Von Kepler zu Hamilton und Newton

Transkript

1 Von Kele zu Hamilton und Newton Eine seh elegante Vaiante von 3 Kele egeben 1 Newton 1. Das este Kele sche Gesetz 2. Das zweite Kele sche Gesetz 3. Die Bahngeschwindigkeit v und de Hodogah 4. Die Beschleunigung a 5. Das ditte Kele sche Gesetz 6. Von de Beschleunigung zu Kaft d v dφ = 2 c ( ) Vesion 1.1 vom August 2017 Ausgeabeitet von Matin Guble, Kantonsschule Fauenfeld, im Juli 2017 Mit L A TEX schön gesetzt von Alfed He, Begün, im August

2 1 Das este Kele sche Gesetz K1: Die Bahnen de Planeten sind Ellisen, in deen einem Bennunkt die Sonne steht. Die folgende mathematische Fomulieung lässt auch Paabeln und Hyebeläste als Bahnfom zu: (φ) = 1 + ε (1) Das ist die Gleichung eines Kegelschnittes in Polafom. Im Nullunkt des Koodinatensystems steht dabei die Sonne. y φ x Wi leiten (1) nach φ ab und ehalten Fü den Otsvekto gilt d dφ = ε (1 + ε ) 2 = ε 2 (2) = ( ) (3) Die Ableitung von (3) nach φ liefet mit (2) und de Poduktegel d dφ = ε 2 ( ) + (4) Soviel zum Otsvekto. 2

3 2 Das zweite Kele sche Gesetz K2: De Fahstahl des Planeten übesteicht in gleichen Zeiten gleiche Flächen. Fü den Mathematike bedeutet das da dt = c = konstant (5) De Fahstahl ist dabei nichts andees als de Otsvekto des Planeten. Die vom Fahstahl übestichene Fläche bezeichen wi mit A. Sie ist in de folgenden Figu schaffiet hevogehoben: φ b A = 1 2 b = φ O Mit de Kettenegel folgt aus (5) c = da dt = da dφ dφ dt = dφ dt Daaus gewinnen wi die Gleichung, die im Folgenden eine zentale Stellung haben wid: dφ dt = 2 c 2 (6) Jede Ableitung nach de Zeit weden wi mit de Kettenegel zuest als Ableitung nach φ ausfühen, um anschliessend noch mit de echten Seite von (6) zu multilizieen. Alle Rechnungen weden daduch viel einfache als beisielsweise im Skitum Kele_03.df. Die Anegung zu diesem Vogehen entstammt de schönen Abeit von Eich Ch. Wittmann: Von den Hüllkuvenkonstuktionen de Kegelschnitte zu den Planetenbahnen, eschienen in den Mathematischen Semestebeichten (2015) 62:.17-35, Singe Velag. 3

4 3 Die Bahngeschwindigkeit v und de Hodogah Mit (6) gilt fü die Geschwindigkeit v v = d dt = d dφ dφ dt = 2 c 2 d dφ Mit (4), (1) und dem tigonometischen Pythagoas ehalten wi daaus v = 2 c ε = 2 c ε = 2 c ε ( ( ( ) c 1 ) + 2 c ) + 2 c (1 + ε ) (7) Wi setzen ρ = 2 c und h = 2 c ε = ρ ε (8) Damit scheibt sich (7) als v = ( ) 0 + ρ h (9) Das ist die Gleichung eines Keises mit Mittelunkt (0/h) und Radius ρ! Wi haben fast beiläufig ehalten, dass de Hodogah de Bahn keisfömig ist, wenn die Bahnfom einen Kegelschnitt dastellt und wenn Keles Flächensatz gilt. Das folgt also schon allein aus K1 und K2. Im Abschnitt 7 von Kele_10.df sind die Hodogahen fü die dei Fälle ε < 1 (Ellise), ε = 1 (Paabel) und ε > 1 (Hyebel) gezeichnet. Im nächsten Abschnitt benötigen wi noch die Ableitung von v nach φ. Aus (7) ehalten wi sofot d v dφ = 2 c ( ) (10) 4

5 4 Die Beschleunigung a Wi vemeiden wiede die Ableitung nach de Zeit. Mit de Kettenegel ehalten wi aus (6) und (10) sofot a = d v dt = d v dφ dφ dt = 2 c ( ) 2 c 2 also a = 4 c2 1 2 ( ) = 4 c2 1 (11) 3 a ist also antiaallel zu, die Beschleunigung zeigt imme zum Nullunkt des Koodinatensystems und somit zu Sonne. Die wikende Kaft ist eine Zentalkaft. Fü den Betag von a gilt a = 4 c2 1 2 (12) Die Wete von c und sind abe fü jeden Planeten andes. De Betag de Zentalkaft nimmt c nu dann fü alle Planeten mit k ab, wenn de Tem fü alle Planeten denselben Wet 2 annimmt. Genau das ist abe die Aussage des ditten Kele schen Gesetzes! 5

6 5 Das ditte Kele sche Gesetz K3: Die Quadate de Umlaufszeiten vehalten sich wie die Kuben de gossen Halbachsen. Wenn wi (5) übe eine ganze Umlaufszeit T integieen ehalten wi die Fläche de Ellise: c T = π a b a und b sind dabei die beiden Halbachsen de vom Planeten beschiebenen Ellise. Wi quadieen: c 2 T 2 = π 2 a 2 b 2 Mit b 2 = a ehalten wi daaus c 2 T 2 = π 2 a 3 und weite 4 c 2 T 2 = 4 π 2 a 3 Aus K3 folgt nun, dass de Tem 4 c 2 Fü alle Planeten gilt also fü alle Planeten denselben Wet annehmen muss. a = 4 c2 Die Konstante k hat dabei fü alle Planeten denselben Wet. 1 2 = k 2 (13) 6

7 6 Von de Beschleunigung zu Kaft Wi wissen nun, dass jede Planet eine Beschleunigung gegen den Nullunkt des Koodinatensystems efäht vom Betag a = k 2 wo k eine allgemeine Konstante ist. Zwei weitee Schitte fühen von diese Feststellung zum Gavitationsgesetz von Newton: Estens muss de Begiff de Kaft definiet weden. Wi vewenden hie die einfache Vaiante F = m a Die Kaft, die auf einen Planeten wikt, ist gleich dem Podukt seine Masse und seine Beschleunigung. Zweitens kommt Newtons Wechselwikungsgesetz zum Zuge: actio = eactio. Diese tiefschüfende Ekenntnis bedingt, dass auch die Masse de Sonne in den Ausduck fü die gegenseitige Anziehungskaft eingeht. Zudem ezwingt sie eine Vefeineung de Betachtung, da sich auch die Sonne um den gemeinsamen Schweunkt des Systems Sonne - Planet bewegen muss. Eine detailliete Untesuchung (z.b. gemäss Kele_01.df, Abschnitte 10 bis 12) zeigt, dass sich daaus eine kleine Koektu fü K3 heleitet. Wi ehalten nun das Gavitationsgesetz von Newton: F = m a = m k 2 = m G M 2 = G M m 2 (14) Fü jeden Planeten gilt 4 c 2 = k = G M (15) wo G die univeselle Gavitationskonstante und M die Masse de Sonne bezeichnet. Schon Kele hat sich eine allgemeine Anziehungskaft zwischen Massen vogestellt. Im Vowot zu seine Neuen Astonomie scheibt e: Wenn man zwei Steine an einen beliebigen Ot de Welt vesetzen wüde, nahe beieinande aussehalb des Kaftbeeichs eines ditten vewandten Köes, dann wüden sich jene Steine ähnlich wie zwei magnetische Köe an einem zwischenliegenden Ot veeinigen, wobei sich de eine dem andeen um eine Stecke nähet, die de Masse des andeen ootional ist. Die gegenseitige Anziehung von Ede und Mond wa fü ihn eine Tatsache, und e füht auch das Phänomen von Ebbe und Flut daauf zuück. Newton ist wiklich auf den Schulten von Riesen gestanden. 7