Einführung in die Finanzmathematik - Grundlagen der Zins- und Rentenrechnung -

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1 Einfühung in die Finanzmathematik - Gundlagen de ins- und Rentenechnung -

2 Gliedeung eil I: insechnung - Ökonomische Gundlagen Einfache Vezinsung - Jähliche, einfache Vezinsung - Untejähliche, einfache Vezinsung Vezinsung mit inseszinsen - Jähliche Vezinsung mit inseszinsen - Untejähliche Vezinsung mit inseszinsen - Stetige Vezinsung mit inseszinsen

3 Gliedeung eil II: Rentenechnung - Definitionen Jähliche Rentenzahlungen - Jählich-voschüssige Rentenzahlungen - Jählich-nachschüssige Rentenzahlungen Untejähliche Rentenzahlungen - Vaiante : Jählich-nachschüssige insbeechnung - Vaiante 2: Untejählich-nachschüssige insbeechnung mit gleich lange ins-und Rentenpeiode Ewige Renten

4 eil I: insechnung

5 Ökonomische Gundlagen Aten de Vezinsung Wenn ein Anlege einen bestimmten Geldbetag leihweise einem andeen Witschaftssubjekt übelässt, so zahlt ihm dieses fü die leihweise Übelassung des Anlagebetages üblicheweise ein Entgelt. Dieses Entgelt wid als ins bezeichnet. Die Höhe de gezahlten insen hängt von dem veeinbaten inssatz, de Höhe des Anlagebetages und von de Länge des eitaums ab, fü den die Übelassung des Anlagebetages efolgt. (Die Länge dieses eitaums wid als die Laufzeit de Geldanlage bezeichnet.

6 Ökonomische Gundlagen insen können auf unteschiedliche Weise beechnet weden. Konket wid a nach de Länge des inszeitaums zwischen jähliche und untejähige Vezinsung b nach de At und Weise, wie die beeits gezahlten insen behandelt weden, zwischen einfache Vezinsung und Vezinsung mit inseszinsen und c nach dem eitpunkt de inszahlung zwischen voschüssige und nachschüssige Vezinsung unteschieden.

7 Ökonomische Gundlagen zu a: Untescheidung nach de Länge des Bezugszeitaums: Ist genau einmal im Jah eine inszahlung bzw. gutschift vogesehen, so liegt jähliche Vezinsung vo. Jähliche Vezinsung bedeutet abe nicht, dass insen nu gezahlt weden, wenn die Anlagedaue ein Jah (ode ein ganzzahliges Vielfaches davon betägt! Vielmeh weden bei Laufzeiten von unte einem Jah die auf diesen eitaum entfallenden insen üblicheweise mit einem inssatz beechnet, de einem popotionalen Anteil des Jaheszinssatzes entspicht. Wid also etwa ein Betag von EUR zu einem inssatz von 3,5% p.a. angelegt, betägt die Laufzeit de Anlage abe nu 2 age, so betägt insbetag, de dem Anlege am Ende de Laufzeit vegütet wid, (3,5/. (2/365. EUR EUR 9,8 Wenn insen mehmals jählich gezahlt bzw. gutgeschieben weden, (also z.b. jeweils am Ende eines Halbjahes, ein Quatals, eines Monats ode soga eines ages, liegt eine untejähliche Vezinsung vo. Auch in diesem Fall weden dann, wenn die tatsächliche Laufzeit kein ganzzahliges Vielfaches de eitaum zwischen, zwei insszahlungen, üblicheweise anteilige insen vegütet.

8 Ökonomische Gundlagen zu a: Untescheidung nach de Länge des Bezugszeitaums: Als inspeiode wid de zeitliche Abstand zwischen zwei aufeinande folgenden inszahlungen (ode zwischen dem Beginn de Anlage und de esten inszahlung bezeichnet. (Dabei wid hie und im folgenden untestellt, dass die insen in stets gleichen eitabständen gezahlt weden und die letzte inszahlung am Ende des Anlagezeitaums efolgt.

9 Ökonomische Gundlagen zu b: Untescheidung nach de Behandlung de gezahlten insen: Wenn die ausgezahlten insen dem Anlagebetag zugeschlagen weden, so dass auf sie in den folgenden Peioden ebenfalls insen gezahlt weden, so liegt eine ahlung von inseszinsen vo. Weden dagegen die ausgezahlten insen in den folgenden Peioden nicht vezinst (sonden - beispielsweise als Bageld unvezinslich angesammelt, so liegt eine einfache Vezinsung vo. zu c: Untescheidung nach dem eitpunkt de inszahlung: Weden die anfallenden insen entwede am Ende jede inspeiode ode am Ende de Laufzeit ausgezahlt, so liegt eine nachschüssige Vezinsung vo. Wenn dagegen die anfallenden insen beeits am Beginn jede inspeiode ode am Anfang de Laufzeit gezahlt, so liegt eine voschüssige Vezinsung vo. Die voschüssige Vezinsung ist jedoch fü die Paxis ohne Belang. Deswegen wid im folgenden stets von eine nachschüssigen Vezinsung ausgegangen.

