Dynamik der Rotationsbewegung g III. Kreiselbewegungen

Transkript

1 Physik A VL3 ( ) Dynamik de Rotationsbewegung g III Keiselbewegungen

2 Keiselbewegungen De Zusammenhang zwischen Dehimpuls und Dehmoment wid beim Keisel deutlich Definition eines Keisels: Keisel = stae Köpe, de sich völlig fei ode um höchstens einen Punkt, in dem e festgehalten wid, deht Dei Feiheitsgade de Rotation um diesen Punkt Dehachse kann sich im zeitlichen Velauf de Bewegung änden! Feiheitsgade de Bewegung: jede ausgedehnte Köpe hat dei Tanslationsfeiheitsgade (x,y,z) Niels Boh und Wolfgang Pauli studieen einen Keisel, Univesität Lund, und dei Rotationsfeiheitsgade (um die 3 senkecht aufeinande stehenden Achsen) = 6 Feiheitsgade

3 Keiselbewegungen feie Achsen Keiselbewegungen Feie Rotation um die dei Achsen des Köpes das Tägheitsmoment eines Köpes hängt von de Richtung seine Dehachse ab Beispiel: Quade (Seitenlängen a < b < c) Tägheitsmomente:, 2, = m( b + c 2 2 = m( a c ) ) > 2 > = m( a + b 2 ) Die Dehung um Ah Achse mit itkli kleinstem und gößtem Tägheitsmoment sind stabil stabil instabil Die Dehung um Achse mit mittleem Tägheitsmoment ist instabil! kleine Stöungen fühen zum Tokeln kleinstes Tägheitsmoment gößtes Tägheitsmoment mittlees Tägheitsmoment

4 Keiselbewegungen Keiselbewegungen gundlegende d Übelegungen jede ausgedehnte Köpe hat dei Achsen, dahe dei Tägheitsmomente: Haupttägheitsachsen, 2, 3 jede Symmetieachse ist auch Haupttägheitsachse Bescheibung de Wikung de Tägheitsmomente übe Tägheitsellipsoid Gleichung des Tägheitsellipsoids id eines Köpes x + 2 y + 3z = Halbachsen des Ellipsoiden b b c c a ; b = ; c = = a a 2 3

5 Keiselbewegungen Keiselbewegungen gundlegende d Übelegungen jede Köpe kann ein Keisel sein auf Dehmaschinen gefetigte Köpe: imme symmetisch, da zwei Halbachsen des Rotationsellipsoids gleich goß sind Keisel weden nach ihen Haupttägheitsachsen klassifiziet 2 3 = 2 3 = 2 = 3 unsymmetische Keisel symmetische Keisel Kugelkeisel l Die Wikung de Zentifugalkäfte ist entscheidend fü die Stabilität de Rotation um eine Achse wenn Momente entstehen, ist die Rotation instabil, est wenn Käfte duch Schwepunkt gehen, wid die Rotation stabil

6 Keiselbewegungen Keiselbewegungen gundlegende d Übelegungen die Dehung um die Achsen kann stabil ode instabil sein Dehungen um Achse mit mittleem Tägheitsmoment sind instabil Stabilste Dehung um Achse mit gößtem! Keisel mit goßem laufen besondes stabil! Beispiel: otieendes Geldstück a) Rotation um beliebige Achse: Fliehkäfte bilden Käftepaa (Zentifugalmoment), das Rotation um Achse duch Schwepunkt ezeugt b) Endlage: gößtes Tägheitsmoment: Zentifugalkäfte gehen duch den Schwepunkt, kein Zentifugalmoment c) Rotation um kleinstes Tägheitsmoment: instabile Rotation bei Neigung g zu Seite: Münze ollt auf Kante,,potentielle Enegie wid kleine, Münze deht sich schnelle, Reibung vebaucht Enegie, bis Münze stoppt Reibung spielt bei Keiseln eine wichtige Rolle!

7 Keiselbewegungen De Bumeang Keiselbewegungen Das Flugvehalten eines Bumeangs zeigt das Vohandensein von 3 physikalischen Gößen: eine Zentipetalkaft zwingt den Bumeang auf eine Keisbahn ein Dehmoment deht die Rotationsebene des Bumeangs um eine senkechte Achse ein Dehmoment, deht die Rotationsebene des Bumeangs um waageechte Achse und emöglicht den hoizontalen Flug Wechselspiel von Auftiebskäften und Zentipetalkäften: Bumeang otiet ( = päzediet) um eine Achse, Keis (Flugbahn) = Radius de Päzession zweiflüglige Bumeang fü Rechtshände

