Lösen von Extremwertaufgaben mit EXCEL

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1 Lösen von Etemwetaugaben mit EXCEL In de Wissenschat, abe auch in de Witschat, spielt das Lösen von Etemwetaugaben eine goße Rolle. Imme wiede wid die Fage danach gestellt, was untenommen weden muss, damit die minimalsten Kosten, de gößte Gewinn, die gößte Ausbeute ode auch de kleinste Mateialeinsatz eeicht weden kann. In diesem Beitag soll demonstiet weden, wie neben dem Einsatz de Dieentialechnung auch de in EXCEL integiete Solve zu Lösung diese Pobleme genutzt weden kann. Jede, de beide eahen paallel zueinande epobt hat, wid dann eststellen können, welch eine Reduzieung des Abeitsauwandes beim Einsatz von EXCEL eeicht weden kann. Natülich kann keinem de Nutze von EXCEL espat bleiben, dass e bei beiden eahen die esten gleichen Schitte vonehmen muss. In diesem Beitag sollen dem Anwende von EXCEL beide eahensweisen am Standadbeispiel des Mathematikunteichts augezeigt weden. Des Weiteen sollen im letzten Teil des Beitages weitee mögliche Augabenstellungen augeüht weden. (Die mathematischen als auch die Lösungen in EXCEL können übe den Auto bezogen weden). Inhaltsvezeichnis 1 Augabenstellung... Mathematische Lösung....1 Finden des mathematischen Ansatzes Austellen de mathematischen Funktion Bestimmen de lokalen Etema Analysieen des ehaltens de Funktion an den Randstellen Fomulieen de/des Egebnisse/s Lösen von Etemwetaugaben mit EXCEL Estellen des entspechenden Tabellenblattes Lösen de Etemwetaugabe mit Hile des in EXCEL integieten Solves Paktische Anwendungsbeispiele Beechnung Mateialvebauch ü eine Konsevendose Mathematische Lösung Lösen de Augabe mit dem Solve Beechnung Spotanlage Mathematische Lösung Lösen de Augabe mit dem Solve Beechnung Bewässeungskanal Mathematische Lösung Lösen de Augabe mit dem Solve Beechnung Kosten Wasseleitung Mathematische Lösung Lösen de Augabe mit dem Solve Fieting, Ola 1 von , 15:05

2 1 Augabenstellung Aus einem echteckigen Blech mit den Seitenlängen S 1 = 16 cm und S = 6 cm soll ein Geäß mit maimalem Fassungsvemögen (olumen) hegestellt weden, indem aus jede Ecke ein Quadat heausgeschnitten wid, de Rest zu einem oenen Quade zusammengebogen und veschweißt wid. S1 a S b Wie goß müssen die Seiten des heauszuschneidenden Quadates sein, damit die Augabe ealisiet weden kann? Wie goß sind die Seiten a und b des Geäßes? Wie goß ist das olumen des Behältes? Mathematische Lösung Zu Lösung von Etemwetaugaben wid in de Mathematik als Mittel die Dieentialechnung heangezogen. Dabei ist in olgenden Schitten vozugehen: (1) Finden des mathematischen Ansatzes () Austellen de mathematischen Funktion und Festlegung des Deinitionsbeeiches (3) Bestimmen de lokalen Etema (4) Analysieen des ehaltens de Funktion an den Randstellen (5) Fomulieen des Egebnisses Bei Poblemstellungen, die sich mit quadatischen Funktionen bescheiben lassen sind keine Mittel de Dieentialechnung notwendig. Hie eichen Scheitelpunktbetachtungen. Als Beispiel kann die Augabe heangezogen wede, dass man mit 100 m Zaun, eine möglichst goße echteckige Fläche eingezäunt weden soll. Fieting, Ola von , 15:05

