Aufgabenerstellung und Bewertung von Klausuren und Prüfungen für den Erwerb der. Fachhochschulreife

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1 MATHEMATIK Aufgabenestellung und Bewetung von Klausuen und Püfungen fü den Eweb de Fachhochschuleife in beuflichen Bildungsgängen im Rahmen duale ode vollqualifizieende Bildungsgänge, in de Beufsobeschule (Jahgangsstufe, de Fachobeschule und de Höheen Handelsschule

2 Dezembe 0 Heausgebe: Hambuge Institut fü Beufliche Bildung, Postfach , 060 Hambug Refeent: Andeas Gell, Refeatsleitung im kaufmännisch-vewaltenden Beeich Alle Rechte vobehalten. Jegliche Vewetung dieses Duckweks bedaf soweit das Uhebeecht nicht ausdücklich Ausnahmen zulässt de schiftlichen Einwilligung des Heausgebes. Diese Handeichung wid nu in digitale Fom veöffentlicht: Seite von 8

3 M a t h e ma t ik : Klausuen und Püfungen fü den Eweb de Fachhochschuleife im Rahmen duale ode vollqualifizieende Bildungsgänge, de BOS, de FOS und de HHS HAMBURGER INSTITUT FÜR BERUFLICHE BILDUNG Mathematik Handeichung fü die schulübegeifenden schiftlichen Püfungsaufgaben zum Eweb de Fachhochschuleife Redaktion: Volke Batels Macel Biskup Ralf Blinkmann Jana Fenske Kestin Hade-Jungclaus Fauke Heise Klaus Lübbe Gabiela Stahl Silke Tiedemann Koodination: Andes Ubszat (HI - Seite von 8

4 M a t h e ma t ik : Klausuen und Püfungen fü den Eweb de Fachhochschuleife im Rahmen duale ode vollqualifizieende Bildungsgänge, de BOS, de FOS und de HHS Inhaltsvezeichnis Vowot... 5 Allgemeine Regelungen Vefahen Oganisation Püfungszeiten Hilfsmittel Inhalt... 7 Kompetenzbeeich und Wissensbasis Übesicht übe die Kompetenzbeeiche im Fach Mathematik Die Fähigkeit, mathematisch zu denken Die Fähigkeit, mathematisch zu agumentieen Die Fähigkeit zu mathematischen Modellieung Die Fähigkeit, Pobleme zu stellen und zu lösen Die Fähigkeit, mathematische Dastellungen zu nutzen Wissensbasis im Fach Mathematik... 9 Anfodeungsbeeiche... 0 Opeatoen (Liste de Abeitsauftäge... 5 Notenschlüssel Beispielaufgaben Fachichtungsübegeifende Aufgaben Fachichtungsbezogene Aufgaben Technik Witschaft Allgemein... 7 Seite von 8

5 M a t h e ma t ik : Klausuen und Püfungen fü den Eweb de Fachhochschuleife im Rahmen duale ode vollqualifizieende Bildungsgänge, de BOS, de FOS und de HHS Vowot Seh geehte Damen und Heen, liebe Kolleginnen und Kollegen, seit dem Püfungsduchgang im Sommehalbjah 0 ehalten die Schüleinnen und Schüle de Bildungsgänge Dual Plus FHR BFS vq plus FHR BOS Jahgang zental estellte Püfungsaufgaben fü die schiftliche Abschlusspüfung in den dei Klausufächen Fachenglisch, Mathematik und Spache und Kommunikation. Fü die Fachobeschule und die Höhee Handelsschule weden die nachfolgenden Regelungen ab dem Schuljah 0/05 vepflichtend. Die zentale Aufgabenestellung in de schiftlichen Püfung ist Bestandteil de Standad- und Qualitätssicheung schulische Abeit. Vebindlichkeit und Vegleichbakeit de Unteichts- und Püfungsleistungen sind Qualitätsmekmale fü die Fachhochschuleife in Hambug: Einheitliche Standads fü Unteicht und Abschlüsse de Schulen weden gesichet. Die in den einzelnen Schulen ebachten Lenleistungen weden duch Evaluation de schulischen Abeit vegleichba. Die Qualität des Unteichts wid angehoben, die Fäche weden didaktisch weiteentwickelt. Die Qualität de Abschlussqualifikation wid gesichet. Die Lehkäfte weden im Beeich de Estellung de Püfungsaufgaben entlastet. Mit diesem Heft ehalten Sie die vebindlichen Gundlagen fü die zentalen Aufgabenstellungen im Fach Mathematik. Die allgemeinen Regelungen und Infomationen geben dabei den Rahmen de schiftlichen Abschlusspüfung an. In diese Handeichung finden Sie konkete Hinweise auf die Stuktu de Püfung in Mathematik, die Anfodeungen, die gestellt weden, die Bewetungsinstumente und einige Aufgabenbeispiele zu Oientieung. Ich hoffe, Sie finden diese Handeichung hilfeich fü Ihe Abeit. Mit feundlichen Güßen Andeas Gell, im Dezembe 0 Ausgenommen von den Regelungen diese Handeichung sind Bildungsgänge, fü die die jeweils spezifische Ausbildungs- und Püfungsodnung andee Regelungen vosieht wie z.b. zum Zeitpunkt de Estellung in de BFS vq KMA ode BFS vq SPA. Seite 5 von 8

