Ein Kluger denkt so viel, dass er keine Zeit zum Reden hat. Ein Dummer redet so viel, dass er keine Zeit zum Denken hat. (Anonym)
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- Elmar Martin
- vor 6 Jahren
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1 Ein Kluger dent so viel, dss er eine Zeit zum Reden ht. Ein Dummer redet so viel, dss er eine Zeit zum Denen ht. (Anonym)
2 6 Gnzrtionle Funtionen 6 Gnzrtionle Funtionen Wir wollen nun uch Funtionen betrchten, in welchen die Vrible uch in einer höheren Potenz, lso in der dritten, vierten oder uch in einer noch höheren uftritt. 6. Gnzrtionle Funtionen Eine Funtion f : x f (x) ; ID f IR mit n n f (x) x x... x x, n IN wobei n n 0 n n 0,,...,,, IR nennt mn eine gnzrtionle Funtion. Ist n 0, so ht die Funtion den Grd n. Den Grph einer gnzrtionlen Funtion vom Grd n nennt mn eine Prbel n-ter Ordnung. Bspe:.) f (x) x Die Funtion f ist eine gnzrtionle Funtion. Grdes (linere Funtion), ihr Grph ist eine Prbel. Ordnung (Gerde)..) f (x) x x Die Funtion f ist eine gnzrtionle Funtion. Grdes (qudrtische Funtion), ihr Grph ist eine Prbel. Ordnung (Prbel)..) f (x) x 6x 7 Die Funtion f ist eine gnzrtionle Funtion. Grdes, ihr Grph ist eine Prbel. Ordnung. 4 4.) f (x) x x 6x x 7 Die Funtion f ist eine gnzrtionle Funtion 4. Grdes, ihr Grph ist eine Prbel 4. Ordnung. Bemerung: Jede Potenzfuntion ist eine gnzrtionle Funtion. 6. Nullstellen gnzrtionler Funtionen Um den Verluf des Grphen einer gnzrtionlen Funtion zu bestimmen ist es wichtig dessen Schnittstellen mit der x-achse zu ennen. Definition: (Nullstellen) Unter den Nullstellen der gnzrtionlen Funtion f mit f : x Lösungen der Gleichung f (x) 0 f (x) versteht mn die f x mx t 0 Linere Gleichung f x x bx c 0 Qudrtische Gleichung Aber wie bestimmt mn die Nullstellen einer gnzrtionlen Funtion vom Grd oder sogr vom Grd 4? W. Str; Berufliche Oberschule Freising
3 6 Gnzrtionle Funtionen 6.. Nullstellenbestimmung durch Ftorisieren Liegt der Funtionsterm in ftorisierter Form vor, so lssen sich die Nullstellen gnz einfch blesen. Mn mcht hierbei von der Nullprodutregel Gebruch. Ein Produt ist Null, wenn mindestens einer seiner Ftoren den Wert Null ht. Bspe.: Geben Sie die Nullstellen folgender Funtionen n! f x x x.).) f x x x x 4.) f x x x 4.) f x x x f x x x 4 5.) Berechne zunächst die Nullstellen der Funtion f! 8 4 f (x) x x 4 0 x Somit lässt sich die Funtion f folgendermßen schreiben: f x x x 4 Zur Kontrolle: f x x x 4 x x 4x 8 x x 4 6.) f x x x 6x Aufgben:. Ftorisieren Sie folgende Funtionsterme und geben Sie die Nullstellen n. f x x x x ) b) f x x x 4 c) f x x x f x x x x 4 d) f x x x e) 4 4 f x x x f) f x x x 4 g) f x x x h) 4 i) f x 4 x 6x 9 x f x x x j) 9 f x x x ) Eine gnzrtionle Funtion f dritten Grdes ht die Nullstellen ; und. Wie lutet ein möglicher Funtionsterm? f (x) x x x x 4 x x x 4x W. Str; Berufliche Oberschule Freising
