4.1 Lagrange-Gleichungen, Integrale der Bewegung, Bahnkurven

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1 Das Zwei-Köe-Poblem 9 Woche_Skitoc, /5 agange-gleichngen, Integale e Bewegng, Bahnkven Betachtet ween wei Pnktmassen m n m an en Oten (t n (t, ie übe ein abstansabhängiges Potenial U( miteinane wechselwiken n ansonsten keinen weiteen Käften wie äßeen Felen, Reibngskäften sw asgesett sin Die agange- Fnktion latet m m (,,&,& & & U( Sie ist nicht exliit eitabhängig, h, es gilt negieehaltng (s Um ie Bahnkven (t n (t beechnen können, fühen wi nächst Schwenktsn Relativkooinaten R(t bw (t ein m (t m (t R (t :, (t : m (t (t, : m Sin ie Abhängigkeiten R(t n (t bekannt, lassen sich as m m (t R(t (t n (t R(t (t ie geschten Bahnkven (t n (t e beien Pnktmassen bestimmen Nach einfachen algebaischen Umfomngen lässt sich als Fnktion von, R n een Ableitngen nach e Zeit asücken (,R,,R & & R& & U(,

2 wobei m m m m : ie sogenannte eiete asse beeichnet Da R eine yklische Vaiable ist, folgt also R(t const t R & Das beetet, e Schwenkt e & beien Pnktmassen bewegt sich gealinig-gleichfömig (Gesamtimls ist Integal e Bewegng, vgl ach Ka 8 s ist as iesem Gne sinnvoll, en Kooinatensng in en Schwenkt velegen n sich fotan n mit e Relativbewegng befassen Die agange-fnktion e Relativbewegng latet (, & & U( Sie bescheibt ie eiimensionale Bewegng eines fiktiven Teilchens e asse im Zentalotenial U( Wegen e voliegenen Zentalsymmetie wählen wi im Folgenen T T shäische (RelativKooinaten (, ϑ,, also & (, & ϑ&,sin ϑ& n ehalten ( ϑ& sin ϑ& U( (, ϑ,, & ϑ&, & & In iese agange-fnktion geht nicht exliit ein & & yklisch, also : sin ϑ const ist e Dehimls e Relativbewegng, ie Dehimlsehaltng ist Folge e Zentalsymmetie n gilt fü alle hysikalischen Systeme, een agange-fnktion otationsinvaiant ist (Vgl Ka Symmetie n haltngssäte, Nöthe-Theoem s ist somit sinnvoll, ie Relativbewegng ch ebene Polakooinaten, in e Bahnebene senkecht bescheiben, h ( U( & &

3 Die agange-gleichng fü gibt wegen, & & ie Relation t (H As e agange-gleichng fü t & folgt mit (, t & && & & t & ie Bahngleichng (H & &, wobei U ( : U( Dch ie infühng es ektiven Potenials U ( ist as Zwei-Köe-Poblem im eiimensionalen Ram af ie einimensionale Bewegng eines fiktiven Teilchens e asse nte em inflss es äßeen Feles U ückgefüht woen De weite Tem in U wi häfig als Fliehkaftbaiee beeichnet Fü iese Bewegng gilt negieehaltng: & U ( const : (H Fomal folgt iese hysikalisch sofot einlechtene Beiehng as e Tatsache, ass ie & & agange-fnktion ( U( nicht exliit von e Zeit abhängt n eshalb (vgl Ka & & ein Integal e Bewegng ist; ass as Bewegngsintegal & & gleich ist, möge jee selbst ch einfache Rechnng veifiieen 3

4 Z Bestimmng e Bahnkve (t müssen wi nicht iekt ie Bahngleichng lösen, sonen ehalten as em negieehaltngssat (S & ( U, also t t, (H3 ( U sofot folgene Relation fü ie Umkehfnktion t( ' t( t ; t( t [ U (] Unte Vewenng es Dehimlsehaltngssates (DIS, e af (H fühte, lässt sich ann im Pini (t beechnen t t' ( t, (t, (t' t voasgesett, es gelingt, as Integal in t( fü gegebenes U( lösen n (t bestimmen Altenativ kann man mit Hilfe e Relationen (H,H3 ie Bahnkve in Polakooinaten asechnen Da t t (H,H3 ( U folgt nach Integation ' ' ( [ ] ' U (' ' [ U(' ]

5 negie n Dehimls sowie ween as en Anfangsbeingngen bestimmt ( Diese Bahnkven sin bei finite Bewegng ia Rosettenbahnen, ie ie Fläche es Keisings wischen min n max vollstänig übesteichen [, 7] Bei einmaligem Dchlafen e Folge min max min änet sich e Winkel m (vgl Skie max ' Δ min ' [ U(' ] Die Bahnkven sin geschlossen, wenn ie Winkeläneng nach n Dchläfen ein ganahliges Vielfaches von π, h Δ ationale Teil von π ist: Geschlossene Bahnkven fü m Δ π (m,n gane Zahlen n U ( ~ Δ π Δ π Diese Beingng ist n fü as Gavitationsotenial n en (3 hamonischen Osillato efüllt Fü alle aneen Poteniale U( sin m n n inkommensabel, so ass ie Bahnkve ie Fläche es Keisings min < < max fü t vollstänig übesteicht Fü einen "St in as Gavitationsentm" (Bewegng im Zentalfel mss ie Zentalfelbaiee übewnen ween As e Beingng fü ie (klassisch elabte Bewegng U( / < folgt, ass n möglich ist, wenn lim U( < St ins Zentm fü α,mit α > lim U(, mit n > n 5

6 6 xliite Bestimmng e Bahnkven bei wei gavitativ wechselwikenen Pnktmassen/bei Bewegng im Gavitationsotenial ine qalitative Diskssion e klassisch elabten Bewegng nte Beücksichtigng es negieehaltngssates (H füht im Fall e finiten Bewegngen af ellitische oe keisfömige Bahnkven sowie af Hybebelbahnen bei infinite Bewegng (vgl Übng/Übngsblatt Hie geht es nn m ie exliite Beechnng e Bahnkven ( e finiten Bewegng Wi integieen nicht ie Bahngleichng, sonen nten sofot as Bewegngsintegal (S γ Diese Dastellng egibt sich as (H nte Vewenng von t t & Nach infühng e neen abhängigen Vaiablen ( entsechen e Sbstittion also,, ( ( folgt / γ γ Übe ie qaatische gänng ehalten wi γ γ bw (H wenn wi en neen Paamete gemäß : γ vewenen n ie gane Gleichng mit mltiliieen Fomal ist (H em S fü einen hamonischen Osillato äqivalent

7 De este Tem af e linken Seite bescheibt in iese Analogie ie kinetische negie (- Aslenkng es Schwinges, -Zeit, asse gleich ins n e weite Tem ie otentielle negie (Feekonstante gleich ins, Aslenkngen m ie Rhelage / In e von ns gewählten Inteetation ist e Tem af e echten Seite von (H ie negie HO es fiktiven hamonischen Osillatos, ie sich übe HO A / ch ie Amlite A A : 3 γ γ ε e hamonischen Schwingng asücken lässt Dabei ist ε : 3 γ Die geschte ösng ( latet emfolge ( A cos(, h wi ehalten ( (H5 εcos(,, ε 3 γ γ (H5 ist ie Dastellng e Kegelschnitte in Polakooinaten De Paamete ε bestimmt ie xentiität e Bahnkven in Abhängigkeit von negie n Dehimls e Bewegng Fallntescheing: (i < ( ε < finite Bewegng: Bahnkven sin llisen mit in einem e Bennnkte Da wischen n - liegen mss, gilt min < < max ε ε cos( ε (ii > ( ε > infinite Bewegng: Die Bahnkven e infiniten Bewegng sin Hyebeln Das fiktive Teilchen mit e asse nähet sich as em Unenlichen af eine fü hineichen goße annähen geaen Bahn kommen em Zentm es Gavitationsfeles, wi abgelenkt ( gestet n entfent sich wiee Richtng Unenlich De Stewinkel θ acsin ist abhängig von negie n ε Dehimls 7