1 Umkehrfunktionen und implizite Funktionen

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1 $Id: impliit.tex,v /10/30 14:00:59 hk Exp $ 1 Umkehfunktionen und impliite Funktionen 1.1 De Umkehsat Am Ende de letten Situng hatten wi alle Vobeeitungen um Beweis des Umkehsates abgeschlossen, und wollen jett mit diesem Beweis beginnen. Sat 1.5 (Sat übe Umkehfunktionen) Seien n N mit n 1 und U R n offen. Weite sei f : U R n eine stetig diffeeniebae Funktion und es sei x 0 U ein Punkt so, dass die Ableitung f (x 0 ) invetieba ist. Dann existieen offene Mengen V, W R n mit x 0 V U so, dass f V : V W bijektiv mit stetig diffeeniebae Umkehfunktion (f V ) 1 : W V ist. Weite ist f (x) fü jedes x V invetieba und es gilt fü jedes x W stets ( (f V ) 1 ) (x) = f ((f V ) 1 (x)) 1. Beweis: Da f : U R n n stetig ist, ist U := {x U f (x) ist invetieba} = (f ) 1 (GL n R) U nach Lemma 4.(a) wiede offen im R n mit x 0 U. Wähle ein ɛ > 0 mit ɛ < f (x 0 ) 1 1. Wiede da f stetig ist, existiet dann weite ein > 0 mit B (x 0 ) U so, dass f (x) f (x 0 ) ɛ fü alle x B (x 0 ) gilt. Wenden wi Lemma 3 einmal mit und einmal mit /2 an, so folgt das f B (x 0 ) injektiv ist und es eine Konstante δ > 0 mit B δ (f(x 0 )) f(b /2 (x 0 )) f(b (x 0 )) gibt. Wi ehalten die offene Menge W := B δ (f(x 0 )) R n und da f insbesondee stetig ist, ist auch die Menge V := (f B (x 0 )) 1 (B δ (f(x 0 ))) R n wiede offen mit x 0 V U U, d.h. f (x) ist fü jedes x V invetieba. Weite ist f V : V W bijektiv und wi müssen nu noch einsehen das die Umkehabbildung g := (f V ) 1 : W V stetig diffeenieba mit de in de Behauptung angegebenen Ableitung ist. Sei also y W = B δ (f(x 0 )) f(b (x 0 )) und sei x B (x 0 ) mit y = f(x), also x = g(y) V. Wähle ein ɛ > 0 mit ɛ < f (x) 1 1 und weite wie oben ein s > 0 mit B s (x) V B (x 0 ) und f (x ) f (x) s fü alle x B s (x). Eneut nach dem Injektivitätslemma Lemma 3 gibt es ein δ > 0 so, dass B δ (f(x)) f(b s (x)) f(v ) = W gilt und das (f B s (x)) 1 B δ (f(x)) = g B δ (y) in y = f(x) diffeenieba ist mit g (y) = f (x)

2 Damit sind die Diffeeniebakeit von g sowie die Fomel fü die Ableitung von g bewiesen. Insbesondee ist g stetig, und damit ist g : W R n n nach Lemma 4.(c) als Hinteeinandeausfühung deie stetige Funktionen selbst stetig, d.h. g ist soga stetig diffeenieba. Bevo wi u einigen Beispielen kommen, wollen wi est einmal einige unmittelbae Koollae des Umkehsates festhalten. De Umkehsat handelt unächst nu von stetige Diffeeniebakeit, mittels de expliiten Fomel fü die Ableitung de Umkehfunktion läßt e sich abe leicht auf q-fache stetige Diffeeniebakeit ausdehnen. Koolla 1.6 (Höhee Diffeeniebakeit von Umkehfunktionen) Seien n N, q N { } mit n, q 1 und U R n offen. Weite sei f : U R n eine q-fach stetig diffeeniebae Funktion und es sei x 0 U ein Punkt so, dass die Ableitung f (x 0 ) invetieba ist. Dann existieen offene Mengen V, W R n mit x 0 V U so, dass f V : V W bijektiv mit q-fach stetig diffeeniebae Umkehfunktion (f V ) 1 : W R n ist. Beweis: Da q 1 ist gibt es nach dem Umkehsat Sat 5 unächst offene Mengen V, W R n mit x 0 V U so, dass f V : V W bijektiv mit de stetig diffeeniebaen Umkehfunktion g := (f V ) 1 : W V ist. Dabei gilt g = ν f g wobei ν : GL n R R n n die nach Lemma 4.(c) unendlich oft diffeeniebae Invetieungsabbildung ist. Wi eigen jett duch Induktion nach q das g stets q-fach stetig diffeenieba ist wenn f dies ist. De Induktionsanfang q = 1 ist dabei kla. Sei nun q > 1 und unsee Behauptung sei fü q 1 beeits eingesehen. Ist dann f als q-fach stetig diffeenieba voausgesett, so ist f noch (q 1)-fach stetig diffeenieba und g ist nach unsee Induktionsannahme ebenfalls (q 1)-fach stetig diffeenieba, d.h. f = ν f g ist wiede (q 1)-fach stetig diffeenieba, d.h. g ist q-fach stetig diffeenieba. Pe vollständige Induktion ist das Lemma damit im Fall q N eingesehen, und damit gilt es auch im Fall q =. Die in diesem Koolla nachgewiesene Eigenschaft de Einschänkung f V wid als C q - Diffeomophie beeichnet, ein C q -Diffeomophismus ist eine Koodinatentansfomation unte de -fache Diffeeniebakeit fü q ehalten bleibt. Genaue definieen wi Definition 1.1: Seien n N mit n 1, U, V R n offen und q N { } mit q 1. Ein C q -Diffeomophismus f : U V ist eine bijektive, q-fach stetig diffeeniebae Abbildung f : U V so, dass auch die Umkehabbildung f 1 : V U wiede q-fach stetig diffeenieba ist. In Temen dieses Begiffs nimmt de Umkehsat die folgende Fom an: Koolla 1.7 (Kiteium fü C q -Diffeomophismen) Seien n N, q N { } mit n, q 1, U R n offen und f : U R n eine q-fach 3-2

3 stetig diffeeniebae Abbildung. Scheibe V := f(u) R n. Dann gelten: (a) Ist f (x) fü jedes x U invetieba, so ist V offen im R n. (b) Genau dann ist V R n offen und f : U V ein C q -Diffeomophismus wenn f injektiv ist und f (x) fü jedes x U invetieba ist. Beweis: Dies ist Aufgabe (4). 1.2 Die dei Standad-Koodinatentansfomationen Einige Beispiele fü die Anwendung des Umkehsates in de Fom des Koolla 7 finden sich in den Aufgaben (1), (3) und (5). In diesem Abschnitt wollen wi dei weitee solche Beispiele diskutieen. Wi beginnen mit den ebenen Polakoodinaten, im Zusammenhang mit den komplexen Zahlen wuden diese beeits in I. 5.2 behandelt. Die Polakoodinaten sind duch eine Einschänkung de unendlich oft diffeeniebaen Abbildung ϕ : R 2 R 2 ; (, φ) ( cos φ, sin φ) gegeben. Als Ableitung egibt sich fü, φ R ( ) cos φ sin φ ϕ (, φ) = mit det ϕ (, φ) = (cos 2 φ + sin 2 φ) =, sin φ cos φ im Fall 0 ist die Ableitung ϕ (, φ) also invetieba. Totdem ist die Einschänkung von ϕ auf R >0 R kein C -Diffeomophismus, da sie wegen de Peiodiität ϕ(, φ + 2π) = ϕ(, φ) sichelich nicht injektiv ist. Um eine injektive Abbildung u ehalten müssen wi die Winkel φ auf ein offenes Intevall de Länge 2π einschänken, etwa auf U := R >0 ( π, π). Da φ de Winkel von ϕ(, φ) u x-achse ist, ist das Bild dann C := ϕ(r >0 ( π, π)) = R 2 \{(x, 0) x 0} = C\R 0, die sogenannte geschlitte Ebene. Dass die Abbildung ϕ U : U C tatsächlich bijektiv ist, ist uns beeits aus dem esten Semeste bekannt, wi wollen den fomalen Beweis abe uhig noch einmal wiedeholen. Zunächst beachte das fü (, φ) U entwede φ 0 und somit sin φ 0 ist ode φ = 0 und cos φ = > 0 ist, d.h. es ist übehaupt ϕ(, φ) C. Sei nun ein Punkt (x, y) C gegeben, d.h. es ist y 0 ode x > 0. Insbesondee ist := x 2 + y 2 > 0 und es gilt (x/) 2 + (y/) 2 = 1, also auch x/ 1. Dabei ist x/ 1 denn andenfalls wäe wegen (x/) 2 + (y/) 2 = 1 auch y/ = 0 also x < 0 und y = 0 im Widespuch u (x, y) C. Damit ist genau dann 3-3

4 y = 0 wenn x/ = 1 ist, also ehalten wi einen eindeutigen Winkel φ ( π, π) mit cos φ = x/ und sign(φ) = sign(y). Es folgt weite sin φ = sign(sin φ) sin 2 φ = sign(y) ( x ) 2 1 cos 2 φ = sign(y) 1 (y ) 2 sign(y) y = sign(y) = = y, d.h. es ist (, φ) U mit ϕ(, φ) = (x, y). Ist umgekeht (s, ψ) U mit (x, y) = ϕ(s, ψ), so haben wi unächst s 2 = s 2 (cos 2 ψ + sin 2 ψ) = x 2 + y 2 = 2, also s = da, s > 0 sind, und (x,y) somit gelten auch cos ψ = x/s = x/ = cos φ und ebenso sin ψ = y/s = y/ = sin ψ. Wegen y φ, ψ ( π, π) folgt aus cos ψ = cos φ unächst ψ = ±φ und somit auch sin φ = sin ψ = ± sin φ, φ x d.h. wi müssen ψ = φ haben. Diese Übelegung beweist das ϕ : U C tatsächlich bijektiv ist, und nach Koolla 7 ist ϕ : U C damit ein C - Diffeomophismus. Auch die geometische Bedeutung de Polakoodinaten ist uns schon aus I. 5.2 vetaut, sind > 0 und φ ( π, π), so ist de entspechende Punkt (x, y) = ϕ(, φ) in catesischen Koodinaten gegeben als x = cos φ, y = sin φ, d.h. die este Polakoodinate = x 2 + y 2 ist de Abstand des Punktes (x, y) um Uspung und die weite Polakoodinate φ ist de Winkel de duch (0, 0) und (x, y) gehenden Halbgeade u positiven x-achse, nomiet auf Winkel φ < π. Man nennt φ = ag(x, y) = ag(x + iy) dann bekanntlich auch das Agument des Punktes (x, y) beiehungsweise de komplexen Zahl x + iy. Die Fomel u Beechnung von φ aus den catesischen Koodinaten y x, y untescheidet sich je nachdem in welchen de vie Quadanten de Punkt (x, y) liegt, dies wude ausfühlich in I. 5.2 bespochen. In diesem Beispiel könnten wi natülich die Diffeeniebakeit de Umkehabbildung ϕ 1 auch diekt an diesen Fomeln sehen, die Vewendung des Umkehsates ist hie nu bequeme. Die Zylindekoodinaten sind eine einfache Eweiteung de Polakoodinaten auf den deidimensionalen Fall, die ditte Koodinate wid identisch hinugefügt. Als Abbildung haφ x 3-4

5 ben wi also ϕ : U R C R; (, φ, ) ( cos φ, sin φ, ). Da in den esten beiden Komponenten die ebenen Polakoodinaten stehen, sind auch die Zylindekoodinaten ϕ eine bijektive Abbildung. Fü alle (, φ) U, R gelten cos φ sin φ 0 ϕ (, φ, ) = sin φ cos φ sowie det ϕ (, φ, ) = und eneut nach Koolla 7 sind die Zylindekoodinaten ein C -Diffeomophismus. Die geometische Intepetation ist analog u de de Polakoodinaten, die Zahl = x2 + y 2 ist de Abstand des Punktes (x, y, ) u -Achse, de Winkel φ = ag(x, y) ist de Winkel den die senkechte duch (x, y, ) und den Nullpunkt gehende Ebene u x-ebene bildet, wiede nomiet auf φ < π, und ist schließlich die Höhe des Punktes (x, y, ) übe de xy-ebene. Wi kommen jett u den Kugelkoodinaten, diese sind in vielelei Hinsicht p die diekte Veallgemeineung de Polakoodinaten ins Deidimensionale. Ge- φ p/ =cos ψ geben sei ein Punkt p = (x, y, ) im R 3 mit p 0. Als este Koodinate nehmen wi wie bei den Polakoodinaten ψ δ φ den Abstand um Nullpunkt, also := x2 + y > 0. Teilen wi unseen Punkt duch, so ehalten wi den Einheitsvekto p/ = (x/, y/, /). Die - Koodinaten de Punkte auf de Kugel vaiieen wischen 1 und 1, wi können also = cos ψ = = cos ψ mit einem eindeutigen 0 ψ π scheiben. Bilden wi das echtwinklige Deieck mit Ecken im 0, p/ und (0, 0, /), so wid ψ de bei 0 anliegende Winkel de -Achse gegen die Uspungsgeade duch den Punkt p, denn die Hypothenuse in diesem Deieck hat die Länge Eins und die Ankathete bei ψ hat die Länge /. In de Höhe / = cos ψ schneidet die Einheitskugel einen Keis von Radius 1 cos2 ψ = sin 2 ψ = sin ψ aus. Die Punkte auf diesem Keis können wi somit duch eine Polakoodinate φ bescheiben, also ( x, y ) = (sin ψ cos φ, sin ψ sin φ). 3-5

6 Geometisch ist φ dann de Winkel de x-achse u (x/, y/, 0), also u Pojektion des Punktes p in die (x, y)-ebene. Altenativ kann man auch sagen das φ de Winkel wischen de Uspungsgeaden duch p und de (x, )-Ebene ist. Insgesamt ist damit Wegen x = cos φ sin ψ, y = sin φ sin ψ, = cos ψ. x 2 + y = 2 sin 2 ψ (sin 2 ψ + cos 2 ψ) + 2 cos 2 ψ = 2 (sin 2 ψ + cos 2 ψ) = 2 ist > 0 duch diese Gleichungen umgekeht auch eindeutig bestimmt. Duch die Nomieung 0 ψ π ist auch ψ eindeutig festgelegt und de Winkel φ muss eneut auf ein Intevall de Länge 2π nomiet weden, also beispielsweise > 0, 0 ψ π, π φ < π. Es gibt noch eine weite, leicht unteschiedliche Vaiante, die Kugelkoodinaten einufühen. Anstelle von / = cos ψ kann man auch / = sin δ mit einem Winkel π/2 δ π/2 scheiben. Geometisch ist δ dann de Winkel den die Uspungsgeade duch p mit de (x, y)-ebene bildet. De Winkel φ ändet sich nicht, und diese weite Vaiante de Polakoodinaten scheibt sich als x = cos φ cos δ, y = sin φ cos δ, = sin δ. Betachten wi das im obenstehenden Bild eingeeichnete Rechteck, so sehen wi das sich die Winkel ψ und δ u einem echten Winkel egänen, sie hängen also übe die einfache Gleichung δ = π 2 ψ usammen. In de von uns vewendeten esten Vaiante de Kugelkoodinaten entspicht ψ = 0 auf de Kugel dem Nodpol, ψ = π ist de Südpol und ψ = π/2 de Äquato. In de weiten Vesion ist dagegen δ = 0 de Äquato, δ = π/2 de Nodpol und δ = π/2 de Südpol. Andes gesagt ist δ de Beitengad von Punkten de Kugel, wähend φ de Längengad ist. Um die Kugelkoodinaten als einen C -Diffeomophismus u intepetieen, müssen wi sie wiede auf eine geeignete offene Menge einschänken und hieu vewenden wi ϕ : R >0 ( π, π) (0, π) C R; (, φ, ψ) ( cos φ sin ψ, sin φ sin ψ, cos ψ). Wi wollen uns übelegen das hieduch wiklich eine bijektive Abbildung definiet wid. Sind > 0, π < φ < π und 0 < ψ < π, so ist im Fall φ 0 sofot sin φ sin ψ 0 wähend im Fall φ = 0 stets cos φ sin ψ = sin ψ > 0 ist, d.h. 3-6

7 wi haben ϕ(, φ, ψ) C R. Ist (x, y, ) C R, so gilt y 0 ode x > 0. Definiee > 0 und 0 ψ π wie oben. Wäe ψ = 0 ode ψ = π, so hätten wi (/) 2 = cos 2 ψ = 1, also wegen (x/) 2 + (y/) 2 + (/) 2 = 1 auch x = y = 0, im Widespuch u (x, y) C. Also ist 0 < ψ < π. Schließlich sei π φ < π mit (x/, y/) = (cos φ sin ψ, sin φ sin ψ). Wegen (x, y) C ist dann soga π < φ < π, also ist (, φ, ψ) R >0 ( π, π) (0, π) mit (x, y, ) = ϕ(, φ, ψ). Dass die dei Kugelkoodinaten unte de betachteten Nomieung auch eindeutig bestimmt sind, haben wi beeits eingesehen, d.h. unsee Abbildung ϕ ist bijektiv. Um u eigen, dass es sich um einen Diffeomophismus handelt, übepüfen wi wiede die Invetiebakeit de Ableitung. Die Jacobi Matix de Tansfomation auf Kugelkoodinaten ist ϕ (, φ, ψ) = cos φ sin ψ sin φ sin ψ cos φ cos ψ sin φ sin ψ cos φ sin ψ sin φ cos ψ cos ψ 0 sin ψ fü alle > 0, φ ( π, π), ψ (0, π) mit de Deteminante cos φ sin ψ sin φ sin ψ cos φ cos ψ sin φ sin ψ cos φ sin ψ sin φ cos ψ cos ψ 0 sin ψ = 2 sin ψ ( cos ψ sin φ cos φ cos φ cos ψ sin φ cos ψ sin ψ cos φ sin ψ sin φ sin ψ, ) sin φ cos φ = 2 sin ψ (cos 2 ψ + sin 2 ψ) = 2 sin ψ < 0. Nach Koolla 7 handelt es sich bei den Kugelkoodinaten ϕ damit wiede um einen C -Diffeomophismus 1.3 De Sat übe impliite Funktionen In diesem Abschnitt wollen wi den sogenannten Sat übe impliite Funktionen behandeln, dies ist de Sat de den theoetischen Untebau fü das impliite Diffeenieen liefet. Wi wollen unächst diese Rechentechnik einfühen und beginnen mit dem üblichen Standadbeispiel. Wi betachten fü x, y R und eine Konstante > 0 die Gleichung x 2 + y 2 = 2, geometisch bescheibt diese den Keis mit Radius und Mittelpunkt in Null. Wi können diese Gleichung als die impliite Definition eine Funktion y von x, also y = y(x) auffassen. In andeen Woten wid die Gleichung nach y aufgelöst. Wi wollen die Ableitung y (x) von y nach x bestimmen. In diesem konketen Beispiel können wi natülich einfach expliit y = ± 2 x 2 scheiben und wie üblich ableiten, wi wollen hie abe ein Vefahen bescheiben das diese expliite Beechnung von y vemeidet. 3-7

8 Zu diesem Zweck leiten wi beide Seiten de Gleichung nach x ab, und ehalten 0 = d2 dx = d dx (x2 + y 2 ) = 2x + 2y dy dx beiehungsweise in Funktionsscheibweise y (x) = x y(x)., also dy dx = x y, Dieses impliite Diffeenieen ist auch dann möglich wenn wi ga nicht in de Lage sind die betachtete Gleichung tatsächlich aufulösen, und fü diese Situation schauen wi uns einmal das Beispiel e 2x 3y + 3x 5y = 0 an. Eine Lösung ist x = 3, y = 2, und wi wollen y = y(x) scheiben und die Ableitung y (3) bestimmen. Leiten wi die Gleichung wiede auf beiden Seiten nach x ab, so egibt sich ( 2 3 dy ) e 2x 3y dy dx dx = 2e2x 3y + 3 ( 3e 2x 3y + 5 ) dy! = 0, dx also dy dx = 2e2x 3y + 3 3e 3x 3y + 5. Seten wi konket den Punkt (x, y) = (3, 2), so wid y (3) = 5/8. Um deatige Rechnungen in einen mathematischen Sat u vewandeln, müssen wi noch auf ein Poblem hinweisen. Wi haben bishe untestellt das es übehaupt möglich ist die Vaiable y als Funktion y = y(x) in de andeen Vaiable x u scheiben, dass sich also die Gleichung umindest pinipiell auflösen läßt. Das hie im Allgemeinen Pobleme auftauchen sieht man schon am Eingangsbeispiel x 2 + y 2 = 2. Zum einen ist die Funktion y mehwetig, da es u x eben wei Lösungen gibt die sich duch das Voeichen von y voneinande untescheiden. Dieses Poblem kann man noch beheben indem man sich auf einen lokalen Standpunkt stellt, u gegebene Lösung (x 0, y 0 ) läßt sich y = y(x) auflösen solange (x, y) auseichend nahe bei (x 0, y 0 ) liegt. Abe selbst diese lokale Intepetation hat noch ihe Pobleme, schauen wi uns die Lösung (x 0, y 0 ) = (, 0) an, so läßt sich die Zweiwetigkeit von y nicht einmal lokal beheben. De in de nächsten Situng behandelte Sat übe impliite Funktionen wid uns ein Kiteium geben anhand dessen wi entscheiden können ob sich die betachtete Gleichung umindest lokal auflösen läßt. 3-8