4.4. Lokale Extrema und die Hessesche Form 75
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- Falko Müller
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1 4.4. Lokle Extem und die Hessesche Fom 75 SchuenwiunsdieSttelpunktenochmlgenuen.Nehmenwin,f hben eine Stelle p eine indefinite Hessemtix mit einem positiven und einem negtiven Eigenwet. Dnn sieht de Gph von f in de Nähe von p us wie ein Pss in einem Gebige. Denn ist v ein Eigenvekto zu dem negtiven Eigenwet, etw λ <, dnn ht g(t = f(p+tv n de Stelle t = ein isolietes lokles Mximum, weil g ( = v T H f (pv = λ v < ist. Und entspechend gilt fü einen Eigenvekto w zum positiven Eigenwet, dss h(t = f(p + tw bei t = ein isolietes lokles Minimum ht, weil h ( >. Also zeigt v in die Richtung eine Pssstsse uf dem Gphen von f und w zeigt in die Richtung eines Wndeweges, de die Stsse uf de Psshöhe übequet Beispiel Sei wiede f(x,y = x 3 + xy + y. Wie beeits nchgeechnet, ht f im Nullpunkt einen Sttelpunkt mit de Hessemtix 1 H f (, =. 1 Die Eigenwete diese Mtix sind λ 1 = 1+ und λ = 1. Ein Eigenvekto 1 zum negtiven Eigenwet λ ist zum Beispiel v = 1. Die Gede duch v gibt lso die Richtung de Pssstsse in diesem konketen Beispiel n. Mn knn die beschiebene Methode zu Bestimmung de loklen Extem eine Funktion in meheen Viblen nun einsetzen, um dmit mehdimensionle Optimieungsufgben zu lösen. Hie dzu ein Beispiel: Beispiel Nehmen wi n, zu Vepckung von Speiseeis zu jeweils 1ml wede eine qudefömige Schchtel vewendet, und mn sucht nun dsjenige Fomt, bei dem m wenigsten Mteilkosten nfllen. Ds bedeutet: Mn sucht nch demjenigen Qude mit Seitenlängen x, y, z und Gesmtvolumen xyz = 1, de die kleinste Obefläche ht. Die Obefläche ist die Summe de 6 Seitenflächen, lso g(x,y,z = (xy +yz +xz. Mit de Bedingung xyz = 1 knn mn die Vible z eliminieen, indem mn z = 1 einsetzt. Es egibt sich eine Funktion in zwei Viblen, deen Minimum xy im Beeich x,y > gesucht wid: f(x,y = (xy +(x+y 1 xy. Jetzt beechnen wi est die kitischen Stellen von f: y /x f(x,y = x /y = genu dnn, wenn x y = 1 = y x. Weil x,y > sind, folgt x = y und x 3 = 1. Es gibt lso im Beeich x,y > nu einen kitischen Punkt bei x = y = 1, und die
2 76 Kpitel 4. Diffeentilechnung in meheen Viblen entspechende Schchtel ist in diesem Fll ein Wüfel de Seitenlänge 1cm. Mit de Hessemtix übepüfen wi jetzt noch, dss es sich wiklich im ein Minimum von f hndelt. H f (x,y = 4/x 3 4/y 3, lso H f (1,1 = 4. 4 Die Hessemtix beim kitischen Punkt ist positiv definit, f ht lso dot ttsächlich ein isolietes Minimum. Nun ist noch de Beweis de Kettenegel nchzutgen. Zu zeigen ist die folgende Behuptung: Stz Sei U R n offen, :[,b] U ein stetig diffeenziebe Weg und f:u R stetig ptiell diffeenzieb. Dnn ist f :[,b] R diffeenzieb und es gilt: d dt (f((t = f((t, (t = wobei (t = (x 1 (t,...,x n (t. n xj f((t x j(t, Beweis. Wi fühen den Beweis de Einfchheit hlbe nu fü n =. De höhedimensionle Fll ist entspechend. Sei jetzt t [,b] fest gewählt und sei (t = (x,y. Um die Ableitung von f bei t zu bestimmen, betchten wi zunächst den Diffeenzenquotienten f(x(t,y(t f(x,y t t = f(x(t,y(t f(x,y(t t t + f(x,y(t f(x,y t t. Nch dem Mittelwetstz de Diffeentilechnung, ngewendet uf die Funktion h(t = f(x,y(t, gibt es ein t 1 zwischen t und t mit: f(x,y(t f(x,y t t = h(t h(t t t = h (t 1. Und nch de eindimensionlen Kettenegel ist h (t 1 = [ y f(x,y(t 1 ] y (t 1. Entspechend gibt es fü die Funktion g(t = f(x(t,y fü festgehltenes y ein t mit f(x(t,y f(x,y t t = g(t g(t t t = g (t = [ x f(x(t,y] x (t. Setzen wi dies ein, ehlten wi zusmmen f(x(t,y(t f(x,y t t = [ x f(x(t,y(t] x (t +[ y f(x,y(t 1 ] y (t 1. Weil nch Voussetzung die ptiellen Ableitungen von f, sowie die Komponenten von und deen Ableitungen stetig sind, liefet de Genzübegng von t nch t die Behuptung. q.e.d.
