Analysis II. Uneigentliche Integrale

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Matilde Linden
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1 Pof D H Benne Osnbück SS 204 Anlysis II Volesung 3 In diese Volesung entwickeln wi die Integtionstheoie weite, und zw untesuchen wi die Fge, ws pssiet, wenn wi in einem Integl b die Intevllgenzen gegen unendlich ode gegen eine Zhl, wo die Funktion nicht definiet ist, wnden lssen Uneigentliche Integle Beispiel 3 Wi knüpfen n Beispiel 249 n, dh, es liegen zwei Mssen M und m vo, die unteeinnde den Abstnd R 0 besitzen Wieviel Enegie muss mn ufwenden, um die beiden Mssen unendlich weit voneinnde zu entfenen? In Beispiel 249 hben wi die Enegie beechnet, um den Abstnd von R 0 uf R zu ehöhen, nämlich E(R ) = R R 0 γ Mm 2 d = γmm ( R 0 R Fü R ist R 0 und dhe ist E(R ) γmm R 0 Dieses Beispiel zeigt, dss es sinnvoll sein knn, bei bestimmten Integlen die Intevllgenzen gegen unendlich lufen zu lssen Dies füht zum Begiff de uneigentlichen Integle Unte einem (uneigentlichen) Rndpunkt eines (ein- ode beidseitig) unbeschänkten Intevlls vestehen wi im Folgenden uch die Symbole und Dies heißt nicht, dss diese Symbole zu R gehöen, sonden lediglich, dss mn dfü sinnvolle Genzwetbetchtungen duchfühen knn Die Definition fü den Genzwet eine Funktion gegen + bzw lutet folgendemßen Definition 32 Es sei T = [, ] (ode T = [, ]) ein echtsseitig (bzw linksseitig) unbeschänktes Intevll und f: T R eine Funktion Dnn heißt b R Genzwet (ode Limes) von f fü + (bzw ), wenn es fü jedes ǫ > 0 ein 0 (bzw 0 ) gibt mit f() b ǫ fü lle 0 (bzw 0 ) In diesem Fll scheibt mn (bzw lim f() = b) lim + f() = b )

2 Die Rechenegeln fü diesen Genzwetbegiff sind weitgehend nlog zu den Rechenegeln fü den bisheigen Genzwetbegiff fü Funktionen(siehe Lemm 20) Sie sind uch nlog zu den Rechenegeln fü Limiten von

2 2 Die Rechenegeln fü diesen Genzwetbegiff sind weitgehend nlog zu den Rechenegeln fü den bisheigen Genzwetbegiff fü Funktionen(siehe Lemm 20) Sie sind uch nlog zu den Rechenegeln fü Limiten von Folgen (siehe Lemm 6) Definition 33 Es sei I R ein Intevll, ein (uneigentliche) Rndpunkt von I und I Es sei eine stetige Funktion f: I R gegeben Mn sgt, dss ds uneigentliche Integl zu f fü eistiet, wenn de Genzwet lim eistiet In diesem Fll scheibt mn fü diesen Genzwet uch und nennt dies ds uneigentliche Integl von nch Die Funktion (+), de blue Flächeninhlt epäsentiet ds (beidseitig) uneigentliche Integl Die Eistenz dieses uneigentlichen Integls hängt nicht vom gewählten Intevllpunkt I b, wohl be de Wet des uneigentlichen Integls Die inhltliche Intepettion des uneigentlichen Integls ist wiedeum de Flächeninhlt untehlb des Funktionsgphen, be esteckt übe ein nicht notwendigeweise kompktes Intevll Wenn fü die Funktion f eine Stmmfunktion F beknnt ist, so geht es um ds Bestimmen des Genzwetes lim = lim F() F() Lemm 34 Es sei I ein eelles Intevll, I und sei ein (uneigentliche) Rndpunkt von I Es seien f,h: I R 0

3 stetige Funktionen mit f(t) h(t) fü lle t I und es sei vousgesetzt, dss ds uneigentliche Integl h(t) dt eistiet Dnn eistiet uch ds uneigentliche Integl und es gilt h(t) dt Beweis Wi behndeln den Fll, wo die obee Intevllgenze ist Fü lle b I ist b b h(t) dt wegen f(t) h(t) fü lle t I Wegen de Nichtnegtivität von h und von f wchsenbeideseitebeib,unddieechteseiteistduchdsuneigentliche Integl h(t)dt beschänkt Nch Stz 75 eistiet de Genzwet b lim b = Beispiel 35 Sei f(t) := t c mit c R Wi inteessieen uns fü die uneigentlichen Integle zu f fü t von 0 bis Dbei ist die Funktion bei de Intevllgenze 0 (bei negtivem c) nicht definiet, ds ist lso de kitische Rndpunkt Bei c = ist ln t eine Stmmfunktion von /t Dhe ist dt = ln, t und de Genzwet fü 0 eistiet nicht Ds uneigentliche Integl eistiet lso nicht Sei nun c < Dnn ist c+ tc+ eine Stmmfunktion zu t c und dhe ist ( ) ( ) ( ) lim 0 t c dt = lim 0 c+ tc+ = lim 0 c+ c+ c+ D es sich echts um eine negtive Potenz von hndelt, ist lim 0 c+ = Ds uneigentliche Integl eistiet lso nicht Dies folgt übigens uch us Lemm 34, d j t t c fü c < und 0 < t gilt Sei nun c > Dnn ist c+ tc+ eine Stmmfunktion zu t c und dhe ist ( ) ( ) ( ) lim 0 t c dt = lim 0 c+ tc+ = lim 0 c+ c+ c+ 3