4 6 Gnzrtionle Funtionen Eine qudrtische Funtion ht nur die Nullstelle. Wie lutet ein möglicher Funtionsterm? f (x) x Eine gnzrtionle Funtion f dritten Grdes ht nur die Nullstelle. Wie lutet ein möglicher Funtionsterm? f (x) x f (x) x x 6.. Mehrfche Nullstellen Ist eine gnzrtionle Funtion f vollständig ftorisiert, so nennt mn den Exponenten IN des Ftors Die Vielfchheit sgt us, wie oft der Wert vorommt. 4 Ist lso f (x) x x x 5 x x N die Vielfchheit der Nullstelle x N. x ls Lösung der Gleichung N f x 0, so ist x eine vierfche, x eine dreifche und x 5 eine einfche Nullstelle von f (x). Beispiele: Gib von folgenden Funtionen die Nullstellen und deren Vielfchheiten n!.) f x x x x 7.) f x x x.) f x x x x 4.) f x x 4 x 5.) f x x x x 6.) f x x 4x 4x 4x 4 Doch wie sieht so eine Nullstelle mit Vielfchheit us? Einfche Nullstellen: f x 0,5x 0,5 x.) x ist eine einfche Nullstelle. f x x x 4 x x.) 4 4 x und x 4 sind je einfche Nullstellen. W. Str; Berufliche Oberschule Freising 4
5 6 Gnzrtionle Funtionen.) f x 0,5x x 4 0,5x x x x, x 0 und x sind je einfche Nullstellen. Bei einfchen Nullstellen schneidet der Grph der Funtion die x-achse in den Nullstellen, es ommt zu einem Vorzeichenwechsel. Doppelte Nullstellen:.) f x 0,5 x 0,5x x x ist eine doppelte Nullstelle ) f x x x x x x und x sind je doppelte Nullstellen. 4 4 f x x x x x x.) x ist eine einfche und x eine doppelte Nullstelle. Bei doppelten Nullstellen berührt der Grph der Funtion die x-achse in den Nullstellen, es ommt zu einem Vorzeichenwechsel. W. Str; Berufliche Oberschule Freising 5
6 6 Gnzrtionle Funtionen Dreifche Nullstellen:.) f x x x x x x ist eine dreifche Nullstelle..) 4 f x x x x 6x x 8x x ist eine dreifche Nullstelle, x 0 ist eine einfche Nullstelle. Bei dreifchen Nullstellen berührt der Grph der Funtion die x-achse schneidend. (Berührend schneidend!) Es ommt zu einem Vorzeichenwechsel. Allgemein gilt bei Einfchen Nullstellen wird die x-achse vom Grphen geschnitten (Vorzeichenwechsel!) Doppelten Nullstellen wird die x-achse vom Grphen berührt (ein Vorzeichenwechsel!) Dreifchen Nullstellen wird die x-achse vom Grphen berührend geschnitten (Vorzeichenwechsel!) W. Str; Berufliche Oberschule Freising 6
7 6 Gnzrtionle Funtionen 6.. Nullstellenbestimmung durch Polynomdivision Bestimmen Sie sämtliche Nullstellen der Funtion f x x x 4x 8 (Dieses Verfhren ist etws unmthemtisch, d mn zunächst eine Nullstelle errten muss!!!).. Nullstelle errten f () 9 f () 0 x ist eine Nullstelle der Funtion f..polynomdivision (ohne Rest) x x 4x 8 : x x 4x 4 x x 4x 4x 4x 8x 4x 8 4x 8. Bestimmung weiterer Nullstellen x 4x 4 0 x 0 x ist eine doppelte Nullstelle 4. Zerlegung von f(x) und Nullstellen mit Vielfchheit f (x) x x 4x 8 x x x ist eine einfche Nullstelle x ist eine doppelte Nullstelle Allgemein gilt: Die Nullstellen einer gnzrtionlen Funtion f dritten Grdes findet mn nch folgendem Schem:. Nullstelle x errten x 0; ; ;. Funtion f durch x x dividieren (Polynomdivision). Quotiententerm gleich Null setzten und mit der Lösungsformel die restlichen Nullstellen x und x bestimmen. 4. Zerlegung und Nullstellen ngeben! Aufgben:. Bestimmen Sie die Nullstellen der folgenden Funtionen und geben Sie uch deren Vielfchheiten n. Sizzieren Sie, wenn möglich den Funtionsgrphen f x x x x 0 ) b) f x x x 8x c) f x x 7x 6 W. Str; Berufliche Oberschule Freising 7
8 6 Gnzrtionle Funtionen d) f x x x e) f x x 9x 7x 7 f) f x x x 5x 5 g) f x x 5x 6 f x x x h) i) f x 6 x x 6 f x x x 4 j) ) 4 f x x x 4 4 Bemerung: Ht mn eine gnzrtionle Funtion 4. Grdes, so muss mn dieses Verfhren zweiml hintereinnder nwenden. Mn muss lso zweiml eine Nullstelle errten!! 6..4 Nullstellenbestimmung durch Substitution Funtionen der Form 4 f x x bx c mit 0 heißen biqudrtische Funtionen, ihre Nullstellen lssen sich durch die Substitutionsmethode bestimmen. 4 Bestimmen Sie die Nullstellen der Funtion f x x 7x Dzu formt mn den Term zunächst ein lein wenig um 4 f x x 7x x 7 x 0 Substitution: x z z 7z 0 z Rücsubstitution: x x x 4 x f x x x x x 4 4 Aufgben:. Bestimmen Sie die Nullstellen folgender Funtionen f x x 5x 44 ) 4 4 b) f x x 9x 0 4 c) f x 6x 6x 5 4 d) f x x x 8 4 e) f x x x 6 f x x x 4 f) 4 4 g) f x x 4 x 4 4 W. Str; Berufliche Oberschule Freising 8
9 6 Gnzrtionle Funtionen Bemerung: Dieses Verfhren der Substitution lässt sich uch bei folgenden Gleichungen nwenden. Verwenden Sie hierbei die Substitution x z. x 8 x 5 0 x 6 x 4 0 x x x 9 0 x Aufgben: 4. Bestimme Sie, in Abhängigeit von IR, die Anzhl der Nullstellen folgender Funtionen. Geben Sie uch die Vielfchheiten der Nullstellen n sowie eine Zerlegung der Funtion f. f x x x ) f x x x x b) f x x x x 4 c) f x x x x 9 d) 4 4 f x x x e) 9 f x x x 4 f) 9 g) f x x 4 x 8 h) f x x x i) f x x x j) f x 9 x x 4 ) f (x) 9 x x 9x 9 l) m) f (x) x x 4 4 f (x) x 4x x 8 6. Schnittstellen zweier Funtionsgrphen Die Schnittstelle zweier Grphen G und G findet mn durch Lösen der Gleichung f g f (x) g(x) f (x) g(x) 0 Die Schnittstellen von f und g sind lso die Nullstellen der Differenzfuntion f g. Ist die Nullstelle der Differenzfuntion f-g einfch, dnn ist die Schnittstelle der beiden Funtionen f und g uch einfch. D bei einer einfchen Nullstelle der Grph der Funtion die x-achse schneidt, schneiden sich lso bei einer einfchen Schnittstelle die Grphen der beiden Funtionen. Bei einer doppelten Schnittstelle berühren sich die beiden Funtionsgrphen ( Berührpunt). Bei einer dreifchen Schnittstelle schneiden sich die beiden Funtionsgrphen berührend ( Wendetngente im Wendepunt). Allgemein gilt: Eine Schnittstelle heißt n-fch, wenn die zugehörige Nullstelle der Differenzfuntion n-fch ist. Für den Schnittpunt zweier Funtionsgrphen gilt dnn: W. Str; Berufliche Oberschule Freising 9
