Dynamik. Einführung. Größen und ihre Einheiten. Kraft. Basiswissen > Grundlagen > Dynamik [N] 1 N = 1 kg m.

Transkript

1 Basiswissen > Gundlagen > Dynamik Dynamik Skipt PLUS Einfühung Die Dynamik bescheibt die Bewegung von Köpen unte dem Einfluss von Käften. De Begiff stammt von dem giechischen Wot dynamis (Kaft) ab. Sie ist, ebenso wie die Kinematik, ein eilgebiet de Mechanik. Die Kinematik bescheibt die Bewegung von Punkten und Köpen im Raum. Damit sich ein Köpe bewegen kann, muss eine äußee Usache vohanden sein, also eine Kaft, die auf den Köpe wikt. Diese Käfte können bewegliche Köpe beschleunigen und velangsamen ode unbewegliche Köpe vefomen. Mit diesen Käften befasst sich die Dynamik. Gößen und ihe Einheiten Zwei wichtige Gößen in de Dynamik sind die Kaft und die Masse. Kaft Die Kaft bescheibt eine äußee Einwikung auf einen Köpe. Wenn zum Beispiel eine Bowlingkugel auf Pins tifft, wikt zwischen den beiden Köpen eine Kaft: Die Kugel stößt die Kegel um und wid duch den Widestand de Kegel geingfügig langsame. [N] Die Einheit de Kaft ist Newton. Quelle: wikimedia.og - Leon Books (Public Domain). Es gilt: 1 N = 1 kg m s 2 Käfte weden duch Kaftvektoen dagestellt. Diese sind abhängig von Richtung, Betag und Angiffspunkt: Die Richtung wid dagestellt duch den Pfeil 1 von 8

2 De Betag wid duch die Länge des Pfeils dagestellt De Angiffspunkt ist de Punkt in dem die Kaft angeift Masse Jede Köpe besitzt eine Masse. Wenn du dich beispielsweise mogens auf die Waage stellst, emittelst du deine Masse. Die Masse eines Köpes ist otsunabhängig, das heißt, du wiegst übeall im Univesum gleich viel. Ihe Maßeinheit ist Kilogamm [kg]. Es gilt: 1 kg = g Supepositionspinzip Supeposition ist die Übelageung von gleichen physikalischen Gößen, zum Beispiel von Käften, Schwingungen ode Wellen. Das Supepositionspinzip in de Mechanik besagt, dass mehee Käfte, die am gleichen Angiffspunkt eines Köpes angeifen, die gleiche Bewegung veusachen wie ihe Summe, also die Resultieende es de Einzelkäfte i. es = n i=1 i 2 von 8

3 Hie ein kleines Beispiel: Jonas zieht um. Um den beeits vollgepackten Umzugskaton auf den isch zu stellen, schiebt e ihn mit dem uß nach vone. Dabei wikt sein uß eine Kaft 1 auf den Katon aus. 2 Nun hebt e den Katon mit eine Kaft nach oben und stellt ihn mit de Kaft 3 auf den isch. Nach dem Supepositionspinzip wüde Jonas das gleiche Ziel eeichen indem e die Kiste mit eine Kaft es vom Statpunkt bis zum isch stetig anhebt und gleichzeitig nach vone tägt. Die Resultieende Kaft wäe hie: Rechenbeispiel: Jonas hebt die Umzugskiste wie im voheigen Beispiel gezeigt auf den isch. Wie goß ist de Betag de esultieenden Kaft? 50 N 0 Gegeben sind die Käfte: 1, 2 und Lösung: es De Betag von es ist dann: es =( ) 0 = =( 50 N ) + ( 0 ) + ( 10 N ) N 0 =( 50 N N ) N + 0 =( 60 N ) 100 N es = (60 N)² + (100 N)² = N² 116, 2 N 2 3 =( ) 100 N 3 =( 10 N ) von 8