3 .1 Finden des mathematischen Ansatzes In diesem Schitt kommt es daau an, die Göße zu deinieen, die das entspechende Etemum dastellt, von welche Göße es abhängt und von welche At dieses Etemum ist. Weitehin sind Nebenbedingungen und Einschänkungen sowie weitee, au de Gundlage de zu suchenden abhängigen Göße, zu bestimmende Wete mathematisch estzulegen. Lösungsansatz 1 Gesuchtes Etemum: olumen () At des Etemums: Maimum 3 Bestimmende Göße des Etemums: Seitenlänge des Quadates () 4 Nebenbedingungen/Einschänkungen: 0 < <s und 0 < <3 Gesuchte Lösungen Maimale olumen (ma) Länge und Beite des Behältes (a, b). Austellen de mathematischen Funktion Die mathematische Funktion, die das olumen des Behältes bescheibt, kann dabei mit: a; b a b ; deiniet weden. Bei Etemwetaugaben, die zunächst eine Funktion mehee aiablen ist, muss duch Anwenden de Nebenbedingungen, diese in eine Funktion mit eine aiablen übeüht weden. Aus de obigen Dastellung ist zu ekennen, dass a mit a s 1 und b mit b s estgelegt weden kann. Daaus egibt sich ü die Fomel des olumens olgende Ausduck: s )( s ) ( 1 Nach Einsetzen de Wete ü s1 = 16 cm und s = 6 cm ehält man: ( 16 )(6 ) Das Aulösen diese Fomel egibt den olgenden Ausduck: Fieting, Ola 3 von , 15:05

4 .3 Bestimmen de lokalen Etema Bestimmen de Etemwetstelle Zum Emitteln de Etemwetstelle (-Wet de Funktion, an de die Funktion ihen Etemwet hat) wid die este Ableitung de Funktion () gebildet I Anschließend muss die este Ableitung de Funktion zu Null gesetzt weden und man ehält olgende Gleichung: Da es sich hie um eine quadatische Gleichung handelt, kann diese mit Hile des ieta'schen Wuzelsatzes gelöst weden. Dabei muss beachtet weden, dass zwei Lösungen emittelt weden können p p ( 1, ) q Daaus egibt sich olgende Tem: ( ) 6 6 1, 8 6 1, , 14 6 Nach Aulösung de entspechenden Fomel ehält man zwei Egebnisse , Fieting, Ola 4 von , 15:05

5 Auswetung de Egebnisse Au Gund de vohe estgestellten Nebenbedingungen 0 < < 3 ist zu esehen, dass de Wet ü 1 = 6 cm keine Lösung de Augabe sein kann. Es kommt also nu die Lösung = 1,33333 cm als gültiges Egebnis in Fage. Bestimmen de At des Etemwetes Hie muss estgestellt weden, ob es sich bei dem emittelten Egebnis wiklich um ein Etemum (Maimum, Minimum) handelt. Dabei ist es notwendig die zweite Ableitung de augestellten Funktion, welche die este Ableitung zugunde liegt, zu emitteln. I II 4 88 Fü ist de möglich emittelte Wet aus de Lösung de esten Ableitung einzusetzen. In diesem Falle also 1,33333 ode auch 4/ II ( ) Sollte das Egebnis kleine 0 sein, handelt es sich um ein Maimum, wie es im gegeben Fall estebt wude. Sollte das Egebnis positiv sein, handelt es sich um ein Minimum..4 Analysieen des ehaltens de Funktion an den Randstellen Weitehin muss das ehalten an den Randstellen de Funktion betachtet weden. Im Falle des betachteten Beispiels sind es die Wete, die die Nebenbedingungen bescheiben, also =0 und X=3. Beim Einsetzen diese Wete in die Ausgangsunktion ehält man jeweils ein olumen von 0, was wiedeum ein Minimum bedeuten wüde, also nicht das estebt Egebnis..5 Fomulieen de/des Egebnisse/s Wie in den voangegangenen Betachtungen emittelt wude ist ein maimales olumen zu eeichen, wenn die Seitenlänge de heauszuschneidenden Quadate 4/3 cm betagen. Das maimale olumen, das eeicht wid betägt: ( ) 4( ) 44( ) ( ) 59, Die Länge de Seiten a und b betagen dementspechend 13 1/3 cm bzw. 3 1/3 cm. Fieting, Ola 5 von , 15:05

