III. Optimale Portfolioselektion

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1 III. Optimle Portfolioselektion Schon bei der Bewertung meriknischer Optionen hben wir gesehen, dss Optimierungsprobleme in der Finnzmthemtik eine wichtige Rolle spielen. Ein weiteres Optimierungsproblem sind optimle Investitionsentscheidungen. Zur Lösung solcher Probleme werden wir die dynmische Progrmmierung verwenden. Beispiel 3.. (Apfelbäume) (Beispiel uf Folie.) 3... Problemstellung Wir betrchten Optimierungsprobleme in diskreter Zeit mit endlichen Zeithorizont T. Sei X ein Mrkov-Prozess, der Werte im Zustndsrum X nnimmt. Sei A die Menge der zulässigen Hndlungen. Flls der Prozess im Zustnd x X ist und mn eine Hndlung A wählt, bekommt mn einen Gewinn von r (x, ). Der Prozess springt zu einem neuen Zustnd und ht dbei die Verteilung P(x,, ). Ds Ziel ist es, die Hndlungen so zu wählen, dss mn [ T supe β t r (X t, t ) + β T R(X T ) t=0 erhält. Hier ist β (0, der Diskontfktor und R( ) beschreibt den Gewinn zum Endzeitpunkt T. Die Hndlung t wird zur Zeit t gewählt und drf nur von Informtionen bis zur Zeit t bhängen Lösung Wir definieren die Wertfunktion für t = T,...,0. V T (x) = R(x) T V t (x) E[ β i t r (X i, i ) + β T t R(X T ) X t = x i=t Dnn erfüllt die Wertfunktion die Bellmn-Gleichung V t (x) {r (x, ) + β V t+ (y)p(x,,d y)}. A 3.2. Bestimmung optimler Portfolios durch dynmische Progrmmierung Sei (Ω,F,P) ein Whrscheinlichkeitsrum. Seien Rt k, t =,...,T, k =,...,d Zufllsvriblen uf diesem Whrscheinlichkeitsrum. Wir betrchten einen Finnzmrkt mit einem Bond und d risiko- 85

2 III. Optimle Portfolioselektion behfteten Anlgemöglichkeiten (Aktien). Sei r t die Verzinsung der risikolosen Anlge im Intervll [t, t), r t R + und sei Rt k die zufällige Verzinsung der k-ten Aktie im Intervll [t, t). Wir nehmen n, dss die Zufllsvektoren R t = (Rt,...,Rd t ) unbhängig sind mit gegebener Verteilung. Sei t k der Betrg, der zur Zeit t in die k-te Aktie investiert wird und X t ds Vermögen zur Zeit t. Dnn ist X t d k= k t der Betrg, der zur Zeit t in die risikolose Anlgemöglichkeit investiert wird. Sei X 0 = x R ds Anfngsvermögen. Dnn gilt für t = 0,,...,T : X t+ = r t+ (X t d k= k t ) + d k= k t Rk t+ = X t+. Wir nehmen n, dss die Investitionsentscheidung zur Zeit t nur vom Vermögen zur Zeit t bhängt. Definition 3.2. Ein Anlgepolitik π = (f 0, f,..., f T ) ist eine Folge von Entscheidungsregeln f t : R R d, wobei f t (x) = (ft (x),..., f t d k (x)) ist. Dbei gibt ft (x) den Betrg n, der zur Zeit t in die k-te Aktie investiert wird, in Abhängigkeit vom Vermögen x zur Zeit t. Für eine gegebenene Anlgepolitik π = (f 0, f,..., f T ) gilt X = X f 0(x),..., X t+ = X f t (x) t+. Definition Für t = 0,,...,T und x R sei V t (x) : π E π [U (X T ) X t = x, wobei U : R R eine Nutzenfunktion ist. V t (x) ist der mximle erwrtete Nutzen vom Endvermögen, wenn mn zum Zeitpunkt t mit Kpitl x strtet. Flls E π [U (X T ) X t = x E π [U (X T ) X t = x, π dnn ist π eine optimle Anlgepolitik für ds (T t)-stufige Problem. Wir suchen V 0 (X ) und π für ds T -stufige Problem. V t (x) knn rekursiv berechnet werden: Stz Es gilt für x R: V T (x) = U (x) und für t = T,...,0: V t (x) E[V t+ (Xt+ ) X t = x =(,..., d ) R d d d E[V t+ (r t+ (x k ) + k Rt+ k ) X t = x =: UV t+ (x) =(,..., d ) R d k= k= Beweis Sei x R. Für t = T gilt V T (x) π E[U (X T ) X T = x = U (x). Sei t = T,...,0. Wir zeigen zuerst V t (x) UV t+ (x). Sei π eine beliebige Anlgepolitik. Dnn gilt E π [U (X T ) X t = x = E π [E π [U (X T ) X f t (x) t+ X t = x E π [V t+ (X f t (x) t+ ) X t = x UV t+ (x). Nun bilde ds Supremum über lle Anlgepolitiken π. Dnn gilt V t (x) UV t+ (x). Wir zeigen nun V t (x) UV t+ (x) für t = T,...,0 und x R. 86

3 3.2. Bestimmung optimler Portfolios durch dynmische Progrmmierung Für ε > 0 existiert eine Entscheidungsregel f t (x), so dss E[V t+ (X f t (x) d t+ ) X t = x = E[V t+ (r t+ (x k= f k t ) + d k= f k t R t+) UV t+ (x) ε für lle x R. Sei nun t = T und π die Anlgepolitik, die us diesen Entscheidungsregeln besteht. Dnn folgt E π [U (X T ) X T = x UV T (x) ε V T ε. Bilde nun ds Supremum über lle Anlgepolitiken π. Dnn gilt V T (x) UV T (x) ε. Mit ε 0 folgt V T (x) UV T (x). Sei nun t = T 2: E π [U (X T ) X T 2 = x = E π [E π [U (X T ) X T X T 2 = x E π [V T (X T ) X T 2 = x ε UV T (x) 2ε V T 2 (x) 2ε Bilde ds Supremum über lle Anlgepolitiken π. Dnn folgt V T 2 (x) UV T (x) 2ε. Mit ε 0 folgt V T 2 (x) UV T (x). Durch vollständige Induktion folgt die Behuptung. Bemerkung Zur Erinnerung: Für HARA-Nutzenfunktionen gilt ARA(x) = u (x) u (x) = Ax + B mit Konstnten A, B. Häufig wird diese Klsse von Nutzenfunktionen in der Portfoliooptimierung betrchtet. Unter gewissen Annhmen lssen sich hier teilweise explizite Lösungen ermitteln. Beispiel Exponentieller Nutzen: Wir beschränken uns uf den Fll d =. Sei U (x) = e γx für γ > 0. Hier ist ARA(x) = U (x) U (x) = γ und dher U (x) = γu (x). Die zufällige Verzinsung der Aktie sei normlverteilt, ds heißt R N (µ,σ 2 ). Wir berechnen die optimle Strtegie und die Wertfunktion. Idee: Wir versuchen eine nlytische Form der Wertfunktion zu ermitteln. Wir beginnen bei T und rbeiten uns nch vorne durch: V T (x) = E[U (X T ) X T = x = U (x). 87