6 M a t h e ma t ik : Klausuen und Püfungen fü den Eweb de Fachhochschuleife im Rahmen duale ode vollqualifizieende Bildungsgänge, de BOS, de FOS und de HHS Allgemeine Regelungen. Vefahen Seit dem Sommehalbjah 0 wid die Abschlusspüfung mit zentale Aufgabenstellung zum Eweb de Fachhochschuleife in den Bildungsgängen Dual Plus FHR, BFSvq Plus FHR und BOS Jahgang duchgefüht. Die Schulen ehalten diese Handeichung, die allgemeinen Regelungen fü die Fachhochschuleife und entspechende Beispielaufgaben. Die Püfungsaufgaben weden von bewähten und zu Geheimhaltung vepflichteten Püfen und Püfeinnen aus den Schulen entwofen und anschließend duch die Schulaufsicht gepüft und genehmigt.. Oganisation Die schiftliche Püfung im Püfungsfach Mathematik setzt sich zusammen aus einem Aufgabensatz, bestehend aus fachichtungsübegeifenden Aufgaben (75 % de Punkte und fachichtungsbezogenen Aufgaben (5 % de Punkte. Die Schulen ehalten dei Tage vo de Püfung Zugang übe zu den Püfungsuntelagen, die aus den Aufgabensätzen und Ewatungshoizonten inklusive Bewetungshinweisen bestehen. So können diese in de efodelichen Anzahl an den Schulen vevielfältigt weden. Die Aufgabensätze enthalten (auch als Infomationen fü die Püflinge Angaben übe eeichbae Punktzahlen und elaubte Hilfsmittel. De Püfling ehält den Aufgabensatz mit den jeweiligen fachichtungsbezogenen Aufgaben und ist vepflichtet, die Vollständigkeit des Aufgabensatzes vo Beabeitungsbeginn zu übepüfen (Anzahl de Blätte, Anlagen, etc... Püfungszeiten Die zentale Püfung im Fach Mathematik dauet gemäß 0c de APO-AT zwei Zeitstunden (0 Minuten.. Hilfsmittel Nicht-gafikfähige Taschenechne, Fomelsammlung sowie ein Rechtscheiblexikon De Taschenechne dient voangig als Kontollinstument. Rechenwege müssen vollständig dokumentiet weden. Seite 6 von 8

7 .5 Inhalt M a t h e ma t ik : Klausuen und Püfungen fü den Eweb de Fachhochschuleife im Rahmen duale ode vollqualifizieende Bildungsgänge, de BOS, de FOS und de HHS Alle Aufgaben sind dem Basiswissen Analysis zugeodnet. Fachichtungsübegeifende Aufgaben: Diese beziehen sich auf allgemeine Anw endungen ganzationale Funktionen in de Analysis (Diffeenzialechnung und Integalechnung. Fachichtungsbezogene Aufgaben: Diese w eden fü technisch und fü w itschaftlich / kaufmännisch ausgeichtete Beufe estellt. Technische Aufgaben beziehen sich auf natuw issenschaftliche Anw endungen und w itschaftlich / kaufmännische Aufgaben auf das Themengebiet Kosten-, Elös- und Gew innfunktionen. Alle andeen Fachicht ungen ehalten diesbezüglich allgemeine Aufgaben auf gleichem Niveau. Fachichtungen: Technik, Witschaft, Allgemein Die den Schüleinnen und Schülen vozulegenden Aufgaben sollen de Veeinbaung übe den Ew eb de Fachhochschuleife in beuflichen Bildungsgängen (Beschluss de Kultusministekonfeenz vom i.d.f. vom entspechen. Dot heißt es zu Abschnitt Vc: In de schiftlichen Püfung mit eine Daue von mindestens zwei Stunden soll nachgewiesen weden, dass die Schüleinnen und Schüle in de Lage sind, komplexe Aufgabenstellungen selbständig zu stuktuieen, zu lösen und zu beweten, die dabei efodelichen mathematischen ode natuwissenschaftlich-technischen Methoden und Vefahen auszuwählen und sachgeecht anzuwenden. Seite 7 von 8

8 M a t h e ma t ik : Klausuen und Püfungen fü den Eweb de Fachhochschuleife im Rahmen duale ode vollqualifizieende Bildungsgänge, de BOS, de FOS und de HHS Kompetenzbeeich und Wissensbasis. Übesicht übe die Kompetenzbeeiche im Fach Mathematik.. Die Fähigkeit, mathematisch zu denken Zu Fähigkeit, mathematisch zu denken, gehöt, Fagen zu stellen, die fü die Mathematik chaakteistisch sind ( Gibt es?, Wenn ja, wie viele?, Wie finden wi...?, zu wissen, welche At von Antwoten die Mathematik fü solche Fagen beeithält, zwischen unteschiedlichen Aten von Aussagen zu untescheiden (Definitionen, Sätze, Vemutungen, Hypothesen, Beispiele, Bedingungen und Reichweite und Genzen mathematische Konzepte zu vestehen und zu beücksichtigen... Die Fähigkeit, mathematisch zu agumentieen Zu Fähigkeit, mathematisch zu agumentieen, gehöt: zu wissen, was mathematische Beweise sind und wie sie sich von andeen Aten de mathematischen Agumentation untescheiden, veschiedene Aten von mathematischen Agumentationsketten nachzuvollziehen und zu beweten, ein heuistisches Gespü ( Was kann [nicht] passieen und waum? und die Entwicklung von mathematischen Agumenten... Die Fähigkeit zu mathematischen Modellieung Zu Fähigkeit zu mathematischen Modellieung gehöt: den Beeich ode die Situation, die modelliet weden soll, zu stuktuieen, Mathematisieung (Übesetzung de Realität in mathematische Stuktuen und De- Mathematisieung (mathematische Modelle im Rahmen de modellieten Realität zu intepetieen, mit einem mathematischen Modell zu abeiten, das Modell zu validieen, das Modell und seine Egebnisse zu eflektieen, zu analysieen und kitisch zu beuteilen und übe das Modell und seine Egebnisse (inkl. de Genzen diese Egebnisse zu kommunizieen... Die Fähigkeit, Pobleme zu stellen und zu lösen Zu Fähigkeit, Pobleme zu stellen und zu lösen, gehöt: veschiedene Aten von mathematischen Poblemen zu stellen, mathematische Pobleme zu fomulieen und zu definieen ( eine, angewandte, offene und geschlossene und veschiedene Lösungswege fü divese Aten von mathematischen Poblemen zu finden...5 Die Fähigkeit, mathematische Dastellungen zu nutzen Zu Fähigkeit, mathematische Dastellungen zu nutzen, gehöt: veschiedene Fomen de Dastellung von mathematischen Objekten und Situationen sowie die Wechselbeziehungen zwischen diesen Dastellungsfomen zu ekennen, zu intepetieen und zu untescheiden und veschiedene Dastellungsfomen je nach Situation und Zweck auszuwählen und zwischen ihnen zu wechseln. Seite 8 von 8