10 Ökonomische Gundlagen! Im Rahmen diese einfühenden Dastellung wid stets davon ausgegangen, dass es einen einzigen, fest vogegebenen inssatz gibt, de von de (Rest-Laufzeit de Anlage unabhängig ist und sich im eitvelauf nicht veändet. Beide diese Annahmen sind ausgespochen gobe Veeinfachungen gegenübe de ökonomischen Realität. Die Maktpeise bösennotiete Schuldvescheibungen etwa lassen ekennen, dass empiisch beobachtbae Anlagezinsen sowohl von de vebleibenden Laufzeit de jeweiligen Anlage abhängig sind als auch im eitvelauf vaiieen können. otzdem sind die hie vogestellten Methoden und Bewetungs-vefahen von Nutzen, da komplexee, ealitätsnähee Modelle auf ihnen aufbauen.

11 Gliedeung eil I: insechnung - Ökonomische Gundlagen Einfache Vezinsung - Jähliche, einfache Vezinsung - Untejähliche, einfache Vezinsung Vezinsung mit inseszinsen - Jähliche Vezinsung mit inseszinsen - Untejähliche Vezinsung mit inseszinsen - Stetige Vezinsung mit inseszinsen

12 Jähliche, einfache Vezinsung Im folgenden bezeichne A den Anlagebetag am Beginn de Laufzeit, die Laufzeit de Anlage den inssatz A t den nach Ablauf von t Jahen duch vezinsliche Anlage von A akkumulieten Geldbetag, und entspechend A den am Ende de Laufzeit vefügbaen Geldbetag, de aus de vezinslichen Anlage von A esultiet. Anmekung: A wid im folgenden auch kuz als de Endwet de Anlage bezeichnet.

13 Jähliche, einfache Vezinsung Im Falle de einfachen Vezinsung weden die ausgezahlten insen in den Folgepeioden nicht vezinst. Folglich ehält de Anlege in diesem Fall am Ende jede inspeiode einen Geldbetag in Höhe von. A als inszahlung. Da diese ahlungen annahmegemäß nicht weite vezinst weden, kann de Anlege am Ende de Laufzeit übe die Summe aus dem anfänglichen Anlagebetag und den jählichen inszahlungen vefügen; es gilt also A A.. A A. (.

14 Gliedeung eil I: insechnung - Ökonomische Gundlagen Einfache Vezinsung - Jähliche, einfache Vezinsung - Untejähliche, einfache Vezinsung Vezinsung mit inseszinsen - Jähliche Vezinsung mit inseszinsen - Untejähliche Vezinsung mit inseszinsen - Stetige Vezinsung mit inseszinsen

15 Untejähliche, einfache Vezinsung Im Falle de untejählichen, einfachen Vezinsung weden die insen weden mehmals po Jah ausgezahlt und in den Folgepeioden nicht vezinst. Damit untejähliche und jähliche Vezinsung in de Dastellung besse unteschieden weden können, wid im folgenden das Symbol z fü den inssatz po inspeiode vewendet. Außedem bezeichne P die Anzahl de inspeioden po Jah. Es gilt folgende usammenhang P Daue eine inspeiode in Jahen Bei monatliche Vezinsung gilt also P 2 (da die Daue eine inspeiode einen Monat, also /2 Jah betägt, bei quatalsweise Vezinsung P 4 und bei halbjähliche Vezinsung P 2.

16 Untejähliche, einfache Vezinsung Wenn mit noch küzeen inspeioden geechnet weden soll, so wid in de kaufmännischen Paxis häufig zu echneischen Veeinfachung einheitlich gesetzt. Jah 36 (ins-age und Monat 3 (ins-age Diese Paxis wid hie und im folgenden übenommen. Bei tägliche Vezinsung gelte also fü die Anzahl de inspeioden po Jah P 36. De po untejähliche inspeiode gezahlte ins z lässt sich wie folgt in einen echneischen Jaheszins umechnen: z P

17 Untejähliche, einfache Vezinsung Im Falle de untejählichen, einfachen Vezinsung ehält de Anlege am Ende jede inspeiode einen Geldbetag in Höhe von z. A als inszahlung. Da diese ahlungen annahmegemäß nicht weite vezinst weden, kann de Anlege am Ende de Laufzeit übe die Summe aus dem anfänglichen Anlagebetag und den. P jählichen inszahlungen vefügen; es gilt also A A. P. z. A A. (. P. z ode, wegen z. P, auch in diesem Falle A A. (.

18 Gliedeung eil I: insechnung - Ökonomische Gundlagen Einfache Vezinsung - Jähliche, einfache Vezinsung - Untejähliche, einfache Vezinsung Vezinsung mit inseszinsen - Jähliche Vezinsung mit inseszinsen - Untejähliche Vezinsung mit inseszinsen - Stetige Vezinsung mit inseszinsen

19 Jähliche Vezinsung mit inseszinsen Eine jähliche Vezinsung mit inseszinsen ist dann gegeben, wenn die in einem Jah gezahlten insen dem angelegten Kapitalbetag zugeschlagen weden und somit den Kapitalbetag des jeweiligen Folgejahes ehöhen. Die am Ende dieses Folgejahes zu leistende inszahlung entspicht dann dem mathematischen Podukt aus dem inssatz und dem neuen, ehöhten Kapitalbetag (siehe tabellaische Dastellung auf de nächsten Seite.

