Seminar Gewöhnliche Dierentialgleichungen Anwendungen in der Mechanik

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1 Semina Gewöhnliche Dieentialgleichungen Anwendungen in de Mechanik Geog Daniilidis 6.Juli 05 Inhaltsvezeichnis Einleitung Motivation:.Newtonsche Gesetz 3 Vowissen 4 Konsevativen Systeme 3 5 Zentale Kaftfelde 3 6 Newtonsches Zentalkaftsystem 5 7.Keplesche Gesetz 8 Einleitung In den esten Votägen haben wi alles übe die Gundlagen de Dieentialgleichungen efahen. Nun weden wi etwas übe ihe Anwendungen in de klassischen Physik lenen. Wi weden im Detail die Gleichungen von Newton betachten und wie man mit ihnen die Keplesche Gesetze heleiten kann. Wi weden nu den einfachen Fall eines Teilchens in einem zentalen Kaftfeld betachten, um die entstehenden Systeme nu mit bishe bekannten Methoden lösen zu können. Motivation:.Newtonsche Gesetz Wi betachten ein Teilchen im Vektofeld F = R n. X ist die Position vom Teilchen im Raum. Mit F (X) bezeichnet man also die Kaft, die auf das Teilchen in de Position X wikt. Betachten wi die Gavitationskaft de Sonne als unse Kaftfeld. In diesem System gilt das bekannte zweite Newtonsche Gesetz: F = ma Mit m=masse und a=beschleunigung. Das gibt uns die Dieentialgleichung zweite Odnung: mx = F (X) Als System: X = V V = m F (X) wobei V (t) die Geschwindigkeit des Teilchens. Das System ist in R n R n deniet. So ein System wid Mechanisches System mit n Feiheitsgaden gennant. Eine Lösung {X(t)} t 0 R n de Gleichung -ten Gades liegt im Konguationsaum. Die Lösung {(X(t), V (t))} t 0 R n R n liegt im Phasenaum.

2 3 Vowissen Bevo wi uns komplizietee Fälle angucken müssen wi uns an einige wichtige Regeln einnen.. Falls X, Y : I R n glatt, dann gilt laut Poduktegel (XY ) = X Y + XY. De Gadient eine Funktion g : R n R ist deniet als ( ) g g g(x) = (X),, (X) x x n Betachten wi die Vekettung zweie glatte Funktionen g F, mit g : R n R und F : R R n. Mit de Kettenegel ehalten wi d g(f (t)) = g(f d g(f (t)) = n (t)) F (t) ( g i= x i (F (t)) dfi (t)) 3. Wi einnen uns auch an das Keuzpodukt von zwei Vektoen U, V R 3 U V = (u v 3 u 3 v, u 3 v u v 3, u v u v ) R 3 U V = V U = U V N sin ϑ wo N de senkechte Einheitsvekto zu U and V und ϑ de Winkel zwischen U und V 4. Ein Hamiltonisches System auf R n R n hat die Fom x i = H y i y i = H x i mit H : R n R n R eine Hamiltonische Funktion. H hat einen konstanten Wet entlang de Lösungskuve des entspechenden Systems. 5. Die Diskiminante eine Quadatischen Gleichung ax + bx + c ist deniet als: = b 4ac Falls > 0 besitzt das Polynom eele Nullstellen x, x de Fom falls = 0 eine doppelte und sonst keine. x, = b ±, a 6. Ein Kegelschnitt in Polakoodinaten hat die Fom = ( + ɛ cos θ)ɛ 0. κ Fü ɛ > ist das eine Hypebel, fü ɛ = eine Paabel, fü ɛ = 0 ein Keis und sonst eine Ellipse.

3 4 Konsevativen Systeme Denition. Ein Kaftfeld heiÿt konsevativ, falls es eine glatte Funktion U : R n R gibt, so dass gilt: F (X) = U(X) Das assoziiete Dieenzialgleichungsystem X = V = V m U(X) heiÿt konsevatives System. Bemekung: U ist die uns bekannte potentielle Enegie. Satz 4.. Enegieehaltungssatz (EES) Sei (X(t), V (t)) die Lösungskuve eines konsevativen Systemes. Die totale (mechanische) Enegie E = K + U entlang de Kuve ist konstant. Beweis.: Wi beechnen die Ableitung von E(X(t)) nach t. E = = d d (K + U) ( m V (t) + U(X(t)) ) = mv V + U X = V U + V U = 0 Beweis.:Wi scheiben das System in hamiltonische Fom. Wi fühen zunächst den Impulsvekto Y = mv ein und wählen H = K + U = m (y i ) + U(x,..., x n ) Wi zeigen nun, dass das System hamiltonische Fom hat. X = Y H = Y m = V V = Y m = m X H = m X U(X) Nun ist also das System in hamiltonische Fom und H somit ein estes Integal des Systems. Damit ist de Satz bewiesen. 5 Zentale Kaftfelde Denition. Ein Kaftfeld heiÿt zental, wenn F (X) zum Koodinatenuspung hin ode davon weg zeigt. Das heiÿt: F (X) = λ(x)x, fü λ : R n R Satz 5.. Sei F ein konsevatives Kaftfeld. Dann sind die folgenden dei Aussagen äquivalent:. F ist zental. F (X) = f()x 3. F (X) = U(X) und U(X) = g() Beweis: (3) (): U = g () x x j x + x + x x n j = g () x j () () folgt aus () laut Denition. Jetzt müssen wi nu zeigen, dass (3) aus () folgt. Es genügt zu zeigen, dass U konstant auf jede Sphäe ist: S a = {X R n = a > 0} 3

4 Zwei beliebige Punkte in S a können mit eine Kuve vebunden weden. Deswegen genügt es zu beweisen, dass U konstant auf jede Kuve in S a ist. Seien J R ein beliebiges Intevall und γ : J S a eine glatte Kuve. Wi müssen nu zeigen, dass die Ableitung von U γ gleich 0 ist: Laut Annahme gilt U(X) = F (X) = λ(x)x d U(γ(t)) = U(γ(t))γ (t) d U(γ(t)) = λ(γ(t))γ(t)γ (t) weil γ(t) konstant ist (γ(t) S a ) = λ(γ(t)) d γ(t) = 0 Betachten wi nun ein zentales Kaftfeld in R 3, dass nicht unbedingt konsevativ ist. An einem beliebigen Zeitpunkt t 0 sei P R 3 die Ebene, die von den Vektoen X(t 0 ) und V (t 0 ) aufgespannt wid, wobei angenommen wid dass X und V nicht kollinea sind und dass F (X(t 0 )) auch in P liegt. Satz 5.. Die Bewegung eines Teilchens in einem zentalen Kaftfeld in R 3 ist beschänkt auf eine festen Ebene. Beweis: Sei X(t) die Funktion, die die Tajektoie eines Teilchens unte den Einuss eines zentalen Kaftfeldes bescheibt. d (X V ) = V V + X V = V V + X X = 0 weil X in einem zentalen Kaftfeld ein Vielfaches von X ist. Das heisst, dass Y := X(t)V (t) ein konstante Vekto ist. Falls Y 0 dann gilt laut Denition des Keuzpoduktes, dass X und V auf de zu Y senkechten Ebene liegen. Falls Y = 0, dann gilt X (t) = g(t)x(t) fü eine Funktion g übe R. Das bedeutet, dass de Geschwindigkeitsvekto auf de Geade liegt, die das Teilchen und den Uspung vebindet, wie eben auch die Kaft. Deshalb bewegt sich das Teilchen imme entlang diese Geade. Um das fomal zu beweisen, sei X(t) = (x (t), x (t), x 3 (t)). Daaus bekommen wi dei Dieentialgleichungen de Fom: dx k = g(t)x k (t) dx k x k (t) = g(t) (wenn x k(t) 0) t 0 dx k x k (t) ds = t 0 g(t) ds + c o.b.d.a. x > 0 ln(x k (t)) ln(x k (0)) = x k (t) = e t 0 g(t) ds+c x k (0) x k (t) = e t 0 g(t) ds x k (0) t 0 g(t) ds + c Falls ein t existiet, so dass x k (t ) = 0 dann ist x k (t) = 0 fü alle t. So haben wi bewiesen, dass X(t) imme ein Vielfaches von X(0) ist, deswegen bewegt sich das Teilchen auf eine festen Ebene. Koolla. De Vekto m(x V ) heisst Dehimpuls. De Dehimpuls ist konstant entlang jede Lösungskuve eines Zentalfeldes. Das gilt oensichtlich nach dem Satz 5.. Betachten wi nun ein konsevatives zentales Kaftfeld. Laut Satz 5. bleibt ein Teilchen auf eine Ebene. Sei diese x 3 = 0. De Dehimpulsvekto ist dann (0, 0, m(x v x v )). Sei l = m(x v x v ). l ist auch konstant entlang de Lösungen. Im planaen Fall ist de Dehimpuls gleich mit l. Mit Polakoodinaten x = cos(θ) und x = sin(θ) lässt sich X = V scheiben als v = x = cos(θ) sin(θ)θ v = x = sin(θ) + cos(θ)θ 4

5 Dann gilt x v x v = cos(θ)( sin(θ) + cos(θ)θ ) sin(θ)( cos(θ) sin(θ)θ ) = (cos (θ) + sin (θ))θ = θ Daaus folgt l = m θ Somit können wi das zweite Keplesche Gesetz beweisen. (.Keplesche Gesetz) Ein von de Sonne zum Planeten gezogene Fahstahl übesteicht in gleichen Zeiten gleich goÿe Flächen. Sei A(t) die von X(t) übestichene Fläche im Zeitinteval t 0 bis t. In Polakoodinaten gilt A (t) = (t)θ (t) = l(t). A heiÿt Flächengeschwindigkeit. Wie vohe gezeigt, ist l konstant entlang eine Lösung also auch A. 6 Newtonsches Zentalkaftsystem Dieses System bescheibt die Bewegung eines Planeten um die Sonne. Wi wählen die Sonne als den Uspung in R 3 und nehmen an, dass sie da fest liegt. Die Sonne übt eine Kaft auf diesen Planeten aus. Laut Gavitationsgesetz von Newton ist diese gleich gmsmp und zeigt in Richtung Sonne. Somit bekommen wi die Gleichung m p X = gm s m p X = gm s m p X 3 Zu Veeinfachung de Rechnungen fühen wi neue Einheiten ein so dass die konstanten veschwinden. Die Gleichung wid dann X = F (X) = X 3 Als System haben wi X = V = V X 3 Dies nennen wi ein Newtonsches Zentalkaftsystem. Das ist oensichtlich ein zentales Kaftfeld. Zusätzlich ist es auch konsevativ, weil fü U(X) = = x + x + x 3 gilt: U(X) = U(X) [ ] = x (x + x + x 3 ) 3 x k k = X = F (X) 3 5 x k 3

6 Bemekung: F (X) ist in 0 nicht deniet, weil sich die Kaft an Unendlich annähet fü 0. Wie im letzten Abschnitt ichten wi unsee Aufmeksamkeit auf Teilchen, die sich im R bewegen. So suchen wi Lösungen im Konguationsaum C = R {0}. De Phasenaum ist dann deniet als P = {(R {0}) R }. Wi denieen T X := {(X, V ) V R } als die Menge de Vektoen mit einem festen X C als Anfangspunkt. Dann gilt: P = X C P hat also Dimension gleich 4. Wi können P duch Anwendung de totalen Enegie und des Dehimpulses in übefühen. Wi einnen uns daan, dass E(X, V ) = V konstant entlang de Lösungen ist. Wi denieen nun die Enegieäche Σ h P als {(X, V ) E(X, V ) = h}. Falls h > 0, dann ist Σ h T X ein Keis aus Vektoen in T X so dass: ( V = h + ) De Radius de Keise läuft gegen wenn X 0 und gegen h wenn X. Falls h < 0, dann sieht Σ h andes aus. Falls > h dann gibt es keine Vektoen in T X Σ h. Wenn = h enthält Σ h nu den Nullvekto aus T X. De Keis mit = h ist bekannt als Nullgeschwindigkeitskuve (Zeo Velocity Cuve ode ZVC). Wenn X in diesem Keis liegt, dann besteht die Enegieäche wie vohe aus einem Keis aus Vektoen. T X Wi fühen nun Polakoodinaten ein und die Vaiablen (v, v θ ) : Vom letzten Abschnitt wissen wi schon: V = v (cosθ, sin θ) + v θ ( sin θ, cos θ) V = X = (cos θ, sin θ) + θ ( sin θ, cos θ) so dass = v und θ = v θ. Wenn wi noch einmal dieenzieen ehalten wi nach Poduktegel: X (cos θ, sin θ) = 3 = V = (v v θ)(cos θ, sin θ) + ( v v θ + v θ)( sin θ, cos θ) Mit den neuen Koodinaten (, θ, v, v θ ) wid das System: = θ = v v θ v = + v θ v θ = vv θ Man kann die Enegie und den Dehimpuls in Abhängigkeit de neuen Koodinaten scheiben h = (v + v θ) l = v θ Sei Σ h,l die Menge alle Punkten im Phasenaum mit Enegie h und Dehimpuls l. Wi betachten nun nu den Fall h < 0. 6

7 Wenn l = 0 dann muss auch v θ = 0. Falls X innehalb ZVC liegt, dann enthält T X Σ 0,h genau zwei Vektoen de Fom ±v (cos θ, sin θ) De eine zeigt zum Uspung und de andee weg vom Uspung. Wie vohe,falls X genau auf ZVC liegt, dann enthält Σ h,0 nu den Nullvekto. Es ist uns jetzt kla, dass alle Lösungen in Σ h,0 auf de Geade, die den Uspung und X vebindet liegen. Fü l 0 wenn X in ZVC liegt, folgt aus den Enegie und Dehimpulsgleichungen v = h + l () v ist imme nicht negativ, deswegen müssen wi jetzt die Gleichung h + l 0 lösen. Die Diskiminante des Tinoms ist = 4 + 8hl = 4( + hl ). Das Polynom ist auch konkav weil h < 0. Falls < 0 l > h gibt es keine eelen Lösungen. Falls l = h gibt es eine einzige Lösung in = h. Das heiÿt diese Wet ist de einzige elaubte -Wet in Σ h,l. Das Teilchen füht dann eine Keisbewegung duch mit dem Uspung als Zentum und konstante Geschwindigkeit. Wenn l < h, dann besitzt das Tinom zwei Lösungen α, β so dass 0 < α < h < β. Sei A α,β die Menge alle elaubten -Wete so dass α < < β. Die Bewegung des Teilchens ist beschänkt in A α,β Poposition. Sei h < 0 und l < h. Dann ist Σ h,l P ein -dimensionale Tous. Beweis: Wi beechnen die Menge de Vektoen in T X Σ h,l fü jedes X A α,β. Wenn X auf den Rand von A α,β liegt,wid das Polynom auf de echten Seite in () gleich 0 und so v = 0, v θ = l. Das heiÿt es gibt genau einen Vekto in T X Σ h,l, de tangent zum Keis = α ode = β liegt. Wenn X im inneen von A α,β liegt, ehalten wi von (): v ± = ± h + l, v θ = l so dass zwei Vektoen in T X Σ h,l liegen. Beide zeigen entwede in ode gegen Uhzeigeichtung, weil v θ gleich ist. Wi können uns Σ h,l als die Veeinigung zweie Gaphen in A α,β vostellen: Eine