3 4.4. Lokle Extem und die Hessesche Fom Folgeung Sei :[,b] U ein Weg mit (t fü lle t. Veläuft de Weg gnz in eine Niveumenge von f, dnn steht de Gdient von f n jede Stelle p = (t senkecht uf dem Geschwindigkeitsvekto (t. Ist f eine Funktion in Viblen, dnn steht lso ds Gdientenvektofeld senkecht uf den Niveulinien. Beweis. Ist f((t = c fü lle t, dnn folgt us de Kettenegel f((t, (t =, und ds heisst f((t (t. q.e.d. Wenn ein Weg sog zweiml stetig diffeenzieb ist und so pmetisiet ist, dss (t konstnt ist, dnn gibt die zweite Ableitung (t Auskunft übe die Kümmung des Weges Definition Wi sgen, ein Weg ist im Bogenmss pmetisiet, wenn (t = 1 ist fü lle t. In diesem Fll gilt fü die Weglänge des Abschnitts von (t 1 bis (t t t 1 (t dt = t t 1. Fü einen im Bogenmss pmetisieten Weg definieen wi die Kümmung des Weges n eine Stelle p = (t ls κ(p = (t Beispiel Die Pmetisieung de Keislinie von Rdius >, gegeben duch (t = (cos( t,sin(t, efüllt die Bedingung, denn (t = ( sin( t,cos(t ht imme die Länge 1. Aussedem ist (t = 1 ( cos(t,sin(t und dhe κ(t = (t = 1. Je gösse de Rdius, um so kleine ist lso die Kümmung Bemekung Ist im Bogenmss pmetisiet und zweiml stetig diffeenzieb, dnn gilt: (t (t t. Sei jetzt n eine Stelle p = (t die zweite Ableitung (t. Dnn spnnen de Tngentilvekto (t und de Vekto (t eine Ebene duch p uf. Die Keislinie in diese Ebene von Rdius = 1 um den Punkt q = κ(p p+ (t beüht die Kuve n de Stelle p und wid ls Kümmungskeis bei p bezeichnet Beispiel Die äumliche Schubenlinie, pmetisiet duch t (t = (cos( +1,sin( t +1, t +1, efüllt die Bedingung n die este Ableitung, und mn findet hie κ(t = +1. Es ist lso eine Kuve konstnte Kümmung.
4 Kpitel 5 Integtion im Mehdimensionlen 5.1 Wegintegle und Potentile Sei D R n eine offene Teilmenge. Ist U:D R eine stetig ptiell diffeenziebe Funktion, dnn liefet de Gdient ds sogennnte Gdientenvektofeld, ds jedem Punkt p U uf stetige At einen Vekto U(p n de Stelle p zuodnet. Allgemeine vesteht mn unte einem stetigen Vektofeld F:D R n eine Zuodnung, die jedem Punkt p D einen Vekto F(p zuodnet, de stetig von p bhängt. Dbei knn es sich zum Beispiel um die Geschwindigkeit eine Stömung n de Stelle p hndeln. Die Gdientenvektofelde spielen eine besondee Rolle, wie wi gleich sehen weden Definition Ds Vektofeld F wid ls konsevtiv bezeichnet, wenn eine zweiml stetig diffeenziebe Funktion U: D R existiet, ein sogennntes Potentil fü F, so dss F(x = U(x fü lle x D Beispiele Bezeichnen wi fü (x,y,z R 3 die Länge des entspechenden Otsvektos mit = x +y +z. Ds Gvittionsfeld uf R 3 \ {}, definiet duch F(x,y,z = 1 3 ist ds Gdientenvektofeld des Potentils U(x,y,z = 1. ysin(z Sei jetzt F(x,y,z = xsin(z+y fü (x,y,z R 3. Um ein Potentil U xy cos(z fü F zu finden, vewenden wi zunächst die este Komponente von F und integieen sie übe x: U(x,y,z = ysin(zdx+c(y,z = xysin(z+c(y,z. x y z Nun ist die Funktion C(y,z noch so zu bestimmen, dss y U(x,y,z = xsin(z+ y C(y,z = xsin(z+y und z U(x,y,z = xycos(z+ z C(y,z = xycos(z. Also ht F ds Potentil U(x,y,z = xysin(z+ 1 y. Nicht jedes Vektofeld ist konsevtiv. Eine notwendige Bedingung egibt sich us dem Stz von Schwz 4.4.6, den wi beeits im Zusmmenhng mit de Hessemtix ewähnt htten.
5 5.1. Wegintegle und Potentile Stz Ist f C (D,R, so gilt i j f = j i f fü lle i,j = 1,...,n Folgeung Ist F:D R n ein konsevtives Vektofeld mit Komponentenfunktionen F 1,...,F n, so gilt i F j = j F i fü lle i,j = 1,...,n Beispiel Ds Vektofeld F(x,y,z = x besitzt kein Potentil, denn 3y y F 3 (x,y,z = 6y = z F (x,y,z. Betchten wi jetzt eine diffeenziebe Kuve :[,b] D im Gebiet D Definition Ds Wegintegl des Vektofeldes F längs de Kuve ist folgendemssen definiet: b b F := F((t, (t dt = F d s. Ds Sklpodukt von F n de Stelle (t mit dem Geschwindigkeitsvekto (t gibt die Komponente von F in Richtung des Weges n, und dübe wid eigentlich integiet. Mn knn (ähnlich wie bei de Definition de Weglänge zeigen, dss diese Definition des Wegintegls unbhängig von de Whl de Pmetisieung des Weges ist. De Begiff des Wegintegls stmmt us de klssischen Mechnik. Ist F ein Kftfeld, so gibt ds Integl von F längs die physiklische Abeit n, die bei eine Bewegung im Kftfeld entlng des Weges geleistet wid bzw. die Enegie, die fü die Bewegung ufzuwenden ist Beispiele 1. Sei (t = p + t(q p, t 1, de gedlinige Weg von p nch q in R 3 und F(x,y,z = (c > konstnt ein konstntes c Kftfeld in z-richtung. Mn knn sich dunte die Gvittionskft nhe de Edobefläche vostellen. Dnn ist F := F((t, (t dt =,q p dt = c(z(q z(p, c wobei z(q, z(p jeweils die z Koodinten de Punkte p und q bezeichnen. Dies heisst lso, dss die Abeit, die ufzuwenden ist, um eine Msse im Schweefeld de Ede von p nch q zu bewegen, nu von de Höhendiffeenz de Punkte bhängt. cx. Sei (t = (cost,sint, t π, eine Keislinie und F(x,y = cy (c > konstnt ein diles Kftfeld. Dnn ist π π ( ccost F := F((t, (t dt = csint, sint dt =. cost
6 8 Kpitel 5. Integtion im Mehdimensionlen Ein Potentil ist die mehdimensionle Entspechung eine Stmmfunktion fü ein Vektofeld bezogen uf Wegintegle. Genue gilt folgendes: Stz IstF konsevtivmitpotentilu,und:[,b] D einwegvon( = p nch (b = q, so hängt ds Wegintegl von F übe nu von p und q b: F = U(q U(p. Insbesondee veschwinden lle Wegintegle übe F längs geschlossene Wege. Ist ussedem D wegzusmmenhängend, so ist ds Potentil U bis uf Konstnte eindeutig festgelegt. Beweis. Ds Vektofeld F ist ds Gdientenfeld de Funktion U. Setzen wi dies ein und vewenden die Kettenegel 4.4.4, ehlten wi: b b d F = U((t, (t dt = U((tdt = U((b U((. dt Nehmen wi nun ussedem n, dss D wegzusmmenhängend ist. Wi wählen einen Punkt D ls Bsispunkt fest us. Sei jetzt V ein weitees Potentil fü F. Zu x D wählen wi einen Weg von nch x und ehlten wie eben: F = U(x U( = V(x V(. Dus folgt U(x V(x = U( V( =: c, lso konstnt fü lle x D. q.e.d. Diese Stz bedeutet, dss in einem konsevtiven Kftfeld die Enegie ehlten bleibt und es nicht möglich ist, ein pepetuum mobile zu buen. Alledings ist nicht jedes Vektofeld konsevtiv, und zw selbst wenn die notwendige Bedingung efüllt ist. Hie dzu ein Beispiel: Beispiel Sei D := R \{(,}und F(x,y = ( y x +y x x +y. Dies Vektofeld gibt die Geschwindigkeit eines Studels um den Nullpunkt n. Mn knn nchechnen, dss hie die Bedingung x F = y F 1 efüllt ist. Abe F besitzt dennoch kein Potentil uf gnz D, denn ds Wegintegl von F übe den folgenden geschlossenen Weg veschwindet nicht. Sei dzu de Einheitskeis pmetisiet duch (t = (fü t [,π]. Dnn hben wi: π sin(t F =, cos(t ( sin(t cos(t dt = π ( cos(t sin(t (sin (t+cos (tdt = π. Vekleinet mn be den Definitionsbeeich D uf eine kleine Kugel(ohne Loch, so knn mn, wenn die notwendige Bedingung efüllt ist, imme uch ein (lokles Potentil konstuieen.
7 5.1. Wegintegle und Potentile Stz Sei D = K R (p R n eine offene Keisscheibe und sei F:D R n ein stetig diffeenziebes Vektofeld mit Komponentenfunktionen F 1,...,F n, so dss j F i = i F j fü lle i,j = 1,...,n. Dnn besitzt F ein Potentil uf D. Beweis. Wikönnenncheventuelle Veschiebung nnehmen, dssp = ist.zuq K R ( bezeichne q :[,1] D den gedlinigen Weg von p nch q, pmetisiet duch q (t = tq fü t 1. DieKoodinten von q bezeichnen wi mit x 1,...,x n. Setze n U(x 1,...,x n = F = F(tx 1,...,tx n,q dt = F j (tx 1,...,tx n x j dt. q Wi behupten, dss U ein Potentil fü F ist, d.h. xj U = F j fü j = 1,...,n. Wi zeigen dies nu fü j = 1. Fü die ndeen Koodinten gumentiet mn entspechend. x1 U(q = x1 [ n F j (tx 1,...,tx n x j ]dt = [F 1 (tq+t n ( 1 F j (tq x j ]dt. NchVoussetzunggilt 1 F j = j F 1 füllej.alsoehltenwimitdekettenegel n x1 U(x 1,...,x n = [F 1 (tq+t ( j F 1 (tqx j ]dt = [F 1 (tq+t F 1 (tq,q ]dt = d dt (tf 1(tqdt = tf 1 (tq 1 = F 1 (q. q.e.d Beispiel Wenden wi dies n uf ds beeits ewähnte Vektofeld, definiet ysin(z duch F(x,y,z = xsin(z. Um ds Potentil zu finden, setzen wi wie im xy cos(z Stz: U(x,y,z := (xf 1 (tx,ty,tz+yf (tx,ty,tz+zf 3 (tx,ty,tzdt = (x(tysin(tz+y(txsin(tz+zt xycos(tzdt = xy (tsin(tz+zt cos(tzdt. Die Stmmfunktion dieses Integnden ist leicht zu ten, und wi ehlten ds oben beeits gennnte Potentil von F: U(x,y,z = xyt sin(tz t=1 t= = xysin(z.
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