TECHNISCHE UNIVERSITÄT MÜNCHEN

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Größe: px
Ab Seite anzeigen:

Download "TECHNISCHE UNIVERSITÄT MÜNCHEN"

Transkript

1 TECHNISCHE UNIVERSITÄT MÜNCHEN Zentrum Mthemtik PROF. DR.DR. JÜRGEN RICHTER-GEBERT, VANESSA KRUMMECK, MICHAEL PRÄHOFER Höhere Mthemtik für Informtiker I (Wintersemester 00/00) Aufgbenbltt (. Oktober 00) Präsenzufgben Aufgbe 8. Abgeschlossene Opertoren. Entscheiden Sie, welche der ngegebenen Mengen bezüglich der jeweils ngegebenen Opertionen bgeschlossen sind: N Z {0} Z + Z Q {0} Q + Q R {0} R + R (...)... % von... 00% von... Wenn eine Menge bezüglich der ngegebenen Opertion nicht bgeschlossen ist, wird ein Gegenbeispiel ngegeben. (...)... % von... 00% von... N N N 00 N J Z {0} Z {0} Z {0} 00 Z {0} J Z + Z+ Z + 00 Z+ J Z Z Z 00 Z J Q {0} J Q {0} J J Q + J Q + J J Q 0 nicht def. Q J J R {0} J R J J R + J J J J R 0 nicht def. R J J Aufgbe 9. Injektivität, Surjektivität, Bijektivität. Untersuchen sie die folgenden Funktionen uf Injektivität, Surjektivität und Bijektivität: { n/ flls n durch teilbr,.) f : N N, f(n) = n + sonst,.) f : Z Z, f(n) = n.) f : Z Z +, f(n) = n, wobei Z + = {n + n Z} = {n Z n ungerde}.) f : Z Z, f(n) = (n ) mod.) f : Q Q, f(q) = q.) f : R R, f(x) = x + x +

2 { n/ flls n durch teilbr,.) f : N N, f(n) = n + sonst, Die Funktion f is surjektiv, d für jedes n N gilt: f(n) = n. Die Funktion f ist nicht injektiv, d f() = f() =..) f : Z Z, f(n) = n. Die Funktion f ist nicht surjektiv, d es zu 0 Z kein n gibt mit f(n) = 0. Die Funktion f ist injektiv, d us f(m) = f(n) für m, n Z immer m = n folgt (die Gleichung n = m, m gegeben, n unbeknnt, ht die eindeutige Lösung n = m)..) f : Z Z +, f(n) = n, wobei Z + = {n + ; n Z} = {n Z; n ungerde}. Die Funktion f ist surjektiv, d für jedes ungerde m Z für n = (m + )/ gilt, dss n Z und f(n) = m. Injektivität ergibt sich genuso wie in.). Also ist f sogr bijektiv..) f : Z Z, f(n) = n. Es ist f(0) =, f() =, f() =, f() =, f() = 0, lso ist f bijektiv..) f : Q Q, f(q) = q. Für lle y Q ht die Gleichung y = q immer die eindeutige Lösung q = (y + )/ (in Q). Also ist f bijektiv..) f : R R, f(x) = x + x + = (x + ) +. Die Funktion f ist nicht surjektiv, d für lle x R f(x). Die Funktion f ist uch nicht injektiv, d f(0) = f( ) =. Aufgbe 0. RSA-Freks..) Berechnen Sie die Zhlen ( + ) mod, ( ) mod, 9 mod, mod..) Der öffentliche Schlüssel (N, k) = (, ) sei für ds RSA-Verfhren gegeben..) Überprüfen Sie, ob der Schlüssel die Vorussetzungen des RSA-Verfhrens erfüllt und finden Sie den privten Schlüssel (N, s). b.) Chiffrieren Sie mit (N, k) die Buchstben RSA ( A, B,... ). c.) Dechiffrieren Sie mit (N, s) die von Ihnen in b.) chiffrierte Nchricht..) Die Berechnungen knn mn sich mit kleinen Tricks vereinfchen. Zhlen klein hlten, wenn mn in jedem Schritt modulo rechnet. Klppt bei Addition... genuso bei Multipliktion ( + ) mod = ( + ) mod = 0, ( ) mod = ( ) mod = mod =. Hohe Potenzen knn mn ufsplten, z.b. in sukzessive Qudrte. Es gilt b mod c = ( mod c) b mod c. ( (( 9 mod = ) mod ( ( = ) mod = (8 ) mod = ( ) mod = 9.

3 Der kleine Stz von Fermt besgt p mod p =, wenn p eine Primzhl ist. Somit mod = ( ) mod = mod = (9 ) mod = (8 ) mod = 0 mod =..).) Die Vorussetzungen sind erfüllt: Es ist N = p q = und usserdem ist k = teilerfremd zu K = (p ) (q ) = 0 = 0. Deswegen gibt es Zhlen s, r mit sk rk =, nämlich s = und r =, wie mn durch Ausprobieren leicht herusfinden knn. b.) Die Verschlüsselung ist für n {0,..., N } durch n (n k mod N) definiert. Wir erhlten A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z Dmit wird RSA ls, 9, verschlüsselt. Offenbr ist es nicht sehr sinnvoll, die zum Verschlüsseln zu verwenden, d sie immer uf die bgebildet wird. c.) Zum dechiffrieren benutzen wir m (m s mod N). Also (lles modulo ) = 8 9 = ( (8 ) ) 8 ( 9 ) , 9 = (9 9) 9 ( 9) 9 (9) 9 ( 9 ) 9 ( ) , =. Husufgben Aufgbe. Dezimlbruchentwicklung von rtionlen Zhlen. Jede Zhl q Q knn ls Bruch gnzer Zhlen Z, b N + geschrieben werden: q =. Alterntiv knn mn q b uch ls Dezimlbruch z, schreiben, mit z Z und den Ziffern,,, {0,..., 9}. Jeder Bruch b mit Z, b N+ lässt sich entweder ls endlicher Dezimlbruch oder ls unendlicher periodischer Dezimlbruch drstellen..) Geben Sie für b <, b N +, lle möglichen Perioden der Brüche b n..) Chrkterisieren Sie die Pre (, b), für die der Bruch b in Dezimlschreibweise endlich ist..) Schreiben Sie die Dezimlzhl 0,... n b b b... b m ls Bruch b mit Z, b N+. Hinweis: Betrchten sie zunächst 0, b b b... b m..) Geben Sie für b <, b N +, lle möglichen Perioden der Brüche b n. D b N + kommen wegen b < für b nur die Werte b =,,..., in Frge. Für jedes b sind dnn noch jeweils lle Z mit < b zu betrchten. Alle Z mit b liefern bei der Division durch b zwr ndere Vorkomm-, ber wieder dieselben Nchkommstellen. Somit knn mn diese Aufgbe lösen, indem mn einfch diese endliche Anzhl von Dezimlbrüchen berechnet. Für b =,,, 8, 0 sind die Dezimlbrüche endlich, bleiben lso b =,,, 9, :

