Himmelsmechanik angewandt auf Satellitenbahnen um die Erde

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1 Himmelsmechanik angewandt auf Satellitenbahnen um die Ede Benjamin Menküc 1. Janua 2005 Johannes Keple ( ) hat folgende 3 wichtigen Gesetze fomuliet: 1. Keplesche Gesetz Die Ede bewegt sich auf eine Ellipse mit de Sonne im Bennpunkt. 2. Keplesche Gesetz De Fahstahl zwischen Sonne und Ede übesteicht in gleiche Zeit gleiche Fläche. 3. Keplesche Gesetz Die goÿe Halbachse de Elliplse hängt nu von de Umlaufdaue de Ede um die Sonne ab. T 2 a 3 = 4π2 µ a : goÿe Halbachse T : Umlaufdaue Diese Gesetze lassen sich unte bestimmten Annahmen auch vewenden, um die Bahn von Satelliten um die Ede zu bescheiben. Duch folgende veeinfachende Annahmen lassen sich die Kepleschen Gesetze mit Mitteln de Newtonschen Mechanik heleiten. 1. Die Masse des Satelliten sei gegenübe de Edmasse venachlässigba 2. Die Ede sei homogen und Kugelfömig 3. Ausse de Ede gibt es keine Köpe die eine Gavitationskaft auf den Satellit ausüben 4. Andee physikalische Einüsse auÿe de Gavitation wie z.b. Reibung und Stahlungsduck weden venachlässigt. 1

2 Wi leiten jetzt mit den getoenen Annahmen die Kepleschen Gesetze he. Wi wissen dass folgendes gilt: # F i = 0 (1) i Auf den Satelliten wiken folgende Käfte: # F B = m 2 t # F G = µ m # 2 # F Z = +m i # ( φ t Gavitationskaft de Ede (2) ) 2 # Tägheitskaft des Satelliten (3) Zentifugalkaft des Satelliten (4) Setzen wi nun (2),(3) und (4) in (1) ein, so ehalten wi F i = F G + F B + F Z = µ ( ) 2 2 φ 2 t + = 0 (5) t Nun einnen wi uns an den Dehimpuls L = m 2 φ (6) t De Satellit de sich im Abstand von de Ede mit de aktuellen Winkelgeschwindigkeit φ(t) bewegt (de Satellit bewegt sich im Allgemeinen nicht auf eine Keisbahn) hat den Dehimpuls L. Dieses setzen wi nun in Gleichung (5) ein: µ 2 2 t + L2 m 2 3 = 0 (7) Da de Dehimpuls konstant ist, sind wi eine Zeitabhängigkeit losgewoden und die Dieentialgleichung hat sich veeinfacht. Unangenehm ist jedoch noch, dass die Dieentialgleichung nicht linea ist. Dies eeichen wi abe mi folgende Substitution: s := 1 d = 1 s 2 t = φ φ t = L φ m 2 = 1 s Ls 2 s 2 φ m = L s m φ 2 t 2 = L 2 ( ) s φ Ls 2 m φ 2 t = 2 s m φ 2 (8) Wi setzen (8) in (7) ein: µs 2 + L2 s 3 m 2 + L2 s 3 2 s m 2 φ 2 = 0 s + 2 s φ 2 = µm2 L 2 (9) 2