8 Keiselbewegungen Keiselbewegungen Käftf Käftefeie symmetische ti Keisel geifen an einen Keisel keine seinen Bewegungszustand ändenden Käfte bzw. Dehmomente an, so wid ide als käftefei käf f ibezeichnet ih wid eeicht, wenn Schwepunkt und Untestützungspunkt des Keisels zusammenfallen Käftefeie Keisel wid in seinem Schwepunkt untestützt: es wikt kein Dehmoment Dehimpuls und Rotationsenegie sind zeitlich konstant L = const. E ω L ω ot = = ( ω + ω ω ) L = ω = const. Dehimpulsehaltung Typen symmetische Keisel Keisel Tägheitsellipsoid < 3 = 2 > 3 = 3

9 Keiselbewegungen Keiselbewegungen Käftf Käftefeie symmetische ti Keisel Bescheibung de Bewegung des käftefeien symmetischen Keisels: z' Untescheidung von dei veschiedenen Dehachsen e L ω Figuenachse e L z' ω (fest mit dem Keisel vebunden) Dehimpulsachse (aumfest) momentane Dehachse ( e z ', L) = α, ω ) = β ( e z ' Figuenachse und Impulsachse müssen nicht zusammenfallen. Figuenachse läuft auf Kegelmantel um aumfeste Dehimpulsachse: NUTATION

10 Keiselbewegungen Keiselbewegungen Käftf Käftefeie symmetische ti Keisel alle Achsen (Figuenachse, Dehimpulsachse und momentane Achse) liegen in eine Ebene elative Lage de Achsen duch kleinstes und gößtes Tägheitsmoment bestimmt: tanα = tan β 3 ( e z ', L) = α, ω ) = β ( e z ' die Dehimpulsachse otiet im Keiselsystem (!) mit de Nutationsfequenz um die Figuenachse 3 ωn ( utation) = ωc ω C = Rotationsfequenz des Keisels

11 Keiselbewegungen Keiselbewegungen Käftf Käftefeie symmetische ti Keisel Figuenachse und momentane Dehachse umkeisen ständig die aumfeste Impulsachse: Nutationskegel (Bezugssystem Keiselsystem!) momentane Dehachse bescheibt im festen Raum den Rastpolkegel gegenübe de Figuenachse den Gangpolkegel = 2 Keiseltypen > 3 < 3 = 3

12 Keiselbewegungen Keiselbewegungen Symmetische Keisel lim Käftefeld f Käftefeld: Einfluss äußee Käfte Keisel ist außehalb seines Schwepunkts gelaget Käfte geifen an (meistens: Schwekaft) Dehmoment entsteht Keisel, die außehalb des Schwepunkts gelaget sind, efahen ein Dehmoment: T = dl dt Dehimpuls ist nicht zeitlich konstant, es kommt zu eine Päzessionsbewegung dl = Ldϕ T dϕ = L = LωP dt Päzessionsfequenz ω des Keisels: T L P = = T ω

13 Beispiel: Gyoskop Keiselkompass Keiselbewegungen Keisel an einem Faden aufgehängt ode auf eine Spitze weicht imme senkecht zu einwikenden Kaft aus duch ein Dehmoment kippt de Keisel nicht, abe e füht eine Päzessionsbewegung aus: Stabilisieung duch Rotation! L z z L α Winkelgeschw. ω ω L z-komponente - Index Z adiale Komp. - Index T Dehimpuls Dehmoment x l 0 ϑ S T = l F dl L ω T L P ( äzession ) = mgl sin ϑ = = L sin ϑ mgl ω ( ω >> ωp ) Beispiel: l 3cm, ω 000 s -, R 2cm, mr 2 y - ω P 0.75 s TP 8 s

14 Keiselbewegungen Keiselbewegungen Stehaufkeisel ode Upside-Down -Keisel i Reibung und Dehimpulsehaltung sogen fü Aufichten des Keisels

15 Keiselbewegungen Keiselbewegungen Stehaufkeisel ode Upside-Down -Keisel i Reibung und Dehimpulsehaltung sogen fü Aufichten des Keisels Seh kompliziete theoetische Betachtung efodelich Reibung und Auflagepunkte wichtig,ω L e z' ϑ < S < T = l F R Umkippzeit fast imme gleich: l 2π Rω T = F 3μ G g Gleiteibung R 4 s

16 Keiselbewegungen Die Ede Keiselbewegungen Die Ede ist ein nu wenig abgeplattetes Rotationsellipsoid, dahe in gute Näheung ein symmetische Keisel Anziehungskaft de Sonne + Fliehkaft auf die `Wülste' bewikt ein Dehmoment, so dass die Ede um die Nomalen zu Ekliptik päzediet Umlaufpeiode von ahen

17 Keiselbewegungen Die Ede Effekte de Päzessionsbewegung: Keiselbewegungen die Velängeung de Edachse läuft auf einem Keis übe den Fixstenhimmel Die Stenzeichen veschieben sich im Laufe de Zeit!

18 Keiselbewegungen Die Ede Effekte de Päzessionsbewegung: Keiselbewegungen die Päzession eines schween Keisels wid oft von eine Nutation de Figuenachse um die momentane Dehimpuls- achse übelaget Figuenachse bescheibt kompliziete Kuven! Fü die Ede ist: T P = ahe T N = 433 Tage

19 Keiselbewegungen Die Ede Keiselbewegungen Ede ist kein Inetialsystem, denn sie bewegt sich mit beschleunigte Keisbewegung titt nomaleweise nicht zu Tage im Labo, abe auf gößeem Edmaßstab Beispiel: Foucault sches Pendel Pendel im Schweefeld de Ede otiet: schon nach 5,2 Minuten wandet die Schwingungsebene um aus Pendel pendelt im Univesum-festen Bezugssystem, in dem sich die Ede deht osnabueck.de/

20 Keiselbewegungen Keiselbewegungen Die Ede: Coiolis-Kaft Im otieenden Koodinatensystem wikt auf einen Massenpunkt, de im otieenden System uht, die Zentifugalkaft ft wenn sich de Punkt in adiale Richtung bewegt, dann escheint außedem noch die Coioliskaft otsfestes Bezugssystem (Inetialsystem)

21 Keiselbewegungen Keiselbewegungen Die Ede: Coiolis-Kaft Im otieenden Koodinatensystem wikt auf einen Massenpunkt, de im otieenden System uht, die Zentifugalkaft ft wenn sich de Punkt in adiale Richtung bewegt, dann escheint außedem noch die Coioliskaft Mitbewegtes Bezugssystem

22 Keiselbewegungen Keiselbewegungen Die Ede: Coiolis-Kaft Modellvesuch: otieende Scheibe mit Radius R ohne äußee Käfte ein schnell (v >> Rω) nach außen fliegende Ball wid wähend de Flugzeit t vom Zentum bis zum Radius R um die Stecke y abgelenkt: y = 2 act aus Sicht des Inetialsystems bewegt sich die Scheibe unte dem Ball mit 2 y 2 2 = α R = ω t vt = ωvt = act ac = 2vω 2 Coioliskaft FC = mac = 2mvω F = 2m ( v ω ) F C

23 Keiselbewegungen Keiselbewegungen Die Ede: Coiolis-Kaft Im otieenden Koodinatensystem wikt auf einen Massenpunkt, de im otieenden System uht, die Zentifugalkaft bewegt sich de Punkt in adiale Richtung, escheint außedem die Coioliskaft Beispiel: Winde Ohne Eddehung: Weg de Winde vom Äquato zu den Polen geadeaus Ede deht sich (von W nach O) Winde weden abgelenkt: Nodhalbkugel: aus de Sicht des Windes nach echts Südhalbkugel: aus de Sicht des Windes nach links Zusätzliche Einflüße (Tempeatuen, Klimazonen) vekomplizieen die Lage : Klimasimulationen seh aufwändig! ( Supecompute ) Blue Gene/L

24 Keiselbewegungen Keiselbewegungen Die Ede: Coiolis-Kaft Im otieenden Koodinatensystem wikt auf einen Massenpunkt, de im otieenden System uht, die Zentifugalkaft bewegt sich de Punkt in adiale Richtung, escheint außedem die Coioliskaft Beispiel: Winde - Zyklone Nodhalbkugel: Winde weden nach echts abgelenkt. Wenn sie abe in ein Tiefduckgebiet einstömen (Coioliskaft hie venachlässigba!), füht dies zu eine Spialbewegung g (Zentifugalkaft!) im Gegenuhzeigesinn! Zyklone

25 Zusammenfassung Keisel: stae Köpe, de sich völlig fei ode um höchstens einen Punkt, in dem e festgehalten wid, deht Feie Rotation um die dei Achsen des Köpes: Stabiltät de Dehung abhängig vom Tägheitsmoment Die Dehung um Achse mit kleinstem und gößtem Tägheitsmoment sind stabil Die Dehung um Achse mit mittleem Tägheitsmoment ist instabil! Keisel weden nach ihen Haupttägheitsachsen klassifiziet Käftefeie symmetische Keisel: wid in seinem Schwepunkt untestützt: es wikt kein Dehmoment Dehimpuls und Rotationsenegie sind zeitlich konstant Untescheidung deie veschiedene Dehachsen: Figuenachse, Dehimpulsachse und momentane Achse Figuenachse und momentane Dehachse umkeisen ständig die aumfeste Impulsachse: Nutation

26 Zusammenfassung Symmetische Keisel im Käftefeld Keisel, die außehalb des Schwepunkts gelaget sind, efahen ein Dehmoment: Dehimpuls ist nicht zeitlich konstant, es kommt zu eine Päzessionsbewegung: dl T = dt dl = Ldϕ Im otieenden Koodinatensystem wikt auf einen Massenpunkt de sich in adiale Richtung bewegt die Coioliskaft: FC = mac = 2mvω...manchmal machen Keisel abe auch einfach nu Spass: