Wasserstoff mit SO(4)-Symmetrie

Transkript

1 Wassestoff mit SO(4)-Symmetie von Eduad Belsch Univesität Hambug 0. Dezembe 0 Inhaltsvezeichnis Einleitung Runge-Lenz-Vekto. klassisch quantenmechanisch SO(4) 4 4 Die Enegieniveaus des Wassestoffatoms 6 5 Liteatu 7

2 Einleitung De Hamiltonopeato fü ein Zentalkaftpotential hat die SO(3)-Symmetie, wegen seine otationsinvaianz. Duch die guppentheoetische Behandlung des Wassestoffatoms, also fü den Spezialfall eines /-Potentials, egibt sich eine Eweiteung de SO(3)-Symmetie zu eine SO(4)-Symmetie. Die SO(4)-Symmetie ist keine anschauliche Göße meh und liefet uns eine zufällige Entatung (Eine Entatung die nicht diekt mit de Symmetie, des zugundeliegenden Poblems, zusammenhängt). Aus de SO(4)-Symmetie weden wi die Enegieniveaus des Wassestoffatoms ehalten und die Entatung de Enegieniveaus bezüglich l ekläen können. Bemekung: Ich wede die einsteinsche Summenkonvention benutzen und lasse die Däche auf den Opeatoen weg. Runge-Lenz-Vekto. klassisch Aus de Quantenmechanik I ist uns bekannt, dass de Hamiltonopeato mit dem Dehimpulsopeato vetauscht: [ L, H] 0 () Mit H p /m + V (), V () e 0/ (Coulomb-Potential) und L m v p. Also ist L eine Ehaltungsgöße. Eine Altenative klassische Intepetation diese Gleichung ist, dass L in de Zeit ehalten bleibt. Dieses entspicht dem klassischen Egebnis d L/dt (d /dt p + d p/dt) }{{} F gadv () ( p/m p + (e 0/ 3 ) ) 0 () Die Ehaltung des Dehimpulses bedeutet, dass die klassische Bewegung in eine Ebene liegt, dessen Nomale duch L definiet ist. Nun ist abe eine klassisch gebundene Bahn im allgemeinen eine Ellipse. Es bleibt nun die Fage, welche Vekto in einem /-Potential ehalten bleibt. Dies ist de sogenannte Runge-Lenz-Vekto De Runge-Lenz-Vekto ist in de Zeit ehalten M : v L e 0 / (3) dm/dt (d p/dt) L + v dl/dt e 0d e /dt (e 0/m 3 ) L e d /dt d/dt 0 (e 0/m 3 )[ L + p ( p)] b(ac) c(ab) {}}{ (e 0/m 3 )[ ( p) p( ) + p ( p)] 0 (4) und ist senkecht zu L, L M 0. De Vekto befindet sich also in de Ebene de Bahn. Nun wollen wi noch zeigen, dass die Richtung des Runge-Lenz-Vekto in Richtung de goßen Halbachse zeigt. Um dies zu sehen, multiplizieen wi den Vekto mit. Aus de Definition des

3 Skalapoduktes egibt sich Mcos(θ) M ( v) L e 0 L /m e 0 L /m e 0 + Mcos(θ) Gleichung (5) ist die Kegelschnittgleichung in Polakoodinaten. Diese gibt den Abstand von einem de Bennpunkte zu Bahn an. Um nun die Richtung von M zu bekommen wählen wi den Winkel θ 0, damit sind und M paallel zueinande. Fü den Winkel θ 0 wid in de Gleichung (5) (θ 0) min. Nun liegt abe de kleinste Abstand vom Bennpunkt zu Bahn auf de goßen Halbachse. Die Exzentizität (gibt die Abweichung eines Kegelschnittes von de Keisfom an) finden wi, indem wi M beechnen, woaus wi dann M M ehalten. (5) M ε ijk ε lmk δ il δ jm δ im δ jl {}}{ e 0 m ( p L ) }{{} m ( p L) + e 4 0 ε ijk p i L j e k m ( p L ( p L }{{} ) ) e 0 m ( p) L + e m p L e 0 L m + e 4 0 m ( p m e 0 ) L + e 4 0 L m E + e 4 0 (6) Nun können wi einen analogen Runge-Lenz-Vekto quantenmechanisch definieen, dessen Eigenschaften nahezu paallel dem de obigen sind.. quantenmechanisch Die quantenmechanische Definition von (3) lautet M ( p L L p)/m e 0 / (7) wobei p L L p und M hemetisch ist. Man kann zeigen das H mit M kommutiet [ M, H] 0 (8) und damit M eine Ehaltungsgöße ist, was das quantenmechanische Analogon zu (4) ist. 3

4 Beweisskizze de Gleichung (8) wobei wi [M i, H] [ ] m ε ijk(p j L k L j p k ) e i 0, p m e 0 {ε ijk ([p j, ]L k L j [p k, ) ] e 0 m [ i, p ] } benutzt haben. Es folgt also [M i, H] ı e 0 m 0. [p j, p ] 0 [L k, p ] 0 [L k, ] 0 { ε ijk i 3 j p j p i ı i + 3 p i ε ijk jp 3 j i + ı } i 3 Weitehin gilt die Othogonalität, wie im klassischen Fall, zwischen L, M L M M L 0 (9) und M (H/m)( L + ) + e 4 0 (0) ist das quantenmechanische Analogon zu (6), welches sich zu (6) eduziet wenn 0. 3 SO(4) Im nächsten Schitt weden wi die Kommutatoelationen zwischen M und L angeben. Wi weden sehen, dass man duch geeignete Definitionen auf eine SO(4)-Symmetie stoßen wid. Bekannt aus de Quantenmechanik ist folgende Kommutatoelation [L i, L j ] ı ε ijk L k. () [M i, L j ] lässt sich duch ein paa Umfomungen und den uns bekannten Kommutatoen {[L i, x j ] ı ε ijk x k, [L i, p j ] ı ε ijk p k, [L i, L j ] ı ε ijk L k } zu beechnen. [M i, L j ] ı ε ijk M k () Beweis: 4

5 [M i, L j ] m [( p L L p) i, L j ] e 0[ i, L j] m ε iml[p m L l L m p l, L j ] ı e k m ε iml {p m [L l, L j ] + [p m, L j ]L j L m [p l, L j ] [L m, L j ]p l } ı e k m ε imlı (ε ljk p m L k + ε jmk p k L l ε ljk L m p k ε mjk L k p l ) ı e k ı m {(δ ijδ mk δ ik δ mk )(p m L k L m p k ) (δ ij δ lk δ ik δ lj )(p k L l L k p l )} ı e k ı m {p kl k L k p k p j L i + L j p i p k L k + L k p k + p i L j L i p j } ı e k ı m (p il j p j L i + L j p i L i p j ) ı ε }{{} ijke k 0 ε ijk (p i L j +L j p i ) k ı ε ijk M k Die Beechnung von [M i, M j ] ist wesentlich aufwendige (Lässt sich abe genauso wie oben auf die uns bekannten Kommutatoen eduzieen), sodass wi hie nu das Egebnis angeben: [M i, M j ] ı ε ijk ( H/m)L k (3) Wi sehen das im letzten Kommutato de Hamiltonopeato auftaucht. Um diesen zu entfenen definieen wi M : M ( H/m) / }{{} H (4) Wi beschänken uns auf einen Unteaum U des Hilbetaums, wo die Eigenzustände λ i von H nu die gebundenen Zustände (also E < 0) sind. Weitehin definieen wi die Eigenwete von H bzw. H auf U wie folgt H λ i ( E i /m) / λ i bzw. H λ i ( E i /m) / λ i, da E < 0 ist de Ausduck unte de Wuzel positiv. Und wegen [H, L] 0, [H, M] 0 bleibt die Kommutatoelation von [L i, M j] ı ε ijk M k die selbe wie in (). Kommutato (3) wid zu [M i, M j] λ i [M i H, M j H ] λ i M i H M j H λ i M j H M i H λ i M i M j H λ i M j M i H λ i (M i M j M j M i )H λ i [M i, M j ]H λ i ı ε ijk H L k H λ i ı ε ijk L k H H λ i ı ε ijk L k λ i Zu Übesicht geben wi die neuen Kommutatoen nochmal an: [L i, L j ] ı ε ijk L k [L i, M j] ı ε ijk M k [M i, M j] ı ε ijk L k (5) 5

6 Duch die Definition (4) bilden nun die Kommutatoen (5) eine höhee Algeba als SO(3). Desweiteen definieen wi sie fühen zu eine entkoppelten Kommutatoelation J () : ( L + M ) (6) J () : ( L M ) (7) [J () i, J () j ] ı ε ijk J () k [J () i, J () j ] ı ε ijk J () k (8) [J () i, J () j ] 0 Die Opeatoen efüllen getennt eine SO(3) Algeba und sie kommutieen miteinande. Also kann die Algeba in (8) als SO(3) SO(3) ode SU() SU() chaakteisiet weden. Altenativ kann man (8) als SO(4) Algeba betachten, welche duch den folgenden Opeato ezeugt wid L µν : x µ p ν x ν p µ (9) wobei µ und ν von 0 bis 3 gehen und x µ, p ν efüllen [x µ, p ν ] ı δ µν. Wi identifizieen L 3 L 0 L : L 3, K : L 0 (0) L L 03 wobei K, M epäsentiet. (0) efüllt genau die Kommutatoelationen von (8). Somit bilden L, M die SO(4)-Algeba und H fü ein /-Potential eine SO(4)-Symmetie. 4 Die Enegieniveaus des Wassestoffatoms Abschließend beechnen wi Enegieniveaus des Wassestoffatoms. Aus de Algeba (8) wissen wi, dass die möglichen Eigenwete von ( J () ) und ( J () ) wie folgt aussehen j, (j, + ), wobei j, halb- ode ganzzahlig sein können. Aus Gleichung (9) folgt das ( J () ) ( J () ) und somit gilt j j j. Nun multiplizieen wi (0) mit ( H/m) und ehalten nach Umstellung wegen L J () + J () und M J () J () ehalten wi fü me4 0H ( M ) + L + () ( M ) + L (( J () ) + ( J () ) ) () Fü die Eigenzustände von (( J () ) + ( J () ) ) und H egeben sich demnach die Eigenwete 4j(j + ) und E. 6

7 Daaus folgt me4 0E [4j(j + ) + ] (j + ) (3) mit nj+ E n me4 0 n (4) Das ist das bekannte Enegiespektum. Die Enegie E n ist unabhängig von de l Quantenzahl also in l entatet. Mit de Clebsch-Godan-Reihe lässt sich de Beeich von l angeben. Da L J () + J () mit j j j, läuft die l Quantenzahl von j j 0 bis j + j j das Standadegebnis l n. 5 Liteatu H.F. Jones, Goups epesentations and physics, IOP 990 Anton Z. Capi, Poblems and Solutions in Nonelativistic Quantum, Wold Scientific 00 Skipt (Quantenmechanik I) von Jan Louis Wikipedia (Runge-Lenz-Vekto) 7