4 = 0, = 0, = 0, = = 0, = 0, = = 0, = 0, 8 = 0, 8 = 0, 8 = 0, 8 = 0, 8 = 0, 8 = 0, 8.) Chrkterisieren Sie die Pre (, b), für die der Bruch b 9 = 0, 9 = 0, 9 = = 0, 9 = 0, 9 = 0, 9 = = 0, 9 = 0, 8 9 = 0, in Dezimlschreibweise endlich ist. = 0, 09 = 0, 8 = 0, = 0, = 0, = 0, = 0, = 0, = 0, 8 = 0, 90 Zum Bruch betrchten wir uch die vollständig gekürzte Version b b mit = /ggt(, b), b = b/ggt(, b). b hbe die endliche Dezimldrstellung 0,... n. Wir setzen zur Abkürzung d = 0 n + 0 n + n 0 + n. Dnn gilt b = b = d 0 n. Also hben wir b d = n n. D b und teilerfremd sind (ggt(, b ) = ) knn b nur us Primfktoren oder zusmmengesetzt sein. Umgekehrt gilt: Enthält b nur Primfktoren oder, b = m n, m, n N, dnn ist im Fll m n b = n m 0 n, im nderen Fll m > n ht mn b = m n 0 m. Beide Ausdrücke hben klrerweise eine endliche Dezimlbruchentwicklung. Zusmmenfssend gilt: ht genu dnn eine endliche Dezimlbruchentwicklung, wenn b/ggt(, b) keine b nderen Primfktoren ls und enthält..) Schreiben Sie die Dezimlzhl 0,... n b b b... b m ls Bruch. Wir betrchten zunächst den Bruch B = 0, b b... b m Q +. Gesucht sind c, d N +, so dss B = c d. Es gilt B = 0, b b... b m b b... b m = 0, b b... b m + 0 m 0, b b... b m = 0, b b... b m + 0 m B. Auflösen nch B ergibt B = 0, b b... b m 0 m = b 0 m + + b m 0 + b m 0 m. Für den Bruch A = 0,... n b b m erhlten wir A = 0,... n + 0 n B = 0 n + + n 0 n + b 0 m + + b m 0 + b m 0 n (0 m ) = (0m )( 0 n + + n ) + b 0 m + + b m 0 n (0 m. ) Aufgbe. Die Gruppe der Isometrien des eindimensionlen Rumes. { x für x R, x 0, Der Abstnd zweier Punkte x, y R ist definiert ls x y, wobei x = x für x R, x < 0. Die Menge G der bstndserhltenden Abbildungen ist definiert durch G := {f : R R für lle x, y R gilt x y = f(x) f(y) }. Die Opertion bildet us zwei Abbildungen f, g G eine neue Abbildung h := f g. Diese Opertion ist elementweise definiert: Für lle x R gilt h(x) = (f g)(x) = f(g(x))..) Geben Sie wenigstens drei Elemente von G explizit n..) Zeigen Sie, dß G unter der Opertion bgeschlossen ist..) Überprüfen Sie, ob (G, ) eine Gruppe ist.

5 .) Die Abbildungen x x, x x +, x x +, jeweils von R nch R sind Beispiele für Elemente von G..) Gegeben seien f, g G. Dnn gilt für x, y R, dß (f g)(x) (f g)(y) = f(g(x)) f(g(y)) = g(x) g(y) = x y, d.h. die Abbildung f g ist wieder ein Element von G..) Ds neutrle Element von (G, ) ist die Abbildung id : R R, die durch id(x) = x definiert ist. Ds Assozitivgesetz gilt, weil für lle f, g, h G und für lle x R die Gleichung (f (g h))(x) = f((g h)(x)) = f(g(h(x))) = (f g)(h(x)) = ((f g) h)(x) gilt und dmit uch die Gleichung f (g h) = (f g) h. Zur Inversenbildung: Es sei f G. Dnn gilt insbesondere für lle x R, dss f(x) f(0) = x 0. Also ist entweder f(x) f(0) = x, oder f(x) f(0) = x. Im ersten Fll ist f von der Form f(x) = x+f(0) und f ist f (x) = x f(0). Im zweiten Fll ist f von der Form f(x) = x+f(0) und f ist f (x) = x+f(0). Aufgbe. Asterix bei der RSA (Romn Security Agency) Die wirklich wichtigen Verhndlungspunkte, die erstunlich ktuell sind, werden ntürlich von der Chefkryptologin chiffriert. Jedoch scheint Obelix ein bislng unbechtetes Tlent zu besitzen. Ws möchte er Asterix sgen? Obelix ht den täglich wechselnden Public-Key der Kryptogrphiezentrle entdeckt, der (N, k) = (8, ) lutet. Die Zentrle rbeitet erstunlich schlmpig: Die Buchstben A,..., Z werden durch die Zhlen,..., repräsentiert, und die Zhl N ist viel zu klein, d mn sie schon im Kopf fktorisieren knn: N = p q =. So ergeben sich verschiedene Kryptottcken um den chiffrierten Text zu entziffern: Die Chosen-Plin-Text -Attcke: Es werden die Buchstben A,..., Z mit dem Public-Key chiffriert, und ds Ergebnis wird mit der bghörten Nchricht verglichen. Also mod 8 = (keine Verschlüsselung!) mod 8 = 8 (k = ist zu klein gewählt! Die mod 8 -Rechnung verändert den Wert nicht!) mod 8 = 0 mod 8 = und d hben wir schon den zweiten Buchstben. usw.

6 Die Privte-Key -Attcke: Der Privte-Key ist die Zhl s mit s = mod 0, wobei 0 = ( ) ( ) und N = 8 =. Dies ist s =. Diese Zhl können wir mit Hilfe des euklidischen Algorithmus, den wir in wenigen Wochen kennenlernen werden, lgorithmisch effizient bestimmen (ntürlich führt uch Ausprobieren zu einer Lösung). Der euklidische Algorithmus liefert: Durch rückwärtiges Einsetzen erhlten wir: 0 = + = +. = = (0 ) = 0. Somit ergibt sich ls Lösungswort. 0 mod 8 = 9 = I 9 mod 8 = = X 8 mod 8 = = Q 98 mod 8 = = U mod 8 = = A mod 8 = = D mod 8 = 8 = R mod 8 = = A mod 8 = 0 = T

Multiplikative Inverse

Multiplikative Inverse Multipliktive Inverse Ein Streifzug durch ds Bruchrechnen in Restklssen von Yimin Ge, Jänner 2006 Viele Leute hben Probleme dbei, Brüche und Restklssen unter einen Hut zu bringen. Dieser kurze Aufstz soll

Mehr

Ungleichungen. Jan Pöschko. 28. Mai Einführung

Ungleichungen. Jan Pöschko. 28. Mai Einführung Ungleichungen Jn Pöschko 8. Mi 009 Inhltsverzeichnis Einführung. Ws sind Ungleichungen?................................. Äquivlenzumformungen..................................3 Rechnen mit Ungleichungen...............................