20 Jähliche Vezinsung mit inseszinsen abellaische Dastellung de jählichen Vezinsung mit inseszinsen Jah Kapitalbestand am Anfang des Jahes insetäge am Ende des Jahes Kapitalbestand am Ende des Jahes A. A A (. A 2 A. A A 2 (. A (². A 3 A 2. A 2 A 3 (. A 2 (³. A A -. A - A (. A - (. A

21 Jähliche Vezinsung mit inseszinsen Diese Dastellung lässt ekennen, dass bei eine jählichen Vezinsung mit inses- insen die Höhe des am Ende de Anlagelaufzeit akkumulieten Kapitals, A, wie folgt als eine Funktion des inssatzes und des anfänglichen Kapitals A beechnet weden kann: A ( A Eine in de Finanzmathematik häufig gestellte Fage lautet: Wie hoch muss sich ein (als bekannt voausgesetzte Anlagebetag A vezinsen, damit nach eine Laufzeit von Jahen mit inseszinsen ein Kapital von A akkumuliet wid? u Beantwotung diese Fage muss die obige Gleichung nach aufgelöst weden. Es gilt: A A ( und folglich A A A bzw. A

22 Jähliche Vezinsung mit inseszinsen Eine andee mögliche Fage lautet: Fü welche eitdaue muss ein Anlagebetag A zu einem inssatz angelegt weden, damit am Ende de Laufzeit mit inseszinsen ein Kapitalbetag von A eeicht wid? In diesem Falle muss die Gleichung, die den usammenhang zwischen A o, A, und Bescheibt, nach aufgelöst weden. Es gilt: A ( A Daaus folgt ln A ln( ln A und ln A ln A ln( bzw. ln( A / A ln(

23 Definition und Beechnung von Baweten Definition: Unte dem Bawet eine einzelnen, inspeioden in de ukunft liegenden ahlung wid dejenige Anlagebetag vestanden, de, wenn e inspeioden lang zum untestellten inssatz angelegt wid, am Ende des Anlagezeitaums genau die Höhe diese ahlung eeicht. De Bawet eine Gesamtheit mehee auf einande folgende ahlungen entspicht de Summe de Bawete de einzelnen einzelnen ahlungen. Üblicheweise wid bei de Beechnung von Bawet eine Vezinsung mit inseszinsen untestellt. Das ist nicht zwingend notwendig, wid hie abe aus Veeinfachungsgünden ebenfalls so gehandhabt.

24 Definition und Beechnung von Baweten Beechnung des Bawets eine einzelnen ahlung bei jähliche Vezinsung mit inseszinsen: Gesucht ist dejenige Anlagebetag B, de, wenn e Jahe lang zum untestellten inssatz p.a. angelegt wid, am Ende des Anlagezeitaums genau die Höhe de ahlung eeicht. wischen B und besteht in diesem Fall de folgende usammenhang: B (-. Sind B und bekannt, so lässt sich de Bawet de einzelnen ahlung also duch einfaches Einsetzen in die obige Gleichung emitteln.

25 Definition und Beechnung von Baweten Beechnung des Bawets de Gesamtheit mehee aufeinande folgende ahlungen mit inseszinsen bei jähliche Vezinsung: Hie wid untestellt, dass in meheen aufeinande folgenden Jahen t,..., jeweils ahlungen in Höhe von, 2,..., zu vezeichnen sind. Da de Bawet de Gesamtheit diese ahlungen laut Definition mit de Summe de Bawete de einzelnen ahlungen identisch ist, gilt in diesem Falle de usammenhang B t t ( t bzw. B t ( t t

26 Gliedeung eil I: insechnung - Ökonomische Gundlagen Einfache Vezinsung - Jähliche, einfache Vezinsung - Untejähliche, einfache Vezinsung Vezinsung mit inseszinsen - Jähliche Vezinsung mit inseszinsen - Untejähliche Vezinsung mit inseszinsen - Stetige Vezinsung mit inseszinsen

27 Untejähliche Vezinsung mit inseszinsen Im Falle de untejählichen Vezinsung mit inseszinsen betägt die Länge eine inspeiode stets nu den Buchteil eines Jahes. Andes als bei de einfachen untejählichen Vezinsung wid abe davon ausgegangen, dass die am Ende eine inspeiode gezahlten insen bis zum Ende de Laufzeit wiede zu dem bestehenden inssatz angelegt weden. Auch hie wid das Symbol z fü einen inssatz vewendet, de sich auf eine inspeiode von unte einem Jah Länge bezieht. Die Anzahl de inspeioden in einem Jah wid, wie im Abschnitt übe die untejähige, einfache Vezinsung, mit P bezeichnet, so dass auch hie de usammenhang gilt. P Daue eine inspeiode in Jahen

28 Untejähliche Vezinsung mit inseszinsen Dann lässt sich (analog zu Vogehensweise bei de jählichen Vezinsung mit inseszinsen zeigen, dass zwischen dem Endwet de jeweiligen Anlage A, dem Anlagebetag A, de Laufzeit in Jahen, dem fü eine inspeiode maßgeblichen inssatz z, und de Anzahl de inspeioden in einem Jah P de folgende usammenhang besteht: A A ( z P

29 Untejähliche Vezinsung mit inseszinsen wischen dem echneischen Jaheszinssatz und dem auf je eine inspeiode bezogenen inssatz z besteht de folgende usammenhang: z P Wenn also eine untejähliche Vezinsung voliegt, abe anstelle des peiodenbezogenen inssatzes z de echneische Jaheszinssatz als Beechnungsgundlage vewendet wid, so lässt sich de Endwet bei eine Anlage mit inseszinsen scheiben als A A P P

30 Untejähliche Vezinsung mit inseszinsen De effektive Jaheszinssatz: De effektive Jaheszins (im folgenden mit * bezeichnet ist dejenige inssatz, de im Falle eine jählichen Vezinsung ezielt weden müsste, damit de Endwet de Anlage bei jähliche Vezinsung mit dem Endwet bei untejähliche Vezinsung übeeinstimmt. wischen dem effektiven Jaheszins * und dem untejählichen Peiodenzinssatz z besteht also de folgende usammenhang: ( ( P * z A ( A A Daaus folgt fü den usammenhang zwischen dem effektiven Jaheszins und dem peiodenbezogenen inssatz bei untejähliche Vezinsung * P ( z