4 4 D es sich um eine positive Potenz von hndelt, ist lim 0 c+ = 0 (nch Aufgbe 74) Ds uneigentliche Integl eistiet lso und besitzt den Wet c+ Beispiel 36 Sei f(t) := t c mit c R Wi inteessieen uns fü ds uneigentliche Integl zu f fü t von bis De kitische (uneigentliche) Rndpunkt ist lso + Bei c = ist ln t eine Stmmfunktion von /t Dhe ist dt = ln, t und de Genzwet fü + eistiet nicht Ds uneigentliche Integl eistiet lso nicht Sei nun c < Dnn ist c+ tc+ eine Stmmfunktion zu t c und dhe ist ( ) ( ) ( lim t c dt = lim c+ tc+ c+ = lim c+ ) c+ D es sich um eine negtive Potenz von hndelt, ist lim c+ = 0 Ds uneigentliche Integl eistiet lso und besitzt den Wet c+ Bei c > ist t c t fü t und dhe knn nch Lemm 34 ds uneigentliche Integl nicht eistieen Definition 37 Es sei I R ein Intevll mit den beiden (uneigentlichen) Rndpunkten und s von I Es sei eine stetige Funktion f: I R gegeben Mn sgt, dss ds (beidseitig) uneigentliche Integl eistiet, wenn fü ein I die beiden einseitig uneigentlichen Integle und eistieen In diesem Fll setzt mn := + und nennt dies ds uneigentliche Integl zu f von nch s Die Eistenz des beidseitig uneigentlichen Integls hängt nicht von de Whl des Punktes I b Dübehinus hängt de Wet dieses Integls, flls es eistiet, ebensowenig von dem gewählten Punkt b

5 5 Die Funktion 2π e t2 2 ist die Dichtefunktion de Gußschen Nomlveteilung De Flächeninhlt untehlb de Kuve ist Beispiel 38 Die Funktion e t2 ist nicht element integieb, dh, mn knn keine geschlossene Stmmfunktion mit tionlen Funktionen, Eponentilfunktion, tigonometischen Funktionen und ihen Umkehfunktionen ngeben Es ist e t2 dt = π, ws wi hie ohne Beweis mitteilen Duch eine einfche Substitution egibt sich dus e t2 2 dt = 2π Dieses Integl nennt mn Fehleintegl; es spielt in de Stochstik eine wichtige Rolle Vegleichskiteien mit Reihen Lemm 39 Sei I = [, ] ein echtsseitig unbeschänktes Intevll und sei f: I R eine stetige fllende Funktion mit f() 0 fü lle I Dnn eistiet ds uneigentliche Integl genu dnn, wenn die Reihe konvegiet f(n) n= Beweis Wenn ds uneigentliche Integl eistiet, so betchten wi die Abschätzung k k f(n), n=2 die duf beuht, dss die linke Seite ds Teppenintegl zu eine unteen Teppenfunktion fü f uf [,k] ist D die echte Seite beschänkt ist, gilt

6 6 dies uch fü die linke Seite, so dss wegen f(n) 0 die Reihe konvegiet Ist umgekeht die Reihe konvegent, so betchten wi die Abschätzung k k f(n), die gilt, d die echte Seite ds Teppenintegl zu eine obeen TeppenfunktionistWegenf(t) 0istdieInteglfunktion wchsendund beschänkt, d die echte Seite wegen de Konvegenz de Reihe beschänkt ist Dhe besitzt die Integlfunktion fü einen Genzwet und ds uneigentliche Integl eistiet Beispiel 30 Die Funktion n= f: [, ] R, t t, ist steng fllend Dhe ist die Funktion g, die fü mit k < k+ duch definiet ist, eine Mjonte fü f, lso g(t) f(t) Auf jedem Intevll k [,n] liefet g eine obee Teppenfunktion zu f Ebenso liefet die duch k+ bei k < k + definiete Funktion h eine untee Teppenfunktion fü f Dhe gelten die Abschätzungen n k= k n n t dt k + Ds Integl in de Mitte besitzt den Wet ln n Die Diffeenz zwischen de linken und de echten Summe ist Dhe ist die Diffeenz n n k= k= k ln n fü jedes n positiv, mit n wchsend und nch oben beschänkt Dhe eistiet fü n de Limes, und diese Limes ändet sich nicht, wenn mn vone in de Summe bis n ufsummiet nsttt bis n Wi setzen ( n ) γ := lim n k ln n k= und nennen sie die eulesche Konstnte (ode Mscheonische Konstnte) Ih nummeische Wet ist ungefäh γ = 0, Es ist ein offenes mthemtisches Poblem, ob diese Zhl tionl ist ode nicht

7 Abbildungsvezeichnis Quelle = Impope integlsvg, Auto = Benutze KSmq uf Commons, Lizenz = CC-by-s 30 2 Quelle = Noml distibutionsvg, Auto = Benutze Geek3 uf Commons, Lizenz = CC-by-s

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