Mehr

Mathematik Bruchrechnung Grundwissen und Übungen

Mathematik Bruchrechnung Grundwissen und Übungen Mthemtik Bruchrechnung Grundwissen und Übungen von Stefn Gärtner (Gr) Stefn Gärtner -00 Gr Mthemtik Bruchrechnung Seite Inhlt Inhltsverzeichnis Seite Grundwissen Ws ist ein Bruch? Rtionle Zhlen Q Erweitern

Mehr

Quadratische Funktionen

Quadratische Funktionen Qudrtische Funktionen Die Scheitelpunktform ist eine spezielle Drstellungsform von qudrtischen Funktionen, nhnd der viele geometrische Eigenschften des Funktionsgrphen bgelesen werden können. Abbildung

Mehr

Mathematik 1 für Bauwesen 14. Übungsblatt

Mathematik 1 für Bauwesen 14. Übungsblatt Mthemtik für Buwesen Übungsbltt Fchbereich Mthemtik Wintersemester 0/0 Dr Ivn Izmestiev 8/900 Dr Vince Bárány, M Sc Juli Plehnert Gruppenübung Aufgbe G () Berechnen Sie ds Volumen des Rottionskörpers,

Mehr

Dr. Günter Rothmeier Kein Anspruch auf Vollständigkeit Elementarmathematik (LH) und Fehlerfreiheit

Dr. Günter Rothmeier Kein Anspruch auf Vollständigkeit Elementarmathematik (LH) und Fehlerfreiheit WS 008/09 7 Elementrmthemtik (LH) und Fehlerfreiheit. Zhlenbereiche... Die rtionlen Zhlen... Definition Die Definition der rtionlen Zhlen erfolgt hier innermthemtisch ebenflls wie diejenige der gnzen Zhlen

Mehr

ist ein Quotient ganzer Zahlen m,n Z und n = 0. Dabei heißt m Zähler und n Nenner. Wegen m 1 = m ist Z eine Teilmenge von Q. Zwei Brüche sind gleich:

ist ein Quotient ganzer Zahlen m,n Z und n = 0. Dabei heißt m Zähler und n Nenner. Wegen m 1 = m ist Z eine Teilmenge von Q. Zwei Brüche sind gleich: Vorlesung 4 Zhlenbereiche 4.1 Rtionle Zhlen Wir hben gesehen, dss nicht jedes Eleent us Z ein ultipliktives Inverses besitzt. Dies führt zur Einführung der rtionlen Zhlen Q, obei der Buchstbe Q für Quotient

Mehr

Das Rechnen mit Logarithmen

Das Rechnen mit Logarithmen Ds Rechnen mit Logrithmen Etw in der 0. Klssenstufe kommt mn in Kontkt mit Logrithmen. Für die, die noch nicht so weit sind oder die, die schon zu weit dvon entfernt sind, hier noch einml ein kleiner Einblick:

Mehr

Wurzeln. bestimmen. Dann braucht man Wurzeln. Treffender müsste man von Quadratwurzeln sprechen. 1. Bei Quadraten, deren Fläche eine Quadratzahl ist,

Wurzeln. bestimmen. Dann braucht man Wurzeln. Treffender müsste man von Quadratwurzeln sprechen. 1. Bei Quadraten, deren Fläche eine Quadratzahl ist, Seitenlängen von Qudrten lssen sich mnchml sehr leicht und mnchml etws schwerer Wurzeln bestimmen. Dnn brucht mn Wurzeln. Treffender müsste mn von Qudrtwurzeln sprechen. Sie stehen in enger Beziehung zu

Mehr

7.9A. Nullstellensuche nach Newton

7.9A. Nullstellensuche nach Newton 7.9A. Nullstellensuche nch Newton Wir hben früher bemerkt, dß zur Auffindung von Nullstellen einer gegebenen Funktion oft nur Näherungsverfhren helfen. Eine lte, ber wirkungsvolle Methode ist ds Newton-Verfhren

Mehr

Vorkurs Mathematik DIFFERENTIATION

Vorkurs Mathematik DIFFERENTIATION Vorkurs Mthemtik 6 DIFFERENTIATION Beispiel (Ableitung von sin( )). Es seien f() = sin g() = h() =f(g()) = sin. (f () =cos) (g () =) Also ist die Ableitung von h: h () =f (g())g () =cos = cos. Mn nennt

Mehr

Lineare DGL zweiter Ordnung

Lineare DGL zweiter Ordnung Universität Duisburg-Essen Essen, 03.06.01 Fkultät für Mthemtik S. Buer C. Hubcsek C. Thiel Linere DGL zweiter Ordnung Betrchten wir ds AWP { x + x + bx = 0 mit, b, t 0, x 0, v 0 R. Der Anstz xt 0 = x

Mehr

11. DER HAUPTSATZ DER DIFFERENTIAL- UND INTEGRALRECHNUNG

11. DER HAUPTSATZ DER DIFFERENTIAL- UND INTEGRALRECHNUNG 91 Dieses Skript ist ein Auszug mit Lücken us Einführung in die mthemtische Behndlung der Nturwissenschften I von Hns Heiner Storrer, Birkhäuser Skripten. Als StudentIn sollten Sie ds Buch uch kufen und

Mehr

1. Kapitel: Arithmetik. Ergebnisse mit und ohne Lösungsweg

1. Kapitel: Arithmetik. Ergebnisse mit und ohne Lösungsweg Arithmetik Lösungen Lö. Kpitel: Arithmetik. Ergenisse mit und ohne Lösungsweg Zu Aufge.: ) 7 ist eine rtionle Zhl, d sie sich ls Bruch us zwei gnzen Zhlen (Nenner 0) drstellen lässt: 7 7. 6 ) Eenso, denn

Mehr

4 Die rationalen Zahlen

4 Die rationalen Zahlen 4 Die rtionlen Zhlen Der Ring der gnzen Zhlen ht den Mngel, dß nicht jede Gleichung = X, 0 innerhl Z lösr ist. (Z.B. ist 1 = 2 X unlösr in Z). Zu seiner Beseitigung erweitert mn den Zhlereich zum Körper

Mehr

Begriffe: Addition Subtraktion Multiplikation Division. Summe Differenz Produkt Quotient a + b a b a b a : b

Begriffe: Addition Subtraktion Multiplikation Division. Summe Differenz Produkt Quotient a + b a b a b a : b Grundlgen 0.0. Zhlbereiche ntürliche Zhlen: N = {0; ; 2;...} (nch DIN 547) N = N \ {0} gnze Zhlen: Z = {... 2; ; 0; ; 2;...} rtionle Zhlen: Q = { p p, q Z, q 0} q Q besteht us llen Bruchzhlen. reelle Zhlen:

Mehr

UNIVERSITÄT KARLSRUHE Institut für Analysis HDoz. Dr. P. C. Kunstmann Dipl.-Math. M. Uhl. Sommersemester 2009

UNIVERSITÄT KARLSRUHE Institut für Analysis HDoz. Dr. P. C. Kunstmann Dipl.-Math. M. Uhl. Sommersemester 2009 UNIVERSIÄ KARLSRUHE Institut für Anlysis HDoz. Dr. P. C. Kunstmnn Dipl.-Mth. M. Uhl Sommersemester 9 Höhere Mthemti II für die Fchrichtungen Eletroingenieurwesen, Physi und Geodäsie inlusive Komplexe Anlysis

Mehr

Grundsätzliche Voraussetzungen für die Fachoberschule ab Klasse 11 im Fach Mathematik

Grundsätzliche Voraussetzungen für die Fachoberschule ab Klasse 11 im Fach Mathematik Grundsätzliche Vorussetzungen für die Fchoberschule b Klsse im Fch Mthemtik Zum Eintritt in die Fchoberschule ist der mittlere Bildungsbschluss Vorussetzung. Ds heißt, im Fch Mthemtik werden die, bis zur

Mehr

1 Grundlagen der Mathematik Lösen Sie die nachfolgenden grundlegenden Aufgaben.

1 Grundlagen der Mathematik Lösen Sie die nachfolgenden grundlegenden Aufgaben. ALGEBRA GRUNDRECHENARTEN MULTIPLIZIEREN Grundlgen der Mthemtik Lösen Sie die nchfolgenden grundlegenden Aufgben. Beweisen Sie durch Ausrechnung, dss b ) b ist! ( Wichtige mthemtische Regeln: 0 = 0 = 0

Mehr

Def.: Sei Σ eine Menge von Zeichen. Die Menge Σ* aller Zeichenketten (Wörter) über Σ ist die kleinste Menge, für die gilt:

Def.: Sei Σ eine Menge von Zeichen. Die Menge Σ* aller Zeichenketten (Wörter) über Σ ist die kleinste Menge, für die gilt: 8. Grundlgen der Informtionstheorie 8.1 Informtionsgehlt, Entropie, Redundnz Def.: Sei Σ eine Menge von Zeichen. Die Menge Σ* ller Zeichenketten (Wörter) über Σ ist die kleinste Menge, für die gilt: 1.

