Die Lagrangepunkte im System Erde-Mond

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1 Die Lgngepunkte i Syste Ede-ond tthis Bochdt Tnnenbusch-ynsiu Bonn Einleitung: Welche Käfte spüt eine Rusonde, die sich ntiebslos in de Nähe von Ede und ond ufhält? Zunächst sind d die Anziehungskäfte de beiden Hielsköpe, die de vittionsgesetz folgend eh ode wenige stk uf die Sonde einwiken. Dzu kot eine ditte Kft, die n jedoch est dnn elisiet, wenn n ds Syste de ssen nicht sttisch vesteht, sonden die Dynik de Rottion von Ede und ond u den geeinsen Schwepunkt beücksichtigt. Duch diese Bewegung entsteht nälich eine Zentifuglkft - eine vo Schwepunkt weg geichtete Kft. An fünf Stellen i Ru ddieen sich diese dei Käfte zu Null ds sind die fünf Lgngepunkte L, L, L, L4 und L5. Sie weden uch Pkplätze des Ede-ond-Systes gennnt, weil eine Rusonde, die n genu n diesen Stellen positioniet, bezüglich de beiden Hielsköpe otsfest bleibt. Kleine Abweichungen von diesen besondeen Punkten fühen beeits zu eine koplizieten Vehlten: Bei L, L und L zeigt sich, dss die Rusonde wegdiftet - nfngs jedoch it eine seh kleinen eschwindigkeit, sodss es öglich sein sollte, die Position duch inile Kuskoektuen fü längee Zeiten zu hlten. Andes vehält sich eine Sonde in de Nähe von L4 und L5 - sie ukeist diese Punkte uf veschlungenen Bhnen - eine Kuskoektu ist nicht unbedingt efodelich, denn die Kuven bleiben stets in de Nähe de Lgngepunkte.

2 De Schwepunkt: Ede und ond otieen u einen geeinsen Schwepunkt, dessen Lge sich wie folgt beechnen lässt: x x it x x egibt sich x ( x ode ( x x x x x x ( x ( x x x 4 it 5,97 0 kg, 7,5 0 kg und k (ittlee Abstnd Ede ond egibt sich x 4675 k. Ds bedeutet, dss de Schwepunkt S noch innehlb de Edkugel liegt. De Übesicht wegen weden wi S jedoch stets ußehlb zeichnen.

3 Die Zentifuglkft: Wi betchten die Zentifuglbeschleunigung: Z ω x, wobei x die Entfenung vo Schwepunkt S ist. Fü die Winkelgeschwindigkeit diese Rottion gilt: ω ( ( - Abstnd, Diese Foel soll hegeleitet weden: Bewegung de Ede u S Bewegung des ondes u S Die vittionskft wikt ls Rdilkft FZ F FZ F ω ω x ω x x ω x it x egibt sich it x egibt sich ω ( ω ( ( ( ω ω gleich Ntülich uss sich fü die Winkelgeschwindigkeit de Ede de gleiche Wet egeben, wie fü die des ondes. Andes fouliet: Beide Hielsköpe benötigen die gleiche Zeit, u den geeinsen Schwepunkt zu ukeisen. Fü die Ulufdue egibt sich: π π π T ω ( 6,67 0 (7,5 0 5, ,6 s 7, Tge. Ds ist de sideische ont 4 s

4 4 Die vittionskäfte: Die vittionsbeschleunigungen egeben sich wie folgt: Die Ede übt uf einen Köpe die Beschleunigung us. x De ond übt uf einen Köpe die Beschleunigung us. x Dbei ist x de Abstnd zu jeweiligen ssenzentu. De Lgngepunkt L: De Uspung unsees Koodintensystes soll stets i Schwepunkt S liegen: Die dei Beschleunigungen egeben sich it Hilfe de Skizze: (es gilt: x x ( x x ( x x Z ω x Bei Lgngepunkt L sollen sich die Beschleunigungen zu Null ddieen. Dot gilt lso Z.