31 Untejähliche Vezinsung mit inseszinsen wischen dem echneischen Jaheszinsatz und dem peiodenbezogenen inssatz z besteht bei untejähliche Vezinsung de usammenhang z P mit P Anzahl de inspeioden po Jah. Dahe besteht zwischen dem effektiven Jaheszins * und dem echneischen Jaheszinssatz bei untejähliche Vezinsung de folgende usammenhang: * P P * P ( z

32 Untejähliche Vezinsung mit inseszinsen Gelegentlich finden sich auch Fälle, in denen von dem effektiven Jaheszins auf den untejählichen Peiodenzinssatz geschlossen weden soll. Poblemstellungen diese At lassen sich einfach lösen, indem die zuletzt genannte Gleichung nach z aufgelöst wid: Aus * P z folgt ode und schließlich z * ( ( P z ( * / P z ( * / P

33 Gliedeung eil I: insechnung - Ökonomische Gundlagen Einfache Vezinsung - Jähliche, einfache Vezinsung - Untejähliche, einfache Vezinsung Vezinsung mit inseszinsen - Jähliche Vezinsung mit inseszinsen - Untejähliche Vezinsung mit inseszinsen - Stetige Vezinsung mit inseszinsen

34 Stetige Vezinsung mit inseszinsen Die stetige Vezinsung ist eine Fom de untejähigen Vezinsung, bei de untestellt wid, dass die Länge de inspeiode infinitesimal klein wid (und folglich die Anzahl de inspeioden im Jah gegen unendlich geht. In diesem Fall gilt fü den usammenhang zwischen dem anfänglichen Anlagebetag A und dem Endwet de Anlage A de folgende usammenhang: A A lim P Dies lässt sich umscheiben zu A A lim P P P P P

35 Stetige Vezinsung mit inseszinsen De Mathematike Leonhad Eule (* Basel 77, Petesbug 783 stellte fest, dass allgemein folgendes gilt: lim x x x 2, Diese sogenannte Eule sche ahl wid üblicheweise mit dem Symbol e bezeichnet. Wid nun das x aus de obigen Gleichung (im Rahmen diese Beechnung mit P/ gleichgesetzt, so lässt sich de usammenhang zwischen A und A bei stetige Vezinsung folglich scheiben als A A e

36 eil II: Rentenechnung

37 Definitionen Auf dem Gebiet de Finanzmathematik wid als Rente eine Gesamtheit von ahlungen vestanden, die in konstante Höhe peiodisch wiedekehen. Die einzelne ahlung im Rahmen eine Rente wid als eine Rentenate bezeichnet.

38 Aten von Renten Auf dem Gebiet de Renten lassen sich veschiedene Escheinungsfomen untescheiden:. Hinsichtlich de Länge des Rentenlaufzeit wid zwischen.. endlichen Renten mit eine begenzten und bekannten Laufzeit,.2. endlichen Renten mit einem begenzten, abe unbekannten Laufzeit und.3. unendlichen ( ewigen Renten mit eine unbegenzten Laufzeit unteschieden. Im Rahmen diese einfühenden Dastellung wid lediglich auf die Fälle. und.3. nähe eingegangen. 2. Bezüglich de Länge des eitaums zwischen zwei aufeinande folgenden Rentenzahlungen wid zwischen 2.. jählichen Renten (mit jählich wiedekehenden Rentenzahlungen und 2.2. untejählichen Renten (mit z.b. monatlich ode quatalsweise wiedekehenden Rentenzahlungen unteschieden.

39 Aten von Renten 3. Bezogen auf die Fälligkeit de Rentenzahlungen lässt sich zwischen 3.. voschüssigen Rentenzahlungen, die jeweils zu Beginn eine Rentpeiode fällig weden (dies ist z.b. häufig bei Mieten de Fall, und 3.2. nachschüssigen Rentenzahlungen, die jeweils am Ende de Rentenpeiode fällig weden, untescheiden. 4. Hinsichtlich de Länge de inspeiode wid zwischen 4.. jähliche Vezinsung und 4.2. untejähliche Vezinsung unteschieden. 5. Die At de Vezinsung kann 5.. einfach ode 5.2. zinseszinslich sein.

40 Aten von Renten 6. Möglich ist fene die Einteilung de Rentenaten nach de Fälligkeit de insen auf das zugunde liegende Kapital. Unteschieden wid dabei zwischen 6.. nachschüssigen insen und 6.2. voschüssigen insen. Diese Untescheidung ist alledings ehe theoetische Natu; die voschüssige Vezinsung ist in de ökonomischen Paxis unüblich. Eine Vielzahl von Kombinationen de unte den Puntken. bis 6. genannten Mekmale sind denkba. Hie weden nu die fü die Paxis elevanten Rentenaten behandelt.

