2.3 Elektrisches Potential und Energie

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1 2.3. ELEKTRISCHES POTENTIAL UND ENERGIE Elektisches Potential un Enegie Aus e Mechanik wissen wi, ass ie Abeit Q, ie an einem Massepunkt veichtet wi, wenn iese um einen (kleinen) Vekto veschoben wi, sich zu Q = F (2.12) = F cos α eechnet. Sin un F entgegengesetzt, veichten wi also Abeit an em Massepunkt, sin sie jeoch paallel veichtet e Massepunkt Abeit an uns. PSfag eplacements α F Wenn paallel zu e x ist U = F x (x, y, z) x (2.13) Es gibt Käfte bzw. Wechselwikungen, fü ie es eine eineutige Funktion gibt, soass F x = lim x 0 U x. (2.14) y,z=const Käfte, een ei Komponenten sich als Ableitungen eine Stammfunktion U(x, y, z) gemäß Gleichung 2.14 scheiben lassen (implizit x 0), heißen konsevative Käfte: F x = lim U x 0 x y,z=const = U(x, y, z). x (2.15b) (2.15a)

2 18 KAPITEL 2. ELEKTROSTATIK Hiebei ist Gleichung (2.15b) ie Kuzscheibweise zu Gleichung (2.15a). Man spicht von eine patiellen Ableitung eine Funktion, wenn eine Ableitung gemäß Gleichung (2.15) gebilet wi. Analog gilt z.b. fü eine patielle Ableitung nach e y Komponente: U(x, y, z) = lim y 0 U(x, y + y, z) U(x, y, z). y Nicht alle Käfte lassen sich (in offensichtliche Weise) als Ableitungen von eine skalaen Funktion scheiben. Beispiele sin alle Käfte, ie von e Geschwinigkeit abhängen, wie z.b. ie Stoke sche Reibungskaft, oe - wie wi späte sehen - ie Kaft auf eine bewegte Laung in einem Magnetfel. Die Stammfunktion eine konsevativen Kaft heißt potentielle Enegie 1. Beispiel: Betachten wi einen Massepunkt im Schweefel e Ee, as wi in e Nähe e Eobefläche als konstant annehmen können. Das Schweefel bewikt eine Kaft e Göße Sfag eplacements F = m g e z, wobei m ie Masse ist, g 9.8 m/s 2 ist ie Ebeschleunigung, e z ein Einheitsvekto senkecht zu Eobefläche. g F = m g e z Die potentielle Enegie, ie iese Kaft bewikt, ist U(x, y, z) = m g z + U 0, wobei z ie Höhe es Massepunktes bezeichnet. Beweis : F z = lim z 0 U z sowie: F x = U x = 0 = U x,y=const z = m g

3 2.3. ELEKTRISCHES POTENTIAL UND ENERGIE 19 Analoge Betachtungen wie fü... gilt fü ein Teilchen vo eine homgen gelaenen Platte. Äquipotentiallinien PSfag eplacements sin Beeiche konstante potentielle Enegie. g 2. Beispiel: PSfag eplacements U(x, y) x y U = 1 2 k 2 = 1 2 k ( x 2 + y 2 + z 2) F x = U x = k x F y = U y = k y F z = U z = k z (2.16) Daaus folgt ie Newtonsche Bewegungsgleichung: m ẍ m ÿ m z = k x = k y = k z in kompakte Vektoscheibweise: m = k

4 20 KAPITEL 2. ELEKTROSTATIK Die Lösung e Bewegungsgleichung ist Inhalt e Dynamik. Zentalpotential Hängt eine potentielle Enegie U(x, y, z) nu vom Abstan = x 2 + y 2 + z 2 ab, heißt as Potential Zentalpotential Spezialfälle von Zentalpotentialen: U = const. n n = 2 entspicht em hamonischen Oszillato (2.17) n = 1 elektisches Pot. eine Punktlaung/Gavitationspotential Käfte aus Zentalpotentialen: F x = U() (2.18) x = U U hängt nu von eine Vaiablen, nämlich ab. selbst hängt jeoch von 3 Vaiablen ab ( patielle Ableitung). Nebenechnung (mit U aus 2.17): x U = n const n 1 x = x2 + y x 2 + z 2 = x y, z = const = x Einsetzen in 2.18 liefet fü ie Kaft F x = ( n const n 1) x

5 2.3. ELEKTRISCHES POTENTIAL UND ENERGIE 21 Zwei Spezialfälle: n = 2; const= k 2 ( F x = 2 k ) x = k x (2.19) n = 1; const= Q 1 Q 2 4 π ε 0 [ ] F x = ( 1) Q1 Q 2 x ( 1) 1 4 π ε 0 = Q 1 Q 2 1 x 4 π ε 0 2 F y = F z = y z F = Q 1 Q π ε 0 2 (2.20) (2.21) Die potentielle Enegie zweie Laungen ist U() = Q 1 Q π ε 0 (2.22) Definiee as Potential, as eine elektische Laung Q hat, ie im Uspung sitzt als: U = Q 1 4 π ε 0 (2.23)

6 22 KAPITEL 2. ELEKTROSTATIK PSfag eplacements Q Äquipotentiallinie E E-Fel [U] = [Enegie] [Laung] = J C = Volt S.I.-Einheit Die abgeleitete Einheit ev also Elektonenvolt ist gängig abe keine S.I.-Einheit. Sie emöglicht abe schnelles Umechnen in S.I. Einheiten: 1 ev = 1 e 1 V Das ev ist eine sinnvolle Einheit fü viele elementae Pozesse. Eine Enegie von 13.6 ev beaf es, um atomaen Wassestoff zu ionisieen. Die Enegie elektomagnetische Stahlung im sichtbaen Beeich liegt bei 1.6 ev bis 3.4 ev. Die themische Enegie bei Raumtempeatu (T = 300 K) ist cica 1/40 ev.