Über eine ziemlich allgemeine Zahlenfolge und eine ziemlich allgemeine Funktion

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1 Übe eine ziemlich allgemeine Zahlenfolge und eine ziemlich allgemeine Funktion Beat Jaggi, Abstact Ausgehend von einem veallgemeineten Mittelwet wid eine Zahlenfolge definiet, die eine Veallgemeineung von aithmetischen, geometischen und hamonischen Folgen dastellt. Mit de expliziten Bescheibung diese Folge kann eine Funktion angegeben weden, die a ne Funktionen, Potenzfunktionen, Wuzelfunktionen, Exponentialfunktionen etc. umfasst. Einleitung Zwischen gewissen Folgen eelle Zahlen, a, a,... und Mittelweten besteht ein enge Zusammenhang: Bei eine aithmetischen Folge ist jedes Folgeglied (mit Ausnahme des esten) das aithmetische Mittel seine Nachbagliede. Analoges gilt fü geometische und hamonische Folgen. Diese Eigenschaft kann genutzt weden, um ekusive Bescheibungen diese dei Typen von Folgen zu gewinnen. a n a n + a n+ ) a n+ a n a n ; n () a n p a n a n+ ) a n+ a n a n ; n () a n a n a n+ a n + a n+ ) a n+ a n a n a n a n ; n (3) Sind die esten beiden Zahlen und a vogegeben, dann können wi die Folgegliede sukzessive beechnen. Es ist leicht zu sehen, dass aus den ekusiven Bescheibungen (), () und (3) die untenstehenden expliziten Dastellungen folgen: a n + n(a )na (n ) (4) n a a n an (5) a n + n a a n 0 a n (n )a a a + n( a ) Setzt man in (4) a d ode in (5) a q, so ehält man die wohlbekannten expliziten Bescheibungen von aithmetischen und geometischen Zahlenfolgen. (6) ist die explizite Bescheibung eine allgemeinen hamonischen Zahlenfolge. und a sind dabei so zu wählen, dass de Nenne a + n( a )fü alle n N 0 ungleich Null bleibt. (6) Juin 0 Numéo 9 7

2 vsmp sspmp ssimf Veallgemeinete Mittelwet Die oben beschiebenen Mittelwete lassen sich zu einem allgemeinen Mittelwet zusammengefassen. (siehe z.b. []) Definition: Fü zwei positive eelle Zahlen a und b und eine eelle Zahl definieen wi m a + b (7) Bemekung: Definition (7) kann auf n Zahlen veallgemeinet weden (siehe []). Eine einfache Rechnung zeigt, dass m das aithmetische und m das hamonische Mittel von a und b ist. De Fall 0 vedient besondee Beachtung. Es gilt: Auf den Quotienten a + b e ln a +b f() g() ln a+b e ln «a +b lässt sich die Regel von Benoulli-de l Hôpital anwenden, also gilt f()!0 g() f 0 ()!0 g 0 ()!0 a ln a+b ln b a +b ln a +lnb ln(ab) ln(ab) ln p ab und somit!0 a + b p ab Wi können m 0 mit dem geometischen Mittel identifizieen und m ist tatsächlich fü jede eelle Zahl definiet. Bemekungen:. Man kann zeigen, dass m, aufgefasst als Funktion von, steng monoton steigt (a 6 b). Aus diese Monotonie von m folgen dann die bekannten Ungleichungen m <m 0 <m zwischen hamonischem, geometischem und aithmetischem Mittel zweie Zahlen a und b.. Es gilt m Max{a, b} und m Min{a, b}!! 8 Numme 9 Juni 0

3 Allgemeine Mittelwet-Folge Mit dem im voheigen Abschnitt definieten veallgemeineten Mittelwet m lässt sich nun fü jede eelle Zahl eine allgemeine Folge definieen: Jedes Folgeglied (mit Ausnahme des esten) soll de veallgemeinete Mittelwet seine Nachbagliede sein. a n a n + a n+ (8) Obwohl die Folgegliede nun von abhängen, vezichten wi auf eine entspechende Anpassung de Bezeichnungen. Rekusive Bescheibung de veallgemeineten Mittelwet-Folge: Auflösen von (8) nach a n+ egibt eine ekusive Dastellung a n+ a n a n (9) Nach Vogabe von zwei Zahlen und a liefet die obige Fomel im Pinzip fü jede eelle Zahl eine Zahlenfolge, die wi als veallgemeinete Mittelwet-Folge (a ) nn bezeichnen. Explizite Bescheibung de veallgemeineten Mittelwet-Folge Behauptung: Aus de ekusiven Bescheibung (9) de veallgemeineten Mittelwet- Folge egibt sich die folgende explizite Dastellung: a n [na (n )a 0] [a 0 + n (a a 0)] (0) Beweis: Mit Induktion: Fü n 0undfü n egibt de Tem in (0) geade esp. a. (9) kann in de Fom a n+ a n a n, (0) in de Fom a n a 0 + n (a a 0 ) geschieben weden. Die Fomel (0) sei ichtig fü n. Dann gilt: a n a n [a 0 + n (a a 0)] [a 0 +(n ) (a a 0)] a 0 +n (a a 0) a 0 (n ) (a a 0) a 0 +(n (n )) (a a 0) a 0 +(n + ) (a a 0)a n+ wzzw. Behauptung: Die Zahlenfolge a n [na (n )a 0] [a 0 + n (a a 0)] bescheibt fü eine aithmetische, fü 0 eine geometische und fü hamonische Folge mit den Anfangsglieden > 0unda > 0. eine Juin 0 Numéo 9 9

4 vsmp sspmp ssimf Beweis: Die Fälle und sindtivial. 0: De Quotient [na (n )a 0] e ln[na (n )] f() g() ln [na (n )a 0 ] e ln[na (n ) ] efüllt wiedeum die Voaussetzungen fü die Regel von Benoulli-de l Hôpital. Somit wid na ln a (n )a 0 ln!0 na (n )a 0 und schliesslich folgt f 0 () g 0 () f 0 () na ln a (n )a 0 ln na (n )a 0 n ln a (n ) ln n (n ) a n ln a n 0!0 [na (n )a 0] a n a n 0. ln (a ) n ln ( ) n n a Wi ehalten die explizite Bescheibung eine geometischen Folge mit den Anfangsglieden und a (siehe (5)). wzzw. Die Folge a n [na (n )a 0] [a 0 + n (a a 0)] ist also tatsächlich eine Veallgemeineung von aithmetischen, geometischen und hamonischen Folgen. Die bekannteste hamonische Folge,, 3, 4, 5,... ehält man mit, a und. Im nächsten Abschnitt esetzen wi die Zahl n N 0 duch x R und untesuchen die so entstehende Funktion. Veallgemeinete Funktion Da jede Zahlenfolge als Funktion mit Definitionsmenge N 0 aufgefasst weden kann, wid die oben beschiebene Folge duch Eweiten de Definitionsmenge zu eine eellen Funktion. Definition Zu zwei (positiven) eellen Zahlen und a setzen wi f (x) [a 0 + x (a a 0)] ; R () 0 Numme 9 Juni 0

5 Bemekung: Die Definitionsmenge de Funktion f hängt von und von de Wahl von und a ab. Duch besondee Wahl von, a und ehält man mit () zahleiche elementae Funktionen: Funktion(styp) a Funktionsgleichung Potenzfunktionen > 0 0 f / (x) x Wuzelfunktionen n N 0 f n (x) np x Quadatwuzelfunktion 0 f (x) p x Exponentialfunktionen 0 A A b f 0 (x) A b x A ne Funktionen q m + q f (x) mx + q Besondee ationale Funktion q So ist m+q f (x) mx+q f (x) [a 0 + x (a a 0)] ; R eine Veallgemeineung alle Funktionen, die in de obigen Liste aufgefüht sind. Bemekung: Die Funktion f(x) x Mit, a gilt abe f (x ) x. kann nicht diekt ezeugt weden. Schlussbemekung: Die oben vogestellte Zahlenfolge a n und die Funktion f müssten eigentlich bekannt und schon untesucht woden sein. Hinweise nimmt de Auto dankba entgegen. Liteatu: [] G. Hady, J.E. Littlewood, G. Polyá, Inequalities, Second edition, Cambidge Mathematical Libay, 95 Juin 0 Numéo 9

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