9 M a t h e ma t ik : Klausuen und Püfungen fü den Eweb de Fachhochschuleife im Rahmen duale ode vollqualifizieende Bildungsgänge, de BOS, de FOS und de HHS. Wissensbasis im Fach Mathematik Analysis I Sachgeechte Umgang mit Funktionen, die auch aus empiischen Daten hegeleitet weden Näheungsweises Lösen elementae Optimieungspobleme Deuten die Ableitung als lokale Ändeungsate bzw. Tangentengleichung Abstaktion von einzelnen lokalen Ändeungsaten zu Ableitung als Funktion Beechnung de Ableitungsfunktion bei ganzationalen Funktionen Vewendung von Integalen zu Rekonstuktion von Beständen aus zugehöigen Ableitungsfunktionen, zu Beechnung von Maßen kummlinig begenzte Flächen und zu Bestimmung von Mittelweten (bei ganzationalen Funktionen Analytische Beechnung von Integalen übe ganzationale Funktionen und Anwendung des Integalbegiffes auf mathematische und ealitätsbezogene Poblemstellungen. Gundniveau Dastellung von Daten in eine Tabelle, duch einen Gaphen ode eine Gleichung Typisieung von Funktionsklassen: ganzationale, einfach gebochen ationale, tigonometische und Exponentialfunktionen mit ihen jeweiligen Chaakteisieungen Lösen von elementaen Optimieungspoblemen näheungsweise Nullstellenbestimmung (ganzationale Funktionen: pq- Fomel/quadatische Egänzung, Polynomdivision/Hone Schema, Ausklammen, Substitution Funktionen als Hilfsmittel, um ealitätsbezogene Zusammenhänge zu bescheiben und die zugehöigen Poblemstellungen zu lösen Von de lokalen zu momentanen Ändeungsate bzw. von de Sekante zu Tangente Potenzegel, Faktoegel Anschauliche Genzwetbetachtung Vom Gaph zu Ableitungsfunktion (zeichneisch Rechneische Lösung von anwendungsbezogenen Optimieungspoblemen, Extemwetaufgaben, Koeffizientenbestimmung Hauptsatz de Diffeential- und Integalechnung Unteteilung von Flächen Seite 9 von 8

10 M a t h e ma t ik : Klausuen und Püfungen fü den Eweb de Fachhochschuleife im Rahmen duale ode vollqualifizieende Bildungsgänge, de BOS, de FOS und de HHS Anfodeungsbeeiche Die Anfodeungen in de Fachhochschuleifepüfung untescheiden sich nach de At, de Komplexität und dem Gad de Selbstständigkeit de gefodeten Leistung; sie velangen unteschiedliche Abeitsweisen. Zu Ehöhung de Tanspaenz und Vegleichbakeit lassen sich dei Anfodeungsbeeiche bescheiben, ohne dass in de Paxis de Aufgabenstellung die dei Anfodeungsbeeiche imme schaf voneinande getennt weden können. Dahe egeben sich bei de Zuodnung de Teilaufgaben zu Anfodeungsbeeichen Übeschneidungen. Die zentalen Aufgaben de schiftlichen Fachhochschuleifepüfung emöglichen Leistungen in den folgenden dei Anfodeungsbeeichen mit einem Schwepunkt im Anfodeungsbeeich II: Anfodeungsbeeich I (Repoduktion De Anfodeungsbeeich I umfasst die Wiedegabe von Sachvehalten und Kenntnissen im gelenten Zusammenhang sowie die Bescheibung und Anwendung geübte Abeitstechniken und Vefahensweisen in einem wiedeholenden Zusammenhang. Im Fach Mathematik kann zum Anfodeungsbeeich I gehöen: Beeitstellen von Definitionen, Sätzen und einfachen Beweisen, Bescheiben eines einfachen Sachvehalts, eines bekannten Vefahens ode eines standadisieten Lösungsweges, Anfetigen von Skizzen auf eine aus dem Unteicht bekannte Weise; Skizzieen de Gaphen von Gundfunktionen, Ausfühen von geübten Algoithmen wie z.b. Ableiten und Integieen in einfachen Fällen, Lösen von einfachen Gleichungen und Gleichungssystemen nach eingeübten Vefahen, Vewenden des Taschenechnes als Wekzeug z.b. zum Zeichnen eines geeigneten Ausschnitts des Gaphen, eine Funktion, beim Lösen von Gleichungssystemen, beim Beechnen von Ableitungen und von Integalen und Bestimmen de Extemwete eine Funktion in Fällen, in denen das eingeübte Vefahen unmitteba zum Ziel füht. Anfodeungsbeeich II (Reoganisation und Tansfe De Anfodeungsbeeich II umfasst das selbstständige Auswählen, Anodnen, Veabeiten und Dastellen bekannte Sachvehalte unte vogegebenen Gesichtspunkten in einem duch Übung bekannten Zusammenhang und das selbstständige Übetagen und Anwenden des Gelenten auf vegleichbae neue Zusammenhänge und Sachvehalte. Im Fach Mathematik kann zum Anfodeungsbeeich II gehöen: Veanschaulichen und Bescheiben von Zusammenhängen bei bekannten Sachvehalten mit Hilfe von Bilden, Texten und Symbolen, Dokumentieen eines Lösungsweges in sachgeechte mathematische Fom, Seite 0 von 8

