KIT WS 2011/12 Theo A 1. 2 = b c ist dann doppelt so lang, wie â, also. c = 2 6

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1 KIT WS / Theo A Aufgabe : Vetoen [3 + 3 = 6] Gegeben sind die Vetoen a = (, 7, und b = (,,. (a Bestimmen Sie einen Veto c de Länge c = in de a b Ebene mit c b. (b Bestimmen Sie den paametisieten Weg (ϕ fü den Keis in de a b Ebene mit Radius R = 3 und Mittelpunt M( 3. (a Wi zelegen a in eine Paallel und eine Senechtomponente bezüglich b, a = a + a, a = a a b b = = 7 6 = = 6 3. b De Betag lautet a = = 5 7. c ist dann doppelt so lang, wie â, also c = (b Wi onstuieen um den Mittelpunt heum einen Keis mit Hilfe des Otsvetos m zum Mittelpunt sowie zweie othogonale Vetoen in de a b Ebene, nämlich â und ˆb. De Betag von b ist b = 5, also (ϕ = m + 3â cos ϕ + 3ˆb sin ϕ = Aufgabe : Bewegung im äumlichen hamonischen Oszillato [4 + = 6] Ein Teilchen de Masse m bewege sich im R 3 im Potential eines hamonischen Oszillatos V( =. De minimale Radius de Bahn sei = R und de maximale = R. (a Bestimmen Sie die Enegie und den Dehimpuls. (b Wie goß sind die Winelgeschwindigeiten ϕ und ϕ bei und? (a Dehimpuls und Enegie sind im Zentalpotential Ehaltungsgößen und damit onstant. An den Umehpunten, stect die gesamte Enegie im effetiven Potential V eff ( = L m +. Damit haben wi zwei Gleichungen an den Umehpunten, E = L mr + R = L m(r + (R. Auflösen de zweiten Gleichung nach L egibt L = R m = mr fü die Enegie E = 5 R. m. Damit egibt sich

2 Klassische Theoetische Physi I KIT, WS / (b Aus L = m ϕ ehalten wi sofot ϕ = m ( = R, ϕ = m ( = R. Aufgabe 3: Kaft und Abeit [9] Wi untesuchen ein Kaftfeld (α = const. F( = α (xy, z, yz. Wie goß ist die Abeit, die gegen das Feld aufgebacht weden muss, um eine Puntmasse auf de Paabel y = x 4, z = von ihem Scheitelpunt ( 4 bis zu ihem Schnittpunt mit de x z Ebene ( zu bewegen. Wi paametisieen zunächst den Weg diet mit x, (x = (x, x 4, d dx Die Kaft entlang de Kuve wid ebenfalls mit x paametisiet, F = α (x(x 4,, x 4. = (, x,. Die gegebenen Anfangs und Endpunte de Kuve entspechen x = und x =. Damit ehalten wi die Abeit x W = F d = d x(x 4 F(x K x dx dx = α x dx x 4 [ = α x(x 4 + x ] [ dx = α x 3 x ] ( x 4 dx = α 4 x =. Aufgabe 4: Rotation [8] Beechnen Sie die Rotation des Feldes A( = ω ( ω = const.. Wi beechnen die i te Komponente de Rotation. Wi scheiben dazu die Keuzpodute mit Hilfe des ɛ Tensos, ( A( i = j ɛ ij j A ( = j Im folgenden bauchen wi (mit j m = δ jm ɛ ɛ ij lm ω l m j lm = j m ɛ ij ɛ lm ω l j lm. j = j = j = j.

3 KIT WS / Theo A 3 Damit ehalten wi m j = j m + m j = δ jm m j 4. wobei wi j = 3 j = j 3 vewendet haben. Insgesamt beommen wi also ( ɛ ij ɛ lm = δ il δ jm δ im δ jl ( A( i = j ( ( δil δ jm δ im δ jl ωl δ jm m j lm 4 = (ω 4 i 3 ω i + ω j δ ij + ω j i j = i ω j 4, also ω = ( ω 4. Aufgabe 5: Coiolisaft am Äquato [5] Eine Peson de Masse m = 5 g befinde sich am Äquato de Ede. Die Peson bewegt sich mit de Geschwindigeit v = v in Nod Ost Richtung. Beechnen Sie das Vehältnis de Betäge von Zentifugal und Coiolisaft. Die Zentifugalaft FZ und Coiolisaft FC sind duch FZ = m ω ( ω, FC = m( ω gegeben. Mit ω ehalten wi sofot die Zentifugalaft, die in positive ˆ Richtung zeigt, FZ = mω = mω ˆ. Fü die Coiolisaft bauchen wi die Geschwindigeit v = v ( ˆx + ẑ, wenn ˆx nach Osten und ẑ am Äquato nach Noden zeigt, also ẑ ω. Damit ehalten wi FC = mω v ˆ. Das Vehältnis de Betäge lautet dann F Z = v F C ω. Aufgabe 6: Kuve [ = ] Gegeben ist eine mit dem dimensionslosen Paamete t paametisiete Kuve im R 3 ( (t = cos t + sin t t, cos t sin t + t, sin t + t. Beechnen Sie (a den nomieten Tangentenveto ˆt,

4 4 Klassische Theoetische Physi I KIT, WS / (b die Länge s(t de Kuve vom Punt t = aus gemessen, (c die Kümmung κ, (d den Radius ρ des Kümmungseises. (e Welche Gestalt hat die Kuve? (a Duch diffeenzieen ehalten wi sofot = ( sin t + cos t, sin t cos t +, cos t + mit = sin t + cos t + sin t cos t + sin t cos t + sin t + cos t + + sin t cos t sin t cos t + cos t cos t = 8, also = und ˆt = ( sin t + cos t, sin t cos t +, cos t +. (b Wi ehalten sofot s(t = t t (t dt = dt = t. (c Fü κ = dˆt dt / ds dt beechnen wi zunächst also dˆt dt = ( cos t sin t, cos t + sin t, sin t dˆt dt Mit ds/dt = (s.o. egibt sich also κ = /4. (d ρ = /κ = 4. = 4 8 =. (e De onstante Kümmungsadius deutet auf einen Keis. Jedoch entwicelt sich die Kuve z.b. fü t entlang de Richtung (,, weite. Vemutlich handelt es sich um eine Spiale. Wi zelegen (t in dei Anteile popotional cos t, sin t, t, (t = cos t(,, + sin t(,, + t(,, ( = cos t(,, + sin t(,, + t(,, = (ê cos t + ê sin t + ê 3 t. Wi sehen, dass ê ê ê 3. Damit haben wi eine Keisbewegung in de ê ê Ebene (Radius übelaget mit eine lineaen Bewegung in ê 3 Richtung, also eine Spiale.,

5 KIT WS / Theo A 5 Aufgabe 7: Hohe senechte Wuf [ = 4] Wi atapultieen einen Gegenstand de Masse m eibungslos und senecht von de Edobefläche (z =, Edmittelpunt bei z = R in eine enome Höhe, so dass die Edanziehungsaft nicht meh als onstant angenommen weden ann. Das Gavitationspotential lautet dann mit einem esten Koetutem V(z = mgz ( α g z, α = g R. (a Wie lautet die Newtonsche Bewegungsgleichung fü die Koodinate z(t des Gegenstandes? (b Bestimmen Sie die allgemeine Lösung z(t. (c Bestimmen Sie die Lösung fü die Anfangsbedingungen z( =, ż( = v. (d Nehmen Sie αt an und bestimmen Sie die este nichtveschwindende Koetu von z(t im Vegleich zum Fall α =. (e Befindet sich de Gegenstand im Vegleich zum Fall α = länge ode üze in de Luft? (a Aus dem Potential bestimmen wi die Kaft, F = V(. In unseem Fall hat die Kaft nu eine z Komponente, also lautet die Newtonsche Bewegungsgleichung m z = F z = dv(z dz = mg + mα z z α z = g. (b Es handelt sich um eine inhomogene, lineae Diffeentialgleichung mit onstanten Koeffizienten. Die Lösung de homogenen Gleichung lautet z h (t = Ae αt + Be αt. Die Inhomogenität ist eine onstante, das setzen wi auch als spezielle Lösung de inhomogenen Gleichung an, z s (t = C. Duch einsetzen in die DGL ehalten wi C = g/α, also haben wi die allgemeine Lösung z(t = Ae αt + Be αt + g α. (c Die Anfangsbedingungen geben uns die zwei Gleichungen, z( = A + B + g = sowie α ż( = α(a B = v mit den Lösungen mit den Lösungen A = ( v α g und B = α ( v α + g. Damit egibt sich fü unse Anfangswetpoblem die Lösung α z(t = ( v α g α e αt ( v α + g α e αt + g α = v α sinh αt g α cosh αt + g α.

6 6 Klassische Theoetische Physi I KIT, WS / (d Fü leine αt entwiceln wi die e Funtionen. Damit sich die Teme /α wegheben sollten wi zumindest bis (αt 3 entwiceln, damit wi eine Koetu beommen. Wegen de unteschiedlichen Potenzen von α in den Koeffizienten entwiceln wi vosichtshalbe bis (αt 4. Die Entwiclung de e Funtion scheiben wi diet hin, z(t ( v α g [ α + αt + α t + 6 α3 t 3 + ] 4 α4 t 4 + ( v α + g [ α αt + α t 6 α3 t 3 + ] 4 α4 t g α. Beim Ausmultiplizieen fallen die Teme mit α im Nenne heaus. Vosicht ist geboten, weil v α (αt 3 und g α (αt 4 die gleiche Potenz in α egeben. Wi ehalten z(t v t gt + 6 v α t 3 4 gα t 4 = v t gt + (v t 4 (αt gt 6. (e Physialische Begündung: da das Potential mit zunehmende Höhe schwäche wid, wid auch de de Gegenstand nicht so sta abgebemst. Damit fliegt e höhe und auch länge. Scheiben wi die Antwot aus Teil (d etwas um, so ehalten wi z(t (v t ( gt + (αt + gt 6 4 (αt. Ohne Koetu tifft de Gegenstand wiede bei t = v /g auf den Boden auf. Das ist die Zeit zu de de este Tem geade veschwindet. De zweite Tem ist dann imme noch positiv, also z(t >, so dass de Gegenstand länge in de Luft ist.