Mehr

Thema 7 Konvergenzkriterien (uneigentliche Integrale)

Thema 7 Konvergenzkriterien (uneigentliche Integrale) Them 7 Konvergenzkriterien (uneigentliche Integrle) In diesem Kpitel betrchten wir unendliche Reihen n= n, wobei ( n ) eine Folge von reellen Zhlen ist. Die Reihe konvergiert gegen s (oder s ist die Summe

Mehr

- 1 - VB Inhaltsverzeichnis

- 1 - VB Inhaltsverzeichnis - - VB Inhltsverzeichnis Inhltsverzeichnis... Die Inverse einer Mtrix.... Definition der Einheitsmtrix.... Bedingung für die inverse Mtrix.... Berechnung der Inversen Mtrix..... Ds Verfhren nch Guß mit

Mehr

Integrationsmethoden

Integrationsmethoden Universität Perborn Dezember 8 Institut für Mthemtik C. Kiser Integrtionsmethoen Prtielle Integrtion (Prouktintegrtion) Unbestimmte Integrtion er Prouktregel (u v) () = u ()v() + u()v () liefert (u v)()

Mehr

Uneigentliche Riemann-Integrale

Uneigentliche Riemann-Integrale Uneigentliche iemnn-integrle Zweck dieses Abschnitts ist es, die Vorussetzungen zu lockern, die wir n die Funktion f : [, b] bei der Einführung des iemnn-integrls gestellt hben. Diese Vorussetzungen wren:

Mehr

Funktionen und Mächtigkeiten

Funktionen und Mächtigkeiten Vorlesung Funktionen und Mähtigkeiten. Etws Mengenlehre In der Folge reiten wir intuitiv mit Mengen. Eine Menge ist eine Zusmmenfssung von Elementen. Zum Beispiel ist A = {,,,,5} eine endlihe Menge mit

Mehr

Quadratische Gleichungen und Funktionen

Quadratische Gleichungen und Funktionen Qudrtische Gleichungen und Funktionen Bei einer udrtischen Gleichung kommt die Unbeknnte Vrible mindestens einml in der.potenz vor, ber in keiner höheren Potenz. b c udrtischer Anteil linerer Anteil konstnter

Mehr

Mathe Warm-Up, Teil 1 1 2

Mathe Warm-Up, Teil 1 1 2 Mthe Wrm-Up, Teil 1 1 2 HEUTE: 1. Elementre Rechenopertionen: Brüche, Potenzen, Logrithmus, Wurzeln 2. Summen- und Produktzeichen 3. Gleichungen/Ungleichungen 1 orientiert sich n den Kpiteln 3,4,6,8 des

Mehr

A.25 Stetigkeit und Differenzierbarkeit ( )

A.25 Stetigkeit und Differenzierbarkeit ( ) A.5 Stetigkeit / Differenzierbrkeit A.5 Stetigkeit und Differenzierbrkeit ( ) Eine Funktion ist wenn die Kurve nicht unterbrochen wird, lso wenn mn sie zeichnen knn, ohne den Stift vom Bltt bzusetzen.

Mehr

Höhere Mathematik II für die Fachrichtung Informatik. Lösungsvorschläge zum 8. Übungsblatt

Höhere Mathematik II für die Fachrichtung Informatik. Lösungsvorschläge zum 8. Übungsblatt KARLSRUHER INSTITUT FÜR TECHNOLOGIE INSTITUT FÜR ANALYSIS Dr. Christoph Schmoeger Heiko Hoffmnn SS Höhere Mthemtik II für die Fchrichtung Informtik Lösungsvorschläge zum 8. Übungsbltt Aufgbe 9 erechnen

Mehr

Repetitionsaufgaben Logarithmusgleichungen

Repetitionsaufgaben Logarithmusgleichungen Kntonle Fchschft Mthemtik Repetitionsufgben Logrithmusgleichungen Inhltsverzeichnis A) Vorbemerkungen B) Lernziele C) Repetition Logrithmen D) Logrithmusgleichungen 4 E) Aufgben mit Musterlösungen 5 A)

Mehr

TECHNISCHE UNIVERSITÄT MÜNCHEN

TECHNISCHE UNIVERSITÄT MÜNCHEN TECHNISCHE UNIVERSITÄT MÜNCHEN Zentrum Mthemtik PROF. DR.DR. JÜRGEN RICHTER-GEBERT, VANESSA KRUMMECK, MICHAEL PRÄHOFER Aufge 69. Quizz Integrle. Es sei Höhere Mthemtik für Informtiker II (Sommersemester

Mehr

Algebra-Training. Theorie & Aufgaben. Serie 3. Bruchrechnen. Theorie: Katharina Lapadula. Aufgaben: Bernhard Marugg. VSGYM / Volksschule Gymnasium

Algebra-Training. Theorie & Aufgaben. Serie 3. Bruchrechnen. Theorie: Katharina Lapadula. Aufgaben: Bernhard Marugg. VSGYM / Volksschule Gymnasium Algebr-Trining Theorie & Aufgben Serie Bruchrechnen Theorie: Kthrin Lpdul Aufgben: Bernhrd Mrugg VSGYM / Volksschule Gymnsium Liebe Schülerin, lieber Schüler Der Leitspruch «Übung mcht den Meister» gilt

Mehr

10. Riemannsche Geometrie I: Riemannsche Metrik. Variable Bilinearformen.

10. Riemannsche Geometrie I: Riemannsche Metrik. Variable Bilinearformen. 10. Riemnnsche Geometrie I: Riemnnsche Metrik Wir können in der hyperbolischen Geometrie noch nicht wirklich messen. Hierfür bruchen wir ein Riemnnsches Längen- und Winkelmß, d.h. eine Riemnnsche Geometrie.