11 M a t h e ma t ik : Klausuen und Püfungen fü den Eweb de Fachhochschuleife im Rahmen duale ode vollqualifizieende Bildungsgänge, de BOS, de FOS und de HHS Vefassen eines mathematischen Kuzaufsatzes in bekannten Zusammenhängen, Ausfühen von Beweisen, deen Beweisstuktu aus dem Unteicht bekannt ist, Anwenden von zentalen Begiffen in Beispielen, die in ihe Stuktu einfach sind, Intepetieen chaakteistische Eigenschaften eine Funktion anhand ihes Gaphen, Übesetzen eines Schaubildes in einen Funktionstem ode eines Funktionstems in eine Skizze, Anpassen von Funktionen an vogegebene Bedingungen, wenn ähnliche Vogehensweisen aus dem Unteicht bekannt sind, Duchfühen vollständige Falluntescheidungen in übeschaubaen Situationen, Übesetzen eine Ausgangssituation in ein geeignetes mathematisches Modell (z.b. Koodinatensystem, Funktionstem, Gleichungssystem, wenn ähnliche Modellieungen aus dem Unteicht bekannt sind, veständiges Anwenden de Beziehung zwischen Ändeungsate und Gesamtändeung in bekannten Situationen, analytisches Bescheiben von geometischen Objekten, wobei die bestimmenden Paamete est aus andeen Bedingungen eschlossen weden müssen, Päsentieen von Abeitsegebnissen in übesichtliche, gut stuktuiete Fom. Anfodeungsbeeich III (Poblemlösendes Denken De Anfodeungsbeeich III umfasst das zielgeichtete Veabeiten komplexe Sachvehalte mit dem Ziel, zu selbstständigen Lösungen, Gestaltungen ode Deutungen, Folgeungen, Begündungen und Wetungen zu gelangen. Dabei wählen die Schüleinnen und Schüle aus den gelenten Abeitstechniken und Vefahen die zu Bewältigung de Aufgabe geeigneten selbstständig aus, wenden sie in eine neuen Poblemstellung an und beuteilen das eigene Vogehen kitisch. Im Fach Mathematik kann zum Anfodeungsbeeich III gehöen: keatives Übesetzen eine komplexeen Ausgangssituation in ein geeignetes mathematisches Modell, ohne dass dies in vegleichbaen Zusammenhängen geübt wude, planvolles, begündetes Nutzen und Beweten von Infomationen bei komplexeen ode offeneen Poblemstellungen, Übepüfen und Beweten de Vogehensweise sowie Intepetieen und Beuteilen de Egebnisse z.b. bei eine Modellieung ode beim Umgang mit Infomationen, Anwenden zentale Begiffe und Vogehensweisen in komplexeen Zusammenhängen, Veallgemeinen eines Sachvehalts, de nu von Beispielen he bekannt ist und Ausfühen eines Beweises, zu dem eigenständige Beweisgedanken efodelich sind. Seite von 8