4 Newtonsche Axiome Isaac Newton, ein englische Physike und Mathematike (Geboen 1643 in Woolsthope, vestoben 1727 in London), veöffentlichte 1687 sein Hauptwek Philosophiae Natualis Pincipia Mathematica (Mathematische Pinzipien de Natuphilosophie). Dain legte e mit den dei Newtonschen Axiomen den Gundstein zu klassischen Mechanik. Ein Axiom ist ein Gundsatz de ohne Beweis voausgesetzt wid. Zum Beispiel: Wasse ist nass. Auf de Gundlage diese dei Axiome kann jede om de Bewegung beschieben weden. Quelle: wikimedia.og - /images/newton1689.jpg (Public Domain) 1. Newtonsches Axiom Das 1. Newtonsche Axiom wid auch ägheitsgesetz genannt. De Bewegungszustand eines Köpes ändet sich nicht, solange keine äußee Kaft auf ihn einwikt. Stell di vo, ein ußball liegt auf eine Wiese. Solange keine äußee Kaft, zum Beispiel dein uß, auf ihn einwikt, wid e sich auch nicht bewegen. Das heißt, seine Geschwindigkeit behält den Wet 0 m s. 2. Newtonsches Axiom Das 2. Newtonsche Axiom bescheibt den Zusammenhang zischen Kaft, Masse und Beschleunigung. Die Kaft ist definiet als Podukt aus Masse und Beschleunigung. = m a Nochmal zuück zu unseem ußball: Wenn du den Ball tittst, wikt eine Kaft, hie duch deinen uß, auf den Ball. Je nachdem wie fest du schießt, vaiiet die Beschleunigung. Das heißt, de Ball bewegt sich schnelle ode langsame. Nimm nun anstelle des ußballs einen Medizinball: Die Kaft, die du aufwenden musst, damit sich de Medizinball genauso schnell bewegt wie de ußball, ist viel göße, da de Medizinball eine wesentlich gößee Masse hat als de ußball. Beispielaufgabe: Im Champions League inale 2012 kommt es zum Elfmeteschießen. Ein Pofi-ußballe schießt den m = 0, 45 kg Ball, de eine Masse hat, mit eine Duchschnittsgeschwindigkeit von ins o. Wie viel Kaft wenden Sie dazu auf? 100, 8 km h 4 von 8

5 Wie viel göße wäe die Kaft, die aufgewendet weden muss, um die gleiche Geschwindigkeit zu ezielen, wenn anstelle des ußballs ein Medizinball mit de Masse liegt? m = 1 kg am Elfmetepunkt Quelle: wikimedia.og - Makus Unge (CC BY 2.0). Lösung: Gesucht ist die Kaft, mit de uß- und Medizinball geteten weden. Um diese zu emitteln, nutzen wi das 2. Newtonsche Gesetz: a = m a. Die Masse ist beeits gegeben, es fehlt nu noch die Beschleunigung. Im PhysikLV Skipt "`Kinematik"' hast du gelent wie diese beechnet wid. Dazu müssen wi zuest die Einheiten anpassen: v = 100, 8 km h = 100,8 3,6 m s Im "`Kinematik"'-Skipt wude die Geschwindigkeit definiet als. Die Geschwindigkeit und die Δt Stecke sind gegeben. Also müssen wi die Zeit ausechen, die de Ball von Elfmetepunkt bis zu olinie benötigt. t = 28 m s Die Beschleunigung ist definiet als. Δt a = Δs Δv = 11 m 28 m s 0, 39 s = v t = 28 m s 0,39 s 71, 8 m s 2 a = Δv v = Δs Jetzt nehmen wi wiede das 2. Newtonsche Axiom = m a zu Hand. 5 von 8

6 = m a = 0, 45 kg 71, 8 m s 2 = 32, 31 kg m s 2 = 32, 31 N Also bingt de ußballspiele beim Elfmeteschießen eine Kaft von De einzige Unteschied zwischen dem ußball und dem Medizinball ist die Masse. Alle andeen Gößen bleiben gleich. Dahe müssen wi in de omel nu die Masse änden: = m a = 1, 0 kg 71, 8 m s 2 = 71, 8 kg m s 2 = 71, 8 N Die Kaft, die gebaucht wid, um einen Medizinball ins o zu beföden, ist ungefäh doppelt so goß wie die Kaft, die wi bei einem ußball aufbingen müssen. 3. Newtonsches Axiom 32, 31 N Das 3. Newtonsche Axiom wid auch Wechselwikungsgesetz genannt und ist bekannt als: auf. Actio = Reactio Käfte teten imme paaweise auf. Jede Kaft besitzt eine Gegenkaft die genau entgegengesetzt wikt. Wenn beide Käfte gleich goß sind, befindet sich das System in Ruhe. Eine Bewegung entsteht, sobald die Käfte einen unteschiedlichen Betag haben. Ein Beispiel dafü ist das Ruden: Actio: Die Spotle tauchen die Rudeblätte ins Wasse ein und ziehen sie mit Kaft nach vone. Quelle: wikimedia.og - Eichelpete (Public Domain). Reactio: Übe die Rude wikt das Wasse (das wi als Widestand gegen die Bewegung bemeken) eine Kaft auf das Boot aus, das sich daduch nach hinten bewegt, denn Rudeboote fahen nun mal ückwäts. Gavitationsgesetz Eine Legende nach soll Isaac Newton eines ages, als e unte einem Baum uhte, ein Apfel auf den Kopf gefallen sein. Das bachte ihn auf eine Idee: Es muss eine Kaft geben, die den Apfel in Richtung Boden beschleunigt, die Gavitationskaft. Die Gavitation die sich aus dem lateinischen Wot fü die Schwee, gavitas, heleitet, wid auch Schwekaft ode Massenanziehung genannt. Sie wikt zwischen veschiedenen Massen. Diese Kaft sogt unte andeem dafü, dass Planeten auf ihen Umlaufbahnen bleiben. Planeten bewegen sich. Duch die Gavitation, also die Anziehungskaft, de Sonne, keisen sie um diese heum. Die 6 von 8

