Repetitorium B: 1-, 2-dim. Integrale, Satz v. Stokes

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Klemens Albrecht
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Fakultät fü Physik R: Rechenmethoden fü Physike, WiSe 06/7 Dozent: Jan von Delft Übungen: Hong-Hao Tu, Fabian Kugle http://www.physik.uni-muenchen.

1 Fakultät fü Physik R: Rechenmethoden fü Physike, WiSe 06/7 Dozent: Jan von Delft Übungen: Hong-Hao Tu, Fabian Kugle echenmethoden_6_7/ Repetitoium B: -, -dim. Integale, Satz v. Stokes Mo 03.04, Di 04.04, Mi 05.04, Do 06.04, F (b)[(e/m/a) bedeutet: Aufgabe (b) zählt Punkte und ist einfach/mittelschwe/anspuchsvoll Repetitoiumsaufgabe : Kuvenintegal entlang Keisweg [ Gegeben sei das Vektofeld sowie die Raumkuve xy u = x + z () y γ : [0, π R3 t (t) = (R cos(t), R sin(t), R ) (a) Beechnen Sie das Kuvenintegal u d. γ () (b) Konstuieen Sie ein Potential φ zu u (also φ = u) und übepüfen Sie damit das Egebnis aus Teilaufgabe (a). Hinweis: Sie düfen das Integal cos x sin x dx = 3 sin3 x vewenden. Repetitoiumsaufgabe : Kuvenintegale im elektischen Feld eine Punktladung [ Punkte: (a)[(e); (b)[(e) Gegeben sei das Coulomb-Potential eine Punktladung Q: φ() = Q 4πɛ 0 Hiebei ist de Betag des Otsvektos ( = = x + y + z ). (a) Beechnen Sie das zugehöige elektische Feld E = φ. (b) Beechnen Sie die Abeit, die vom elektischen Feld veichtet wid, wenn eine Ladung q vom Punkt (, 0, 0) zum Punkt (, 0, 0) veschoben wid. Hinweis: Duch Vewendung geeignete Koodinaten lässt sich viel Abeit spaen. Repetitoiumsaufgabe 3: Kuvenintegale entlang Geaden und Paabel (Selbststudium) [ Gegeben sei das Vektofeld Beechnen Sie das Kuvenintegal u d, wobei C (3) zx u = x (4) y

2 (a) C die Vebindungsstecke von (0,0,) und (,4,) ist. (b) C von (0,0,) bis (,4,) geht und einem Paabelbogen folgt, de duch den Punkt (,,) geht. Ist das Vektofeld u konsevativ? Hinweis: Übelegen Sie sich jeweils zunächst eine geeignete Paametisieung de Kuve. Repetitoiumsaufgabe 4: Kuvenintegal entlang Spialweg (Selbststudium) [ Gegeben sei das Vektofeld x/z u = y/z (5) z Beechnen Sie das Kuvenintegal u d, wobei folgende Integationsweg vewendet weden soll: cos(πt) (t) = ln( + t) sin(πt) t [0, (6) Repetitoiumsaufgabe 5: Flächenintegale: Kugel und Kegel [ (a) Beechnen Sie die Obefläche eine Kugel mit Radius. (b) Welchen Radius muss ein Kegel haben, damit seine Mantelfläche genauso gosz wie die Kugelobefläche aus Teilaufgabe (a) ist? Die Höhe des Kegels soll gleich seinem Duchmesse sein. Repetitoiumsaufgabe 6: Satz von Stokes Halbkugel (Kugelkoodinaten) [ Punkte: (a)[(m); (b)[(m) Betachten Sie folgendes Vektofeld in Kugelkoodinaten: A = A φ e φ, mit A φ = γ sin θ 3. (a) Beechnen Sie explizit den Fluss Φ = ds B von B = A duch die Halbkugel H H = { x + y + z = R, z > 0}. (Die Oientieung de Fläche sei duch die Vogabe festgelegt, dass de Nomalvekto fü jedes Flächenelement ds nach oben zeige, d.h. eine positive z-komponente habe.) (b) Vewenden Sie den Satz von Stokes, um den Fluss Φ duch ein Linienintegal auszudücken, und beechnen Sie dieses ebenfalls explizit. Repetitoiumsaufgabe 7: Satz von Stokes Kugelsegment (Kugelkoodinaten) [ Betachten Sie folgendes Vektofeld in Kugelkoodinaten: A = sin (θ) e φ.

3 (a) [3 Beechnen Sie explizit den Fluss Φ = ds B von B = A duch die Fläche S = { R 3 x +y +z = R, z > R }. (Die Oientieung de Fläche sei duch die Vogabe festgelegt, dass de Nomalvekto fü jedes Flächenelement ds nach oben zeige, d.h. eine positive z-komponente habe.) Hinweis: Fü ein Vektofeld in Kugelkoodinaten, A (, θ, φ) = A e +A θ e θ +A φ e φ beechnet sich die Rotation wie folgt: A = [ [ θ (A φ sin (θ)) φ A θ φ A e + sin (θ) sin (θ) (A φ ) e θ + [ (A θ ) θ A e φ (b) [ Vewenden Sie den Satz von Stokes um den Fluss duch ein Linienintegal auszudücken, und beechnen Sie dieses ebenfalls explizit. Repetitoiumsaufgabe 8: Satz von Stokes umgestülpte Schüssel (Kugelkoodinaten) [ Gegeben ist eine Fläche S mit de Fom eine umgestülpten Schüssel (siehe Skizze), in Kugelkoodinaten definiet übe (θ, φ) = R a(θ) e mit a(θ) = ( 4 ) cos θ, θ [0, π, φ [0, π[, Queschnitt entlang z-achse z (θ, φ) θ R 3-dimensionale Ansicht von schäg oben und ein Vektofeld V(, θ, φ) = sin φ e. (a) ( Punkt) Beechnen Sie V(, θ, φ). Hinweis: Die Rotation eines Vektofeldes A = A e + A θ e θ + A φ e φ ist gegeben übe A = e [ θ (sin θa φ ) φ A θ sin θ +e θ [ sin θ φa (A φ ) +e φ [ (A θ ) θ A. (b) (,5 Punkte) Beechnen Sie das Flächenintegal Φ = ds ( V ) explizit. Hiefü düfen Sie vewenden, dass das Flächenelement ds de Fläche S gegeben ist übe ( ds = R a (θ) sin θe ) 4 a(θ) sin θ e θ dθdφ (7) (,5 Punkt) Beechnen Sie das Flächenintegal Φ = ds ( V ), indem Sie es mit Hilfe des Satz von Stokes in ein Wegintegal übe den Rand de Fläche umscheiben und dieses explizit beechnen. Hinweis : De Rand de Fläche ist ein Keis mit Radius R in de xy-ebene und kann dahe paametisiet weden übe (φ) = Re, θ = π und φ [0, π. Hinweis : Es gilt: φ e = sin θ e φ Bonus: 3

4 (d) ( Bonus-Punkt) Beechnen Sie das Flächenelement ds explizit, beweisen Sie also die Angabe in Gleichung (7). Hinweis: Sie düfen folgende Relationen vewenden: e e θ = e φ und zyklisch pemutiet. θ e = e θ, φ e = sin θ e φ, Repetitoiumsaufgabe 9: Satz von Stokes in Zylindekoodinaten Kegelstumpf [5 Punkte: (a)[; (b)[; [ (a) Beechnen Sie die Rotation v des Vektofelds v = ρ z e φ + ρ e z in Zylindekoodinaten. [ [ Hinweis: v = e ρ ρ φv z z v φ + e φ z v ρ ρ v z + e z [ ρ (ρv φ ) φ v ρ. ρ K = { R 3 0 z H, x + y z} sei ein auf de z-achse zentieten Kegel. Beechnen Sie den von innen/oben nach außen/unten (siehe Pfeile in Skizze) geichteten Fluss Φ M = ds ( v) duch den Mantel M (die schägstehende Fläche) M des Kegels auf zwei veschiedene Weisen: (b) Diekt, mittels Zylindekoodinaten. H e z Dücken Sie Φ M mittels dem Satz von Stokes duch ein Linienintegal von v übe den Rand M des Mantels aus, und beechnen Sie letztees. Repetitoiumsaufgabe 0: Satz von Stokes Kegelmantel (Selbstudium) [ (a) Beechnen Sie die Rotation u des Vektofelds u = (z, x z, y x) T. (b) Beechnen Sie das Flußintegal Φ M = ds ( u) übe den Kegelmantel M = { M R 3 : x + y = 4z, 0 z } duch explizite Integation übe die Fläche. Beechnen Sie nun das Flussintegal Φ M, indem Sie es mit dem Satz von Stokes in ein Kuvenintegal übefühen und Letztees beechnen. Repetitoiumsaufgabe : Satz von Stokes Vietelkugel (Selbstudium) [ (a) Beechnen Sie die Rotation u des Vektofelds u = (xz, yx, zy) T. (b) Beechnen Sie das Flussintegal Φ K = ds ( u) übe die Fläche de Vietelkugel K K = { R 3 : x + y + z =, y 0, z 0}, duch explizite Integation übe die Fläche. Beechnen Sie nun das FLussintegal Φ K, indem Sie es mit dem Satz von Stokes in ein Kuvenintegal übefühen und Letztees beechnen. Repetitoiumsaufgabe : Satz von Stokes elliptische Kegel (Selbstudium) [ Gegeben sei das Vektofeld B = (xz, yz, z ) T, sowie die Fläche K = { R 3 : x + y 4 + z =, 0 z }, welche die Fom eines elliptischen Kegels hat. 4

5 (a) Beechnen Sie das Flussintegal Φ K = ds B. K (b) Vesuchen Sie zu B ein Vektopotential zu finden (also ein Vektofeld A mit A = B) und benutzen Sie den Satz von Stokes, um das Egebnis aus (a) zu übepüfen. [Gesamtpunktzahl Repetitoiumsaufgaben: 7 5

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