Mehr

Einführung in das Rechnen mit Zahlen. (elementare Algebra)

Einführung in das Rechnen mit Zahlen. (elementare Algebra) Ausgbe 2008-05 Einführung in ds Rechnen mit Zhlen (elementre Algebr) Algebr ist ein Teilgebiet der Mthemtik und beschäftigt sich mit der Verknüpfung von Zhlen durch Rechenopertionen 1. Rechenregeln der

Mehr

G2 Grundlagen der Vektorrechnung

G2 Grundlagen der Vektorrechnung G Grundlgen der Vektorrechnung G Grundlgen der Vektorrechnung G. Die Vektorräume R und R Vektoren Beispiel: Physiklische Größen wie Krft und Geschwindigkeit werden nicht nur durch ihre Mßzhl und ihre Einheit,

Mehr

8 Längenberechnungen Winkelberechnungen - Skalarprodukt

8 Längenberechnungen Winkelberechnungen - Skalarprodukt 8 Längenberechnungen Winkelberechnungen - Sklrprodukt 8 Längenberechnungen Winkelberechnungen - Sklrprodukt Wir wissen, wie mn zwei Vektoren und b ddiert b b. Mn knn zwei Vektoren ber uch miteinnder multiplizieren!

Mehr

Beispiellösungen zu Blatt 24

Beispiellösungen zu Blatt 24 µthemtischer κorrespondenz- zirkel Mthemtisches Institut Georg-August-Universität Göttingen Aufge Beispiellösungen zu Bltt Mn eweise, dss mn ein Qudrt für jede Zhl n 6 in genu n kleinere Qudrte zerlegen

Mehr

Brückenkurs Lineare Gleichungssysteme und Vektoren

Brückenkurs Lineare Gleichungssysteme und Vektoren Brückenkurs Linere Gleichungssysteme und Vektoren Dr Alessndro Cobbe 30 September 06 Linere Gleichungssyteme Ws ist eine linere Gleichung? Es ist eine lgebrische Gleichung, in der lle Vriblen nur mit dem

Mehr

Bruchterme und gebrochen rationale Funktionen ================================================================== Der Quotient zweier Terme

Bruchterme und gebrochen rationale Funktionen ================================================================== Der Quotient zweier Terme Bruchterme und gebrochen rtionle Funktionen Der Quotient zweier Terme Es ist ist 3 : 4 3 und. 4 : 3 4 3 4 Dehnt mn die Bruchschreibweise uf Terme us, dnn erhält mn sog. Bruchteme. ² ( + ) : (3 + 4) + 3

Mehr

Mathematik. Ingo Blechschmidt. 22. Januar 2007

Mathematik. Ingo Blechschmidt. 22. Januar 2007 Mthemtik Ingo Blechschmidt 22. Jnur 2007 Inhltsverzeichnis I Mthemtik 2 1 Anlysis 2 1.1 Stetigkeit und Differenzierbrkeit........... 2 1.1.1 Stetigkeit..................... 2 1.1.2 Differenzierbrkeit................

Mehr

f(ξ k )(x k x k 1 ) k=1

f(ξ k )(x k x k 1 ) k=1 Integrlrechnung Definition des bestimmten Integrls Die Integrtion ist die Umkehropertion zur Differentition. Grundufgbe der Integrlrechnung ist die Bestimmung von Flächen. Will mn beispielsweise den Inhlt

Mehr

MC-Serie 12 - Integrationstechniken

MC-Serie 12 - Integrationstechniken Anlysis D-BAUG Dr. Meike Akveld HS 15 MC-Serie 1 - Integrtionstechniken 1. Die Formel f(x) dx = xf(x) xf (x) dx i) ist im Allgemeinen flsch. ii) folgt us der Sustitutionsregel. iii) folgt us dem Huptstz

Mehr

5.1 Charakterisierung relativ kompakter und kompakter

5.1 Charakterisierung relativ kompakter und kompakter Kpitel 5 Kompkte Mengen 5.1 Chrkterisierung reltiv kompkter und kompkter Mengen X sei im weiteren ein Bnchrum. Definition 5.1. Eine Menge K X heißt kompkt, wenn us jeder offenen Überdeckung von K eine

Mehr

2 Lineare Operatoren. T(αx + βy) = αtx + βty x,y X, α, β K. (b) Ist T linear, so heißt

2 Lineare Operatoren. T(αx + βy) = αtx + βty x,y X, α, β K. (b) Ist T linear, so heißt 2 Linere Opertoren Im Folgenden seien X,Y, Z stets normierte Räumen über dem selben Körper K = C oder K = R. 2.1. Definition. () Eine Abbildung T : X Y heißt liner, flls T(αx + βy) = αtx + βty x,y X, α,

Mehr

Algebra - Lineare Abbildungen

Algebra - Lineare Abbildungen Algebr - Linere Abbildungen oger Burkhrdt (roger.burkhrdt@fhnw.ch) 8 Hochschule für Technik . Der Vektorrum Hochschule für Technik Hochschule für Technik 4 Vektorrum Definition: Ein Vektorrum über einen

Mehr

Teilbarkeitsregeln. 6.1 Grundwissen Mathematik Algebra Klasse 6. Teilbarkeit durch 2: Eine Zahl ist durch 2 teilbar, wenn die Endziffer gerade ist.

Teilbarkeitsregeln. 6.1 Grundwissen Mathematik Algebra Klasse 6. Teilbarkeit durch 2: Eine Zahl ist durch 2 teilbar, wenn die Endziffer gerade ist. 6.1 Grundwissen Mthemtik Algebr Klsse 6 Teilbrkeitsregeln Definition und Regeln Teilbrkeit durch 2: Eine Zhl ist durch 2 teilbr, wenn die Endziffer gerde ist. Teilbrkeit durch 3: Eine Zhl ist durch 3 teilbr,

Mehr

Einführung in die Vektorrechnung (GK)

Einführung in die Vektorrechnung (GK) Einführung in die Vektorrechnung (GK) Michel Spielmnn Inhltsverzeichnis Grundlegende Definitionen Geometrische Vernschulichung. Punkte..................................... Pfeile.....................................

Mehr

{ } Menge der natürlichen Zahlen { } Menge der natürlichen Zahlen mit Null { } Menge der ganzen Zahlen

{ } Menge der natürlichen Zahlen { } Menge der natürlichen Zahlen mit Null { } Menge der ganzen Zahlen Themen Ntürliche und gnze gerde Eigenschften Besonderheiten - Beispiele { } Menge der ntürlichen { } Menge der ntürlichen mit Null { } Menge der gnzen IN = 1;2;3;4;... IN 0 = 0;1;2;3;4;... Z =...; 3; 2;

Mehr

Vektoren. Definition. Der Betrag eines Vektors. Spezielle Vektoren

Vektoren. Definition. Der Betrag eines Vektors. Spezielle Vektoren Vektoren In nderen Bereichen der Nturwissenschften treten Größen uf, die nicht nur durch eine Zhlenngbe drgestellt werden können, wie Krft, die Geschwindigkeit. Zur vollständigen Beschreibung z.b. der

Mehr

Darstellung von Ebenen

Darstellung von Ebenen Drstellung von Ebenen. Ebenengleichung in Prmeterform: Sei E eine Ebene. Dnn lässt sich die Ebene drstellen durch eine Gleichung der Form p u x = p + r v u + s v (r, s R). p u v Der Vektor p heißt Stützvektor

Mehr

Präfixcodes und der Huffman Algorithmus

Präfixcodes und der Huffman Algorithmus Präfixcodes und der Huffmn Algorithmus Präfixcodes und Codebäume Im Folgenden werden wir Codes untersuchen, die in der Regel keine Blockcodes sind. In diesem Fll können Codewörter verschiedene Länge hben

