Lösungen zur Probeklausur Lineare Algebra 1

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1 Prof. Dr. Ktrin Wendlnd Dr. Ktrin Leschke WS 2006/2007 Lösungen zur Probeklusur Linere Algebr Ausgbe: 2. Dezember 2006 Aufgbe.. Geben Sie die Definition des Begriffs Gruppe n. Eine Gruppe ist eine Menge G mit einer Verknüpfung : G G G,(,b) b, so dss:,b,c G : ( b) c = (b c) e G so dss G : e = G G : = e 2. Sei M eine unendliche Menge. Zeigen Sie, dss S = {f : M M f ist bijektiv } eine Gruppe bezüglich der Komposition ist, wobei für f,g S: Aus der Vorlesung ist beknnt: f g(x) = f(g(x)) für lle x M. die Komposition bijektiver Abbildungen ist bijektiv jede bijektive Abbildung f : X Y ht eine Inverse f : Y X, so dss f f = id Y und f f = id X, und f ist bijektiv. Dher gilt: () : S S S ist wohldefiniert. (b) f,g,h S, x M : ((f g) h)(x) = (f g)(h(x)) = f(g(h(x)) = f(g h(x)) = (f (g h))(x), lso (f g) h = f (g h). (c) id : M M,id(x) = x für lle x M erfüllt id S und f S, x M : (id f)(x) = id(f(x)) = f(x), lso id f = f. f S f S so dss f f = id.

2 3. Sei nun (M, +) zusätzlich eine Gruppe bezüglich einer Verknüpfung + und definiere eine Verknüpfung + uf Abb(M,M) durch (f + g)(x) = f(x) + g(x) für lle x M,f,g Abb(M,M). Ist (S,+) eine Gruppe? (Beweis oder Gegenbeweis!) (S,+) ist keine Gruppe: die einzige Abbildung e : M M für die gilt e + f = f für lle f S ist die Nullbbildung e(x) = 0 für x M. Diese Abbildung ist ber nicht bijektiv, lso e S, und dher gibt es kein neutrles Element bezüglich der Addition in S. (Bemerkung: (Abb(M,M),+) ist eine Gruppe, ber dies wr nicht gefrgt). 4. Sei nun M = R 2 und u = b c R4 beliebig. Mn definiere die Abbildung d Ferner sei Zeigen Sie: f u : R 2 R 2, ( ) x + b. cx + d G = {f u u = b c R4,d bc 0}. d G ist eine Gruppe bezüglich der Komposition. ã () Für f u,fũ G mit u = b c,ũ = b c R4 gilt d d ( ) (ãx ) x + b (f u fũ) = f u cx + d ( ) (ãx + b) + b( cx + d) = c(ãx + b) + d( cx + d) ( ) (ã + b c)x + ( b + b d) = (cã + d c)x + (c b + d d) = f v ã + b c mit v = b + b d cã + d c. D f u,fũ G gilt d bc 0,ã d b c 0, und lso c b + d d (ã + b c)(c b + d d) ( b + b d)(cã + d c) = (d bc)(ã d b c) 0.

3 Also ist f v G. Mit nderen Worten : G G G ist wohldefiniert. (b) D die Komposition ssozitiv ist, gilt ds Assozitivgesetz für (G, ). (c) u 0 = 0 0 definiert eine Abbildung e := f u 0 G, denn 0 0 = 0. Dnn gilt für lle R 2 : e =, lso ist e = id die Identität. Insbesondere: i. f u G: e f u = f u. ii. Beh: Flls f u G,u = b c,d bc 0, dnn gilt d d mit u = b d bc c. In der Tt: (f u f u ) f u f u = e ( ) ( ) x + b d(x + b) b(cx + d) = f u = cx + d d bc c(x + b) + (cx + d) ( ) ( ) dx bcx x = =. d bc cb + d Außerdem ist f u G, denn d bc 0 und G ist nicht belsch. (d bc) 2(d ( b)( c)) = d bc 0. Sei zum Beispiel u = 2 0,v = 0 0, dnn sind f u,f v G, d 2 0 = 0 2 und = 2 0, und es gilt: ( ) ( ) ( ) (f u f v ) = f u = 2 2 sowie (f v f u ) lso ist f u f v f v f u. ( ) ( ) 0 2 = f v = ( ) 2 2 ( ) 4 = (f 2 u f v ) ( ) 0,

