Ergänzungen zur Integrationstheorie, SS2009 von Siegfried Echterhoff

Transkript

1 Es gilt dnn R [,] f()d =. Egänzungen zu Integtionstheoie, SS9 von Siegfied Echtehoff Wi wollen hie die wichtigsten Eigenschften und Definitionen zum Riemnn-Integl wiedeholen und einige wichtige Egänzungen zu Vefügung stellen, die wi us Zeitgünden in de Volesung nicht vostellen konnten. Dies betifft insbesondee ds Vefhen de Ptilbuchzelegung und die Substitution = ctn(t) die zu Beechnung von Integlen von Funktionen, welche sich ls Podukte und Büche von Sinus- und Cosinusfunktionen dstellen lssen. Anlysis I, 8. Ds Riemnn Integl. In diesem Abschnitt hben wi den Integlbegiff nch Riemnn eingefüht. Dzu sei f : [, b] R eine beschänkte Funktion. Wi wollen die zwischen -Achse und dem Gphen von f eingeschlossene Fläche beechnen, wobei wi lle Flächen obehlb de -Achse positiv und lle Flächen untehlb de -Achse negtiv beechnen wollen. Die Gundidee hiefü ist die gegebene Funktion möglichst gut von oben und von unten duch Teppenfunktionen zu ppoimieen, und dnn ds Integl von f ls Genzwet (bzw. Supemum und/ode Infimum) de Integle de Teppenfunktionen zu beechnen. Eine Teppenfunktion ist eine Funktion ϕ : [,b] R, so dss eine Zelegung Z = { = t < t < < t n = b} und Zhlen,..., n R eistieen mit ϕ() = k fü lle (t k,t k ) und k n. Ist ϕ eine solche Teppenfunktion, so definieen wi den Inhlt von ϕ duch n I(ϕ) := k (t k t k ), k= ws genu dem Flächeninhlt de Fläche zwischen -Achse und dem Gphen de Teppenfunktion ϕ : [, b] R entspicht. Scheiben wi T[, b] fü die Menge lle Teppenfunktionen uf [,b], so definieen wi Definition. Sei f : [, b] R eine beschänkte Funktion. Dnn heißt ds Obeintegl von f und O(f) := inf{i(ψ) : ψ T[,b],f ψ} U(f) := inf{i(ϕ) : ϕ T[,b],ϕ f} ds Unteintegl von f. f heißt (Riemnn-) integieb, flls O(f) = U(f) und dnn setzen wi f()d := O(f) (= U(f)). Nicht lle beschänkten Funktionen sind integieb. Zum Beispiel gilt fü die Funktion } f : [,] R; f() =, { fü Q fü [, ] \ Q dss U(f) = und O(f) =, und dmit ist f nicht Riemnn-integieb. Ein nützliches Hilfsmittel zu Untesuchung de Integiebkeit von Funktionen liefet de folgende Stz Es gibt be einen besseen Integlbegiff, ds Lebesgue-Integl, wo diese Funktion integieb ist.