7 liehkaft, die duch die Keisbewegung de Himmelsköpe um die Sonne zustande kommt, zieht, zum Beispiel die Ede, auf ihe Umlaufbahn nach außen und sogt dafü, dass sie nicht in die Sonne fliegt. Newtons Ekenntnis, die zum Gavitationsgesetz fühte, veöffentlichte e ebenfalls in seinem Wek Philosophiae Natualis Pincipia Mathematica. 3. Keplesches Gesetz Zu Heleitung des Gavitationsgesetzes von Newton bauchen wi das 3. Keplesche Gesetz. Johannes Keple, ein deutsche Mathematike, Astonom und Natuphilosoph (Geboen 1571 in Weil de Stadt, vestoben 1630 in Regensbug), fomuliete die dei Kepleschen Gesetze. Diese bescheiben die Planetenbewegungen. Das 3. Keplesche Gesetz besagt, dass sich die Quadate de Umlaufzeiten von zwei Planeten genauso zueinande vehalten, wie die ditten Potenzen de goßen Halbachsen diese Planeten. Quelle: wikimedia.og - Anonymus (Public Domain) ( 1 ) 2 (a = H1 ) 3 ( 2 ) 2 (a H2 ) 3 Umlaufzeit des Planeten a H goße Halbachse des Planeten Planeten bewegen sich auf Ellipsenbahnen. Ellipsen haben zwei Duchmesse. Als goße Halbachse wid die Hälfte des gößeen Duchmesses bezeichnet. Die goßen Halbachsen von Ede a H2 und Venus a H1 siehst du im Bild eingezeichnet. Das Vehältnis des Quadates de Umlaufzeit zu ditten Potenz de goßen Halbachse ist fü jeden Planeten konstant: 2 a 3 H = const. Das bedeutet, desto weite ein Planet von de Sonne entfent ist, desto länge baucht e, um sie einmal zu umunden. Heleitung des Gavitationsgesetzes Betachtet man die Umlaufbahn des Mondes um die Ede, kann man veeinfacht annehmen, dass sich de Mond auf eine Keisbahn bewegt. v = Δs Die Geschwindigkeit ist. De Keisumfang beechnet sich mit de omel. Das Δt ist de Weg, den de Mond zuücklegt, um die Ede einmal zu umkeisen. Die Zeit, die e dafü benötigt, haben wi oben schon als Umlaufzeit kennengelent. u = 2π 2π 7 von 8

8 Also ist. Im PhysikLV-Skipt Rotation, wude die Beschleunigung auf eine Keisbahn definiet als a = v². Im voheigen Kapitel haben wi das zweite Newtonsche Gesetz kennengelent:. Jetzt können wi die ganzen omeln zusammensetzen: Das 3. Keplesche Gesetz kann auch veeinfacht fü eine Keisbahn betachtet weden. In diesem all gilt: Damit gilt: v = 2π = m a = m v² = m ( 2π )2 4π = m 2 2 = m 4π2 2 a H =! 1 2 Das können wi wiedeum in a = v² v = 2π const. = 2 2 = const. 3 3 einsetzen: = m a = m a 4π = m 2 const. 3 4π = 2 const. m 2 4π De eil 2 const. schließen: besteht nu aus Konstanten, also können wi aus dem Rest de omel folgendes m 1 2 Das 3. Newtonsche Gesetz besagt, dass jede Kaft = m a = m 1 a = a gilt und im alle eine Keisbewegung eine gleich goße Gegenkaft besitzt. Da konstant ist (also zeitunabhängig), gilt hie und. Daaus können wi folgen, dass und. Wenn dies de all ist, gilt ebenfalls. m 1 m 2 2 Um nun das Popotionalitätszeichen duch ein Gleichheitszeichen esetzen zu können, benötigen wi einen Popotionalitätsfakto, de hie Gavitationskonstante genannt wid. Damit kommen wi zum Gavitationsgesetz: a m 2 m 1 m 2 m 1 m 2 = G m 1 m von 8