3 Diese lineae inhomogene Dieentialgleichung zweiten Gades lässt sich mit dem Ansatz s(φ) = e Ωφ, Ω C lösen. Wi ehalten: s(φ) = s 0 cos(φ φ 0 ) + µm2 L 2 (10) s 0, φ 0 Konstanten Duch Rücksubstitution ehalten wi: p (ν) = 1 + e cos(ν) mit ν = φ φ 0, p = L2 µm 2, e = s 0p (11) (ν) bescheibt eine Ellipse. Die Ede liegt in einem Bennpunkt de Ellipse. De Winkel ν heiÿt wahe Anomale und bescheibt den Winkel des Fahstahls des Satelliten. Pe Denition hat de Satellit bei ν = 0 die göÿte Annäheung an die Ede. Diese Punkt heiÿt Peigäum. Da cos(0) = 1 gilt: P = p (12) 1 + e Bei ν = π ist de Satellit am weitesten von de Ede entfent. Diese Punkt heiÿt Apogäum. Da cos(π) = 1 gilt: A = p (13) 1 e Geometisch ist leicht esichtlich wie sich aus (12) und (13) die goÿe Halbachse a bestimmen lässt: a = 1 2 ( A + P ) = 1 e) + (1 + e) p( e 2 = p 1 e 2 (14) Die Bahngleichung (11) lässt sich jetzt mit (14) so Umfomen, dass sie nu noch von de goÿen Halbachse a und de numeischen Exzentizität e abhängt: (ν) = a(1 e2 ) 1 + e cos(ν) (15) e [0, 1] und fü e = 1 ist die Ellipse ein Keis. Die Tatsache dass wi eine Ellipsengleichung fü die Bewegung des Satelliten um die Ede gefunden haben, ist äquivalent zu dem 1. Kepleschen Gesetz. 3

4 Wi stellen jetzt noch einige Eigenschaften von Ellipsen auf: e = c a (16) wobei c de Bennpunkt de Ellipse ist. Eine weitee wichtige Gleichung übe Ellipsen ist: + = 2a (17) wobei ' de Fahstahl zum andeen Bennpunkt (de Bennpunkt in dem die Ede nicht liegt) ist. Weitehin ist auch diese Gleichung seh bekannt: x 2 a 2 + y2 b 2 = 1 (18) De Zusammenhangt zwischen den Halbachsen und dem Bennpunkt (lineae Exzentizität) ist: c = a 2 b 2 (19) Jetzt schauen wi uns die Fläche an, die de Fahstahl in Abhängigkeit von de wahen Anomalie ν übesteicht. Dazu bilden wi das Flächenelement da wie folgt: da = dν (20) Wenn wi (20) nach de Zeit ableiten und dann den Dehimpuls L einsetzen ehalten wi: da dt = 1 dν 2 2 dt = L (21) 2m Da de Dehimpuls konstant ist, folgt aus diese Gleichung, dass de Fahstahl in gleiche Zeit gleiche Flächen übesteicht. Dieses Egebnis ist äquivalent zum 2. Kepleschen Gesetz. Weite oben hatten wi folgende Gleichungen: p = L2 µm 2 und a = p 1 e 2 Daaus können wi den Dehimpuls beechnen: L = m a(1 e 2 )µ (22) Diese Gleichung setzen wi jetzt in (21) ein: da dt = 1 a(1 e 2 2 )µ (23) 4

5 Wenn Übestichene Fläche po Zeit mit de Umlaufdaue T multiplizet, muss dies die Fläche de Ellipse egeben: da dt T = πab = πa2 1 e 2 (24) dabei haben wi b = a 1 e 2 benutzt. Mit (23) und (24) ehalten wi jetzt: 1 a(1 e 2 2 )µt = πa 2 1 e 2 T 2 4 aµ = π2 a 4 T 2 a 3 = 4π2 µ (25) Gleichung (25) besagt, dass die Umlaufdaue T nu von de goÿen Halbachse a abhängt, insbesondee ist sie unabhängig von de numeischen Exzentizität e. Diese Aussage ist äquivalent zu dem 3. Kepleschen Gesetz. Ein Begi de ab und zu vewendet wid ist die Äquivalente Keisbahn. Das ist eine physikalisch mögliche keisfömige Bahn, dessen Radius de goÿen Halbachse de Ellipsenbahn entspicht. De Mittelpunkt de Äquivalenten Keisbahn liegt im Bennpunkt de Ellipse. Die wahe Anomalie de Äquivalenten Keisbahn wid Mittlee Anomalie genannt und es gilt: M(t) = n(t t p ) (26) n = 2π T und t p : Peigäums-Duchgang Gleichung (26) egibt sich einfach, da wi wissen, dass die Anomalie bei eine Keisbahn konstante Geschwindigkeit haben muss, damit in gleiche Zeit gleiche Fläche übestichen wid. Um die Geschwindigkeit des Satelliten zu beechnen müssen wi nu noch Gleichung (21) und (23) zusammenbauen: V = dν dt = 2 da dt = 1 a(1 e 2 )µ (27) Die Geschwindigkeit des Satelliten am Peigäum und Apogäum egibt sich damit zu: 1 µ 1 + e V P = a(1 e a(1 e) 2 )µ = (28) a 1 e 1 µ 1 e V A = a(1 e a(1 + e) 2 )µ = (29) a 1 + e 5

6 Nun sind wi an de Bewegungsgleichung fü den Satelliten inteessiet. Dazu denieen wi uns zuest den zu Satellitenbahn gehöigen Scheitelkeis mit de Exzentischen Anomalie E. Duch echt übeschaubae geometische Übelegungen kommt man zu folgenden zwei Fomeln: cos(ν) = cos(e) e 1 e cos(e) cos(e) = cos(ν) + e 1 + e cos(ν) (30) (31) Auÿedem lässt sich analytisch die vom Winkel ν übestichene Fläche heleiten in Abhängigkeit von E A = 1 ab(e e sin(e)) (32) 2 Nach dem 2. Kepleschen Gesetz wissen wi, dass in gleiche Zeit gleiche Fläche übestichen wid. Das heiÿt insbesondee, dass die übestichene Fläche mit de Zeit linea ist. Also können wi folgende Gleichung aufstellen: 1 2ab(E e sin(e)) = t t p πab T t p : Peigäumsduchgang (33) Wenn wi Gleichung (30) in die Bahngleichung (15) einsetzen, ehalten wi eine Gleichung fü die Bahn des Satelliten in Abhängigkeit von E: R(E) = a(1 e2 ) a + e cos(e) e 1 e cos(e) = a(1 e cos(e)) (34) Das E haben wi abe leide nu implizit duch Gleichung (33) gegeben. Diese Gleichung lässt sich nu numeisch nach E auösen. Wenn wi dieses E dann in Gleichung (34) einsetzen, haben wi eine Gleichung fü die Bahn des Satelliten in Abhängigkeit von t. Die Bahn des Satelliten ist also eindeutig bestimmt, wenn a, e und t p gegeben sind. Wi können jetzt auch noch leicht die mittlee Anomalie in Abhängigkeit von t hinscheiben, da wi mit Gleichung (33) T in Abhängigkeit von E ausdücken können. Dieses T in Gleichung (26) eingesetzt egibt: M(t) = E e sin(e) = n(t t p ) (35) 6