2 Stz. Sei f : [, b] R eine beschänkte Funktion. Dnn sind äquivlent: () f ist integieb. () Zu jedem ε > eistieen Teppenfunktionen ϕ,ψ T[,b] mit ϕ f ψ und I(ψ ϕ) < ε. (3) Es eistieen Folgen (ϕ n ) n N und (ψ n ) n N in T[,b] mit ϕ n f ψ n fü lle n N und I(ψ n ϕ n ). Sind diese Bedingungen efüllt und sind (ϕ n ) n N und (ψ n ) n N wie in (3), so folgt zudem f()d = lim n I(ϕ n) = lim n I(ψ n). Mit Hilfe dieses Stzes knn mn dnn gnz schnell die folgenden Eigenschften des Integls nchweisen: Sind f, g : [, b] R integieb, so gilt f + g : [,b] R ist integieb und es gilt (f + g)()d = f()d + Ist f g, so gilt uch f()d g()d. Sind f +,f : [,b] R definiet duch g() d. f + () = m{f(),}, f () = min{f(),}, so sind f +,f und f = f + + f integieb. Fene gilt imme f()d f() d. Sind,b,c R mit < b < c und ist f : [,c] R gegeben mit f integieb übe [,b] und [b,c], so ist f uch integieb übe [,c] und es gilt c f()d = f()d + c b f()d. Jede monotone Funktion f : [,b] R ist integieb. Abe noch wichtige ist: Stz. Jede stetige Funktion f : [,b] R ist integieb und fü ds Integl gilt die Fomel b n f()d = lim f( + k b n n n ). Dieses zentle Resultt folgt us Stz zusmmen mit de wichtigen Ttsche, dss jede stetige, uf einem kompkten Intevll definiete Funktion f : [, b] C sog gleichmäßig stetig. Ein weitee wichtige Stz in diesem Abschnitt ist de Mittelwetstz de Integlechnung: Sind f,g : [,b] R stetige Funktionen mit g, so eistiet ein [,b] mit f( ) g()d = k= f()g() d. Im Fll g = folgt hieus die Ttsche, dss jede stetige Funktion f : [,b] R uf [,b] seinen Mittelwet nnimmt, d.h. es eistiet ein [,b] mit f( ) = b f()d. De Mittelwetstz de Integlechnung folgt leicht us dem Zwischenwetstz fü stetige Funktionen und de Ttsche, dss fü jedes stetige g : [,b] R mit g > (d.h. g

3 und es eistiet mindestens ein [,b] mit g() > ) uch g()d > gilt (Achtung! Dies gilt im llgemeinen nicht, wenn g nicht stetig ist!). Schließlich hben wi noch einige zusätzliche Nottionen eingefüht: ist f : [, b] C eine komplee Funktion, so heißt f integieb, wenn Re(f),Im(f) : [,b] R integieb sind, und dnn setzen wi f()d = Re(f)()d + i Im(f)() d. Fene setzen wi fü jede integiebe Funktion f : [,b] C: b f()d := f()d. Anlysis II,. De Huptstz de Integl- und Diffeentilechnung. Ist I R ein Intevll und ist f : I C eine Funktion, so heißt eine Funktion F : I C Stmmfunktion von f, flls F diffeenzieb ist und F = f gilt. Sind F,G : I C zwei beliebige Stmmfunktionen von f, so eistiet eine Konstnte c C mit F() = G() + c fü lle I. Dies folgt us de Ttsche (die wi us dem. MWS de Diffeentilechnung gefolget hben), dss eine diffeenziebe Funktion g : I C mit Ableitung g = konstnt sein muss. Angewndt uf g = F G folgt dnn, dss F G konstnt ist, denn (F G) = F G = f f =. Stz 3 (Huptstz de Integl- und Diffeentilechnung). Sei f : I C eine stetige Funktion und sei I fest gewählt. Dnn gelten () Ist F : I C definiet duch F() = f(t)dt, so ist F eine Stmmfunktion von f. () Ist G eine beliebige Stmmfunktion von f, und ist b I beliebig, so gilt f()d = G(b) G(). Die Aussge in () ist eine diekte Konsequenz us () und de obigen Diskussion, denn ist F wie in () und G : I C eine beliebige weitee Stmmfunktion von f, so eistiet ein c C mit G() = F() + c fü lle I, und dnn folgt G(b) G() = F(b) F() = f(t)dt f(t)dt = f(t)dt. Fü den Beweis de esten Aussge zelegt mn zunächst f in Relteil und Imginäteil um o.b.d.a. nnehmen zu können, dss f eell ist. Dnn ist de Beweis eine eltiv leichte Folgeung us dem Mittelwetstz de Integlechnung. Als Konsequenz des Huptstzes folgt, dss zu Beechnung des Integls f()d eine stetigen Funktion f die Beechnung eine Stmmfunktion F : I C von goßem Nutzen ist, d wi dnn Integle mit beliebigen Genzen einfch duch Einsetzen de Genzen in die Stmmfunktion beechnen können. Es ist hie nützlich ds unbestimmte Integl f()d einzufühen. Dieses steht fü die Gesmtheit lle Stmmfunktionen von f. Ist eine konkete Stmmfunktion F : I C fü f gegeben, so scheiben wi f()d = F() + c wobei c fü eine Konstnte c C steht. Wichtige Stmmfunktionen sind: 3

4 4 () d = c, wenn, C und (, ); () n d = n+ n+ +c, wenn n Z\{ }, R\{} (bzw. R, wenn n N ); (3) d = ln( ) + c, R \ {}; (4) e d = e + c, R; (5) sin()d = cos() + c, cos()d = sin() + c, R; (6) d = ctn() + c, R; + (7) d = csin() + c, (,). Im llgemeinen ist es be viel schwieige Stmmfunktionen zu beechnen ls umgekeht Ableitungen uszuechnen. Oft ist es sog unmöglich eine Stmmfunktion in geschlossene Fom (lso ls Kombintion beknnte Funktionen) uszuechnen (mn vesuche zum Beispiel eine Stmmfunktion de Funktion f : R R;f() = e zu beechnen). Einige Hilfsmittel fü die Beechnung von Stmmfunktionen knn mn be us den Ableitungsegeln heleiten. Als estes Beispiel betchten wi die Poduktegel füs Diffeenzieen. Diese liefet ds Vefhen Ptielle Integtion: Seien f, g : I C zwei stetig diffeenziebe Funktionen (d.h. f,g sind diffeenzieb und die Ableitungen f,g sind stetig). Die Poduktegel liefet Duch Umodnen folgt hieus (f g) = f g + f g. f g = (f g) f g. Integieen uf beiden Seiten liefet f ()g()d = f() g() f() g ()d + c fü die unbestimmten Integle, bzw. f ()g()d = ( f() g() ) b f() g ()d fü die bestimmten Integle, wobei fü eine beliebige Funktion h de Ausduck h() b fü die Diffeenz h(b) h() steht. Im Volesungsmnuskipt finden Sie einige Beispiele fü diese Methode. Inteessnt ist insbesondee, dss mn mit Hilfe de ptiellen Integtion oftmls echt gut Stmmfunktionen von Umkehfunktionen beechnen knn, indem mn ls zusätzlich Funktion die Einsfunktion (ls f ) einfügt: zum Beispiel gilt ln()d = Anlog echnet mn ctn() d = ln()d f =,g=ln() = ln() Ds uf de echten Seite ufgetuchte Integl ctn()d = ctn() d = ln() + c. + d. + d beechnet mn mit de Substitutionsegel: Diese bsiet uf de Kettenegel fü die Ableitung. Sei f : I C eine stetige Funktion und sei F : I C eine Stmmfunktion fü f. Fene sei u : J I eine stetig diffeenziebe Funktion. Dnn folgt mit de Kettenegel (F u) () = F (u())u () = f(u())u ()

