösungen: ) S (-9-5), S ( 9), S S = 6,8 LE; b) y = 8+ -> S(4 -) -> Verschiebung -> S (- ) -> y = ++4 -> Schnittunkt P(0,9 6,6); c) -> S (0 8), -> S (0 0), Schnittunkte P (-4 4,8), P (4 4,8) -> Drche S P S P -> e=9,6, f=8 -> A = ef/ = 8,4 FE; d) Schnittunkte P(-0 0), Q(- -), Scheitel S(-4-6) -> u = PQ + PS + QS = +6,5+4,47 = 7,97 LE. Aufgbe 8: ) Wie lutet die Gleichung der Gerden durch den Scheitel und den y-achsenbschnittsunkt der Prbel y = 7+0? b) Die Prbeln : y = +4+4 und : y = - +8 schneiden sich in zwei Schnittunkten. Wie lutet der Gleichung der Gerden durch diese Schnittunkte? c) Eine Normlrbel schneidet die Gerde y = +7 n den Stellen =- und =. Bestimme die Gleichung der Prbel. d) Wie heißt Gleichung der Gerden y = m+, die Tngente n die Prbel y = 6+4 ist? Bestimme die Gerdensteigung m. Wie lutet der Schnittunkt von Tngente und Prbel? Vorgehensweise: I. Normlrbeln: ) Liegt die Scheitelform der Normlrbel y = ( d) + c vor, so ergibt sich sofort der Scheitelunkt S(d c); im Fll der Normlform y = ++q knn die Bestimmung des Scheitelunkts S(d c) mit Hilfe y = + + q = + +, so dss sich mit dem Einsetzen des Wertes = der qudrtischen Ergänzung erfolgen: oder vermöge d = Michel Buhlmnn, Mthemtik-Aufgbenol > Normlrbeln, sezielle llgemeine Prbeln I + q = + + q in die Prbelgleichung und dem Errechnen der y-koordinten y = q = c der Scheitelunkt S(d c) ergibt. b) Schnittunkt mit der y-achse: Aus =0 folgt für y = ++q mit y = q der y-achsenbschnittsunkt Q=S y(0 q). c) Schnittunkte mit der -Achse: Zur Bestimmung der Nullstellen der Normlrbel y = ( d) + c = ++q ist die Gleichung: y = 0 zu lösen. Dies geschieht uf Grund von: ) (Scheitelform:) (-d) +c = 0 => = d ± c, (rein qudrtische Gleichung) sowie: ) (Normlform:) ++q = 0

13 => = ± q, (-q-formel). Im Fll der Eistenz der Lösungen, heißen die Nullstellen: N ( 0), N ( 0). II. Allgemeine Prbeln: ) Allgemeine Prbeln der Form y = +c hben den Scheitelunkt S(0 c). b) Schnittunkt mit der y-achse: Aus =0 folgt für y = +c mit y = c der y-achsenbschnittsunkt Q=S y(0 c). c) Schnittunkte mit der -Achse: Zur Bestimmung der Nullstellen der llgemeinen Prbel y = +c ist die Gleichung: y = 0 zu lösen. Dies geschieht uf Grund von: +c = 0 => c, (rein qudrtische Gleichung). Im Fll der Eistenz der Lösungen, heißen die Nullstellen: N ( 0), N ( 0). III. ) Zur Bestimmung der Schnittunkte zwischen der Prbel y = ++q und der Gerden y = m+b ist die Gleichung: ++q = m+b zu lösen, d.h. eine qudrtische Gleichung (*) der Form: +(b-m)+q-b = 0, die nch der -q-formel die (eventuellen) Lösungen: m b m b + b q besitzt. Mit den y-werten y = m + b = + + q ergeben sich die,,,,, Schnittunkte S ( y ), S ( y ). b) Zur Bestimmung der Schnittunkte zwischen der Prbel y = +c und der Gerden y = m+b ist die Gleichung: +c = m+b zu lösen, d.h. eine qudrtische Gleichung (**) der Form: m+c-b = 0 bzw.: m/+(c-b)/ = 0, die nch der -q-formel die (eventuellen) Lösungen: m m b c + besitzt. Mit, den y-werten y, = m, + b =, + c ergeben sich die Schnittunkte S ( y ), S ( y ). c) Ht die Gleichung (*) bzw. (**) zwei Lösungen, ist die Gerde eine Seknte zur Prbel, ht die Gleichung (*) eine Lösung, eine Tngente, ht die Gleichung (*) keine Lösung, eine Pssnte. Im Fll der Tngente müssen die Diskriminnten der Wurzeln in den Lösungen gleich 0 sein, lso: (*) -> m b + b q = 0, (**) -> m b c + = 0, worus m bzw. b der Tngenten zu bestimmen sind. IV. ) Zur Bestimmung der Schnittunkte zwischen zwei Normlrbeln y = + +q und y = + +q ist die Gleichung: + +q = + +q zu lösen, d.h. es ergibt sich eine linere Gleichung (*) der Form: q ( - ) = q -q, die ls Lösung: q = besitzt ( ). Mit dem y-wert y = + + q = + + q ergibt sich der Schnittunkt S ( y ). b) Zur Bestimmung der Schnittunkte zwischen einer Normlrbel y = ++q und einer llgemeinen Prbel y = +c ergibt sich die qudrtische Gleichung: ++q = +c, d.h. es ergibt sich die qudrtische Gleichung (**) der Form: (-) +c-q = 0 bzw.: /(-)+(c-q)/(-) mit den (eventuellen) Lösungen:, ( ) ( ) q c + ( ). Mit den y- Werten y, =, +, + q =, + c ergeben sich die Schnittunkte S ( y ), S ( y ). c) Zur Bestimmung der Schnittunkte zwischen zwei llgemeinen Prbeln y = +c und y = +c ist die Gleichung +c = +c, d.h. es ergibt sich die rein qudrtische Gleichung (***) der Form: ( - ) = c -c mit den (eventuellen) Lösungen: c c, ( ). Mit den y-werten y, =, + c =, + c ergeben sich die Schnittunkte S ( y ), S ( y ). V. Aus zwei Punkten P( P y P), Q( Q y Q) lässt sich eine Gerde der Form y = m+b bestimmen mit: m = y Q Q y P P und b = y P m P. Liegt ein Punkt P( P y P) und die Steigung m vor, so lässt sich b = y P m P direkt bestimmen. VI. Für eine nch oben geöffnete Normlrbel y = ++q bestimmen sich us zwei Punkten P( P y P), Q( Q y Q) die Koeffizienten, q mit Hilfe eines lineren Gleichungssystems (Additions-, Gleichsetzungsverfhren). ) b) c) d) Lösungen: ) Prbel -> S(,5 -,5), S y(0 0) -> Gerde y = -,5+0; b) Schnittunkte S (- ), S ( 6) -> Gerde y = +0; c) Schnittunkte S (- ), S ( ) -> Normlrbel y = ++; d) m=-4 -> Tngente y = -4+ -> Schnittunkt P( -). Michel Buhlmnn, Mthemtik-Aufgbenol > Normlrbeln, sezielle llgemeine Prbeln I

14 Abkürzungen: FE = Flächeneinheiten, LE = Längeneinheiten. /.07 / Mthemtik-Aufgbenool: Normlrbeln, sezielle llgemeine Prbeln / Aufgben Michel Buhlmnn, Mthemtik-Aufgbenol > Normlrbeln, sezielle llgemeine Prbeln I 4