12 M a t h e ma t ik : Klausuen und Püfungen fü den Eweb de Fachhochschuleife im Rahmen duale ode vollqualifizieende Bildungsgänge, de BOS, de FOS und de HHS Opeatoen (Liste de Abeitsauftäge Meh noch als bei dezentalen Aufgaben, die imme im Kontext gemeinsame Efahungen de Lehkäfte und Schüle mit voheigen Klausuen stehen, müssen zentale Püfungsaufgaben fü die Schüleinnen und Schüle eindeutig hinsichtlich des Abeitsauftages und de ewateten Leistung fomuliet sein. Die in den zentalen schiftlichen Fachhochschuleife-Aufgaben vewendeten Opeatoen (Abeitsauftäge weden in de folgenden Tabelle definiet und inhaltlich gefüllt. Entspechende Fomulieungen in den Klausuen de Fachobestufe sind ein wichtige Teil de Vobeeitung de Schüleinnen und Schüle auf die Fachhochschuleife. Neben Definitionen und Beispielen enthält die Tabelle auch Zuodnungen zu den Anfodeungsbeeichen I, II und III (vgl. den Ewatungshoizont de Püfungsaufgaben, wobei die konkete Zuodnung auch vom Kontext de Aufgabenstellung abhängen kann und eine schafe Tennung de Anfodeungsbeeiche nicht imme möglich ist. Opeatoen Definitionen Beispiele Angeben, nennen I Anwenden I II Begünden II III Beechnen I Bescheiben I II Bestätigen I II Ohne nähee Eläuteungen und Begündungen Lösungsweg aufzählen. Einen bekannten Sachvehalt ode eine Handlungsanweisung, Fomel, Voschift auf Elemente ihes jeweiligen Definitionsbeeichs anwenden. Einen angegebenen Sachvehalt auf Gesetzmäßigkeiten bzw. kausale Zusammenhänge zuückfühen. Hiebei sind Regeln und mathematische Beziehungen zu nutzen. Egebnisse von einem Ansatz ausgehend duch Rechenopeationen gewinnen. Sachvehalt ode Vefahen in Textfom unte Vewendung de Fachspache in vollständigen Sätzen dastellen (hie sind auch Einschänkungen möglich: Bescheiben Sie in Stichwoten. Eine Aussage ode einen Sachvehalt duch Anwendung einfache Mittel (echneische wie agumentative sichen. Nennen Sie dei weitee Beispiele zu... Wenden Sie die Funktionsgleichung auch auf die gegebenen Zahlen an. Begünden Sie, dass die Funktion nicht meh als dei Wendestellen aufweisen kann. Beechnen Sie den Flächeninhalt. Bescheiben Sie den Beeich mögliche Egebnisse. Bescheiben Sie, wie Sie dieses Poblem lösen wollen, und fühen Sie danach Ihe Lösung duch. Bestätigen Sie, dass die gegebene Funktion eine Stammfunktion zu Uspungsfunktion ist. Seite von 8

13 M a t h e ma t ik : Klausuen und Püfungen fü den Eweb de Fachhochschuleife im Rahmen duale ode vollqualifizieende Bildungsgänge, de BOS, de FOS und de HHS Opeatoen Definitionen Beispiele Bestimmen, emitteln II III Beuteilen III Beweisen, widelegen III Entscheiden II Egänzen, vevollständigen I Estellen I Heleiten II (Re- Intepetieen II III Skizzieen I II Einen Lösungsweg dastellen und das Egebnis fomulieen (die Wahl de Mittel kann unte Umständen eingeschänkt sein. Zu einem Sachvehalt ein selbstständiges Uteil unte Vewendung von Fachwissen und Fachmethoden fomulieen. Beweisfühung im mathematischen Sinne unte Vewendung von bekannten mathematischen Sätzen, logische Schlüsse und Äquivalenzumfomungen, ggf. unte Vewendung von Gegenbeispielen. Bei Altenativen sich eindeutig auf eine Möglichkeit festlegen. Tabellen, Ausdücke ode Aussagen nach beeits voliegenden Kiteien, Fomeln o- de Musten füllen. Einen Sachvehalt in übesichtliche, meist fachlich übliche ode vogegebene Fom dastellen. Die Entstehung ode Ableitung eines gegebenen ode beschiebenen Sachvehalts ode eine Gleichung aus andeen ode aus allgemeineen Sachvehalten dastellen. Die Egebnisse eine mathematischen Übelegung ückübesetzen auf das uspüngliche Poblem. Die wesentlichen Eigenschaften eines Objektes gafisch dastellen. Emitteln Sie gafisch den Schnittpunkt. Bestimmen Sie aus diesen Weten die Koodinaten de beiden Punkte. Beuteilen Sie, welche de beiden vogeschlagenen modellieenden Funktionen das uspüngliche Poblem besse dastellt. Beweisen Sie, dass es genau eine Extemstelle gibt. Entscheiden Sie, fü welchen de beiden Beobachte de Aufschlagpunkt nähe ist. Egänzen Sie die Tabelle de Funktionswete. Vevollständigen Sie die Zeichnung mit den in de Aufgabestellung gegebenen Punkten. Estellen Sie eine Wetetabelle fü die Funktion. Leiten Sie die gegebene Fomel fü die Stammfunktion he. Intepetieen Sie: Was bedeutet Ihe Lösung fü die uspüngliche Fage? Skizzieen Sie den gaphischen Velauf. Seite von 8

14 M a t h e ma t ik : Klausuen und Püfungen fü den Eweb de Fachhochschuleife im Rahmen duale ode vollqualifizieende Bildungsgänge, de BOS, de FOS und de HHS Opeatoen Definitionen Beispiele Untesuchen II Vegleichen II III Zeichnen, gafisch dastellen I II Zeigen, nachweisen II III Zuodnen I II Sachvehalte nach bestimmten, fachlich üblichen bzw. sinnvollen Kiteien dastellen. Nach vogegebenen ode selbst gewählten Gesichtspunkten Gemeinsamkeiten, Ähnlichkeiten und Unteschiede emitteln und dastellen. Eine hineichend exakte gafische Dastellung anfetigen. Eine Aussage, einen Sachvehalt nach gültigen Schlussegeln, Beechnungen, Heleitungen ode logischen Begündungen bestätigen. Ohne tiefe gehende Eläuteung eine Vebindung zwischen zwei Listen hestellen. Untesuchen Sie die Funktion. Untesuchen Sie, ob die Vebindungskuve ohne Knick in die Geade einmündet. Vegleichen Sie die beiden Voschläge. Zeichnen Sie den Gaphen de Funktion. Stellen Sie die Punkte und Geaden im Koodinatensystem mit den gegebenen Achsen da. Zeigen Sie, dass die beiden Geaden paallel sind. Odnen Sie die Gaphen den gegebenen Gleichungen zu. Seite von 8

15 M a t h e ma t ik : Klausuen und Püfungen fü den Eweb de Fachhochschuleife im Rahmen duale ode vollqualifizieende Bildungsgänge, de BOS, de FOS und de HHS 5 Notenschlüssel Die Bewetung schiftliche Klassenabeiten* efolgt an allen beuflichen Schulen nach einem von de Behöde vogegebenen einheitlichen Notenschlüssel. E ist auch fü die schiftliche Püfung zu Fachhochschuleife anzuwenden. * Zu Emittlung de Püfungsabeitsnote: Es weden nu ganze Punkte vegeben. Teilaufgaben weden nicht mit Teilnoten vesehen. Die eeichten Punkte weden insgesamt addiet und die Note de schiftlichen Püfungsabeit wid anhand de Tabelle emittelt. Note = seh gut (00-9 Pozent Pozentzahl Tendenznote + - Note = gut (9 8 Pozent Pozentzahl Tendenznote + - Note = befiedigend (80-67 Pozent Pozentzahl Tendenznote + - Note = auseichend (66-50 Pozent Pozentzahl Tendenznote + - Note 5 = mangelhaft (9-0 Pozent Pozentzahl Tendenznote Note 6 = ungenügend (9-0 Pozent Pozentzahl Tendenznote 6 Pozentzahl Tendenznote 6 Seite 5 von 8

16 M a t h e ma t ik : Klausuen und Püfungen fü den Eweb de Fachhochschuleife im Rahmen duale ode vollqualifizieende Bildungsgänge, de BOS, de FOS und de HHS 6 Beispielaufgaben 6. Fachichtungsübegeifende Aufgaben Aufgabe : Anwendungsoientiete Kuvendiskussion (0 Punkte (Uhebeechtsvemek: Aufgabe und Diagamm sind entnommen: Till Dennie: Anwendungsaufgaben zu Polynomfunktionen. Lage 0. Dennie-Eigenvelag. Nach eine Opeation ehält ein Patient im Kankenhaus eine Infusion, um den Keislauf stabil zu halten. Das Medikament eine Kochsalzlösung wid mittels eine Infusionsflasche übe einen Zeitaum von 7 Stunden veabeicht. Die Menge de Infusion (in Milligamm po Stunde kann mit Hilfe eines Regulieschlittens vaiiet weden. De Velauf de veabeichten Dosieung fü den Patienten wid nahezu dagestellt duch die Funktion: V ( t t 9 t 6 85 t Hinweis: Denken Sie an die entspechenden Antwotsätze. