Lineare Algebra I 5. Tutorium mit Lösungshinweisen

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1 Fchbereich Mthemtik Prof Dr JH Bruinier Mrtin Fuchssteiner Ky Schwieger TECHNISCHE UNIVERSITÄT DARMSTADT AWS 07/ (T ) Linere Algebr I 5 Tutorium mit Lösungshinweisen Welche Gruppen kennen Sie? Welche dvon sind belsch? Wir wollen in diesem Tutorium weitere typische Beispiele von evtl nicht belschen Gruppen kennen lernen (T 2) Eine Linere Gruppe Für eine 2 2-Mtrix A ( b ) definieren wir die Determinnte b : det : d bc () Zeigen Sie, dss für 2 2-Mtrizen A, B gilt: det(a B) () (det B) (b) Sei A ( b ) eine 2 2-Mrix Betrchten Sie die folgenden beiden Gleichungssysteme: b x b y 0 und 0 x 2 Sei x R 2 eine Lösung des ersten und y R 2 eine Lösung des zweiten Gleichungssystems Zeigen Sie, dss dnn für die Mtrix B ( x y x 2 y 2 ) gilt: 0 A B (c) Für welche Zhlen, b, c, d R sind beide Systeme eindeutig lösbr? Bestimmen Sie in diesem Fll die Lösungen (d) Zeigen Sie dmit, dss die Menge GL(2, R) ller Mtrizen A mit 0 eine Gruppe bezüglich der Mtrixmultipliktion bildet (e) Zeigen Sie, dss GL(2, R) nicht belsch ist (f) (offene Aufgbe) Finden Sie Untergruppen von GL(2, R) Sind diese Untergruppen jeweils belsch? ( Lösung: () Sei A : b c d und B 2 b 2 c 2 d 2 ) Dnn gilt det(a b) det 2 + b c 2 b 2 + b d 2 c 2 + d c 2 c b 2 + d d 2 ( 2 + b c 2 )(c b 2 + d d 2 ) ( b 2 + b d 2 )(c 2 + d c 2 ) (b c b 2 c 2 + d 2 d 2 ) (b c 2 d 2 + d b 2 c 2 ) ()(det B) ( d b c )( 2 d 2 b 2 c 2 ) d 2 d 2 b c 2 d 2 d b 2 c 2 + b c b 2 c 2 Durch Vergleich ergibt sich det(a B) () (det B) y 2

2 (b) b x y A B x + bx 2 y + by 2 x 2 y 2 cx + dx 2 cy + dy 2 0 (c) Wir betrchten zuerst den Fll 0 und lösen beide Systeme prllel mit dem Guß-Jordn- Algorithmus b 0 b 0 c d 0 b 0 0 c Beide Systeme sind lso genu dnn eindeutig lösbr, wenn 0 gilt In diesem Fll ist die Lösung durch x 2 c y 2 x bx 2 y by 2 b + bc d Völlig nlog knn mn den Fll c 0 betrchten und erhält erneut, dss beide Systeme genu dnn eindeutig lösbr sind, wenn 0 gilt Die Lösungen sind die selben wie bei 0 Ist 0 und c 0, so sieht mn sofort, dss beide Systeme nicht eindeutig lösbr sind, weil für jede Lösung x (x, x 2 ) T uch x : (x, x 2) T mit beliebigen x R eine Lösung ist (und nlog für y) Weil us 0 und c 0 uch 0 folgt, ergibt sich zusmmenfssend: Die Systeme sind genu dnn beide eindeutig lösbr, wenn 0 gilt (d) Wohldefiniertheit: Wir müssen zuerst zeigen, dss sich bei der Multipliktion zweier Mtrizen A, B GL(2, R) wieder Mtrix in GL(2, R) ergibt Seien hierzu A, B GL(2, R), dh 0 det(b) Dnn gilt det(a B) ()(det B) 0, dh ds Produkt A B liegt wieder in GL(2, R) Assozitivität: wurde bereits in der Vorlesung gezeigt neutrles Element: Die Mtrix E ( 0 0 ) liegt in GL(2, R) wegen det E In der Vorlesung wurde gezeigt, dss AE A EA für lle 2 2-Mtrizen A gilt, lso insbesondere für lle Mtrizen in GL(2, R) Inverse: Sei A ( b ) GL(2, R) Wir setzen B : d b c Die Mtrix B liegt in GL(2, R) wegen det B (d bc)/() 2 /() 0 In Teil (b) und (c) hben wir gezeigt, dss für diese Mtrix A B E gilt Mn rechnet uch leicht nch, dss uch B A E gilt Somit ist B die Inverse von A (e) Wir betrchten zb die Mtrizen A : ( ) und B : ( 0 ) Beide liegen in GL(2, R) wegen 2 und det B, ber mn rechnet leicht nch: 0 2 A B, B A 2 0 0