41 Gliedeung eil II: Rentenechnung - Definitionen Jähliche Rentenzahlungen - Jählich-voschüssige Rentenzahlungen - Jählich-nachschüssige Rentenzahlungen Untejähliche Rentenzahlungen - Vaiante : Jählich-nachschüssige insbeechnung - Vaiante 2: Untejählich-nachschüssige insbeechnung mit gleich lange ins-und Rentenpeiode Ewige Renten

42 Jählich-nachschüssige Rentenzahlungen Hie weden Fälle analysiet, in denen wähend eines begenzten eitaums jeweils am Ende eines Jahes eine bestimmte Rentenzahlung geleistet wid. Es wid davon ausgegangen, dass die Rentenzahlungen zu einem festen inssatz zinseszinslich angelegt weden können, und dass de Kapitalbetag, aus dem die geleisteten Rentenzahlungen möglicheweise finanziet weden, ebenfalls zinseszinslich angelegt ist. Im folgenden bezeichnet den inssatz, mit dem die Rentenaten und ggf. de Kapitalbestand vezinst weden, B den Bawet de Gesamtheit alle Rentenzahlungen am Anfang de Laufzeit, die Länge de Rentenlaufzeit in Jahen und W den Endwet de Gesamtheit alle Rentenzahlungen, also das vefügbae Kapital, das nach geleisteten Rentenzahlungen einschließlich de ehaltenen insen und inseszinsen zu Vefügung steht

43 Jählich-nachschüssige Rentenzahlungen Emittlung des Rentenbawetes: De Bawet B de Gesamtheit alle Rentenzahlungen lässt sich in diesem Fall wie folgt ausdücken: bzw. (nach Ausklammen von, B B t ( t t ( t Da die Duchfühung diese Summation bei langen Rentenlaufzeiten echt aufwändig sein kann, suchen wi im folgenden nach einem kompakteen Ausduck.

44 Jählich-nachschüssige Rentenzahlungen Emittlung des Rentenbawetes (fotgesetzt: Um diesen Ausduck zu veeinfachen, wid im uge eine Nebenechnung zunächst de em B ( -. B gebildet: B ( B [ ( (... ( ] ( [ ( (... ( ] 2 ( [ ( (... ( ] [ ( (... ( ] ( [ ( ( ( ] da sich die Ausdücke ( -2 bis ( - in de zweiten eile von unten gegenseitig aufheben.

45 Jählich-nachschüssige Rentenzahlungen Emittlung des Rentenbawetes (fotgesetzt: Duch Multiplikation beide Seiten des zuletzt genannten Ausducks mit ( egibt sich B ( bzw. B [ ] ( Daaus egibt sich als Fomel fü den Rentenbawet in diesem Fall B ( (

46 Jählich-nachschüssige Rentenzahlungen Emittlung des Rentenendwetes: De Rentenendwet ließe sich in ähnliche Weise heleiten wie de Rentenbawet vohe. Fü die wecke diese Dastellung eicht es abe, sich vo Augen zu fühen, dass de Rentenendwet W demjenigen Betag entspicht, de sich egäbe, wenn de Rentenbawet B fü eine Daue von Peioden zum inssatz zinseszinslich angelegt weden wüde: W B ( Daaus egibt sich als Fomel fü den Rentenendwet in diesem Fall W (

47 Jählich-nachschüssige Rentenzahlungen Heleitung de Rentenate bei vogegebenem Rentenbawet und bekannte Laufzeit In diesem Fall geht es um die Fagestellung, wie hoch eine fü die Daue von Jahen jählich-nachschüssig zu gewähende Rentenzahlung ist, wenn de Kapitalbetag, aus dem diese ahlungen gespeist weden sollen, bekannt (und mit dem Rentenbawet identisch ist. In diesem Fall ist die Bestimmungsgleichung fü den Rentenbawet B ( ( nach de Rentenzahlung aufzulösen: B ( (

48 Jählich-nachschüssige Rentenzahlungen Heleitung de Rentenate bei vogegebenem Rentenendwet und bekannte Laufzeit Ist die Rentenlaufzeit vogegeben und de RentenendwetW bekannt, und soll die Höhe de jählich-nachschüssig zu gewähenden Rentenzahlung enmittelt weden, so ist die Bestimmungsgleichung fü den Rentenendwet W ( nach de Rentenzahlung aufzulösen: W (

49 Jählich-nachschüssige Rentenzahlungen Heleitung de Laufzeit bei vogegebenem Rentenbawet und bekannte Höhe de jählichen Rentenzahlung In diesem Fall lautet die Fagestellung, wie lange ( eine jählich-nachschüssige Rentenzahlung in bekannte Höhe gewäht weden kann, wenn de den Rentenzahlungen zugunde liegende Kapitalbetag bekannt (und mit dem Rentenbawet B identisch ist. Ausgangspunkt ist wiedeum die Bestimmungsgleichung fü den Rentenbawet: B ( ( Diese lässt sich umfomen zu [( ] ( B

50 Jählich-nachschüssige Rentenzahlungen Heleitung de Laufzeit bei vogegebenem Rentenbawet und bekannte Höhe de jählichen Rentenzahlung (fotgesetzt Ausklammen des ems ( füht zu ( ( B bzw., nach Multiplikation beide Seiten mit (-, ( ( B Auflösung nach ( egibt ( ( B

51 Jählich-nachschüssige Rentenzahlungen Heleitung de Laufzeit bei vogegebenem Rentenbawet und bekannte Höhe de jählichen Rentenzahlung (fotgesetzt Nun weden beide Seiten diese Gleichung logaithmiet ln( ln ln( B und das Egebnis nach aufgelöst ln ln( B ln(

