Übungsaufgaben zum Prüfungsteil 1 Lineare Algebra /Analytische Geometrie

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1 Übungsaufgaben zum Püfungsteil Lineae Algeba /Analytische Geometie Aufgabe Von de Ebene E ist folgende Paametefom gegeben: 3 E: x= s 3 ;,s a) Duch geeignete Wahl de Paamete und s ehält man einen Punkt P de Ebene E, bei dem alle Koodinaten übeeinstimmen. Beechnen Sie die Paamete und s entspechend und geben Sie die Koodinaten des Punktes P an. b) De Koodinatenuspung O(0 0 0) und die Punkte P( ) und Q(0 3 0) bilden die Eckpunkte eines Deiecks. Zeigen Sie, dass das Deieck OPQ echtwinklig ist, und geben Sie an, bei welchem Eckpunkt de echte Winkel liegt. Aufgabe x Gegeben sind die beiden Punkte P( 4 ) und L( 6 ) sowie de Vekto v = 3 6 mit de unbekannten Komponente x 0. a) Stellen Sie eine Paametegleichung fü die Stecke s zwischen den Punkten P und L auf. b) Bestimmen Sie die fehlende Komponenten des Vektos v so, dass de Vekto senkecht zu Stecke s ist, und beechnen Sie anschließend seine Länge. [Zu Kontolle: x = ] c) Stellen Sie eine Paametegleichung fü eine Geade g auf, die die Stecke s in de Mitte senkecht schneidet. Aufgabe 3 Die Geade g veläuft duch die beiden Punkte P(0 0 ) und Q( 4 ). In de Ebene E liegen die x -Koodinatenachse und de Punkt R( 5). a) Stellen Sie fü die Geade g und fü die Ebene E jeweils eine Gleichung in Paametefom auf. b) Beechnen Sie die Koodinaten des Duchstoßpunktes S de Geaden g mit de Ebene E. [Zu Kontolle: S( 8 5)] c) Bestimmen Sie denjenigen Punkt S' auf de Geaden g, de vom Geadenpunkt P gleich weit entfent ist wie de Duchstoßpunkt S.

2 Aufgabe 4 Die Ebene E und die Geade g weden duch die folgenden Paametegleichungen beschieben: 0 0 E: x = s ;,s 0 g: x= + t ; t und a) Weisen Sie nach, dass die Geade g echt paallel zu Ebene E veläuft. b) Geben Sie eine Gleichung eine weiteen Geaden h an, die paallel zu g veläuft und in de Ebene E liegt. c) Angenommen, eine Geade j liegt in de Ebene E, ist abe nicht mit de Geaden h identisch. Nennen Sie alle möglichen Lagebeziehungen, die fü diese Geade j und die Geade g infage kommen, und begünden Sie Ihe Antwoten kuz.

3 Hinweise und Tipps Aufgabe a) Bestimmen Sie den Otsvekto eines Punktes, bei dem alle Koodinaten übeeinstimmen. Setzen Sie diesen Otsvekto mit de vogegebenen Ebenengleichung gleich und lösen Sie das daaus esultieende lineae Gleichungssystem. Vegessen Sie nicht, die Paamete und s sowie die Koodinaten des Punktes P anzugeben. b) Bilden Sie die Seitenvektoen des Deiecks jeweils als Diffeenz de Otsvektoen zweie Eckpunkte des Deiecks. Übelegen Sie, welche Eigenschaft das Skalapodukt zweie Vektoen efüllt, wenn die Vektoen senkecht aufeinande stehen. Beechnen Sie jeweils das Skalapodukt zweie Seitenvektoen. Entnehmen Sie dem Vektopaa, das aufeinande senkecht steht, den gemeinsamen Eckpunkt, bei dem de echte Winkel liegt. Altenativ: Beechnen Sie die Seitenlängen des Deiecks. Wenden Sie die Umkehung des Satzes des Pythagoas an. Aufgabe a) Stellen Sie die Zwei-Punkte-Fom de Stecke zwischen den Punkten P und L auf. Beachten Sie, dass bei eine Stecke de Definitionsbeeich fü den Paamete eingeschänkt ist. b) Übelegen Sie, welche Eigenschaft das Skalapodukt zweie Vektoen efüllt, wenn die Vektoen senkecht aufeinande stehen. De Vekto v und de Richtungsvekto de Stecke s stehen senkecht aufeinande, wenn ih Skalapodukt den Wet null annimmt. Bestimmen Sie aus diese Bedingung die unbekannte Komponente x. Fü die Länge eines Vektos = v v v v 3 gilt: v = v + v + v 3 c) Fü den Mittelpunkt M de Stecke PL gilt: m = (p + l ) Nutzen Sie aus, dass de Vekto v aus Teilaufgabe b senkecht zu Stecke s liegt. Stellen Sie eine Punkt-Richtungsfom de Geadengleichung auf. 3

4 Aufgabe 3 a) Stellen Sie die Zwei-Punkte-Fom de Geadengleichung auf. Die x -Koodinatenachse kann als Geade aufgefasst weden. Entnehmen Sie de Geadengleichung fü die x -Koodinatenachse einen Anbindungspunkt und einen Spannvekto fü die Ebene. Mithilfe des Punktes R, de nicht auf de x -Koodinatenachse liegt, kann de zweite Spannvekto fü die Ebene gebildet weden. Stellen Sie mithilfe des Anbindungspunktes und de Spannvektoen eine Ebenengleichung auf. b) Beachten Sie, dass de Duchstoßpunkt S sowohl auf de Geaden g als auch in de Ebene E liegt. Setzen Sie die Geaden- und die Ebenengleichung gleich und lösen Sie das esultieende lineae Gleichungssystem. Geben Sie mithilfe de Lösung die Koodinaten des Duchstoßpunktes an. c) Veanschaulichen Sie den vogegebenen Sachvehalt in eine Skizze. Übelegen Sie, welche Beziehung zwischen den Vektoen PS und SP besteht. Nutzen Sie diese Beziehung, um den Otsvekto von S' zu beechnen. Aufgabe 4 a) Zeigen Sie zunächst, dass die Geade g paallel zu Ebene E veläuft. Was muss in diesem Fall fü den Richtungsvekto de Geaden und die Spannvektoen de Ebene gelten? Weisen Sie nach, dass sich de Richtungsvekto de Geaden als Lineakombination de Spannvektoen de Ebene dastellen lässt. Nun könnte noch de Fall voliegen, dass die Geade g in de Ebene E liegt. Schließen Sie diese Möglichkeit aus, indem Sie eine Punktpobe duchfühen. b) Übelegen Sie, welche Eigenschaft die Richtungsvektoen paallele Geaden efüllen. Wählen Sie einen geeigneten Anbindungspunkt und stellen Sie die Punkt-Richtungsfom de Geaden auf. c) Übelegen Sie zunächst, welche Lagebeziehungen die Geaden j und h in de Ebene E zueinande haben können. Entscheiden Sie anschließend, welche Folgeung sich daaus fü die Lagebeziehungen de Geaden j und g egibt. 4

5 Lösung Aufgabe a) De Punkt P, bei dem alle Koodinaten übeeinstimmen, besitzt mit einem weiteen Paamete t 0 den Otsvekto t p= t. t Um nun die Paamete, s und t zu bestimmen, wid de Otsvekto des Punktes P mit de Paametefom de Ebene E gleichgesetzt: t 3 t = s 3 t 3 4 Es egibt sich ein lineaes Gleichungssystem mit dei Vaiablen: I t = 3+ s II t = 4 + 3s III t = s I t = 3+ s II t = 4 + 3s III I 0 = 6 + 6s 6 = 6s s = Einsetzen von s = in II: t = 4+ 3 = Einsetzen von s = und t = in I: = 3+ = 3+ = Die gesuchten Paamete lauten = und s = und de Punkt P besitzt die Koodinaten P( ). b) Im Deieck OPQ bilden die Vektoen OP, OQ und PQ die Deiecksseiten. 0 OP = 0 = OQ = 3 0 = PQ = 3 = 0 5

6 Das Deieck ist dann echtwinklig, wenn zwei diese Seitenvektoen aufeinande senkecht stehen. Dies ist de Fall, wenn ih Skalapodukt gleich null ist. 0 OP OQ = 3 = ( ) 0 ( 3) 0 = = OP PQ= = ( ) = + = 0 0 OQ PQ= 3 = 0 3( ) + 0 = = Die Vektoen OP und PQ stehen senkecht aufeinande. De echte Winkel wid von diesen Vektoen eingeschlossen und liegt somit beim Eckpunkt P. Altenativ: Fü die Seitenlängen des Deiecks gilt: OP = OP = = ( ) + ( ) + ( ) = 3 [LE] 0 OQ OQ 3 0 ( 3) 0 9 3[LE] = = = + + = = 0 PQ PQ ( ) 6 [LE] = = = + + = Es gilt: OP + PQ = = 3 = OQ Nach de Umkehung des Satzes des Pythagoas ist das Deieck OPQ echtwinklig mit den Katheten OP und PQ sowie de Hypotenuse OQ. De echte Winkel liegt somit beim Eckpunkt P. 6

7 Aufgabe a) Um eine Paametegleichung fü die Stecke zwischen den Punkten P und L zu ehalten, wählt man als Anbindungspunkt einen de beiden Punkte und als Richtungsvekto den Vebindungsvekto zwischen den Punkten. Damit nu die Stecke zwischen P und L duch die Paametefom dagestellt wid, muss de Definitionsbeeich des Paametes entspechend eingeschänkt weden. 3 s: x= p+ PL= = 4 + ; 0 0 b) De Vekto v ist dann senkecht zu Stecke s, wenn das Skalapodukt von dem Vekto v und dem Richtungsvekto PL de Stecke s gleich null ist: x 3 v PL= 0 3 = x ( 3) = 0 3x 6 = x = 6 : ( 3) x = Fü x = steht de Vekto v senkecht zu Stecke s. De gesuchte Vekto lautet damit v =. 3 6 Fü seine Länge gilt: v = 3 = ( ) + ( 3) + 6 = = 49 = 7[LE] 6 c) Die Mitte bzw. de Mittelpunkt de Stecke s beechnet sich mit de Fomel: 0,5 m = (p + l ) = = 0 = 5 M( 0,5 5 ) Mit dem Mittelpunkt M de Stecke s als Anbindungspunkt und dem zu Stecke s senkecht stehenden Vekto v = 3 6 als Richtungsvekto lautet die Paametefom de Geadengleichung: 0,5 g: x= m+ t v= 5 + t 3 ; t 0 6 Anmekung: Die Geade ist nicht eindeutig festgelegt, da es beliebig viele Richtungsvektoen gibt, die senkecht zu Stecke s sind. 7

8 Aufgabe 3 a) Mit dem Anbindungspunkt P und dem Richtungsvekto PQ lautet die Paametefom de Geaden g duch P und Q: g: x= p+ PQ= = ; 0 3 Da die x -Koodinatenachse in de Ebene E liegt, kann de Koodinatenuspung als Anbindungspunkt und de Richtungsvekto de x -Koodinatenachse als este Spannvekto de Ebene vewendet weden. Als zweite Spannvekto kann de Vebindungsvekto OR gewählt weden. Die Ebenengleichung lautet damit: E: x = 0 + s + t OR = 0 + s + t ; s,t b) Fü die Beechnung des Duchstoßpunktes S weden die Vektogleichungen von Geade und Ebene gleichgesetzt und das daaus esultieende lineae Gleichungssystem wid gelöst = 0 + s + t I = t II 4 = s + t III 3 = 5t I = t II + I 5 = s III + 3 I = t t = Einsetzen von t = in I: = ( ) = Einsetzen von = in II: 5 = s s= 0 Die Koodinaten des Duchstoßpunktes S egeben sich entwede duch Einsetzen von = in die Geadengleichung ode duch Einsetzen von s = 0 und t = in die Ebenengleichung. 0 0 s = = = 8 S( 8 5) Altenativ: s = = 0 = 8 S( 8 5)

9 c) Vom Punkt P gelangt man zum Duchstoßpunkt S mit dem Vebindungsvekto PS. Die Entfenung de beiden Punkte entspicht de Länge dieses Vektos. Um ausgehend von P zum Punkt S' zu gelangen, statet man wiede im Punkt P und hängt den Gegenvekto SP an. Da de Gegenvekto die gleiche Länge besitzt, ist die Entfenung zwischen S' und P gleich de Entfenung zwischen S und P s' = p + SP = = = 8 S'( 8 7) Aufgabe 4 a) Die Geade g veläuft paallel zu Ebene E, wenn de Richtungsvekto de Geaden und die beiden Spannvektoen de Ebene linea abhängig sind. Dies ist de Fall, wenn sich de Richtungsvekto als Lineakombination de Spannvektoen dastellen lässt. 6 0 = k 0 + l 5 I 6= k k = 3 II = l l= III = k + 5l Einsetzen von k = 3 und ; = in III: = 3+ 5 ( ) = 3 5 = (wahe Aussage) Die Geade g veläuft paallel zu Ebene E. Um nun noch auszuschließen, dass die Geade g in de Ebene E liegt, wid mithilfe eine Punktpobe gezeigt, dass de Anbindungspunkt de Geaden die Ebenengleichung nicht efüllt. 0 0 = s 5 I = = II = s s = III = + + 5s 0= + 5s 9

10 Einsetzen von = und s = in III: 0= = 5 (falsche Aussage) De Anbindungspunkt de Geaden g liegt nicht in de Ebene E. Folglich veläuft die Geade g echt paallel zu Ebene E. b) Als Anbindungspunkt de Geaden h eignet sich jede beliebige Punkt de Ebene E. De Einfachheit halbe wid de Anbindungspunkt von E gewählt. Da die Geade h paallel zu Geaden g velaufen soll, wid als Richtungsvekto de Richtungsvekto de Geaden g übenommen. Die Paametefom lautet damit: 0 6 h: x= 0 + m ; m 0 c) Da angenommen wid, dass die Geade j in de Ebene E liegt, abe nicht identisch mit de Geaden h ist, müssen nu die folgenden beiden Fälle untesucht weden: Die Geade j liegt in de Ebene E und veläuft echt paallel zu Geaden h. In diesem Fall veläuft die Geade j auch echt paallel zu Geaden g. Die Geade j liegt in de Ebene E und besitzt einen Schnittpunkt mit de Geaden h. In diesem Fall veläuft die Geade j windschief zu Geaden g. Als mögliche Lagebeziehungen kommen dahe nu echt paallel ode windschief infage. 0