3 () Bild von MC Escher (b) Tiling nch R Penrose Abbildung : Bild von MC Escher (T 3) Symmetrie- und Trnsformtionsgruppen Stellen Sie sich ein unendlich großes Bltt Ppier vor, welches komplett mit dem Muster us Abbildung () bemlt ist () Wie könnte mn ds Bltt Ppier trnsformieren, dmit ds Muster hinterher genu deckungsgleich zum vorherigen Muster ist? Ws pssiert, wenn mn dbei nicht zwischen schwrzen Fischen und weißen Fischen unterscheidet? (b) Erklären Sie, wrum die Menge ller Trnsformtionen des Blttes mit dieser Eigenschft eine Gruppe bildet (Verknüpfung, neutrles Element, Inverse) Diese Gruppe heißt die Symmetriegruppe der Pflsterung bzw des Musters (c) Können Sie uch für eine beliebige Bemlung der Ebene eine Symmetriegruppe definieren? (d) (offene Aufgbe) Knn mn uch mit dem Muster us Abbildung (b) ds komplette Bltt bemlen? Ws ist die entsprechende Symmetriegruppe? Lösung: () Mn könnte ds Bltt zb geeignet nch rechts bzw links verschieben Auch bestimmte Drehspiegelungen sind möglich Wer sich ein durchsichtiges Bltt Ppier vorstellt, knn ds Bltt uch komplett umdrehen und so spiegeln Unterscheidet mn nicht zwischen schwrzen und weißen Fischen, so ergeben sich mehr Möglichkeiten, ds Bltt zu trnsformieren Wer nicht zwischen schwrzen und weißen Fischen unterscheidet, knn ds Bltt uch zb uch so rotieren, dss ein vorher weißer Fisch dnch uf einem schwrzen Fisch lndet (b) Als Verknüpfung betrchten wir die Hintereinnderusführung der Trnsformtionen Überführt nämlich eine Trnsformtion σ ds Muster wieder in sich und eine weitere Trnsformtion τ ebenso, so überführt uch die Hintereinnderusführung τ σ wieder ds Muster in sich Ds Neutrlelement ist die Trnsformtion, welche ds Bltt nicht bewegt Ds Inverse einer Trnsformtion ist die Trnsformtion, welche ds Bltt gerde wieder zurück verschiebt bzw dreht bzw spiegelt (c) J, nämlich genu uf die selbe Weise: Die Symmetriegruppe besteht us den Trnsformtionen, welche die Bemlung in eine deckungsgleiche Bemlung trnsformieren (T 4) Die Diedergruppe Sei n 3 Wir betrchten ein gleichseitiges n-eck mit den Eckpunkten p, p 2,, p n Die Diedergruppe D n ist die Menge ller (längenerhltenden) Trnsformtionen, die ds n-eck wieder in sich überführen (zb Spiegelungen oder Drehungen)

4 () Mchen Sie sich klr, dss D n eine Gruppe bildet (b) In den Übungen hben wir bereits gesehen, dss die Menge S(M) der Permuttionen von M : {p,, p n } eine Gruppe bildet Wie lässt sich eine Trnsformtion in D n eindeutig ls Permuttion der Eckpunkte p,, p n drstellen? Folgern Sie, dss sich D n ls Untergruppe von S(M) uffssen lässt (c) Gilt D n S(M)? (d) Zeigen Sie, dss D n nicht belsch ist (e) (offene Aufgbe) Finden Sie eine möglichst große echte Untergruppe von D n Zeigen Sie, dss diese Untergruppe belsch ist Lösung: () Die Verknüpfung bildet die Hintereinnderusführung Ds neutrle Element ist die Trnsformtion, die ds n-eck unverändert lässt Wir schreiben hierfür Id (b) Jede Trnsformtion des n-ecks trnsformiert eine Ecke wieder uf eine Ecke Somit lässt sich jeder Trnsformtion α uch eine Permuttion der Ecken zuordnen durch σ α : M M, p i α(p i ) Durch diese Permuttion ist α eindeutig bestimmt, denn durch ds Bild ller Eckpunkte ist eine Trnsformtion des n-ecks eindeutig bestimmt (Genuer genügt schon ds Bild zweier nebeneinnder liegender Eckpunkte) Außerdem gilt für lle Trnsformtionen α, β des n-ecks σ Id id M σ α β σ α σ β σ (α ) (σ α ) Sttt mit Trnsformtionen des n-ecks zu rechnen können wir lso uch mit den zugehörigen Permuttionen in S(M) rechnen Wir identifizieren im Folgenden D n mit der Teilmenge {τ α α D n } S(M) (Dies ist nch den obigen Rechenregeln eine Untergruppe von S(M)) (c) Wir nehmen im Folgenden obda (ohne Beschränkung der Allgemeinheit) n, dss p,, p n uch in dieser Reihenfolge im n-eck uftuchen, dh p i ist jeweils mit p i+ bzw p n mit p verbunden Für n 3 gilt dnn D 3 S(M) Mn überlegt sich hier leicht, dss lle 6 Elemente von S(M) uch durch Trnsformtionen des Dreiecks drstellbr sind Für n > 3 gilt hingegen D n S(M) Hier liegt zb die Permuttion n σ n nicht in D n, weil es keine zugeörige Trnsformtion des n-ecks gibt Die Trnsformtion müsste lle Eckpunkte bis uf p 2 und p 3 gleich lssen und die Punkte p 2 und p 3 vertuschen Doch eine solche Trnsformtion überführt nicht ds n-eck in sich (d) Wir betrchten eine Drehung des n-ecks α und eine Spiegelung β mit den zugehörigen Permuttionen τ α : 2 p 3 p n p n, τ p 2 p 3 p 4 p n p β : 2 p 3 p n p n p p n p n p 3 p 2 Die Hintereinnderusführung α β bzw β α hben dnn die zugehörige Permuttionen τ α β τ α τ β 2 p 3 p n p n, p 2 p p n p 4 p 3 τ β α τ β τ α 2 p 3 p n p n p n p n p n 2 p 2 p

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