10 6 Gnzrtionle Funtionen mit der Schnittstelle S SxS ys x und mit y f x gx,. S S S Beispiel : Bestimme die Schnittpunte der Grphen der Funtionen und g : x x f : x x x x G f x x x x x x 4 0 f (x) g(x) x x 0 x e inf che Schnittstelle x zweifche Schnittstelle Berechnung der Schnittpunte: S 4 S g() 4 g( ) ist ein einfcher Schnittpunt ist ein doppelter Schnittpunt S S G g Zeichnet mn die beiden Funtionsgrphen, so erennt mn, dss sich bei einem einfchen Schnittpunt die beiden Funtionsgrphen schneiden, bei einem doppelten dgegen nur berühren. Beispiel : Bestimme die Schnittpunte der Grphen der Funtionen und h : x x f : x x x x x x x x x x x 0 f (x) h(x) x 0 x ist eine dreifche Schnittstelle Berechnung des Schnittpuntes: h( ) S ist ein dreifcher Schnittpunt G h S G f Bei einem dreifchen Schnittpunt schneiden sich die beiden Funtionsgrphen berührend. (Berührend schneidend!) Definition: Eine Gerde g heißt Tngente von G im Punt P f () mehrfche Schnittstelle von f und g ist; P heißt Berührpunt. f, wenn zwei- oder Definition: Eine Gerde g heißt Sente von Schnittstelle von f und g ist. G im Punt P f () f, wenn einfche W. Str; Berufliche Oberschule Freising 0
11 6 Gnzrtionle Funtionen Aufgben: 5. Bestimmen Sie die Nullstellen folgender Funtionen sowie deren Schnittpunte. Geben Sie uch deren Vielfchheiten n und sizzieren sie die beiden Funtionsgrphen. f : x x 6x 8x x x x 4 ; g : x x ) b) 9 f : x x x 4 x x ; g : x x 4 c) f : x x x x x ; g : x x d) 4 5 f : x x x x x x x x x x x 5 x 4 ; g : x x 6. Gegeben sind die beiden Funtionen f x x x ; IR und g : x x ) Bestimmen Sie in Abhängigeit von IR die Anzhl, Lge und Vielfchheit der Nullstellen der Funtion f. b) Bestimmen Sie IR so, dss der Punt P4 4 uf dem Grphen der Funtion f liegt. c) Setzen Sie nun. Sie erhlten die Funtion f x x x. Ermitteln Sie nun die Nullstellen der Funtionen f und g. Geben Sie uch deren Vielfchheiten n. d) Ermitteln Sie die Koordinten der Schnittpunte der beiden Funtionsgrphen G f und G g. e) Zeichnen Sie für x die beiden Funtionsgrphen in ein gemeinsmes Koordintensystem ein. 7. Bestimmen Sie die Nullstellen folgender Funtionen sowie deren Schnittpunte. Geben Sie uch deren Vielfchheiten n und sizzieren sie die beiden Funtionsgrphen. ) f : x x x ; g : x x x b) c) d) e) f : x x x ; 4 f : x x x ; 4 f : x x x ; 4 f : x x x g : x x 6x g : x x g : x x ; g : x 4x f) f : x 4x x x 4; g : x 4x 8. Bestimmen Sie den Prmeter IR so, dss sich die Grphen der beiden Funtionen f : x x x und g : x x x berühren. Geben Sie unter Umständen uch die weiteren Schnittpunte n. 9. Bestimmen Sie in Abhängigeit von IR die Anzhl der Schnittstellen der beiden 4 f : x x x und g : x x x Funtionen 0.Bestimmen Sie IR so, dss sich die Grphen der beiden Funtionen und g : x x berühren..bestimmen in Abhängigeit von IR die Anzhl der Nullstellen sowie deren Vielfchheit! f x x x x ) f x x x 4 b) f x x 6x x 6 c) f : x x x W. Str; Berufliche Oberschule Freising
12 6 Gnzrtionle Funtionen f x x x x d) f x x x 4x 4 e) f x x x x f) g) h) f x x x x f x x x x f x x x x i) W. Str; Berufliche Oberschule Freising
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