5 5 (Andes fouliet: Die vittion de Ede hebt in L die vittion des ondes und die Zentifuglkft uf. Die leichung ω x üsste nun nch x ufgelöst weden, wollte n die Position des Lngngepunktes beechnen. ( x x ( x x Dies ist thetisch seh ufwendig. Dhe soll ein einfchee Weg eingeschlgen weden, L zu bestien, nälich it Hilfe eines Tbellenklkultionspogs. n beechnet it Hilfe eine solchen Softwe längs de x-achse fü wchsende x-wete (z.b. in 00 ete Abständen jeweils die Beschleunigung sowie die Sue Z. De Lgngepunkt L liegt bei de x-wet, bei de in etw gilt Z. Dieses Vefhen it Hilfe eine Tbellenklkultion liefet fü L ds Egebnis: x.688,900, lso etw x.689 k. De Lgngepunkt L: Die dei Beschleunigungen egeben sich it Hilfe de Skizze: (es gilt: x x ( x x ( x ( x Z ω x

6 6 Bei Lgngepunkt L sollen sich die Beschleunigungen zu Null ddieen. Dot gilt lso Z. (Andes fouliet: Die vittionskäfte von Ede und ond heben in L die Zentifuglkft uf. Ds Vefhen de Tbellenklkultion liefet fü L ds Egebnis: x lso etw x k. De Lgngepunkt L: Die dei Beschleunigungen egeben sich: (es gilt: x x ( x x ( x x Z ω x Bei Lgngepunkt L sollen sich die Beschleunigungen zu Null ddieen. Dot gilt lso Z. (Andes fouliet: Die vittionskäfte von Ede und ond heben in L die Zentifuglkft uf.

7 7 Ds Vefhen it Hilfe eines Tbellenklkultionspogs liefet fü L ds Egebnis: x lso etw x k Die Lgngepunkte L4 und L5: Bei den Lgngepunkten L4 und L5 sind die Vehältnisse etws kopliziete, denn die Käfte sind dot nicht eh pllel bzw. ntipllel, sonden üssen nch den Regeln de Vektoddition zusengesetzt weden.

8 8 Bei diesen Lgngepunkten ddieen sich die beiden vittionskäfte zu eine Resultieenden, die vo Betg genu de Zentifuglkft entspicht, be diese entgegen geichtet ist. (Vo ußen stehenden Beobchte us betchtet üsste n sgen: die beiden vittionskäfte ezeugen zusen die Rdilkft, die eine Keisbhn it de Ulufdue T7, Tge u S ezeugt. Eine kopliziete thetische Anlyse egibt fü die Lge de Punkte L4 und L5 ein übeschendes Egebnis: Die ssenzenten von und und de Lgngepunkt L5 bilden ein gleichseitiges Deieck it de Kntenlänge. Die Koodinten des Lgngepunkt L5 egeben sich dhe duch einfche geoetische Betchtungen (z.b. ist h die Höhe in eine gleichseitigen Deieck de Kntenlänge : L5 x k.900 k und entspechend fü L4 L4 x k k

9 9 Wi wollen nun nchweisen, dss sich die dei Käfte (Beschleunigungen in L5 ttsächlich zu Null ddieen, wenn n L5 ls Ecke des beschiebenen gleichseitigen Deiecks wählt. De Kosinusstz liefet: cos(0 o R cos(0 ( it 0 cos( 0,0078 s

