TECHNISCHE UNIVERSITÄT MÜNCHEN

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1 TECHNISCHE UNIVERSITÄT MÜNCHEN Zentrum Mthemtik PROF. DR.DR. JÜRGEN RICHTER-GEBERT, VANESSA KRUMMECK, MICHAEL PRÄHOFER Höhere Mthemtik für Informtiker I (Wintersemester 00/00) Aufgbenbltt (. Oktober 00) Präsenzufgben Aufgbe 8. Abgeschlossene Opertoren. Entscheiden Sie, welche der ngegebenen Mengen bezüglich der jeweils ngegebenen Opertionen bgeschlossen sind: N Z {0} Z + Z Q {0} Q + Q R {0} R + R (...)... % von... 00% von... Wenn eine Menge bezüglich der ngegebenen Opertion nicht bgeschlossen ist, wird ein Gegenbeispiel ngegeben. (...)... % von... 00% von... N N N 00 N J Z {0} Z {0} Z {0} 00 Z {0} J Z + Z+ Z + 00 Z+ J Z Z Z 00 Z J Q {0} J Q {0} J J Q + J Q + J J Q 0 nicht def. Q J J R {0} J R J J R + J J J J R 0 nicht def. R J J Aufgbe 9. Injektivität, Surjektivität, Bijektivität. Untersuchen sie die folgenden Funktionen uf Injektivität, Surjektivität und Bijektivität: { n/ flls n durch teilbr,.) f : N N, f(n) = n + sonst,.) f : Z Z, f(n) = n.) f : Z Z +, f(n) = n, wobei Z + = {n + n Z} = {n Z n ungerde}.) f : Z Z, f(n) = (n ) mod.) f : Q Q, f(q) = q.) f : R R, f(x) = x + x +

2 { n/ flls n durch teilbr,.) f : N N, f(n) = n + sonst, Die Funktion f is surjektiv, d für jedes n N gilt: f(n) = n. Die Funktion f ist nicht injektiv, d f() = f() =..) f : Z Z, f(n) = n. Die Funktion f ist nicht surjektiv, d es zu 0 Z kein n gibt mit f(n) = 0. Die Funktion f ist injektiv, d us f(m) = f(n) für m, n Z immer m = n folgt (die Gleichung n = m, m gegeben, n unbeknnt, ht die eindeutige Lösung n = m)..) f : Z Z +, f(n) = n, wobei Z + = {n + ; n Z} = {n Z; n ungerde}. Die Funktion f ist surjektiv, d für jedes ungerde m Z für n = (m + )/ gilt, dss n Z und f(n) = m. Injektivität ergibt sich genuso wie in.). Also ist f sogr bijektiv..) f : Z Z, f(n) = n. Es ist f(0) =, f() =, f() =, f() =, f() = 0, lso ist f bijektiv..) f : Q Q, f(q) = q. Für lle y Q ht die Gleichung y = q immer die eindeutige Lösung q = (y + )/ (in Q). Also ist f bijektiv..) f : R R, f(x) = x + x + = (x + ) +. Die Funktion f ist nicht surjektiv, d für lle x R f(x). Die Funktion f ist uch nicht injektiv, d f(0) = f( ) =. Aufgbe 0. RSA-Freks..) Berechnen Sie die Zhlen ( + ) mod, ( ) mod, 9 mod, mod..) Der öffentliche Schlüssel (N, k) = (, ) sei für ds RSA-Verfhren gegeben..) Überprüfen Sie, ob der Schlüssel die Vorussetzungen des RSA-Verfhrens erfüllt und finden Sie den privten Schlüssel (N, s). b.) Chiffrieren Sie mit (N, k) die Buchstben RSA ( A, B,... ). c.) Dechiffrieren Sie mit (N, s) die von Ihnen in b.) chiffrierte Nchricht..) Die Berechnungen knn mn sich mit kleinen Tricks vereinfchen. Zhlen klein hlten, wenn mn in jedem Schritt modulo rechnet. Klppt bei Addition... genuso bei Multipliktion ( + ) mod = ( + ) mod = 0, ( ) mod = ( ) mod = mod =. Hohe Potenzen knn mn ufsplten, z.b. in sukzessive Qudrte. Es gilt b mod c = ( mod c) b mod c. ( (( 9 mod = ) mod ( ( = ) mod = (8 ) mod = ( ) mod = 9.