Mehr

1.6 Bruchterme. 1 Einführung und Repetition 2. 2 Multiplikation und Division von Bruchtermen 3. 3 Die Addition von zwei Bruchtermen-Methode I 3

1.6 Bruchterme. 1 Einführung und Repetition 2. 2 Multiplikation und Division von Bruchtermen 3. 3 Die Addition von zwei Bruchtermen-Methode I 3 .6 Bruchterme Inhltsverzeichnis Einführung und Repetition 2 2 Multipliktion und Division von Bruchtermen 3 3 Die Addition von zwei Bruchtermen-Methode I 3 4 Doppelbrüche 5 5 Die Addition von zwei Bruchtermen

Mehr

6.1. Matrizenrechnung

6.1. Matrizenrechnung 6 Mtrizenrechnung 6 Mtrizen und Vektoren Definition Eine Tbelle in der Drstellung A (m,n) n n m m mn heißt m,n-mtrix ( n ) ( ) mit den Zeilenvektoren ( m m mn ) und den Sltenvektoren m, m,, n n mn Mtrizen

Mehr

Resultat: Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung

Resultat: Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung 17 Der Huptstz der Differentil- und Integrlrechnung Lernziele: Konzept: Stmmfunktion Resultt: Huptstz der Differentil- und Integrlrechnung Methoden: prtielle Integrtion, Substitutionsregel Kompetenzen:

Mehr

Höhere Mathematik für Ingenieure , Uhr

Höhere Mathematik für Ingenieure , Uhr Studiengng: Mtrikelnummer: 3 5 6 Z Punkte Note Prüfungsklusur zum Modul Höhere Mthemtik für Ingenieure 0. 7. 05, 8.00 -.00 Uhr Zugelssene Hilfsmittel: A-Blätter eigene, hndschriftliche Ausrbeitungen ber

Mehr

BRÜCKENKURS MATHEMATIK

BRÜCKENKURS MATHEMATIK Brückenkurs Linere Gleichungssysteme - Prof. r. M. Ludwig BRÜCKENKURS MATHEMATIK LINEARE GLEICHUNGSSYSTEME Schwerpunkte: Modellbildung Lösungsmethoden Geometrische Interprettion Prof. r. hbil. M. Ludwig

Mehr

Integralrechnung. www.mathe-total.de. Aufgabe 1

Integralrechnung. www.mathe-total.de. Aufgabe 1 Integrlrechnung Aufgbe Bestimme die Fläche zwischen der Kurve der Funktion f() = und -Achse über dem Intervll I = [; 3] näherungsweise. Bestimme die Obersumme und Teile ds Intervll I in drei gleich große

Mehr

Mathematik PM Rechenarten

Mathematik PM Rechenarten Rechenrten.1 Addition Ds Pluszeichen besgt, dss mn zur Zhl die Zhl b hinzuzählt oder ddiert. Aus diesem Grunde heisst diese Rechenrt uch Addition. + b = c Summnd plus Summnd gleich Summe Kommuttivgesetz

Mehr

2.5 Messbare Mengen und Funktionen

2.5 Messbare Mengen und Funktionen 1 2.5 Messbre Mengen und Funktionen Definition Eine beschränkte Menge M R n heißt messbr, flls die chrkteristische Funktion χ M integrierbr ist. Die Zhl vol n (M) := χ M dµ n nennt mn ds Volumen von M.

Mehr

Repetitionsaufgaben Exponential-und Logarithmusfunktion

Repetitionsaufgaben Exponential-und Logarithmusfunktion Repetitionsufgben Eponentil-und Logrithmusfunktion Inhltsverzeichnis A) Vorbemerkungen B) Lernziele C) Eponentilfunktionen mit Beispielen 2 D) Aufgben Ep.fkt. mit Musterlösungen 6 E) Logrithmusfunktionen

Mehr

1.6 Bruchterme. 1 Theorie Lernziele Repetition Die Addition von zwei Bruchtermen-Methode I Doppelbrüche...

1.6 Bruchterme. 1 Theorie Lernziele Repetition Die Addition von zwei Bruchtermen-Methode I Doppelbrüche... .6 Bruchterme Inhltsverzeichnis Theorie. Lernziele............................................ Repetition............................................3 Die Addition von zwei Bruchtermen-Methode I.......................

Mehr

Taylorreihen - Uneigentlische Integrale

Taylorreihen - Uneigentlische Integrale Anlysis II für M, LG und Ph, WS 2006/07, Übung 2, Lösungsskizze Gruppenübung Tylorreihen - Uneigentlische Integrle G 5 Berechnen Sie die Tylorreihe mit der Entwicklungsmitte 0 von f (x) = log(x + ), f

Mehr

Abiturprüfung Mathematik 2013 (Baden-Württemberg) Berufliche Gymnasien Analysis, Aufgabe 1

Abiturprüfung Mathematik 2013 (Baden-Württemberg) Berufliche Gymnasien Analysis, Aufgabe 1 www.mthe-ufgben.com Abiturprüfung Mthemtik 013 (Bden-Württemberg) Berufliche Gymnsien Anlysis, Aufgbe 1 1.1 Die Funktion f ist gegeben durch π f( x) = + sin x ; x. Ds Schubild von f ist K. 1.1.1 (8 Punkte)

Mehr

Mathematik Brückenkurs

Mathematik Brückenkurs Rumpfskript zur Vorlesung Mthemtik-Brückenkurs /86 Mthemtik Brückenkurs im Fchbereich Informtik & Elektrotechnik Rumpfskript V7 Rumpfskript zur Vorlesung Mthemtik-Brückenkurs /86 Inhltsverzeichnis Mengen...

Mehr

Analysis I. Inhaltsverzeichnis. Martin Brokate. 1 Aussagen, Mengen, Abbildungen 1. 2 Das Prinzip der vollständigen Induktion 14

Analysis I. Inhaltsverzeichnis. Martin Brokate. 1 Aussagen, Mengen, Abbildungen 1. 2 Das Prinzip der vollständigen Induktion 14 Anlysis I Mrtin Brokte Inhltsverzeichnis Aussgen, Mengen, Abbildungen 2 Ds Prinzip der vollständigen Induktion 4 3 Die reellen Zhlen 8 4 Folgen 29 5 Die komplexen Zhlen 40 6 Reihen 44 7 Unendliche Mengen

Mehr

Umwandlung von endlichen Automaten in reguläre Ausdrücke

Umwandlung von endlichen Automaten in reguläre Ausdrücke Umwndlung von endlichen Automten in reguläre Ausdrücke Wir werden sehen, wie mn us einem endlichen Automten M einen regulären Ausdruck γ konstruieren knn, der genu die von M kzeptierte Sprche erzeugt.

Mehr

Tag der Mathematik 2011

Tag der Mathematik 2011 Zentrum für Mthemtik Tg der Mthemtik 0 Gruppenwettbewerb Einzelwettbewerb Mthemtische Hürden Lösungen Allgemeine Hinweise: Als Hilfsmittel dürfen nur Schreibzeug, Geodreieck und Zirkel benutzt werden.

