Lösung - Schnellübung 4

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1 D-MAVT/D-MATL Analysis I HS 2016 D Andeas Steige Lösung - Schnellübung 1 Ein Keis vom Radius ollt im Innen eines Keises vom Radius R ab Die Kuve t, die dabei ein feste Punkt P auf dem Rand des kleinen Keises bescheibt, heisst Hypozykloide a Bestimme t allgemein im Fall R b Was egibt sich im Spezialfall R =? c Was egibt sich im Spezialfall R = 2? Lösung: a Die Paametisieung eine Hypozykloide finden wi folgendemassen: Zunächst finden wi eine Paametisieung at des Mittelpunktes M des kleinen Keises und übelegen uns danach, welche Vekto bt zwischen M und P liegt Daaus ehalten wi t = at + bt Wi legen fest, dass de kleine Keis im Gegenuhzeigesinn abollt und mit t R bezeichnen wi den Winkel im Bogenmass, welche M beeits zuückgelegt hat Fü t = 0 nehmen wi weite an, dass P auf de -Achse liegt Es ist kla, dass sich M auf einem Keis mit Radius R im Gegenuhzeigesinn bewegt Es gilt also at = R sin t Aus de Geometie des Poblems ist kla, dass de vaiable Beühpunkt de beiden Keise beim Winkel t eine Distanz von Rt zuückgelegt hat Alle Punkte auf dem kleinen Keis bewegen sich Bitte wenden!

2 also elativ zu diesem Beühpunkt ebenfalls um diese Distanz im Uhzeigesinn, also gilt fü den Winkel αt zwischen P und dem vaiablen Beühpunkt αt = Rt αt = Rt Um bt zu bestimmen, sind wi jedoch nicht an αt inteessiet, sonden am Winkel zwischen bt und de Hoizontalen Wie wi aus de Skizze sehen, ist diese Winkel gleich es egibt sich also und damit t = b Einsetzen egibt αt t = Rt t = Rt t cos R bt = t sin R t t = at + yt bt = R γt = R = R t, cos t cos R + sin t 3 cos t + cos 3t 3 sin t sin 3t t sin R t Diese Kuve wid auch Astoide genannt, die - und y-achse sind die asymptotischen Tangenten in den vie Spitzen Bemekung: Fü R = n, n N egibt sich analog γt = R n 1 cos t + cosn 1t n n 1 sin t sinn 1t Diese Kuve hat n Spitzen, welche die Eckpunkte eines egelmässigen n-ecks bilden Siehe nächstes Blatt!

3 c Einsetzen egibt γt = R 2 + R sin t 2 Somit bewegt sich P nu auf de -Achse hin und he! = R sin t 0 2 Es sei f = n n + n 1 n , g = lne lne 2 lne n Zeige, dass gilt f = Og mit + und g = Of mit + Lösung: Beachte lne k = ln e 1 k e = lne + ln 1 k e Deshalb gilt + lne lne k = + Wi können also folgende Rechnung duchfühen Es gilt und deshalb + n n + n 1 n lne lne 2 lne n lne = 1 lne + ln 1 k e lne = + lne lne n n + n 1 n lne n lne n n n + n 1 n n n + lne n = + n n = n also f = Og mit + Es gilt Weil f + g = n, lne lne 2 lne n + n n + n 1 n n n lne lne 2 lne n = + n n + n 1 n n n lne lne 2 lne n n n = lne + ln 1 e lne + ln 1 n 1 e n n = 1 + ln 1 e 1 + ln 1 n e 1 n, Bitte wenden!

4 folgt g + f n n = + n n + n 1 n = 1 n 1 + ln 1 e Wi haben also gezeigt, dass g = Of mit ln 1 n e 1 n 3 Bestimmen Sie die Kümmungsfunktion t kt sowie die Evolute t zt de kubischen Paabel t t = t, t 3, t R a Wo wid die Kümmung minimal ode maimal? Beachten Sie hiebei das Vozeichen b Wie vehält sich zt in de Nähe von t = 0? Lösung: Wi definieen t = t und yt = t 3 Die esten und die zweiten Ableitungen diese Funktionen sind ẋt = 1, ẏt = 3t 2, ẍt = 0, ÿt = 6t Aus den Fomeln fü die Kümmung und Evolute von folgt, dass fü t R ist und kt = ẋÿ ẏẍ ẋ 2 + ẏ 2 = 6t 3/ t 3/2 zt = ẋ2 + ẏ 2 ẋÿ ẏẍẏ, y + ẋ2 + ẏ 2 ẋÿ ẏẍẋ = t 1 + 9t 3t 2, t t 6t 6t t 9t 5 =, t 2 6t fü t R \ {0} Die Evolute ist an de Stelle t = 0 also nicht definiet Dies lässt sich daduch ekläen, dass die Kuve dot einen Wendepunkt besitzt, also Kümmung Null hat a Die este Ableitung de Kümmung ist k t = 61 5t 1 + 9t 5/2 Daum hat k mögliche Etema an den Stellen t = ±5 1/ Um zu bestimmen, ob es sich dabei um Maima, Minima ode Wendepunkte handelt, könnten wi die zweite Ableitung de Kümmung beechnen und das bekannte Kiteium vewenden Hie wollen wi uns dies jedoch espaen und bescheiten einen andeen Weg Es gilt nämlich kt = 0, t ± k5 1/ > 0 und k 5 1/ < 0, somit liegt an de Stelle t = 5 1/ bzw t = 5 1/ ein globales Minimum bzw ein globales Maimum de Kümmung vo Siehe nächstes Blatt!

5 b Fü kleine t ist zt asymptotisch zu st = t 2, 1 6t, da die höheen Potenzen von t venachlässigba sind Die Astoide ist duch folgende implizite Gleichung gegeben 2/3 + y 2/3 = 1 Finde die Gleichung de Astoide in Polakoodinaten dh ϱ = fϕ, ϕ [0, 2π] Fü welche Winkel ϕ [0, 2π] ist de Radius ϱ minimal? Lösung: Es sei ϱ = fϕ Somit gilt Weil folgt und deshalb Wi beechnen = fϕ cosϕ, y = fϕ sinϕ 2/3 + y 2/3 = 1, fϕ 2/3 cosϕ 2/3 + sinϕ 2/3 = 1 fϕ = 3 f ϕ = Und somit f ϕ = 0 genau dann wenn was äquivalent zu 1 cosϕ 2/3 + sinϕ 2/3 3/2 2 cosϕ sinϕ sinϕ 3 3 cosϕ 2 sin ϕ + cos 3 ϕ cosϕ sinϕ = sinϕ 1/3 cosϕ, 1/3 5/2 cosϕ /3 = sinϕ /3 cosϕ = sinϕ ist Es gilt cosϕ = sinϕ genau dann wenn ϕ = π + k π 2, wobei k Z das übelegt man sich am besten am Einheitskeis Weite gilt 15 f ϕ = 2 cosϕ sinϕ sinϕ 3 3 cosϕ sin ϕ + cos 3 ϕ 2 7/ sin 2 3 ϕ 2 3 cos 2 3 ϕ 2 sin2 ϕ 2 sin ϕ + cos 3 ϕ 2 cos 2 ϕ 9 cos 3 ϕ 9 sin 3 ϕ 5/2 Es sei ϕ 0 = π + k π 2 und d = cosϕ 0 = sinϕ 0 Man ehält 3 2 f 3 d d 2 3 2d2 2d2 9d ϕ 0 = 0 3 9d 3 5/2 = d2/3 2 d d /2 d = / /2 d = 2 3 > 0, 3 weil d = 2 2 Somit hat die Funktion f : [0, 2π] R an den Punkten π, 3π, 5π, 7π lokale Minima Weil die Funktion f peiodisch ist mit Peiode π 2 und die Punkte π, 3π, 5π, 7π die einzigen kitischen von f sind, handelt es sich dabei soga um globale Mimima Beachte, dass f genau an den Stellen 0, π 2, π, 3π 2, 2π nicht diffeenzieba ist Weil abe f0 = 1 > f π handelt es sich bei diesen Punkten nicht um globale Minima Es gilt tats chlich soga, dass de Radius an den Stellen 0, π 2, π, 3π 2, 2π maimal wid

6 π π 2 3π π 5π 3π 2 7π 2π Abbildung 1: Gaph von ϱ = fϕ