3 Der kleine Stz von Fermt besgt p mod p =, wenn p eine Primzhl ist. Somit mod = ( ) mod = mod = (9 ) mod = (8 ) mod = 0 mod =..).) Die Vorussetzungen sind erfüllt: Es ist N = p q = und usserdem ist k = teilerfremd zu K = (p ) (q ) = 0 = 0. Deswegen gibt es Zhlen s, r mit sk rk =, nämlich s = und r =, wie mn durch Ausprobieren leicht herusfinden knn. b.) Die Verschlüsselung ist für n {0,..., N } durch n (n k mod N) definiert. Wir erhlten A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z Dmit wird RSA ls, 9, verschlüsselt. Offenbr ist es nicht sehr sinnvoll, die zum Verschlüsseln zu verwenden, d sie immer uf die bgebildet wird. c.) Zum dechiffrieren benutzen wir m (m s mod N). Also (lles modulo ) = 8 9 = ( (8 ) ) 8 ( 9 ) , 9 = (9 9) 9 ( 9) 9 (9) 9 ( 9 ) 9 ( ) , =. Husufgben Aufgbe. Dezimlbruchentwicklung von rtionlen Zhlen. Jede Zhl q Q knn ls Bruch gnzer Zhlen Z, b N + geschrieben werden: q =. Alterntiv knn mn q b uch ls Dezimlbruch z, schreiben, mit z Z und den Ziffern,,, {0,..., 9}. Jeder Bruch b mit Z, b N+ lässt sich entweder ls endlicher Dezimlbruch oder ls unendlicher periodischer Dezimlbruch drstellen..) Geben Sie für b <, b N +, lle möglichen Perioden der Brüche b n..) Chrkterisieren Sie die Pre (, b), für die der Bruch b in Dezimlschreibweise endlich ist..) Schreiben Sie die Dezimlzhl 0,... n b b b... b m ls Bruch b mit Z, b N+. Hinweis: Betrchten sie zunächst 0, b b b... b m..) Geben Sie für b <, b N +, lle möglichen Perioden der Brüche b n. D b N + kommen wegen b < für b nur die Werte b =,,..., in Frge. Für jedes b sind dnn noch jeweils lle Z mit < b zu betrchten. Alle Z mit b liefern bei der Division durch b zwr ndere Vorkomm-, ber wieder dieselben Nchkommstellen. Somit knn mn diese Aufgbe lösen, indem mn einfch diese endliche Anzhl von Dezimlbrüchen berechnet. Für b =,,, 8, 0 sind die Dezimlbrüche endlich, bleiben lso b =,,, 9, :

4 = 0, = 0, = 0, = = 0, = 0, = = 0, = 0, 8 = 0, 8 = 0, 8 = 0, 8 = 0, 8 = 0, 8 = 0, 8.) Chrkterisieren Sie die Pre (, b), für die der Bruch b 9 = 0, 9 = 0, 9 = = 0, 9 = 0, 9 = 0, 9 = = 0, 9 = 0, 8 9 = 0, in Dezimlschreibweise endlich ist. = 0, 09 = 0, 8 = 0, = 0, = 0, = 0, = 0, = 0, = 0, 8 = 0, 90 Zum Bruch betrchten wir uch die vollständig gekürzte Version b b mit = /ggt(, b), b = b/ggt(, b). b hbe die endliche Dezimldrstellung 0,... n. Wir setzen zur Abkürzung d = 0 n + 0 n + n 0 + n. Dnn gilt b = b = d 0 n. Also hben wir b d = n n. D b und teilerfremd sind (ggt(, b ) = ) knn b nur us Primfktoren oder zusmmengesetzt sein. Umgekehrt gilt: Enthält b nur Primfktoren oder, b = m n, m, n N, dnn ist im Fll m n b = n m 0 n, im nderen Fll m > n ht mn b = m n 0 m. Beide Ausdrücke hben klrerweise eine endliche Dezimlbruchentwicklung. Zusmmenfssend gilt: ht genu dnn eine endliche Dezimlbruchentwicklung, wenn b/ggt(, b) keine b nderen Primfktoren ls und enthält..) Schreiben Sie die Dezimlzhl 0,... n b b b... b m ls Bruch. Wir betrchten zunächst den Bruch B = 0, b b... b m Q +. Gesucht sind c, d N +, so dss B = c d. Es gilt B = 0, b b... b m b b... b m = 0, b b... b m + 0 m 0, b b... b m = 0, b b... b m + 0 m B. Auflösen nch B ergibt B = 0, b b... b m 0 m = b 0 m + + b m 0 + b m 0 m. Für den Bruch A = 0,... n b b m erhlten wir A = 0,... n + 0 n B = 0 n + + n 0 n + b 0 m + + b m 0 + b m 0 n (0 m ) = (0m )( 0 n + + n ) + b 0 m + + b m 0 n (0 m. ) Aufgbe. Die Gruppe der Isometrien des eindimensionlen Rumes. { x für x R, x 0, Der Abstnd zweier Punkte x, y R ist definiert ls x y, wobei x = x für x R, x < 0. Die Menge G der bstndserhltenden Abbildungen ist definiert durch G := {f : R R für lle x, y R gilt x y = f(x) f(y) }. Die Opertion bildet us zwei Abbildungen f, g G eine neue Abbildung h := f g. Diese Opertion ist elementweise definiert: Für lle x R gilt h(x) = (f g)(x) = f(g(x))..) Geben Sie wenigstens drei Elemente von G explizit n..) Zeigen Sie, dß G unter der Opertion bgeschlossen ist..) Überprüfen Sie, ob (G, ) eine Gruppe ist.