10 0 Nun soll die Zentifuglbeschleunigung Z beechnet weden: Z ω d, wobei d de Abstnd von L5 zu Schwepunkt ist. Diese Entfenung lässt sich it Hilfe des Stzes des Pythgos beechnen, denn die Koodinten von L5 bezüglich des Schwepunktes sind j beknnt: ( ( , d ( Dit und it ω egibt sich: Z ( ω d d 0,0078 s Ds ist de gleiche Wet, wie die Resultieende us und. Dit ist gezeigt, dss sich die dei Käfte in L5 ttsächlich uslöschen. Bewegungen eine Rusonde in de Nähe de Lgngepunkte: Wie vehält sich eine Rusonde, die n in die Nähe eines Lgngepunktes positioniet? Die Anlyse de Bewegungen können wi thetisch nicht duchfühen, d sie usgespochen koplex ist. Abe it de Siultionspog lgnge.exe lssen sich wichtige Eigenschften de Lgngepunkte echt einfch untesuchen. Ds Pog beechnet fü den Aufenthltsot eine Rusonde die beiden uf sie einwikenden vittionskäfte und die Zentifuglkft und eittelt so Richtung und Betg von Beschleunigung und eschwindigkeit de Sonde und dit deen neuen Ot nch eine Zeitschitt t (Eule-Cuchy-Vefhen. Alledings weden nu Bhnkuven eittelt, die in de Ebene von Ede, Schwepunkt und ond liegen. Es ist lso nicht öglich, die Bhn eine Sonde zu vefolgen, die obe- ode untehlb diese Ebene usgesetzt wude. Aus didktische Sicht ist diese Reduktion besondes günstig, d die Vehältnisse de Käfte noch einigeßen vostellb bleiben. Ein weitee Voteil egibt sich duch die öglichkeit, die Bhn de Rusonde uf die Fläche des vittionspotentils ( Potentilgebige bzubilden und ds nze ls Schägbild zu zeichnen. Dduch entsteht ein seh nschuliche Einduck von de Topologie de enegetischen Vehältnisse i otieenden Ede-ond- Syste. Ds Koodintensyste, in de die Bewegung de Rusonde beechnet und gezeichnet wid, otiet it de Syste Ede-ond u den geeinsen Schwepunkt. Ds bedeutet, dss Ede und ond in diese Bezugssyste uhen, ws eine übesichtliche Dstellung de Bhn de Rusonde eöglicht, denn n sieht, wie sich diese nu bezüglich Ede und ond bewegt.

11 Die Siultion zeigt, dss L, L und L offenb keine stbilen leichgewichtspunkte sind. Topologisch ähneln sie eine Sttel. L4 und L5 sind dgegen (seh flche Hügel und n sollte nnehen, dss eine Rusonde diesen Hügel heunteutscht und it de Zeit wegdiftet. Estunlicheweise geschieht ds jedoch nicht, denn duch ds hinb gleiten ehält die Rusonde eschwindigkeit und uf und de Rottion u den Schwepunkt entsteht eine Coioliskft, welche die Bhn so stk küt, dss veschlungene Wege u den Lgngepunkt heu entstehen. Dbei entfent sich die Rusonde nu u ein bestites Stück sie bleibt äulich lso qusi otsfest bezüglich Ede und ond. Kuskoektuen sind in de Regel nicht efodelich. L4 und l5 sind dit idele Punkte fü eine Rusttion, die Ede und ond übe lnge Zeitäue gleicheßen beobchten soll. Die folgenden Sceenshots zeigen die Bhn eine Rusonde, die jeweils it de eschwindigkeit Null (bezüglich des itotieenden Koodintensystes n veschiedene Stellen in de Ebene von Ede und ond gesetzt wude. Ein wenig echts von L diftet die Rusonde in Richtung ond, ein wenig links von L in Richtung Ede die Stteltopologie de Ugebung vehindet, dss die Rusonde totz de wikenden Coioliskäfte nch vone ode nch hinten läuft. In de Nähe von L5 sieht die Sitution völlig ndes us: dot liegt kein Sttel vo, sonden ein Hügel, uf de die Rusonde ngetieben duch Coioliskäfte- veschlungene Uläufe cht. Beekung: Die Sttel- und die Hügelfo de Lgngepunkte lssen sich n de Schägbild des deidiensionl dgestellten vittionspotentils ku ekennen, denn Sie sind nu seh schwch usgepägt. tthis Bochdt Tnnenbusch-ynsiu Bonn

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