6 3 Lösen von Etemwetaugaben mit EXCEL Wenn die Tabellenkalkulation EXCEL eingesetzt wid, hat de Nutze ein mächtiges Wekzeug zu eügung. Dabei ist natülich davon auszugehen, dass e die mathematisch dagelegten Schitte natülich ebenalls vozunehmen hat. Das betit das Finden des mathematischen Ansatzes, das Deinieen de mathematischen Funktion und auch de entspechenden Nebenbedingungen/Einschänkungen. Eine einache, jedoch seh abeitsauwendige, Lösung besteht z.b. dain, dass eine lange Liste (eventuell übe Zeilen) estellt wid, die den gesuchten Wet in 1/1000 Schitten beechnet. Danach könnte man mit Hile de Funktionen MAX ode MIN von allen emittelten Weten den gößten bzw. kleinsten Betag zu bestimmen. Wesentlich elegante und vo allem auch zeitspaende ist de Einsatz des in EXCEL integieten Solves. 3.1 Estellen des entspechenden Tabellenblattes Fü das Estellen eines unktionieenden Tabellenblattes sind natülich die oben genannten Schitte vozunehmen. Dabei kann man an einigen Stellen au komplee Fomeln vezichten, da man übe EXCEL au die einzelnen Zwischenlösungen ganz einach zuückgeien kann. Zum Lösen de genannten Augabe soll das olgende Tabellenblatt genutzt weden. Dabei wid de notwendige Wet in de Zelle H8 bestimmt. o Einsatz des Solves soll de Inhalt diese Zell lee bleiben (also au Null stehen). 3. Lösen de Etemwetaugabe mit Hile des in EXCEL integieten Solves Bei de Lösung de o.g. Etemwetaugabe ist in olgende Reihenolge vozugehen: (1) Auuen des Solves () Eintagen de Zielzelle (H10) (3) Einstellen de At des Zielwetes (hie Maimum) (4) Eintagen de veändebaen Zelle (H8) Fieting, Ola 6 von , 15:05

7 (5) Festlegen de Nebenbedingungen (H8>=0, H8<=3), die übe die Schaltläche "Hinzuügen" eingegeben weden können. (6) Nach dem Festlegen alle Paamete (siehe unten stehende Abbildung) wid mit Anklicken de Schaltläche "Lösen" die Beechnung ausgelöst. Sollte duch den Seve eine Lösung geunden weden, meldet e sich mit unten stehendem Dialogeld. Wenn die Lösung angenommen weden soll, muss die Option Lösung vewenden mit OK bestätigt weden. Fieting, Ola 7 von , 15:05

8 Die Lösungen weden dann in die veändebae Zelle eingetagen. Wie aus dem Tabellenblatt zu esehen ist, liegen auch bei diesem eahen die gleichen Lösungen vo. 4 Paktische Anwendungsbeispiele 4.1 Beechnung Mateialvebauch ü eine Konsevendose Welche Maße muss eine zylindische Konsevendose besitzen, damit bei geodetem Inhalt von einem Lite (1000 cm³) zu ihe Hestellung möglichst wenig Blech vebaucht wid? h Fieting, Ola 8 von , 15:05

9 Fieting, Ola 9 von , 15: Mathematische Lösung Gesuchte Lösungen Höhe de Dose (h) Radius () bzw. Duchmesse (d) Estellen de Ausgangsomel mit bzw. Nach Einsetzen von h in die Fomel ü die Obeläche egibt sich ode Bestimmen von Radius und Höhe de Dose Nach Umstellen de Gleichung egibt sich ü den Radius h h O ; h h O 1 O 1 4 I ,4

10 und ü die Höhe de Dose h 1000 h 5, 4 h 10,84 Dazu ist abe eine kleine Anmekung notwendig. Die ideal Dose sollte einen quadatischen Achsenschnitt haben. Das ist abe in de Pais ot nicht de Fall. Das kann z. B. daan liegen, dass eine Cola-Dose auch handlich sein soll und damit vom Optimum deutlich abweicht. Totzdem ist de Mateialvebauch in de Regel nu % höhe. Bestimmen de At des Etemwetes 4 II Nach Lösen de Gleichung egibt sich II 1 Da diese Wet göße Null ist, handelt es sich um ein Minimum Lösen de Augabe mit dem Solve Estellen des entspechenden Abeitsblattes Fieting, Ola 10 von , 15:05

11 Einstellen de Lösungsbedingungen ü den Solve Egebnis de Lösung 4. Beechnung Spotanlage Es soll eine Leichtathletikanlage gebaut weden. Diese muss eine Tatanbahn mit eine Länge von 400 m besitzen. Wie müssen die Maße de Bahn beschaen sein, damit eine maimale Spielläche A ma entsteht. l A ma Spielläche Fieting, Ola 11 von , 15:05

12 4..1 Mathematische Lösung Gesuchte Lösungen Länge Mittelstück (l) Radius () de Halbkeise Estellen de Ausgangsomel Die Länge de Bahn wid mit wie olgt beechnet. L l Laut Fodeung soll die Tatanbahn 400 m lang sein. l 400 Nach l umgestellt egibt sich: l 00 Die Fomel ü die Spielläche lautet: A ma ; l l (00 ) 400 ) Bestimmen des Radius und de Länge de Spielläche I , 4 l l , 100 Bestimmen de At des Etemwetes II 4 Da das Egebnis de zweiten Ableitung negativ ist, handelt es sich um ein Maimum. Fieting, Ola 1 von , 15:05