4 III. Optimle Portfolioselektion Anwendung der dynmischen Progrmmierung liefert V T (x) T E[V T (X T ) X T = x T E[V T (r T (x T ) + T R T ) T E[U (r T (x T ) + T R T ) T E[ exp( γ(r T (x T ) + T R T )) T ( )e γr T x e γr T T E[e γ T R T ) ( )e γr T x e γr T T e µ( γ σ T )+ 2 2 γ2 2 T T T ( )e γr T x exp( T γ(r T µ) T γ2 σ 2 ) Wir berechnen ds Infimum von h T () := γ(r T µ) γ 2 σ 2 : und h () > 0. Einsetzen liefert Dnn für t = T 2: h () = γ(r T µ) + γ 2 σ 2 = 0 = µ r T σ 2 γ V T (x) = U (xr T )exp( µ r T σ 2 γ (r T µ)γ + (µ r T ) 2 σ 2 σ 2 γ = U (r T x)exp( (µ r T ) 2 2 σ 2 ) }{{} =:b T V T 2 (x) E[U (r T X T )exp( (µ r T ) 2 2 σ 2 ) X T 2 = x 2 γ2 σ2 = b T ( )e γr T r T x exp(γr T (r T µ) γ 2 r 2 T σ2 ) Ähnlich wie zuvor ist h T 2 () := γr T (r T µ) r 2 T σ2 und 2 ) Dmit gilt h () = 0 = µ r T σ 2. γ r T V T 2 (X ) = U (r T r T x)b T exp( (µ r T ) 2 2σ 2 ) }{{} =:b T Wir rten jetzt die nlytische Form der Wertfunktion und der optimlen Strtegie und beweisen ds durch Induktion. Es gilt für lle t = T 2,...,,0 V t (x) = U (r t+ r T x)b t+ f t = µ r t+ σ 2 γ r t+2 r T 88

5 3.3. Optimle Portfolios in vollständigen Märkten ws für t = T,T 2 schon gezeigt ist. Wir zeigen den Schritt von t + nch t. V t (x) E[V t+ (Xt+ ) X t = x E[V t+ (r t+ (x ) + R) E[U (r t+2 r T (r }{{} t+ (x ) + R)) b t+2 =: r ( )b t+2 exp( γ r r t+ (x ))E[exp( γ r R) ( )b t+2 exp( γ r r t+ (x ))exp( γ r µ + 2 σ2 γ 2 r 2 2 ) ( )exp( γ r r t+ x)exp( r γ(µ r t+ ) γ 2 r 2 σ 2 ) Wie zuvor ist h t () := r γ(µ r t+ ) γ 2 r 2 σ 2 und Dnn gilt Mn sieht hier, dss h t () = 0 = µ r t+ σ 2 γ r V t (x) = U (r t+ r T x)b t+2 exp( (µ r t+) 2 2σ 2 ). }{{} =:b t+ V (x) V (x) = b t+u (r r + r T x)r t+ r T b t+ U (r r + r T x)(r t+ r T ) 2 = U (r t+ r T x) U (r t+ r T x) r t+ r T = ARA(r t+ r T x) r t+ r T = γ r t+ r T Für die optimle Strtegie gilt f t = V t h, wobei h nur von den Vriblen bhängt, die die Dynmik V t des Mrktes beschreiben Optimle Portfolios in vollständigen Märkten Wir betrchten einen rbitrgefreien, vollständigen Mrkt, ds heißt es existiert ein eindeutiges äquivlentes Mrtinglmß Q. Sei U : R R eine Nutzenfunktion mit lim U (x) = + x lim U (x) = 0 x + (beziehungsweise für U : (0, ) R: lim x 0 U (x) = + ). 89

6 III. Optimle Portfolioselektion Problemstellung Wir bezeichnen wie im zweiten Kpitel (Definition 2.3.2) mit (V ϕ t ) den Vermögensprozess und (B t ) ist der Preisprozess des Bondes. Ziel ist nun die Bestimmung von supe[u (V ϕ T ) ϕ unter der Nebenbedingung, dss V ϕ 0 = v 0, wobei ϕ Hndelsstrtegien (insbesondere selbstfinnzierend) sind. Zuvor hben wir dieses Problem mit Hilfe der dynmischen Progrmmierung gelöst. Jetzt werden wir nders vorgehen und dbei die Vollständigkeit des Mrktes usnutzen Lösung Fsse die Abbildung ϕ E[U (V ϕ ) ls eine Verknüpfung zweier Abbildungen uf: T () Die erste Abbildung ist ϕ V ϕ, ds heißt der Hndelsstrtegie wird eine Zufllsvrible zugeordnet, die ds Endvermögen T beschreibt. (2) Die zweite Abbildung ist X E[U (X ), ds heißt der Zufllsvrible wird der erwrtete Nutzen, lso eine reelle Zhl, zugeordnet. Die Vorgehensweise ist wie folgt: () Lösung des sttischen Optimierungsproblems: Mximiere E[U (X ) für X X := {X ist F T - messbr, integrierbr bezüglich P und Q sowie E Q [ X = v 0 }. (2) Repräsenttionsproblem: Sei X eine Lösung von (). Bestimme ϕ, so dss V ϕ 0 = v 0 und V ϕ T = X. D der Mrkt vollständig ist, existiert eine solche Strtegie. Dnn ist ϕ die gesuchte optimle Strtegie für ds ursprüngliche Problem. Im Folgenden ermitteln wir einen Kndidten X mit Hilfe des Lgrnge-Anstzes. Wir setzen Z := dq Dnn ist E Q [ X = E[Z X. Sei L(X,c) := E[U (X ) c (E[ Z X v 0 ) die Lgrnge-Funktion. Dnn gilt für die Ableitungen: X L(X,c) = E[U (X ) c Z =! 0 Z X! L(X,c) = E[ v 0 = 0 c dp. Sei I die Umkehrfunktion von U. Dnn erfüllt X mit U (X ) = c Z, lso X = I (c Z ) die erste Nebenbedingung und c wird so gewählt, dss E Q [ I (c Z ) = E[ Z I (c Z ) = v 0. Bemerkung 3.3. D die Menge ller bezüglich P,Q integrierbren Zufllsvriblen mit E Q [ X v 0 konvex ist und U streng konkv und streng wchsend ist, ist die Eindeutigkeit der Lösung klr, und es 90

7 3.3. Optimle Portfolios in vollständigen Märkten muss gelten E Q [ X = v 0, d us E Q [ X < v 0 sofort folgen würde, dss X + v 0 E Q [ X echt besser wäre. D lim x U (x) = +, lim x + U (x) = 0 und U (x) < 0 gilt, folgt, dss die Werte (0, ) von U ngenommen werden. Dher ist I (c Z ) wohldefiniert für lle c > 0. Wir zeigen die Optimlität von X = I (c Z ). Aus der Konkvität von U folgt für lle X X : U (X ) U (X ) +U (X )(X X ) = U (X ) + c Z (X X ) die Bildung des Erwrtungswertes bezüglich P liefert Dher ist X optiml. EU (X ) EU (X ) + ce Q [ (X X ). }{{} 0 Beispiel Wir betrchten die exponentielle Nutzenfunktion U (x) = e γx für ein γ > 0. Dnn gilt U (x) = γe γx und dher I (y) = γ log( y γ ). Dnn gilt für ds optimle Endvermögen X T = I (c Z ) = γ log( γ c Z ) und für die Konstnte c gilt E Q [ X T = v 0. Drus folgt dnn Dher ist ds optimle Endvermögen v 0 = E Q [ X T = (log( c γ γ ) + log( Z )) dq = γ log( c γ )E[ Z log( Z ) dq γ dp dp = γ log( c γ )E[ Z γ E[ Z log Z log( c γ ) = ( γv 0 E[ Z log Z ) E[ Z ( γv0 E[ Z B c = γexp T log Z ) E[ Z X T = γ log( c Z ) γ = γ logγ γ log Z γ logc = γ logγ γ log Z γ = γ log Z v 0 + γ E[ Z log Z + E[ Z ( logγ + γv 0 E[ Z log Z E[ Z ) 9

8 III. Optimle Portfolioselektion und der erwrtete Nutzen ist E[U (X T ) = E[ exp( γ( γ log Z v 0 + γ E[ Z log Z + E[ Z )) ( = exp γv 0 E[ Z E[ Z log Z ) E[ Z E[ Z Bemerkung Interessnt m Beispiel ist, dss die Formeln für ds optimle Vermögen, den optimlen erwrteten Endnutzen etc. nur über Z vom zugrundeliegenden Mrktmodell bhängen. 92