7 Die Ede im Raum Punkte auf de Edobeäche Punkte auf de Edobeäche können duch geogaphische und geozentische Otskoodinaten beschieben weden. In geogaphischen Koodinaten wid de Beitengad übe den Winkel bestimmt, den ein Lot von de Obeäche des Edellipsoides mit dem Äquato bildet. In geozentischen Koodinaten wid de Beitengad übe den Winkel bestimmt, den die Vebindungslinie von dem aktuellen Punkt und Edmittelpunkt mit dem Äquato bildet. De Längengad bescheibt den Winkel in de hoizontalen Ebene. E läuft positiv in östliche Richtung und ist null im Geenwich-Meidian Die Bahn de Ede um die Sonne Die Bahn de Ede um die Sonne, auch Ekliptik genannt, ist eine Ellipse die fast wie ein Keis aussieht (e=0,01673). Die Umlaufzeit ist 365, 256 Tage und wid sideisches Jah genannt. Das topische Jah bescheibt die Umlaufdaue aus Sicht de Ede auf die Sonne. Diese Umlaufdaue betägt aufgund de Päzession de Ede nu 365, 242 Tage. Die Äquatoebene de Ede ist um 23, 5 gegenübe de Ekliptik geneigt. Die Schnittlinie Äquato- Ekliptik schneidet zweimal po Jah die Sonne, bei Fühlings (21. Mäz)- und Hebstanfang (21. Septembe). Auÿedem steht die Vebindungslinie Ede- Sonne zweimal po Jah senkecht zu Schnittlinie Äquato-Ekliptik, nämlich zum Somme (21. Juni)- und Winteanfang (21. Dezembe). Die Schnittlinie Äquato-Ekliptik zeigt imme in Richtung des γ50 Stenenbildes und wid Refeenzichtung genannt. Um die Refeenzichtung noch genaue zu denieen, deniet man sie zu Fühlingsanfang mit de Richtung de Vebindungslinie zwischen de Schnittlinie Äquato-Ekliptik und Sonne. Die goÿe Halbachse de Ekliptik wid auch astonomische Einheit (IAU) genannt und ist km lang. Die Ede hat am 2. Janua den göÿten Abstand von de Sonne (Peihel) und am 21. Juni den kleinsten Abstand zu Sonne (Aphel). Zeitmaÿstäbe Eine wichtige Zeiteinheit ist de sideale Tag, auch Stentag genannt. E hat die Daue von etwa , 1s (23h 56min 4,1s) ist bescheibt die Zeit zwischen aufeinandefolgenden Wiedekehungen eines weit entfenten Fixstenes. Eine andee wichtige Einheit ist de Sonnentag. De Sonnentag ist die Zeit, zwischen zwei aufeinandefolgenden Wiedekehungen de Sonne an eine festen Stelle auf de Ede. Aufgund de eigenotation de Ede ist de Sonnentag etwas länge als de sideale Tag. Da die Ekliptik elliptisch ist, ändet 7

8 sich die Winkelgeschwindigkeit de Ede, daaus folgt dass de Sonnentag übe das Jah seine Daue peiodisch ändet. So weicht de Sonnentag Mitte Febua -14,4min und Anfang Novembe 16,4min von dem mittleen Sonnentag ab. De mittlee Sonnentag hat eine Daue von 86400s (24h). Die Weltzeit UT1 ist deniet, indem man beim Längengad λ = 0 (Geenwich- Meidian) 12 Stunden auf die mittlee Sonnenzeit addiet. Da man auch eine technische Veköpeung de Sekunde wi übe die Atomesonanzfequenz von Cäsium 133 deniet. Dies ist auch die Basis fü die intenationale Atomzeit TAI. Da die TAI nicht ganz genau ist, füht man die koodiniete Weltzeit UTC ein. Diese Zeit wid aus de TAI abgeleitet indem Schaltsekunden eingefügt weden, sodass die Abweichung von de UT1 nicht meh als 0,9s übesteigt. Die Otszeiten entstehen duch die Addition eines otsspezischen ganzzahligen Osets zu UTC. Bei uns ist die MEZ UTC+1 und die MESZ (Sommezeit) UTC+2. De Mond De Mond ist ein natüliche Satellit de Ede und bewegt sich auf eine nahezu keisfömigen Bahn (e=0,0549) mit eine Umlaufzeit von ca. 27 Stentagen um die Ede. Die Bahn des Mondes ist gegenübe de Äquatoebene de Ede um 5,14 inkliniet, die goÿte Halbachse de Mondbahn ist km. Da de Mond eine nicht zu venachlässigende Masse hat (ca. 1/81 de Edmasse) hat die Gavitation des Mondes auf künstliche Edsatelliten einen spübaes Einuss. Satellitenbahnen im Raum Bei de Plazieung eine Satellitenbahn im Bezug zu Ede hat man 3 Feiheitsgade. Die Inklination i ist die Neigung de Satellitenbahn gegenübe de Äquatoebene de Ede. Die Rectaszension Ω ist de Winkel zwischen de Refeenzichtung und dem Süd-Nod-Äquatoduchgang de Satellitenbahn. Das Peigäumsagument ω ist de Winkel zwischen de Schnittlinie Äquatoebene-Satellitenebene und de Peigäumsichtung. Um eine Satellitenbahn um die Ede vollständig zu bescheiben baucht man 6 Paamete. Die goÿte Halbachse a, die numeische Exzentizität e und eine Zeitangabe (z.b. τ p ) baucht man um die Bewegung in de Bahnebene eindeutig zu bestimmen. Um die Bahnebene elativ zu Ede eindeutig anodnen zu können baucht man noch das Peigäumsagument ω sowie die Inklination i und die Rektaszension Ω. Diese 6 Paamete heiÿen auch Keple-Bahnpaamete. Die Teestische Pespektive De Subsatellitenpunkt ist de Punkt, an dem die Vebindungsgeade zwischen Satellit und Edmittelpunkt die Edobeäche duchtitt. Die Satellitenspu ist die Spu, die de Subsatellitenpunkt bescheibt. Zu Bestimmung des Subsatellitenpunkts lassen wi die Eigenotation de 8