13 4.. Lösen de Augabe mit dem Solve Estellen des entspechenden Abeitsblattes Einstellen de Lösungsbedingungen ü den Solve Egebnis de Lösung 4.3 Beechnung Bewässeungskanal Fü eine Bewässeungsanlage soll ein tapezömige Kanal (Queschnitt) bebaut weden. Es stehen Platten mit den Maßen 4 m 4 m zu eügung. Die Platten sind so anzuodnen, dass möglichst viel Wasse (maimale Queschnitt) tanspotiet weden kann. Wie beit muss die obee Önung des Kanals sein, damit die gestellte Augabe gelöst weden kann? Wie tie wid de Kanal und in welchem Böschungswinkel müssen die Seitenplatten velegt? Fieting, Ola 13 von , 15:05

14 b s s h s Mathematische Lösung Gesuchte Lösungen Obee Önung des Kanales (b) Tiee des Kanales (h) Böschungswinkel (α) Mathematische Ansatz s b A h Nebenbedingungen b s h s Einschänkungen ü 0<= <= s/ Austellen de mathematischen Fomel s b A h A s ( s ) s Fieting, Ola 14 von , 15:05

15 ( s ) s ( s ) ( s ) Fü s = 4 gilt: (4 ) (16 ) Bestimmen de lokalen Etema Es wid zuest die este Ableitung mit Hile de Poduktegel gebildet. I (4 ) (16 ) (4 ) ( ) I Nach Lösen de Funktion ditten Gades ehält man olgende Lösungen: 1, und 3 Au Gund de oben genannten Einschänkungen kommt ü die Lösung nu 3 In Fage. 4 Übepüen de At des Etemwetes Mit gilt I II II 144 Da das Egebnis negativ ist, handelt es sich hie um ein Maimum. Fieting, Ola 15 von , 15:05

16 4.3. Lösen de Augabe mit dem Solve Estellen des entspechenden Abeitsblattes Einstellen de Lösungsbedingungen ü den Solve Egebnis de Lösung Fieting, Ola 16 von , 15:05

17 4.4 Beechnung Kosten Wasseleitung on einem Wassetum W soll zu den Hauptgebäuden H eine Wasseleitung gebaut weden. Duch eine Nebenleitung soll außedem ein abseits de Hauptleitung gelegenes Gebäude S mit Wasse vesogt weden. Dieses hat von de Hauptleitung einen Abstand von 1 km. De Fußpunkt des von S au die Hauptleitung geällten Lotes liegt in einem Abstand von km von den Hauptgebäuden entent. Die Entenung zwischen Hauptgebäuden und Wassetum betägt 6 km. Die Kosten ü einen Mete Wasseleitung weden wie olgt veanlagt: Hauptleitung (HL): Entlastete Hauptleitung (EHL): Nebenleitung (NL): 30 Einheiten Einheiten 1 Einheiten Alle Leitungen weden geadlinig velegt. In welche Entenung vom Wassetum muss die Nebenleitung von de Hauptleitung abgezweigt weden, damit die Baukosten möglichst niedig weden? HL EHL HL S 1 km W km (4-) km km H 4 km 6 km Mathematische Lösung Gesuchte Lösungen Entenung Abzweigpunkt vom Wassetum () Kosten sollen minimal sein Estellen de Ausgangsomel K K HL K NL K EHL K Fieting, Ola 17 von , 15:05

18 K Bestimmen de Entenung vom Wassetum () I I I Nach Umstellen de Gleichung egibt sich olgende Fomel: 8 15, 0 Da es sich hie um eine quadatische Gleichung handelt, kann diese mit Hile des ieta'schen Wuzelsatzes gelöst weden. Dabei muss beachtet weden, dass zwei Lösungen emittelt weden können. p p ( 1, ) q Daaus egibt sich olgende Tem: , 1, 4 0, 8 1, 4 0, ,, , 311 km, Die este Lösung entällt (siehe Zeichnung). Fieting, Ola 18 von , 15:05

19 Bestimmen de At des Etemwetes II Mit dem Egebnis ü =3,11 egibt sich ü die die zweite Ableitung ein Wet von ca. 5,00. Da diese Wet positiv ist, handelt es sich um ein Minimum Lösen de Augabe mit dem Solve Estellen des entspechenden Abeitsblattes Einstellen de Lösungsbedingungen ü den Solve Egebnis de Lösung Fieting, Ola 19 von , 15:05