52 Jählich-nachschüssige Rentenzahlungen Heleitung de Laufzeit bei vogegebenem Rentenendwet und bekannte Höhe de jählichen Rentenzahlung In diesem Fall lautet die Fagestellung, wie lange ( eine jählich-nachschüssige Rentenzahlung in bekannte Höhe geleistet weden muss, damit am Ende de Laufzeit ein vogegebene Endwet eeicht wid. Die Bestimmungsgleichung fü den Rentenendwet lautet Sie lässt sich umfomen zu W ( W (

53 Jählich-nachschüssige Rentenzahlungen Heleitung de Laufzeit bei vogegebenem Rentenendwet und bekannte Höhe de jählichen Rentenzahlung (fotgesetzt Duch Logaithmieen beide Seiten egibt sich ln und nach Auflösung nach ( W ln ln( ln ( W ln( ln

54 Gliedeung eil II: Rentenechnung - Definitionen Jähliche Rentenzahlungen - Jählich-voschüssige Rentenzahlungen - Jählich-nachschüssige Rentenzahlungen Untejähliche Rentenzahlungen - Vaiante : Jählich-nachschüssige insbeechnung - Vaiante 2: Untejählich-nachschüssige insbeechnung mit gleich lange ins-und Rentenpeiode Ewige Renten

55 Jählich-voschüssige Rentenzahlungen Hie weden Fälle untesucht, in denen wähend eines endlichen eitaums jeweils am Anfang eines Jahes eine feste Rentenzahlung geleistet wid. Es wid davon ausgegangen, dass die Rentenzahlungen zu einem festen inssatz zinseszinslich angelegt weden können, und dass de Kapitalbetag, aus dem die geleisteten Rentenzahlungen möglicheweise finanziet weden, ebenfalls zinseszinslich angelegt ist. Im folgenden bezeichnet den inssatz, mit dem die Rentenaten und ggf. de Kapitalbestand vezinst weden, B den Bawet de Gesamtheit alle Rentenzahlungen am Anfang de Laufzeit, die Länge de Rentenlaufzeit in Jahen und W den Endwet de Gesamtheit alle Rentenzahlungen, also das vefügbae Kapital, das nach geleisteten Rentenzahlungen einschließlich de ehaltenen insen und inseszinsen zu Vefügung steht

56 Jählich-voschüssige Rentenzahlungen Emittlung des Rentenbawetes: Eine Abfolge von voschüssig geleisteten Rentenzahlungen von identische Höhe lässt sich gedanklich zelegen in eine einzelne ahlung in Höhe von zum Gegenwatszeitpunkt und (- nachschüssige ahlungen, jeweils in Höhe von, am Ende de Jahe,..., (- De Rentenbawet B bei jählich-voschüssigen Rentenzahlungen lässt sich dahe als Summe de Bawete diese beiden Bestandteile auffassen und entspechend beechnen. Es gilt also B ( ( Bawet de ahlung am Anfang von Jah (jetzt Bawet de ahlungen am Ende de Jahe,..., - bzw. am Anfang de Jahe 2,...,

57 Dies lässt sich umscheiben zu Jählich-voschüssige Rentenzahlungen Emittlung des Rentenbawetes (fotgesetzt: ( ( ( ( B bzw. ( ( ( B ode ( ( ( B und schließlich ( ( B

58 Jählich-voschüssige Rentenzahlungen Emittlung des Rentenendwetes Aus dem Rentenbawet B lässt sich auch hie de Rentenendwet W anhand des folgenden usammenhanges ableiten: W B ( Wid die zuletzt angefühte Bestimmungsgleichung fü B hie eingesetzt, folgt daaus fü den Rentenendwet W W ( (

59 Jählich-voschüssige Rentenzahlungen Heleitung de Rentenate bei vogegebenem Rentenbawet und bekannte Laufzeit Auch bei voschüssigen Rentenzahlungen stellt sich die Fage, wie hoch eine fü die Daue von Jahen jählich-voschüssig zu gewähende Rentenzahlung ist, wenn de Kapitalbetag, aus dem diese ahlungen gespeist weden sollen, bekannt (und mit dem Rentenbawet identisch ist. Auch hie füht die Antwot übe die Auflösung de Bestimmungsgleichung fü den Rentenbawet ( B ( nach de Rentenzahlung : B ( (

60 Jählich-voschüssige Rentenzahlungen Heleitung de Rentenate bei vogegebenem Rentenendwet und bekannte Laufzeit Ist nicht de Bawet, sonden de Endwet de jählich-voschüssig gewähten Rentenzahlungen bekannt, so kann die Höhe eine einzelnen Rentenzahlung emittelt weden, indem die Bestimmungsgleichung fü den Rentenendwet W ( ( nach de Rentenzahlung aufgelöst wid: W ( [( ]

61 Jählich-voschüssige Rentenzahlungen Heleitung de Laufzeit bei vogegebenem Rentenbawet und bekannte Rentenate Nach dem schon bekannten Pinzip ist auch hie die Bestimmungsgleichung fü den Rentenbawet nach aufzulösen. Es gilt: und folglich B ( ( B ( ( Division beide Seiten duch ( - egibt Daaus folgt B ( ( ( B ( ( (

62 Jählich-voschüssige Rentenzahlungen Heleitung de Laufzeit bei vogegebenem Rentenbawet und bekannte Rentenate (fotgesetzt Multiplikation beide Seiten mit (- und anschließende Logaithmieung egibt ode B ln ( ( ln( B ln ( ln( ( Daaus folgt B ln ( ln(

63 Jählich-voschüssige Rentenzahlungen Heleitung de Laufzeit bei vogegebenem Rentenendwet und bekannte Rentenate Nach dem schon bekannten Pinzip ist auch hie die Bestimmungsgleichung fü den Rentenendwet nach aufzulösen. Es gilt: und folglich ode W W ( ( ( [( ] W ( (

64 Jählich-voschüssige Rentenzahlungen Heleitung de Laufzeit bei vogegebenem Rentenendwet und bekannte Rentenate (fotgesetzt Duch Logaithmieen beide Seiten de zuletzt genannten Gleichung egibt sich und ln W ln( ( W ln ( ln(

65 Untejähliche Rentenzahlungen Von untejählichen Rentenzahlungen wid imme dann gespochen, wenn die Rentenaten meh als einmal po Jah gezahlt weden. Aus Günden de Paxiselevanz wid hie nu zwischen zwei Vaianten unteschieden: Vaiante : Die insen weden einmal jählich nachschüssig beechnet: Vaiante 2: Die insen weden weden mehfach po Jah beechnet, wobei de zeitliche Abstand zwischen zwei Rentenzahlungen ( die Länge eine Rentenpeiode mit de Länge eine inspeiode übeeinstimmt.

66 Gliedeung eil II: Rentenechnung - Definitionen Jähliche Rentenzahlungen - Jählich-voschüssige Rentenzahlungen - Jählich-nachschüssige Rentenzahlungen Untejähliche Rentenzahlungen - Vaiante : Jählich-nachschüssige insbeechnung - Vaiante 2: Untejählich-nachschüssige insbeechnung mit gleich lange ins-und Rentenpeiode Ewige Renten

67 Untejähliche Rentenzahlungen Vaiante : Jählich-nachschüssige insbeechnung In diesem Fall weden die vo Ende eines Jahes anfallenden Rentenzahlungen bis zum Jahesende einfach vezinst. Die innehalb eines Jahes auf diesem Wege akkumulieten Rentenbetäge weden dann in den Folgejahen mit inseszinsen vezinst. Hie und im folgenden wid davon ausgegangen, dass insgesamt M Rentenzahlungen in Höhe von (m po Jah efolgen, und dass zwischen je zwei aufeinande folgenden Rentenzahlungen ein eitabstand von (/M Jahen liegt. De Bawet eine Abfolge untejählich geleistete Rentenzahlungen lässt sich bei jählich-nachschüssige Vezinsung in zwei Schitten wie folgt emitteln: Schitt : unächst wid emittelt, wie hoch eine fiktive jählich-nachschüssige Rente sein müsste, damit ih Wet genau de Summe alle bis zum Jahesende einfach aufgezinsten untejählichen Rentenzahlungen entspicht. Diese fiktive jählich-nachschüssige Rente bezeichnen wi auch als äquivalente Jahesente. Schitt 2: Diese fiktive jähliche Rentenzahlung wid in die Fomel fü den Bawet eine jählich-nachschüssigen Rente eingesetzt ~ ( u

68 Untejähliche Rentenzahlungen Vaiante : Jählich-nachschüssige insbeechnung Untefall : Untejählich-nachschüssige Rentenzahlungen Im Falle untejählich-nachschüssige Rentenzahlungen lässt sich diese äquivalente Jahesente scheiben als ~ ( m M ( m M 2 ( m ( m... M M M este Rentenate am Ende von eilpeiode einfach aufgezinst fü (M- eilpeioden zweite Rentenate am Ende von eilpeiode 2 einfach aufgezinst fü (m-2 eilpeioden... letzte Rentenate am Jahesende

69 Untejähliche Rentenzahlungen Vaiante : Jählich-nachschüssige insbeechnung Untefall : Untejählich-nachschüssige Rentenzahlungen (fotgesetzt ( ( 2 2 ~ ( ( ( ( ( ( ( M M M M k M k M M k M M M j M m m M k M k m m M k m m M j m Dies kann umgeschieben weden zu

70 Untejähliche Rentenzahlungen Vaiante : Jählich-nachschüssige insbeechnung Untefall : Untejählich-nachschüssige Rentenzahlungen (fotgesetzt Duch Küzen von M im zweiten Summanden und anschließendes Ausklammen von (m egibt als usammenhang zwischen de äquivalenten Jahesente ~ und dem tatsächlichen, untejählich entichteten Rentenbetag (m ( m M ( M 2 ~ Einsetzen des so beechneten ems ~ in die Fomel fü den Bawet eine jählichnachschüssigen Rente egibt B ~ ( ( bzw. B ( m ( M ( M 2 (

71 Untejähliche Rentenzahlungen Vaiante : Jählich-nachschüssige insbeechnung Untefall 2: Untejählich-voschüssige Rentenzahlungen Im Falle untejählich-nachschüssige Rentenzahlungen kann die äquivalente Jahesente wie folgt beschieben weden: ( m M ( m M M M ( m... M ~ este Rentenate am Beginn aufgezinst einfach von eilpeiode eilpei- fü M oden zweite Rentenate am Ende von eilpeiode 2 einfach aufgezinst fü (m-2 eilpeioden... letzte Rentenate, eine eilpeiode vo Jahesende einfach aufgezinst fü eine eilpeiode

72 Untejähliche Rentenzahlungen Vaiante : Jählich-nachschüssige insbeechnung Untefall 2: Untejählich-voschüssige Rentenzahlungen (fotgesetzt Dies lässt sich umscheiben zu ( ( 2 2 ~ ( ( ( ( ( ( ( M M M M j M j M M j M M M j m m M j M k m m M j m m M j m

