Wichtige Begriffe der Vorlesung:

Transkript

1 Wichtige Begiffe de Volesung: Abeit, Enegie Stae Köpe: Dehmoment, Dehimpuls Impulsehaltung Enegieehaltung Dehimpulsehaltung Symmetien Mechanische Eigenschaften feste Köpe

2 Enegiesatz de Mechanik Wenn nu konseatie Käfte wiken, also keine Reibung auftitt, dann gilt: Die Summe aus potentielle und kinetische Enegie eines abgeschlossenen Systems ist uneändelich. E pot + E kin = E tot = const.

3 Beispiel : Die schiefe Ebene E pot + E kin = const = E tot Anfang E tot = E pot = m " g" h m 2 2 max = mgh α h max = 2gh Ende E tot = E kin = m 2 2 max

4 Das Pendel Lösung des Pendelpoblems mit Hilfe des Enegiesatzes E tot = E kin + E pot = const. Es gibt 2 ausgezeichnete Punkte: 1.) Maximalausschlag " = " max E tot = E pot (" max ) = mgh 2.) Tiefpunkt " = 0 E tot = E kin = m 2 max 2 1.) +2.) max = 2gh

5 De allgemeine Enegieehaltungssatz - In einem abgeschlossenen System ist die Gesamtenegie konstant. - Enegie kann man wede enichten noch ezeugen. - Die Enegiefomen können nu ineinande umgewandelt weden. - Dies schließt alle Fomen on Enegie ein. (Elektische, mechanische, chemische Enegie, Wämeenegie, etc.) Pepetuum mobile Die on nicht-konseatien Käften eichtete Abeit, W NK entspicht de Ändeung de mechanischen Gesamtenegie! E =! E +! E = ges pot kin W dissipati

6 Die Leistung Die Leistung P ist definiet als die eichtete Abeit po Zeiteinheit. P = dw dt Einheit: 1 W(att)=1 J/s=1 kg m 2 /s 3 - Ein Mensch kann ca. 100 W Daueleistung leisten (Glühbine). - 1 PS entspicht 735,5 W

7 Dehbewegungen und de stae Köpe Vesuch

8 Punktmassen-Systeme Abgeschlossenes System : * keine äußeen Käfte * nu WW-Käfte * Inetialsystem In einem abgeschlossenen System gilt : De Gesamtimpuls ist ehalten. Die Gesamtenegie ist ehalten. (einschließlich de Wäme in nicht konseatien Systemen) De Gesamtdehimpuls ist ehalten.

9 De stae Köpe - bishe: Bewegung on Massepunkten. Reine Tanslationsbewegungen. - jetzt: ausgedehnte Köpe. Tanslations- und Rotationsbewegungen. A B A B Wikungslinie Käfte wiken entlang de Vebindungslinie: Gleichgewicht Käfte wiken nicht entlang de Vebindungslinie: Rotation Neu : Es wikt ein Dehmoment

10 Dehmoment l : Länge des Hebels Kaft senkecht auf Hebel F D M = l! F (N! m) Dehmoment= Hebelam * Kaft l Kaft wikt unte beliebigem Winkel F α α F! sin(") D M = l " Fsenk. = l " F " sin(!)

11 Mechanisches Gleichgewicht l 1 l 2 F 1!l 1 = F 2!l 2 F 1 D F 2 (Hebelgesetz) Kaft mal Kaftam= Last mal Lastam Ein Köpe ist dann im Gleichgewicht, wenn die Summe alle äußee Käfte und die Summe alle Dehmomente Null ist. Anwendungen des Hebelgesetzes: Bechstange, Schee, Schubkae, Getiebe, Gliedmaßen, Baukan...

12 Das Dehmoment als Vektopodukt M = " F Eigenschaften : M! M! F M! = " F F "sin(!) = " F! Rechte-Hand-Regel Es tägt nu die Pojektion auf die Senkechte bei Das Keuzpodukt ist antikommutati!

13 m Def.! ges = m i Schwepunkt Gesamtmasse m 1 m 2 s =! mi " i m! i Schwepunkt s m 3 De Schwepunkt eines abgeschlossenen Systems ist unbeschleunigt. Bei Einwikung eine äußeen Kaft F ext beschleunigt sich de Schwepunkt gemäß : d dt 2 S m ges = 2 F ext (Schwepunktsatz)

14 Aussagen übe den Schwepunkt - Käfte, die am Schwepunkt angeifen, wiken auf einen ausgedehnten Köpe wie Käfte auf einen Massepunkt. Schwepunkt= Gaitationszentum! li mi g = l SP m ges Die Summe alle Dehmomente = Dehmoment de ges. Masse im Schwepunkt g Ein Köpe, de am Schwepunkt aufgehängt wid, efäht im Schweefeld kein Dehmoment.

15 Dei Gleichgewichtsaten Stabiles GGW: Jede Veückung x ehöht die Lage des Schwepunktes d 2 E dx pot 2 > Labiles GGW: Jede Veückung eniedigt die Lage des Schwepunktes 0 Indiffeentes GGW: Jede Veückung läßt die Lage des Schwepunkts uneändet Kleine Auslenkung x => Rückstellkäfte F ück ~ - x

16 De Dehimpuls m!! m : Winkelgeschwindigkeit : Bahnekto : Masse Definition Bahngeschwindigkeit = "! Dehimpuls : L = " m De Dehimpuls hat die Einheit kg m 2 /s

17 De Dehsinn: Winkelgeschwindigkeit als Vekto m! = " #! Rechte-Hand-Regel Kokenzieheegel

18 Dehimpuls als Vekto! = " # L = " m = I # $ Was passiet, wenn ein Dehmoment wikt?! L L F M! d L dt = M " # L = M $ #t! L paallel M

19 Ehaltung des Dehimpulses Wi betachten die zeitliche Ableitung des Dehimpulses L dl dt = d! ( m) dt =! F a = M dl dt = M Gundgleichung de otieenden Bewegung (analog zu dp/dt=f a ) Bei Abwesenheit eines äußeen Dehmoments bleibt de Dehimpuls konstant. M = 0! L = const (Dehimpuls- Ehaltungssatz)

20 De Dehimpuls ist auch bei nicht-keisfömigen Bewegungen ehalten. De Dehimpuls bezieht sich imme auf einen (Deh)-Punkt

21 = # m Tägheitsmoment Motiation : Das Tägheitsmoment ist die täge Masse de Dehbewegung L $ = m 2 "! = I "! Dehimpuls = Dehtägheit mal Dehgeschwindigkeit M = I " d! dt Dehkaft = Dehtägheit mal Dehbeschleunigung Definition : Tägheitsmoment I Einzelne Massenpunkte I = " m i! i 2 i Achse

22 Tägheitsmoment eine kontinuielichen Masseneteilung I = " m $ i # i 2! i 2 dm dm Achse

23 Rotationsenegie Jedes einzelne Masseelement besitzt die kinetische Enegie m 2 2 = m 2 " 2 2 Gesamtenegie: m i " 2 2 i # 2 = 1 2 i " 2 m i i $ # 2 = I 2 # 2 i E Rot = I 2!2 Rotationsenegie eines staen Köpes

24 Dynamik stae Köpe Wufpaabel eines staen Köpes Schwepunkt bescheibt Wufpaabel Rotation um den Schwepunkt: M a Schwepunkt =F a L = I! Die Bewegung eines ausgedehnten Köpes lässt sich imme zusammensetzen aus de Tanslation des Schwepunkts und die Rotation des Köpes um den Schwepunkt. De feie stae Köpe hat also sechs Feiheitsgade de Bewegung.

25 Analogien zwischen Tanslationsund Rotationsbewegungen Ot Geschwindigkeit Beschleunigung Masse Kaft Impuls Tanslation Kinetische Enegie a m F = m! a = d p dt p = m! m 2 2! Winkel Rotation Winkelgeschw. Winkelbeschl. Tägheitsmoment Dehmoment Dehimpuls Rotationsenegie!!! I =! 2 m i i M = I!" = d L dt L = I!" I 2!" 2

26 Symmetieachsen und feie Achsen Feste Dehachse Feie Dehachse Die Rotation um feie Achsen efodet kein Dehmoment. Jede stae Köpe besitzt (mindestens) dei feie Achsen, und diese stehen senkecht aufeinande.

27 De käftefeie Keisel : Nutation Ein Keisel ist ein Köpe, de sich um eine feie Achse deht. Rotiet ein Köpe um eine seine feien Achsen, sind Dehachse und Dehimpuls paallel zueinande.

28 Keisel im Schweefeld : Päzession on oben: DF Das Rad läuft um die Aufhängung mit Umlauffequenz L DL M L =!"!t! L!t = M! L = L "!# Höhee Dehimpulse stabilisieen die Dehachse

29 Päzession des Keisels