5 Integieen uf beiden Seiten (und Vetuschen de Seiten) liefet f(u())u ()d = (F u) ()d = F(u(b)) F(u()) = u(b) u() f(u)du, wobei die letzte Gleichung us de Ttsche folgt, dss F eine Stmmfunktion von f ist. Wi betchten uf de echten Seite u ls Integtionsvible und nicht meh ls Funktion. Veeinfcht bekommen wi lso die Fomel bzw f(u())u ()d = f(u())u ()d = u(b) u() f(u)du + c, f(u)du u = u() fü die unbestimmten Integle. Hiebei müssen wi be uf de echten Seite nch Beechnen de Stmmfunktion die Vible u duch die Funktion u() esetzen. Dhe de Zustz u = u()! Als Beispiel betchten wi ds oben ufgetuchte integl + d. Setzen wi u() = +, so folgt u () =. Mit f(u) = u ehlten wi + d = u() u ()d Subst. = u du (mit u = + ) = ln( u ) + c (mit u = + ) = ln( + ) + c. Zusmmen mit de obigen Rechnung ehlten wi dnn ctn()d = ctn() ln( + ) + c. Einige geneelle Fomeln, die mn mit de Substitutionsegel ehält sind die folgenden: () f( + c)d = +c +c f()d fü c R fest und f(c)d = cb c c f()d wenn c. () f () f() d = ln( f() ) + c, wenn f(). Ein inteessntes Beispiel ist uch ds folgende: Wi beechnen und dmit csin() d = csin()d f =,g=csin = csin() d d mit Hilfe de Substitution u() =. dnn folgt u () = d = u ()d = u() u du (mit u = ) 5 Dmit folgt = u + c (mit u = ) = + c. csin()d = csin() + + c. Wenn wi die Rechnung oben genue vefolgen, so sehen wi, dss wi diese nu uf dem offenen Intevll (,) duchfühen düfen, d nu dot die csin-funktion diffeenzieb ist, und wi die Ableitung bei de ptiellen Integtion benötigen. Auf de ndeen Seite ist csin be uf dem gnzen Intevll [,] stetig, und besitzt nch dem Huptstz de Integl-und Diffeentilechnung uf gnz [,] eine Stmmfunktion. Die oben beechnete Stmmfunktion fü csin ist siche uf dem gnzen Intevll [,] definiet, und dot uch stetig. Dnn folgt us dem folgenden Lemm, dss sie dnn uch utomtisch uf gnz [,] eine Stmmfunktion ist: Lemm 4. Seien F,f : [,b] C stetig und sei F Stmmfunktion von f uf (,b). Dnn gilt uch F = f uf gnz [,b].

6 6 Ds Lemm ist eine leichte Folgeung us dem. MWS de Diffeentilechnung. Im obigen Fll wenden wi ds Lemm uf F,f : [,] R;f() = csin() und F() = csin() + c n. Umgekehte Substitution. Hiebei ist f : I C gegeben, und wi wollen f()d beechnen. Wi vesuchen nun ds Poblem zu veeinfchen, indem wi ls Funktion von t uffssen, d.h. wi suchen eine bijektive stetig diffeenziebe Funktion : J I; t (t), so dss ds unbestimmte Integl f((t)) (t)dt (ntülich bezüglich de Viblen t) beknnt ist. Dnn folgt us de gewöhnlichen Substitutionsegel: (b) () f((t)) (t)dt = ( (b)) ( ()) f()d = Fü die unbestimmten Integle ehlten wi die Fomel f()d = f((t)) (t)dt + c, mit t = t() f()d. (d.h. wi scheiben t ls Funktion von vemöge de Umkehfunktion ). Als Beispiel wollen wi die Fläche des Einheitskeises beechnen. De Einheitskeis wid nch oben duch die Funktion f() =, [,] und nch unten duch die Funktion g = f begenzt. Die Fläche des Keises beechnet sich dhe duch (f g)()d = f()d = d. Um den Ausduck zu veeinfchen setzen wi (t) = sin(t) und bemeken, dss sin : [ π, π ] [,] stetig diffeenzieb und bijektiv ist. Wegen sin (t) = cos (t), und ], ehlten wi d cos(t) fü lle t [ π, π d = π π Pt. Int = sin (t) cos(t)dt = ( sin(t)cos(t) + t ) π π = π, π π cos (t)dt und dmit ist de Flächeninhlt des Einheitskeises gleich π. Wollen wi ds unbestimmte Integl d uf [,] beechnen, so ehlten wi wie oben zunächst d = ( ) sin(t)cos(t) + t + c und esetzen dnn uf de echten Seite ds t duch die Umkehfunktion von sin ngewndt uf, lso t = csin(). Dnn folgt d = ( ) sin(csin())cos(csin()) + csin() + c = ( + csin() ) + c. Gundsätzlich sind Substitutionen = sin(t), = cos(t) nützlich fü Ausdücke mit uf dem Intevll [, ], und die Substitution = cosh(t) ist oft nützlich bei Ausdücken mit fü (wegen cosh (t) = sinh (t)). Die Substitution = sinh(t) ist nützlich bei Ausdücken mit + (wegen cosh () = + sinh ()). Egänzung: Die Substitution = ctn(t). Integle mit Funktionen die sich ls Summen, Podukte und Quotienten us den Funktionen sin(),cos() zusmmen setzen, und die sich nicht diekt mit ndeen Methoden, wie etw de ptiellen Integtion lösen lssen, knn mn oft mit de Substitution = ctn(t) beechnen. Es gilt nämlich

7 7 Lemm Fü lle t R gilt Beweis: Fü ( π, π ) gilt cos(ctn(t)) = t + t und sin(ctn(t)) = t + t. cos () = cos () + sin () cos = + tn () () und dmit cos () =. Mit den Additions-Theoemen fü Sinus und Cosinus folgt +tn () dnn und nlog folgt cos(ctn(t)) = cos (ctn(t)) sin (ctn(t)) = cos (ctn(t)) = + tn (ctn(t)) = + t = t + t sin( ctn(t)) = sin(ctn(t)) cos(ctn(t)) = tn(ctn(t))cos (ctn(t)) = t + t. Wegen ctn (t) = ehlten wi dnn bei de Substitution = ctn(t) eine +t tionle Funktion in t, deen Integl sich dnn mit Hilfe de Ptilbuchzelegung lösen läßt. Als Beispiel betchten wi cos()sin() d, fü (, π ). Die Substitution = ctn(t) liefet cos( ctn(t)) sin( ctn(t)) + t dt = + t t( t dt, t (,). ) Wie schon oben ewähnt, löst mn dieses Integl mit de Methode de Ptilbuchzelegung: Hiebei betchtet mn geneell Integle übe tionle Funktionen, d.h. Funktionen de Fom f() = p() q(), wobei p und q Polynome sind. In einem esten Schitt stellen wi hiebei siche, dss gd(p) < gd(q) gilt: ist dies nicht de Fll, so scheiben wi mit Hilfe de Polynom-Division mit Rest die Funktion p ls p() = h()q() + () wobei h und Polynome sind mit gd() < gd(q). Dnn folgt p() () q() d = h()d + q() d. D h ein Polynom ist, können wi ds Integl übe h seh leicht usechnen. Fü ds zweite Integl gilt dnn be gd() < gd(q)! Sei lso nun f() = p() q() mit gd(p) < gd(q). Wegen dem Hupstz de Algeb (siehe Linee Algeb) eistiet eine Zelegung q() = α ( z ) l ( z s ) ls,

8 8 wobei z,...,z s die pweise veschiedenen kompleen Nullstellen von q mit den Vielfchheiten l,...,l s sind. Wi mchen dnn einen Anstz () p() q() = A + A z ( z ) + + A l ( z ) l + + A s + + A sl s z s ( z s ). ls Multiplizieen wi die Gleichung uf beiden Seiten mit q(), so ehlten wi eine äquivlente Polynomgleichung, wobei uf beiden Seiten Polynome mit Gd < gd(q) = n stehen. Es folgt dnn us dem Identitätsstz fü Polynome, dss Einsetzen von n veschiedenen - Weten genügend Gleichungen zu Beechnung de Koeffizienten A,...,A sls entstehen. Am schnellsten beechnet mn diese Koeffizienten be meist duch Einsetzen de Nullstellen z,...,z s in diese Polynomgleichung, sowie in lle Polynomgleichungen die zusätzlich entstehen, wenn wi beide Seiten bis zu m-ml bleiten, fü m := m{l,...,l s }. Ist diese Zelegung duchgefüht, so bleibt ds Poblem de Beechnung de (kompleen) Integle d mit k N und z C fest. Ist k >, so gilt ( z) k ( z) k d = k ( z) k + c = Ist k = und ist z = R, so folgt d = ln( ) + c. + c. ( k)( z) k Fü k = und z C \ R ist die Sitution leide ein wenig kompliziete. Mn knn ds Poblem hie im Pinzip zw mit einem uf eine geeignetenteilmenge von C definieten kompleen Logithmus lösen, wi wollen diese Funktion be hie nicht einfühen. Sind p und q eelle Polynome (lle obigen Übelegungen teffen nsonsten uch fü komplee Polynome zu), so gehöt zu eine kompleen Nullstelle z von q uch die Nullstelle z (mit gleiche Vielfchheit). Ist dnn A C de zu z gehöende Koeffizient in de Zelegung (), so knn mn nchechnen, dss Ā de zu z gehöende Koeffizient ist. Fssen wi jetzt beide Anteile zusmmen, so bekommen wi einen neuen Summnden A z + Ā z = A( z) + Ā( z) ( z)( z) = B + C + b + c, mit B = Re(A), C = Re(A z), b = Re(z), c = z. Wi hben ds Poblem jetzt uf die Beechnung des Integls B+C +b+c d eduziet, wobei wi imme nnehmen düfen, dss c b 4 > ist (ds folgt us b = Re(z) und c = z ). Duch die Substitution u = + b q c b 4 knn mn dieses Integl uf die Fom B u + C u du = B + u u du + C + u + du Sind p und q eell, so knn mn uch denn ltentiven Anstz p() q() = A + A ( ) + + A l ( ) l + + As s + + B + C B k + C k + b + c ( + b + c ) k A sls ( s) ls + + Bt + Ct + b t + c t + + B tk t + C tkt ( + b t + c t) k t. duchfühen, wenn q() = α ( ) l ( s) ls ( + b + c ) k ( + b t + c t) kt die eelle Fkto-Zelegung von q ist.

9 mit geeigneten Konstnten B,C R bingen. Mit diesen Konstnten ehlten wi dnn B + C + b + c d = B ln(u + ) + C ctn(u) + d = B ln ( ( + b ) + c b 4 ) + C ctn = B ln( + b + c) + C ctn + b c b 4 + b c b 4 + d, + d wobei wi im letzten Schitt einen konstnten Summnden B ln(c b 4 ) in die neue Integtionskonstnte d mit ufgenommen hben. Beispiel. Wi wollen ds bei de Beechnung von +t t( t ) cos()sin() dt fü t (,) beechnen. Ds Nennepolynom ht die Zelegung Wi mchen lso den Anstz t( t ) = t( t)( + t) = t(t )(t + ). + t t( t ) = A + A t t + A 3 t +. 9 d ufgetuchte Integl Multiplizieen de Gleichung mit t( t)( + t) = t( t ) liefet die neue Gleichung + t = A ( t ) A t( + t) + A 3 t( t). Einsetzen de Wete t =,, egibt die dei Gleichungen womit wi die Zelegung = A, = A, und = A 3, + t t( t ) = t t t + ehlten. Dmit folgt dnn + t t( t ) dt = ln( t ) ln( t ) ln( t + ) + c = ln ( t ) + c fü t (,). t Zusmmen mit den füheen Rechnungen ehlten wi dnn uch ( t ) d = ln + c mit t = tn( cos()sin() t ), d = ctn(t). Dmit folgt cos()sin() d = ln ( tn( ) tn ( ) ) + c fü (, π ) Wi übelssen es dem Lese, diesen Ausduck noch weite zu veeinfchen und duch eine Ableitungs-Pobe die Richtigkeit de Rechnungen zu übepüfen!. Uneigentliche Integle. In de Pis möchte mn oftmls uch Integle von Funktionen beechnen, die entwede unbeschänkt, ode be uf einem unbeschänkten Intevll I R definiet sind. Hiefü betchten wi die folgende llgemeine Sitution: Seien,b R {± } mit < b, und sei f : (,b) C eine Funktion, so dss f uf

10 jedem bgeschlossenen und beschänktem Teilintevll [, R] (, b) integieb ist. Wi sgen f ist (uneigentlich) übe (,b) integieb, wenn de Genzwet f()d := lim,r b R f()d eistiet. Wie üblich ist diese Genzwet übe Folgen definiet: die obige Gleichung bedeutet, dss fü jedes P von Folgen ( n ) n N und (R n ) n N in (,b) mit n und R n b gilt, dss R n n f()d gegen die Zhl f()d konvegiet. Ntülich mcht es uch Sinn, solche Integle bezüglich eine kitischen und eine unkitischen Genze zu definieen. Ist zum Beispiel b R und f : (,b] C mit f ist integieb uf [,b] fü lle (,b], so setzen wi f()d = lim f()d, flls diese Genzwet eistiet, und nlog definieen wi ds Integl fü Funktionen f : [, b) C die uf jedem Intevll [, R] mit R [, b) integieb sind duch f()d = lim R b R f()d, flls diese Genzwet eistiet. Mn übelegt sich dnn leicht, dss mn die este Sitution us den beiden letztgennnten zusmmensetzen knn: Ist f : (, b) C wie oben gegeben und ist c (,b), so gilt lim,r b R f()d = lim c f()d + lim R b R c f()d flls diese Genzwete eistieen (ws imme folgt, wenn die Genzwete zunächst nu uf eine Seite de Gleichung eistieen). Es folgt dnn ntülich die Gleichung f()d = c f()d + c f()d. Beispiele. () Sei > und sei f : (,] R;f() =. Fü lle (,] gilt dnn d = = ( ). Ist <, so gilt > und fü. Dmit folgt d = lim d = lim ( ) =. Ist be >, so folgt < und fü. Ds Integl dnn nicht! Ist =, so ehlten wi Integl d nicht! d eistiet d = ln() fü, lso eistiet uch ds (b) Wi betchten nun die Funktion f : [, ) R;f() = gilt R d = (R ) fü >. Hie und diese Ausduck konvegiet gegen wenn < und gegen wenn >. Also eistiet d nu fü > und dnn ist d =. Im Fll = folgt hie R d = ln(r), lso eistiet uch ds Integl d nicht. Setzen wi () und (b) zusmmen, so sehen wi, dss d fü kein > (und uch fü kein R)

11 eistiet, d eins de obigen Teilintegle imme divegiet! (c) Es gilt e d =, denn R e d = (e R ) fü R. Mit Hilfe de ptiellen Integtion knn mn uch zeigen, dss ds Integl n e d fü lle n N eistiet (Übungsufgbe!). Als weitee Übungsufgbe zeige mn, dss e d eistiet, und mn beechne ds Integl. Es gibt viele inteessnte Sätze zu uneigentlichen Integlen. Zum Beispiel knn mn ähnlich wie fü Reihen ein Mjonten-/Minontenkiteium beweisen. Es seien dzu f, g : [, ) C Funktionen, die fü lle R > uf [, R] integieb sind. Fene gelte f g. Dnn gelten: () Eistiet g()d, so uch f()d und es gilt f()d f() d g() d. () Divegiet f() d, so divegiet uch g()d. Ebenso knn mn wie fü Reihen ein Beschänktheits-Kiteium beweisen: Sei f : (, b) C eine Funktion, die uf llen Intevllen [, R] (, b) integieb ist. Es eistiee fene ein C mit R f() d C fü lle [,R] (,b). Dnn eistiet ds uneigentliche Integl f()d und es gilt f()d f() d C. Mit Hilfe dieses Kiteiums zeigt mn dnn uch leicht den Reihenvegleichsstz. Sei f : [, ) R eine monoton fllende Funktion. Fene sei n N. Dnn sind äquivlent: () Ds Integl f()d eistiet. () Die Reihe n=n f(n) konvegiet. Aus dem Reihenvegleichsstz und dem oben geechneten Beispiel d ehlten wi einen neuen Beweis fü ds beknnte Resultt, dss die Reihe n= n fü lle > konvegiet, be fü < imme divegent ist.