SS 2017 Torsten Schreiber

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Friederike Feld
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1 SS 7 Tosten Scheibe 7

2 Eine Mati ist eine Kombination aus eine bestimmten nzahl von, die in Zeilen und Spalten unteteilt sind, die das eine Mati bestimmen, wobei jede die jede Komponente duch die zugehöige Spalte und Zeile bestimmt wid. Bei de de Matizen untescheiden wi: und Subtaktion: Wenn das Fomat, weden zwei Matizen zusammengefasst, in dem Sie addieen bzw. subtahieen. Multiplikation: Wenn Sie eine Mati mit einem Skala multiplizieen, dann müssen Sie jede mit diese Zahl multiplizieen. : Damit Sie zwei Matizen miteinande multiplizieen können, müssen die Fomatieungen übeeinstimmen, d.h. die nzahl an de esten Mati muss gleich mit de nzahl an de zweiten Mati sein. Die Beechnung efolgt dann übe das Podukt aus Zeilen- und Spaltenvekto. Um eine ussage übe eine Mati teffen zu können, beechnen Sie die. Die Beechnung efolgt bis zu eine mit dem Vefahen von, wobei es sich um keine binäe Opeation, da aus eine Mati eine Zahl ezeugt wid. Bei dem Vefahen multiplizieen Sie alle möglichen in de echten Richtung und in de linken Richtung und fassen die entstehenden Wete dann zusammen. Duch die Deteminaten können wi zum einen den eine Mati Fomat de gößtmöglichen Untedeteminate) beechnen ode die lineae untesuchen. SS 7 Tosten Scheibe 8

3 Themen, die Sie nach diese Veanstaltung kennen sollten: Wann spicht man von eine Matizengleichung? Was bedeutet die invese Mati? Beechnung de invesen Mati mittels djunkten. Beechnung de invesen Mati mittels elementae Umfomungen. Was ist de Eigenwet eine Mati? Was vesteht man unte de chaakteistischen Gleichung? Wie bestimmt man den Eigenvekto? ufgaben und Übungen zu den benannten Themen. SS 7 Tosten Scheibe 9

4 Bestimmen Sie die gefagten Wete de folgenden Matizen: a) b) 9 7 Rang SS 7 Tosten Scheibe det c) det

5 Eine Gleichung, in de mindestens eine eelle bzw. komplee Mati beteiligt ist, nennt man Matizengleichung, die als Egebnis entwede einen Vekto ode eine Lösungsmati liefet. Lösungsvekto: b Lösungsmati: X B In beiden Fällen wid als Koeffizientenmati bezeichnet. Um eine solche Gleichung lösen zu können, muss vo dem vaiablen Vekto/ Mati die Einheitsmati neutales Element Hauptdiagonale und Rest ) ezeugt weden. Einheitsmati im Fall E SS 7 Tosten Scheibe

6 ufgund de Matizengleichungen muss das System zu Lösung mittels invese Mati eweitet weden, um die Einheitsmatizu ezeugen. Duch die nicht kommutative Multiplikation ist daauf zu achten, von welche Seite die Eweiteung efolgen muss. Eine invese Mati kann nu dann beechnet weden, wenn es sich zum einen um eine quadatische Mati handelt und zum andeen, wenn sie egulä, d.h. linea unabhängig ist. Die Beechnung efolgt dann mittels de djunkten: E B X B X E X B X b b E b ij j i ij T mn m n D ) ; det SS 7 Tosten Scheibe

7 Beispiel: ) ) 8 det egulä ) 6 ) ) 8 ) 6 ) ) ) ) ) T SS 7 Tosten Scheibe

8 Man kann auch eine invese Mati daduch beechnen, in dem mittels elementae Umfomungen die Einheitsmati von de einen Seite zu andeen Seite des Gleichungssystems übefüht. Beispiel: Tausch ) ) ) SS 7 Tosten Scheibe

9 Bestimmen Sie die invese Mati unte Vewendung von Lösen Sie die folgende Gleichung: ) a) den djunkten b) elementae Umfomungen ) 6 SS 7 Tosten Scheibe

10 Es wid die Matizengleichung genaue untesucht. Eine komplee Zahl heißt Eigenwetde quadatischen Mati, wenn es Vektoenmit gibt, die Lösung de obigen Gleichung sind. Die Lösungsvektoen heißen Eigenvektoende Mati zum Eigenwet. Beispiel: Die Zahl ist Eigenwet de Mati. wähle SS 7 6 Tosten Scheibe

11 Um die möglichen Eigenwete eine Mati bestimmen zu können, nutzt man die sogenannte Eigenwetgleichung bzw. chaakteistische Gleichung von de Mati. Es entsteht aufgund de Gleichung ein Polynom vom Gade n Odnung de Mati). Eigenwete des voheigen Beispiels: Daaus egeben sich folgende Eigenvektoen: det det ) det E ) ) ) : : : SS 7 7 Tosten Scheibe

12 Beechnen Sie den zugehöigen Eigenvekto de gegebenen Mati in bhängigkeit zu dem Eigenwet. Bestimmen Sie zu de gegebenen Mati die zugehöigen Eigenwete und beechnen den jeweiligen Eigenvekto. ) ) SS 7 8 Tosten Scheibe

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