Erzeugung eines Skalars durch räumliche Differentiation einer vektoriellen Größe

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1 eugung eines Skalas duch äumliche Diffeentiation eine ektoiellen Göße Diegen - de Gaußsche Integalsat Diegen ist als Wot aus de Stahlenoptik bekannt wid hie abe iel allgemeine gebaucht: Unte Diegen estehen wi das Netto de aus einem aumgebiet kommenden ektoen des betachteten ektofeldes. Beispiel: - ektofeld const. - paallele Lichtstahlen - usbeitung in feilichtung - feillänge entspicht nahl de hotonen je Sekunde De Lichtstom duch die läche beechnet sich mit dem Skalapodukt ist fü beide lächen bis auf das eschiedene oeichen identisch.. nmekung: ü die seitlichen lächen egibt sich ohnehin Null da de lächenekto und das ektofeld senkecht ueinande stehen. Dahe folgt fü das Skalapodukt. Liegt im inneen des olumens bsoption o so wid links echts Man spicht on eine negatien giebigkeit on eine "Senke" im Spatolumen. Die im Spat absobiete Lichtmenge lässt sich mit Hilfe des beflächenintegals beechnen: d S Senke Liegt im inneen des olumens eine Lichtquelle o so wid links echts Man spicht on eine positien giebigkeit eine "uelle" im Spatolumen. Die on de uelle geliefete Lichtmenge lässt sich beechnen d uelle Die giebigkeit des betachteten olumens kann auch dagestellt weden übe die giebigkeit eines aumpunktes ode aumabschnittes ü die giebigkeit eines uadeolumens homogen in Beug auf die Leuchtdichte gilt dann: d Die Gesamtegiebigkeit S S : giebigkeit po aumpunkt Leuchtdichte ist gleich de giebigkeit eines einelnen aumpunktes multipliiet mit de nahl de leuchtenden aumpunkte. De allgemeine all kann duch ein entspechendes olumenintegal beechnet weden: S d d - Spatolumen d d d d - olumenelement. D. Hempel / Mathematisch Gundlagen - Diegen Seite

2 D. Hempel / Mathematisch Gundlagen - Diegen Seite Definition des Diegenbegiffs usgangspunkt fü die skalae Göße Diegen ist die eben abgeleitete Integalbeiehung. eeinfacht kleines olumen homogenes eld lässt sich das Integal mittels endliche Gößen fü einen uade als Summe scheiben: d wegen egibt sich: d und im allgemeinen all: d Somit egibt sich fü die giebigkeit eines inelpunktes Genübegang uadeolumen die Beiehung: d d d d d d di Die Gesamtegiebigkeit eines endlichen aumolumens kann unte Zuhilfenahme de beeits bekanten Integalbeiehung und de uelldichte wie folgt beechnet weden: d d Diese Gleichung wid als "Gaußsche Integalsat" beeichnet und läßt sich scheiben: Man definiet die Diegen eines ektos duch die Diffeentialopeation d d d d d d di und esteht daunte die giebigkeit eines aumpunktes uelldichte. Die Diegenbildung on einem ekto füht imme u einem Skala. d di d Das beflächenintegal des ektos genommen übe eine geschlossene befläche ist gleich dem aumintegal de Diegen des ektos genommen übe das eingeschlossene olumen.

3 Diegen - altenatie Dastellung: phsikalisches Beispiel im Inneen eine geschlossenen läche befindet sich die elektische Ladungsdichte mit d ; d an positien Ladungen entspingen die eldektoen uellen an negatien Ladungen enden sie Senken. Wie beeits gesehen luss eines adialsmmetischen eldes duch eine Kugelobefläche - Skipt beflächenintegal gilt: d Diision duch das olumen egibt eine mittlee uellendichte d wenn die uellendichte in einem unkt inteessiet: di d Die emittelte Diegen liefet eine eindeutige ussage ob de unkt u den uellen des ektofeldes di ode den Senken des ektofeldes di gehöt. Im alle di ist das eld quellen- und senkenfei. In nlehnung an dieses Betachtung beeichnet man die Diegen auch als die uellenstäke eines ektofeldes. Die Diegen ist ein Skalafeld das an jedem unkt angibt ob das eld dot eine uelle/senke besitt und wie egiebig diese ist. Diegen des Gadientenektos - de Laplace-peato Da die peation Diegen auf jegliche ektofelde anwendba ist lässt sie sich auch auf das ektofeld des Gadienten gad f anwenden: di gad f f f f f D. Hempel / Mathematisch Gundlagen - Diegen Seite

4 D. Hempel / Mathematisch Gundlagen - Diegen Seite Heleitung eine paktischen echenoschift: - beeits bekannt: d di - Wi esuchen eine Näheung übe endliche Gößen: d } { Wi bilden ; und ehalten als Genwet die Summe de dei patiellen bleitungen Die Diegen-peation lässt sich auch mit Hilfe des Nabla-peatos als Skalapodukt ausdücken: di Diegen des ektofeldes : d di

5 D. Hempel / Mathematisch Gundlagen - Diegen Seite 5 ausgewählte Beispiele Beispiel : ü homogene ektofelde eschwindet die Diegen. c b a c b a di Beispiel : Das ektofeld hat die Diegen. di Beispiel : Das elektische eld eine Kugel mit homogene Ladungsdichte Gesamtladung Kugeladius hat außehalb de Kugelobefläche die om entspicht unktladung im Zentum innehalb de Kugel wid nu de jeweils eingeschlossene Ladungsteil wiksam: / / ; ußehalb de Kugel eschwindet die Diegen des elektischen eldes: 5 di Im Kugelinneen gilt di Bei homogene Ladungseteilung ist im Innen de Kugel jede unkt eine uelle des elektischen eldes. ußehalb de Kugelobefläche ist das elektische eld quellen- und senkenfei.