73 Untejähliche Rentenzahlungen Vaiante : Jählich-nachschüssige insbeechnung Untefall 2: Untejählich-voschüssige Rentenzahlungen (fotgesetzt Duch Küzen von M im zweiten Summanden und anschließendes Ausklammen von (m egibt als usammenhang zwischen de äquivalenten Jahesente ~ und dem tatsächlichen, untejählich entichteten Rentenbetag (m ( m M ( M 2 ~ Einsetzen des so beechneten ems ~ in die Fomel fü den Bawet eine jählichnachschüssigen Rente egibt B ~ ( ( bzw. B ( m ( M ( M 2 (

74 Gliedeung eil II: Rentenechnung - Definitionen Jähliche Rentenzahlungen - Jählich-voschüssige Rentenzahlungen - Jählich-nachschüssige Rentenzahlungen Untejähliche Rentenzahlungen - Vaiante : Jählich-nachschüssige insbeechnung - Vaiante 2: Untejählich-nachschüssige insbeechnung mit gleich lange ins-und Rentenpeiode Ewige Renten

75 Untejähliche Rentenzahlungen Vaiante 2: Untejählich-nachschüssige insbeechnung mit gleich lange insund Rentenpeiode Diese Fagestellung kann echneisch ähnlich gehandhabt weden wie de Fall jähliche Rentenzahlungen und insbeechnungen. Dabei ist alledings zu beücksichtigen, das anstelle des jählichen inssatzes de sog. elative untejähliche Peiodenzinssatz z : (/M zu vewenden ist, wobei M, wie bislang, de Anzahl de Rentenpeioden in einem Jah entspicht, und anstelle de Rentenpeioden von je einem Jah Länge, die bei jählichen Rentenzahlungen zu beücksichtigen wäen, insgesamt. M ins- bzw. Rentenpeioden von je (/M Jahen Länge zu betachten sind. Auch hie ist wiede zwischen den beiden Untefällen de nachschüssigen und de voschüssigen Rentenzahlung zu untescheiden.

76 Untejähliche Rentenzahlungen Vaiante 2: Untejählich-nachschüssige insbeechnung mit gleich lange insund Rentenpeiode Untefall : Untejählich-nachschüssige Rentenzahlungen De Rechengang zu Heleitung de Rentenbawete bzw. Rentenendwete folgt genau dem gleichen Pinzip wie im Fall de jählich-nachschüssigen Rentenzahlungen. Daum weden hie nu die Egebnisse wiedegegeben. Fü den Bawet B de entichteten Rentenzahlungen egibt sich in diesem Falle: B ( M ( ( / M / M ( ( / M ( m M De Endwet W diese Rentenzahlungen lautet entspechend: W ( m ( ( / M ( / M M

77 Untejähliche Rentenzahlungen Vaiante 2: Untejählich-nachschüssige insbeechnung mit gleich lange insund Rentenpeiode Untefall 2: Untejählich-voschüssige Rentenzahlungen De Rechengang zu Heleitung de Rentenbawete bzw. Rentenendwete folgt genau dem gleichen Pinzip wie im Fall de jählich-voschüssigen Rentenzahlungen. Daum weden hie nu die Egebnisse wiedegegeben. Fü den Bawet B de entichteten Rentenzahlungen egibt sich in diesem Falle: De Endwet W diese Rentenzahlungen lautet entspechend: ( ( ( / ( / ( / ( M M m M M M B ( ( M M M W m / / ( / ( (

78 Gliedeung eil II: Rentenechnung - Definitionen Jähliche Rentenzahlungen - Jählich-voschüssige Rentenzahlungen - Jählich-nachschüssige Rentenzahlungen Untejähliche Rentenzahlungen - Vaiante : Jählich-nachschüssige insbeechnung - Vaiante 2: Untejählich-nachschüssige insbeechnung mit gleich lange ins-und Rentenpeiode Ewige Renten

79 Ewige Renten Eine ewige Rente ist eine Gesamtheit von ahlungen, die in konstante Höhe peiodisch wiedekehen und und eine unbegenzte Laufzeit haben. Offensichtlich ist eine solche Rente nu denkba, wenn den einzelnen Rentenaten ein Kapitalbestand zugunde liegt, de duch die Rentenzahlungen nicht vemindet wid, die Rentenaten also ausschließlich aus insen auf diesen Kapitalbestand bestehen. De Endwet eine ewigen Rente ist unendlich goß. Dahe kann in diesem usammenhang lediglich de Bawet B de ewigen Rente und ihe jeweilige Rentenate in sinnvolle Weise untesucht weden. u Veeinfachung wid hie nu de Fall jähliche, nachschüssige Vezinsung und Rentenzahlung betachtet und von eine zinseszinslichen Vezinsung ausgegangen.

80 Bawet eine ewigen Rente Gemäß de allgemeinen Fomel fü den Bawet eine ahlungseihe lässt sich de Bawet B de ewigen Rente in Abhängigkeit von de Höhe de Rentenate sowie dem zugundeliegenden inssatz scheiben als B ( t t Duch Ausklammen von egibt sich B t ( t

81 Bawet eine ewigen Rente Daaus folgt, dass sich de Ausduck wie folgt scheiben lässt: [ ] [ ]... ( ( ( (... ( ( ( ( B B [ ] [ ]... ( ( (... ( ( ( ( B B

82 Bawet eine ewigen Rente Auf de echten Seite heben sich alle Summanden bis auf den esten auf. Es gilt also B ( B ( ode B ( B ( ( ( ode B ( ( und folglich B

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