4 Aufgbe 2.. Geben Sie die Definition des Begriffs Schiefkörper n. Ein Schiefkörper ist eine Menge K mit zwei Verknüpfungen + : K K K und : K K K, so dss (A) x,,z K: (x + ) + z = x + ( + z) (A2) 0 K so dss x K : 0 + x = x (A3) x K x K : x + ( x) = 0 (A4) x, K : x + = + x (M) x,,z K: (x ) z = x ( z) (M2) K \ {0} so dss x K : x = x (M3) x K \ {0} x K \ {0} : x x = (D) x,,z K: x ( + z) = (x ) + (x z) (D2) x,,z K: (x + ) z = (x z) + ( z) 2. Geben Sie ein Beispiel für einen Schiefkörper n, der kein Körper ist (ohne Beweis). H = {x 0 + ix + jx 2 + kx 3 x 0,x,x 2,x 3 R} mit den Verknüpfungen (x 0 +ix +jx 2 +kx 3 )+( 0 +i +j 2 +k 3 ) := (x )+i(x + )+j(x )+k(x ) und : H H H ssozitiv und distributiv, so dss i i = j j = k k =,i j = k. 3. Geben Sie ein Beispiel für einen Körper K n, so dss K R, C, Z/pZ (mit Nchweis, dss dies ttsächlich ein Körper ist). K = Q, die rtionlen Zhlen: Summe und Produkt rtionler Zhlen sind rtionl: b + c d d + bc =, bd d.h., + und sind wohldefiniert uf Q. b c d = c bd, (A), (A4), (M), (M4), (D), (D2) gelten utomtisch, d diese Rechenregeln in R gelten. (A2) 0 = 0 Q (A3) b = b Q b Q (M2) = Q (M3) b Q mit b 0 ist 0 lso ( b 4. Sei ϕ : C[x] C,p p(0). ) = b Q.

5 Zeigen Sie, dss ϕ ein Ringhomomorphismus ist. () p,p 2 C[x]: (b) p,p 2 C[x]: ϕ(p + p 2 ) = (p + p 2 )(0) = p (0) + p 2 (0) = ϕ(p ) + ϕ(p 2 ) ϕ(p p 2 ) = (p p 2 )(0) = p (0) p 2 (0) = ϕ(p ) ϕ(p 2 ), d.h. ϕ ist ein Ringhomomorphismus. Ist ϕ injektiv? ϕ ist nicht injektiv. Zum Beispiel p = x, p = x 2 sind Polnome in C[x] mit p p, ber ϕ(p) = 0 = ϕ( p). Ist ϕ surjektiv? ϕ ist surjektiv: Sei C und sei p = C[x] ein konstntes Polnom. Dnn ist ϕ(p) =. Aufgbe 3.. Formulieren Sie den Fundmentlstz der Algebr. In C ht jede Gleichung der Form 0 + z n z n = 0 mit i C, n 0 und n eine Lösung z 0 C. 2. Sei K eine Körper und x 0,...,x n, 0,..., n K mit x i x j für i j. Zeigen Sie: Sind P,Q K[x] Polnome vom Grd deg P,deg Q n mit P(x i ) = i und Q(x i ) = i für lle i = 0,...,n, dnn ist P = Q. Sei R = P Q, dnn ist R K[x] ein Polnom vom Grd m n mit R(x i ) = 0 für i = 0,...,n, d.h., R ht n + Nullstellen, die nch Vorussetzung prweise verschieden sind. Ein von Null verschiedenes Polnom vom Grd n knn ber höchstens n Nullstellen hben. Dher ist R = 0, lso P = Q.

6 Finden Sie Q i K[x] vom Grd deg Q i n, so dss { i = j Q i (x j ) = 0 i j. (Hinweis: betrchten Sie Q i (x) = j i (x x j)) Q i = j i (x x j) ht Grd n und erfüllt: () k i gilt Q i (x k ) = j i (x k x j ) = 0, d der Fktor mit j = k verschwindet. (b) q i = Q i (x i ) = j i (x i x j ) 0, d lle Fktoren von Null verschieden sind. Dher gibt Q i = q i Qi ds gesuchte Polnom für i = 0,...,n. Konstruieren Sie ein Polnom P K[x] mit P(x i ) = i für lle i = 0,...,n. Sei P = n j=0 jq j, dnn ist P K[x] und P(x i ) = n j=0 j Q j (x i ) }{{} =0, j i = i Q i (x i ) = }{{} i. = Aufgbe 4.. Geben Sie die Definition des Begriffs Vektorrum n. Ein Vektorrum ist gegeben durch einen Körper K und eine Menge V mit Verknüpfungen + : V V V und : K V V, so dss gilt (V) (V,+) ist eine belsche Gruppe. (V2) x, V, λ,µ K : (λ + µ) x = (λ x) + (µ x), λ (x + ) = (λ x) + (λ ), (λ µ) x = λ (µ x), x = x 2. Welche der folgenden Mengen sind Unterräume von Abb(R, R)? (Wrum oder wrum nicht?) () W = {f Abb(R, R) f(4) = 0} ist ein Unterrum, d (UV) f 0 mit f 0 (t) = 0 für lle t R erfüllt f 0 (4) = 0, lso ist f 0 W, und W. (UV2) f,g W : (f + g)(4) = f(4) + g(4) = = 0, lso ist f + g W. (UV3) f W,λ R: (λ f)(4) = λ f(4) = λ 0 = 0, lso ist λ f W.

7 (b) W 2 = {f Abb(R, R) f(0) = 4} (c) (d) ist kein Unterrum, d die konstnte Abbildung f (x) = 4 für lle t R in W 2 enthlten ist, ber lso 0 f W 2. Dies verletzt (UV3). (0 f )(0) = 0 f (0) = 0 4 = 0 4, W 3 = {f Abb(R, R) f ist surjektiv} ist kein Unterrum, d die Summe surjektiver Abbildungen nicht surjektiv sein muß, im Widerspruch zu (UV2). Zum Beispiel ist f 2 : R R,t t bijektiv, ebenso wie f 2 : R R,t t. Die Summe f 2 + f 2 ist ber die Nullbbildung und dher nicht surjektiv: Für R gilt 0 = (f 2 + f 2 )(t) für lle t R. Also ist f 2 + f 2 W 3. W 4 = {f Abb(R, R) f ist injektiv} ist kein Unterrum, d die Summe injektiver Abbildungen nicht injektiv sein muß, im Widerspruch zu (UV2). Mit f 2, f 2 wie oben ist (f 2 + f 2 )() = (f 2 + f 2 )( ) = 0, ber, lso ist f 2 + f 2 W Sei v R 2 beliebig. Mn definiere die Abbildung T v : R 2 R 2,x x + v. Weiter definiere mn uf die Verknüpfung durch T(R 2 ) = {T v v R 2 } T v T w = T v+w für T v,t w T(R 2 ) sowie eine sklre Multipliktion durch λ T v = T λv für λ R,T v T(R 2 ). Zeigen Sie: T(R 2 ) ist mit diesen Verknüpfungen und ein Vektorrum über R. D v,w R 2 λ R gilt v + w R 2 und λv R 2, folgt T v T w = T v+w T(R 2 ), λ T v = T λv T(R 2 ), d.h., : T(R 2 ) T(R 2 ) T(R 2 ) und : R T(R 2 ) T(R 2 ) sind wohldefiniert. (V) (T(R 2 ), ) ist eine Abelsche Gruppe, denn (A) u,v,w R 2 : (T u T v ) T w = (T u+v ) T w = T (u+v)+w = T u+(v+w) = T u T v+w = T u (T v T w )

8 (A2) T 0 T v = T 0+v = T v v R 2. (A3) T v T v = T v+v = T 0 v R 2. (A4) v,w R 2 :T v T w = T v+w = T w+v = T w T v. (V2) v,w R 2,λ,µ R: (λ + µ) T v = T (λ+µ)v = T λv+µv = T λv T µv = (λ T v ) (µ T v ) λ (T v T w ) = λ T v+w = T λ(v+w) = T λv+λw = T λv T λw = (λ T v ) (λ T w ) λ (µ T v ) = λ T µv = T λ(µv) = T (λµ)v = (λµ) T v T v = T v = T v 4. Sei K ein Körper und K 3 [x] = {p K[x] deg p 3}. Zeigen Sie, dss K 3 [x] ein Unterrum des K-Vektorrums K[x] ist. (UV) 0 K 3 [x], d.h. K 3 [x]. (UV2) Für p,q K 3 [x] gilt deg p 3,deg q 3, lso ist uch deg(p + q) mx{deg p,deg q} 3. Dher ist p + q K 3 [x]. (UV3) Für p K 3 [x], λ R gilt: deg λp deg p 3, lso ist λp K 3 [x]. Sei q i (x) = + x x i, i = 0,...,3. Zeigen Sie, dss (q i ) i=0,,2,3 liner unbhängig ist. Seien λ 0,...,λ 3 K mit 0 = λ 0 q 0 +λ q +λ 2 q 2 +λ 3 q 3 = (λ 0 +λ +λ 2 +λ 3 )+(λ +λ 2 +λ 3 )x+(λ 2 +λ 3 )x 2 +λ 3 x 3. Drus folgt dss λ 0 + λ + λ 2 + λ 3 = 0 λ + λ 2 + λ 3 = 0 λ 2 + λ 3 = 0 λ 3 = 0 = λ 0 = λ = λ 2 = λ 3 = 0 Zeigen Sie, dss (q i ) i=0,,2,3 ein Erzeugendensstem ist. Zunächst ist W := Spn R (q 0,...,q 3 ) K 3 [x]. D,x,x 2,x 3 eine Bsis von K 3 [x] ist, gilt dimk 3 [x] = 4. D q 0,q,q 2,q 3 liner unbhängig sind, gilt dim W = 4 = dim K 3 [x], lso W = K 3 [x].