Mehr

ARBEITSBLATT 5L-6 FLÄCHENBERECHNUNG MITTELS INTEGRALRECHNUNG

ARBEITSBLATT 5L-6 FLÄCHENBERECHNUNG MITTELS INTEGRALRECHNUNG Mthemtik: Mg. Schmid WolfgngLehrerInnentem RBEITSBLTT 5L-6 FLÄHENBEREHNUNG MITTELS INTEGRLREHNUNG Geschichtlich entwickelte sich die Integrlrechnug us folgender Frgestellung: Wie knn mn den Flächeninhlt

Mehr

Übungen zur Analysis 2

Übungen zur Analysis 2 Mthemtisches Institut der Universität München Prof. Dr. Frnz Merkl Sommersemester 2013 Bltt 2 26.4.2013 Übungen zur Anlysis 2 2.1 Vernschulichung der Cuchy-Schwrz-Ungleichung. Gegeben seien die Vektoren

Mehr

4 Stetigkeit. 4.1 Intervalle

4 Stetigkeit. 4.1 Intervalle 4 Stetigkeit Der Grenzwertbegriff für Zhlenfolgen lässt sich uf Funktionen übertrgen. Funktionen (oder Abbildungen) wren bereits im Kpitel über Mengen ufgetreten. Hier wird nun der Fll betrchtet, dss Definitionsbereich

Mehr

Mathematik: Mag. Schmid Wolfgang Arbeitsblatt 3 5. Semester ARBEITSBLATT 3 PARAMETERDARSTELLUNG EINER GERADEN

Mathematik: Mag. Schmid Wolfgang Arbeitsblatt 3 5. Semester ARBEITSBLATT 3 PARAMETERDARSTELLUNG EINER GERADEN Mthemtik: Mg. Schmid Wolfgng Areitsltt 3 5. Semester ARBEITSBLATT 3 PARAMETERDARSTELLUNG EINER GERADEN Wir wollen eine Gerde drstellen, welche durch die Punkte A(/) und B(5/) verläuft. Die Idee ist folgende:

Mehr

Wie muss x gewählt werden, so dass K 1 anschließend einen geraden Stoß mit K 3 ausführt?

Wie muss x gewählt werden, so dass K 1 anschließend einen geraden Stoß mit K 3 ausführt? ZÜ 2.1 Aufgbe 2.1 Drei Kugeln K 1, K 2 und K 3 Mssen, m 2 und m 3 befinden sich in einer Rille und berühren sich nicht. Die erste Kugel gleitet mit der Geschwindigkeit v1 und stößt vollkommen elstisch

Mehr

1.2 Der goldene Schnitt

1.2 Der goldene Schnitt Goldener Schnitt Psclsches Dreieck 8. Der goldene Schnitt Beim Begriff Goldener Schnitt denken viele Menschen n Kunst oder künstlerische Gestltung. Ds künstlerische Problem ist, wie ein Bild wohlproportioniert

Mehr

Primzahltest nach Solovay-Strassen

Primzahltest nach Solovay-Strassen Primzhltest nch Solovy-Strssen von Andres Wortmnn 1 Motivtion Primzhltests wie der Solovy-Strssen-Algorithmus (SSA) werden heute vor llem im Rhmen der Kryptogrphie eingesetzt. Hierbei wird eine günstige

Mehr

Kurvenintegrale. 17. Juli 2006 (Korrigierte 2. Version) 1 Kurvenintegrale 1. Art (d.h. f ist Zahl, kein Vektor)

Kurvenintegrale. 17. Juli 2006 (Korrigierte 2. Version) 1 Kurvenintegrale 1. Art (d.h. f ist Zahl, kein Vektor) Kurvenintegrle Christin Mosch, Theoretische Chemie, Universität Ulm, christin.mosch@uni-ulm.de 7. Juli 26 (Korrigierte 2. Version Kurvenintegrle. Art (d.h. f ist Zhl, kein Vektor Bei Kurvenintegrlen. Art

Mehr

AnKa Hyp. , tan α= Weil die Ankathete des einen Winkels der Gegenkathete des anderen entspricht, gilt auch: sin α = cos β und sinβ = cosα.

AnKa Hyp. , tan α= Weil die Ankathete des einen Winkels der Gegenkathete des anderen entspricht, gilt auch: sin α = cos β und sinβ = cosα. Trigonometrie Wenn mn die Trigonometrischen Funktionen Sinus, Kosinus und Tngens berechnen will, ist es wichtig, uf welchen Winkel sie sich beziehen. Die Kthete, die direkt m Winkel nliegt, heißt Ankthete

Mehr

Aufgaben zur Vorlesung Analysis II Prof. Dr. Holger Dette SS 2012 Lösungen zu Blatt 6

Aufgaben zur Vorlesung Analysis II Prof. Dr. Holger Dette SS 2012 Lösungen zu Blatt 6 Aufgben zur Vorlesung Anlysis II Prof. Dr. Holger Dette SS 0 Lösungen zu Bltt 6 Aufgbe. Die Funktion f : [, ) R sei in jedem endlichen Teilintervll von [, ) Riemnnintegrierbr. Für n N sei I n := f() d.

Mehr

2. Das Rechnen mit ganzen Zahlen (Rechnen in )

2. Das Rechnen mit ganzen Zahlen (Rechnen in ) . Ds Rechnen mit gnzen Zhlen (Rechnen in ).1 Addition und Subtrktion 5 + = 7 Summnd Summnd Summe 5 - = 3 Minuend Subtrhend Differenz In Aussgen mit Vriblen lssen sich nur gleiche Vriblen ddieren bzw. subtrhieren.

Mehr

2.5 Algebra. 1 Faktorisieren Terme faktorisieren (-1) ausklammern Terme mit Klammern faktorisieren... 3

2.5 Algebra. 1 Faktorisieren Terme faktorisieren (-1) ausklammern Terme mit Klammern faktorisieren... 3 2.5 Algebr Inhltsverzeichnis Fktorisieren 2. Terme fktorisieren...................................... 2.2 (-) usklmmern....................................... 2.3 Terme mit Klmmern fktorisieren..............................

Mehr

b f(x)p(x) dx = f(ξ) 2e 2 , Hess f (2, 0) =

b f(x)p(x) dx = f(ξ) 2e 2 , Hess f (2, 0) = Es seien U R n offen und ψ : U R n stetig differenzierbr. Weiter sei f : U R zweiml stetig differenzierbr. Kennzeichnen Sie whre Aussgen mit W und flsche Aussgen mit F. F Flls dψ(x) ein Isomorphismus für

Mehr

Grundlagen der Integralrechnung

Grundlagen der Integralrechnung Grundlgen der Integrlrechnung W. Kippels 0. April 2014 Inhltsverzeichnis 1 Ds unbestimmte Integrl 2 2 Ds bestimmte Integrl 4 Beispielufgben 7.1 Beispielufgbe 1............................... 7.2 Beispielufgbe

Mehr

Übungen zu Wurzeln III

Übungen zu Wurzeln III A.Nenner rtionl mchen: Nenner ist Qudrtwurzel: 5 bc 1.).).).) 5.) 1 15 9 bc.).) 8.) 9.) 10.) 5 5 B.Nenner rtionl mchen: Nenner ist höhere Wurzel: 1 1 9 5 1 1.).).).) 5.).) 5 C.Nenner rtionl mchen: Nenner

Mehr

Numerische Mathematik I

Numerische Mathematik I Numerische Mthemtik I Dr. Wolfgng Metzler Universität Kssel unter Mitwirkung von Dipl.-Mth. Mrtin Steigemnn Sommersemester 2005 ii c 2005 Dr. Wolfgng Metzler, Fchbereich Mthemtik und Informtik der Universität

Mehr

Kapitel 4 Differentialrechnung in mehreren Variablen. 4.1 Topologie des R n und Stetigkeit von Funktionen

Kapitel 4 Differentialrechnung in mehreren Variablen. 4.1 Topologie des R n und Stetigkeit von Funktionen Kpitel 4 Differentilrechnung in mehreren Vriblen 4.1 Topologie des R n und Stetigkeit von Funktionen Gegenstnd dieses Kpitels sind Funktionen in mehreren Vriblen. Wir können die Definitionsbereiche solcher

Mehr

Analysis I/II. Skript zur Vorlesung 2009/2010. Peter Junghanns

Analysis I/II. Skript zur Vorlesung 2009/2010. Peter Junghanns Skript zur Vorlesung Anlysis I/II 9/ Peter Junghnns Hinweis: Ds vorliegende Skript stellt nur ein Gerüst zu den Inhlten der Vorlesung dr. Die Vorlesung selbst bietet weiterführende Erläuterungen, Beweise

Mehr

Numerische Integration durch Extrapolation

Numerische Integration durch Extrapolation Numerische Integrtion durch Extrpoltion Pblo Thiel Romberg-Verfhren Idee: Im Gegenstz zur numerischen Integrtion mit Hilfe der einfchen bzw. zusmmengesetzten Trpez-, Simpson-, 3/8- oder zum Beispiel der

Mehr

2 Trigonometrische Formeln

2 Trigonometrische Formeln Mthemtische Probleme, SS 013 Donnerstg.5 $Id: trig.tex,v 1.3 013/05/03 10:50:31 hk Exp hk $ Trigonometrische Formeln.1 Die Additionstheoreme In der letzten Sitzung htten wir geometrische Herleitungen der

Mehr

Seminar Quantum Computation - Finite Quanten-Automaten und Quanten-Turingmaschinen

Seminar Quantum Computation - Finite Quanten-Automaten und Quanten-Turingmaschinen Seminr Quntum Computtion - Finite Qunten-Automten und Qunten-Turingmschinen Sebstin Scholz sscholz@informtik.tu-cottbus.de Dezember 3. Einleitung Aus der klssischen Berechenbrkeitstheorie sind die odelle

Mehr

Falls die Werte von X als Ergebnisse eines Zufallsvorgangs resultieren, wird X zu einer stetigen Zufallsvariable.

Falls die Werte von X als Ergebnisse eines Zufallsvorgangs resultieren, wird X zu einer stetigen Zufallsvariable. Sttistik I für Sttistiker, Mthemtiker und Informtiker Lösungen zu Bltt 11 Gerhrd Tutz, Jn Ulbricht, Jn Gertheiss WS 7/8 Theorie: Stetige Zufllsvriblen Begriff Stetigkeit: Eine Vrible oder ein Merkml X

Mehr

v P Vektorrechnung k 1

v P Vektorrechnung k 1 Vektorrechnung () Vektorielle Größen in der hysik: Sklren Größen wie Zeit, Msse, Energie oder Tempertur werden in der hysik mit einer Mßzhl und einer Mßeinheit ngegeen: 7 sec, 4.5 kg. Wichtige physiklische

Mehr

Wirtschaftsmathematik für International Management (BA) und Betriebswirtschaft (BA)

Wirtschaftsmathematik für International Management (BA) und Betriebswirtschaft (BA) Wirtschftsmthemtik für Interntionl Mngement (BA) und Betriebswirtschft (BA) Wintersemester 2013/14 Stefn Etschberger Hochschule Augsburg Mthemtik: Gliederung 1 Aussgenlogik 2 Linere Algebr 3 Linere

Mehr

Musterlösung der Präsenzaufgaben zu Mathematik I für ET/IT und ITS

Musterlösung der Präsenzaufgaben zu Mathematik I für ET/IT und ITS Musterlösung der Präsenzufgben zu Mthemtik I für ET/IT und ITS WS / Bltt 6. Bestimmen Sie zu vorgegebenem Volumen V > die Dose (Zylinder mit der kleinsten Oberfläche und ds Gls (Zylinder ohne Deckel mit

Mehr

10: Lineare Abbildungen

10: Lineare Abbildungen Chr.Nelius: Linere Alger SS 2008 1 10: Linere Aildungen 10.1 BEISPIEL: Die Vektorräume V 2 und Ê 2 hen diegleiche Struktur. Es git eine ijektive Aildung f : V 2 Ê 2, die durch die Vorschrift definiert

Mehr

Einführung in die Festkörperphysik I Prof. Peter Böni, E21

Einführung in die Festkörperphysik I Prof. Peter Böni, E21 Einführung in die Festkörperphsik I Prof. Peter Böni, E21 Lösung zum 2. Übungsbltt (Besprechung: 0. - 1. Oktober 2006) P. Niklowitz, E21 Aufgbe 2.1: Zweidimensionle Wigner-Seitz-Zellen Vernschulichen Sie,

Mehr

/LQHDUH*OHLFKXQJVV\VWHPH

/LQHDUH*OHLFKXQJVV\VWHPH /LQHDUH*OHLFKXQJVV\VWHPH (für Grund- und Leistungskurse Mthemtik) 6W55DLQHU0DUWLQ(KUHQE UJ*\PQDVLXP)RUFKKHLP Nch dem Studium dieses Skripts sollten folgende Begriffe eknnt sein: Linere Gleichung; homogene

Mehr

Vektoren. Karin Haenelt

Vektoren. Karin Haenelt Vektoren Grundbegriffe für ds Informtion Retrievl Krin Henelt 13.10.2013 Anltische Geometrie und Linere Algebr Geometrie: Konstruktionsverfhren mit Zirkel und Linel Anltische Geometrie: Umsetzung geometrischer

Mehr

14. INTEGRATION VON VEKTORFUNKTIONEN

14. INTEGRATION VON VEKTORFUNKTIONEN 120 Dieses Skript ist ein Auszug mit Lücken us Einführung in die mthemtische Behndlung der Nturwissenschften I von Hns Heiner Storrer, Birkhäuser Skripten. Als StudentIn sollten Sie ds Buch uch kufen und

Mehr

Lösung: a) 1093 1100 b) 1093 1090

Lösung: a) 1093 1100 b) 1093 1090 OvTG Guting, Grundwissen Mthemtik 5. Klsse 1. Ntürliche Zhlen Dezimlsystem Mn nennt die Zhlen, die mn zum Zählen verwendet, 10963 = 1 10000+ 0 1000+ 9 100+ 6 10 + 3 1 ntürliche Zhlen. Der Stellenwert der

Mehr

Analysis in einer Variablen

Analysis in einer Variablen Anlysis in einer Vriblen Eine Vorlesung für ds Lehrmtsstudium Frnz Hofbuer SS 009 Vorwort Die Lehrmtsusbildung sollte sich n der Berufsrelität der Lehrer orientieren. Deshlb wird in diesem Skriptum ein

Mehr

Der Gauß - Algorithmus

Der Gauß - Algorithmus R Brinkmnn http://brinkmnn-du.de Seite 7..9 Der Guß - Algorithmus Der Algorithmus von Guss ist ds universelle Verfhren zur Lösung beliebiger linerer Gleichungssysteme. Einführungsbeispiel: 7x+ x 5x = Drei

Mehr