5 .) Die Abbildungen x x, x x +, x x +, jeweils von R nch R sind Beispiele für Elemente von G..) Gegeben seien f, g G. Dnn gilt für x, y R, dß (f g)(x) (f g)(y) = f(g(x)) f(g(y)) = g(x) g(y) = x y, d.h. die Abbildung f g ist wieder ein Element von G..) Ds neutrle Element von (G, ) ist die Abbildung id : R R, die durch id(x) = x definiert ist. Ds Assozitivgesetz gilt, weil für lle f, g, h G und für lle x R die Gleichung (f (g h))(x) = f((g h)(x)) = f(g(h(x))) = (f g)(h(x)) = ((f g) h)(x) gilt und dmit uch die Gleichung f (g h) = (f g) h. Zur Inversenbildung: Es sei f G. Dnn gilt insbesondere für lle x R, dss f(x) f(0) = x 0. Also ist entweder f(x) f(0) = x, oder f(x) f(0) = x. Im ersten Fll ist f von der Form f(x) = x+f(0) und f ist f (x) = x f(0). Im zweiten Fll ist f von der Form f(x) = x+f(0) und f ist f (x) = x+f(0). Aufgbe. Asterix bei der RSA (Romn Security Agency) Die wirklich wichtigen Verhndlungspunkte, die erstunlich ktuell sind, werden ntürlich von der Chefkryptologin chiffriert. Jedoch scheint Obelix ein bislng unbechtetes Tlent zu besitzen. Ws möchte er Asterix sgen? Obelix ht den täglich wechselnden Public-Key der Kryptogrphiezentrle entdeckt, der (N, k) = (8, ) lutet. Die Zentrle rbeitet erstunlich schlmpig: Die Buchstben A,..., Z werden durch die Zhlen,..., repräsentiert, und die Zhl N ist viel zu klein, d mn sie schon im Kopf fktorisieren knn: N = p q =. So ergeben sich verschiedene Kryptottcken um den chiffrierten Text zu entziffern: Die Chosen-Plin-Text -Attcke: Es werden die Buchstben A,..., Z mit dem Public-Key chiffriert, und ds Ergebnis wird mit der bghörten Nchricht verglichen. Also mod 8 = (keine Verschlüsselung!) mod 8 = 8 (k = ist zu klein gewählt! Die mod 8 -Rechnung verändert den Wert nicht!) mod 8 = 0 mod 8 = und d hben wir schon den zweiten Buchstben. usw.

6 Die Privte-Key -Attcke: Der Privte-Key ist die Zhl s mit s = mod 0, wobei 0 = ( ) ( ) und N = 8 =. Dies ist s =. Diese Zhl können wir mit Hilfe des euklidischen Algorithmus, den wir in wenigen Wochen kennenlernen werden, lgorithmisch effizient bestimmen (ntürlich führt uch Ausprobieren zu einer Lösung). Der euklidische Algorithmus liefert: Durch rückwärtiges Einsetzen erhlten wir: 0 = + = +. = = (0 ) = 0. Somit ergibt sich ls Lösungswort. 0 mod 8 = 9 = I 9 mod 8 = = X 8 mod 8 = = Q 98 mod 8 = = U mod 8 = = A mod 8 = = D mod 8 = 8 = R mod 8 = = A mod 8 = 0 = T