9 Ede zunächst auÿe Betacht und wi nehmen an dass die Ede eine Kugel mit Radius 1 sei. Wi nomieen den Abstand zwischen Edmittelpunkt und Satellit auf 1. In den Edmittelpunkt legen wi ein katesisches Koodinatensystem, so dass die xy-achse in de Äquatoebene liegt und die x-achse in Richtung des Aufsteigenden Knotens N A. φ SL ist im Folgenden de Beitengad und λ SL de Längengad des Satelliten. Fene denieen wi uns λ T F := λ SL λ N, wobei λ N de Beitengad des aufsteigenden Knotens ist. Mit cos(φ SL ) können wi den SL (Subsatellitenpunkt in die Äquatoebene pojezieen. Die Koodinaten des SL ehalten wi dann wie folgt: x = cos(φ SL ) cos(λ T F ) y = cos(φ SL ) sin(λ T F ) (36) z = sin(φ SL ) Auÿedem gilt fü die Inklination i de Satellitenbahn: tan(i) = z y (37) sin(φ SL ) tan(i) = cos(φ SL ) sin(λ T F ) tan(φ SL ) = sin(λ T F ) tan(i) Im Folgenden ist u die Wahe Anomalie de Satellitenbahn. Mit sin(u) pojezieen wi den Fahstahl des Satelliten auf die yz-ebene. Die z-koodinate in Abhängigkeit de Inklination i und wahen Anomalie u ehalten wi dann wie folgt: z sin(u) = sin(i) sin(φ SL ) = sin(u) sin(i) (38) Duch ein Ausnutzen de gefundenen Fomeln können wi jetzt λ SL in Abhängigkeit von u und i dastellen. Wi fangen mit Gleichung (37) an: tan(λ SL λ N ) = = sin(λ T F ) (37) = 1 sin 2 (λ T F ) tan(φ SL ) tan 2 (i) tan 2 (φ SL ) tan(φ SL ) tan(i) 1 tan2 (φ SL ) tan 2 (i) (39) Mit Gleichung (38) ehalten wi noch: tan(φ SL ) = sin(φ SL ) (38) = 1 sin 2 (φ SL ) sin(i) sin(u) 1 sin 2 (i) sin 2 (u) (40) 9

10 Wi setzen jetzt (40) in (39) ein und ehalten: tan(λ SL λ N ) = tan(φ SL ) tan 2 (i) tan(φ SL ) (40) = tan 2 (i) sin(i) sin(u) 1 sin 2 (i) sin 2 (u) sin(i) sin(u) 2 1 sin 2 (i) sin 2 (u) = sin(u) sin(i) sin(u) sin(i) ( ) = (1 sin 2 (u) sin 2 (i)) tan 2 (i) sin2 (u) sin 2 (i) 1 sin 2 (u) 1 sin 2 (u) sin 2 (i) = tan(u) cos(i) (41) Die Eigenotation de Ede müssen wi abe bei de Beechnung von λ T S mit in Betacht ziehen. Dazu betachten wi den zeitlichen Velauf des Subsatellitenpunkts. Ohne Einschänkung de Allgemeinheit beginnen wi die Zeitzählung bie Peigäumsduchgang (τ p = 0) und nehmen an, dass de Knotenduchgang übe den Geenwich-Meidian (λ N = 0) efolgt. Da wi die Winkelgeschwindigkeit de Ede (Ω E = 7, s 1 ) kennen, können wi die Veschiebung des Meidians zwischen aufsteigendem Knoten und Beobachtungszeitpunkt bestimmen: λ = Ω E (t s t 0 ) (42) t 0 : Meidianduchgang t p : Peigäumsduchgang t s : jetzige Position (43) Mit Gleichung (26) können wi folgendes scheiben: t s = M n und t 0 = M 0 n M 0 : mittlee Anomalie beim Meidianduchgang λ = M Ω E n M Ω E 0 n De Längengad λ des SL im Bezug zu Ede wid damit zu: (44) λ = λ SL λ (45) Da wi λ N = 0 angenommen haben, wid Gleichung () zu: tan(λ SL ) = tan(u) cos(i) (46) damit egibt sich fü λ folgendes: Ω E λ = actan(tan(u) cos(i)) M Ω E n + M N n M N : mittlee Anomalie beim Knotenduchgang (47) 10

11 hie wid statt M 0 M N vewendet, da wi die Länge des SL vom aufsteigenden Knoten an messen. Duch Einsetzen von Gleichung () ehalten wi: λ = actan(tan(u) cos(i)) + Ω E n (E N e sin(e N ) E + e sin(e)) + λ N M N : mittlee Anomalie beim Knotenduchgang (48) Die Beite des SL bleibt von de Eigenotation de Ede unbeeinusst: φ = acsin(sin(ω + ν) sin(i)) (49) De Abstand zwischen dem Satellit und einem Punkt auf de Edobeäche kann man wie folgt beechnen, wenn die Ede als Kugel angenommen wid. R = s 2 0 s cos(φ) (50) cos(φ) = cos(λ s λ 0 ) cos(φ s ) cos(φ 0 ) + sin(φ s ) sin(φ 0 ) λ s, φ s : Subsatellitenpunkt s : Abstand Edmittelpunkt-Satellit λ 0, φ 0 : Punkt auf de Edobeäche 0 : Edadius φ = Winkel zwischen Vebindungslinie Satellit-Edmittelpunkt und geozentischem Otsvekto De Winkel mit dem de Satellit übe dem Hoizont escheint bezeichnet man als Elevation (E). cos(e) = s sin(φ) R tan(e) = s cos(φ) 0 s sin(φ) (51) Den Winkel zwischen Nodichtung und den zum Subsatellitenpunkt zeigenden Vekto bezeichnet man als Azimuth (A). Mit dem Sinussatz egibt sich folgendes: sin(a) = sin(λ s λ 0 ) cos(φ s sin(φ) a ist nu eine Hilfsgöÿe aus de wie folgt A beechnet weden kann: Richtung Azimut A Wetebeeich NE a SE 180 a SW a NW 360 a (52) 11

12 De Winkel zwischen Vebindungsgeade Satellit-Edmittelpunkt und dem Vekto de vom Satelliten zu einem Punkt auf de Edobeäche zeigt, bezeichnet man als Nadi β. Mit Hilfe des Sinussatzes folgt: sin(β) = 0 sin(β) (53) R Die Laufzeit eines Signals vom Satelliten zu Bodenstation und umgekeht kann jetzt leicht angegeben weden als: τ = R c (54) c = m s Wenn sich de Satellit nicht auf eine geostationäen Bahn bendet, ändet sich de Abstand R und es titt eine Doppleveschiebung auf: f D = dr f dt c f : Tägefequenz (55) 12