dessen Vektoen nach auÿen und eine dessen Vektoen nach innen zeigen mit den gemeinsamen Ränden = α, = β. Das ist ein Tous wie im Bild 3.. Man wüde denken, dass die Kuven im Tous fü = α, = β abgeschlossene Obitale sind. Das ist abe nicht de Fall. Wenn = α dann gilt: v = α + v θ α = α 3 ( α + l ) Weil abe die echte Seite von () fü = α veschwindet, gilt: hα + α l = 0 α + l = (hα + )α Weil α < h gilt = v > 0 wenn = α, das heisst die -Koodinate de Lösungen in Σ h,l hat ein Minimum fü = α. Genauso kann man auch zeigen, dass fü = β die -Koodinate ein Maximum eeicht. Die Bewegung eines Teilchens sieht dann wie die Dastellung 3.3 aus. Man kann auch beweisen, dass jede solche Lösung abgeschlossen ist und wie eine Ellipse aussieht. Das beweisen wi im nächsten Abschnitt. 7

8 7.Keplesche Gesetz Betachten wi eine bestimmte Lösungskuve de Dieentialgleichung. Wi haben zwei konstanten in unseem System, die Enegie h und den Dehimpuls l. De Fall l = 0 egibt eine Geade wie wi im letzten Abschnitt gezeigt haben. Sei also l 0. Wi zeigen mit Polakoodinaten, dass eine Lösung mit l 0 auf eine Kuve de Fom ( + ɛ cos θ) = κ liegt, mit κ, ɛ Konstanten. Diese Gleichung stellt ein Kegelschnitt da, wie man übepüfen kann indem man katesische Koodinaten einsetzt. Um das zu beweisen einnen uns daan, dass θ konstant und nicht null ist. Das bedeutet, dass das Vozeichen von θ konstant entlang jede Lösung ist und deshalb wid θ stetig entwede gösse ode kleine mit de Zeit. Wi können also als eine Funktion nach θ entlang de Kuve betachten. Sei W (t) = (t) = U(t) Poposition. Es gilt: ( (dw ) ) + W Beweis: In Polakoodinaten gilt: K = l dθ K = (( ) + (θ ) ) Weil = W gilt: = dw W dθ θ = l dw dθ Zusätzlich: θ = l = lw Man setzt die zwei letzten Gleichungen in die Gleichung fü K ein. Wi nden nun eine Dieentialgleichung in Beziehung zu W, θ entlang eine Lösungskuve. Es gilt K = E U = E + W. ( ) dw + W = (E + W ) () dθ l Wi dieenzieen beide Seiten nach θ: Mit l dw dθ d W d θ + W dw dθ = ( de l dθ + ) dw dθ d W d θ + W = l konstant.man kann die Lösungen de Dieentialgleichung bestimmen: ode auch W (θ) = + A cos θ + B sin θ l W (θ) = l + C cos(θ + θ 0) (3) mit C und θ 0 in Beziehung zu A, B. Wenn wi diese Gleichung in () einsetzen und nach C lösen (fü θ+θ 0 = π ), ehalten wi: C = ± l + l E Wi setzen das in (3)und ehalten: W (θ) = ( l ± ) + El cos(θ + θ 0 ) Man muss nicht unbedingt beide Vozeichen vo de Wuzel untesuchen, denn cos(θ + θ 0 + π) = cos(θ + θ 0 ) Wi änden auch die Vaiable so dass die Rechte Seite diese Fom hat : ( l + ) + El cos(θ) Nun setzen wi ɛ = + El und κ = l Dann gilt: = ( + ɛ cos θ) κ,was zu zeigen wa. In diesem Fall haben wi eine Hypebel fü E > 0, eine Paabel fü E = 0, einen Keis, wenn E = l und eine Ellipse sonst. Damit haben wi das este Keplesche Gesetz gezeigt,das besagt, dass die Bahn eines Teilchens unte den Einuss des Newtonsches Kaftgesetzes ein Kegelschnitt mit ɛ = + El ist. 8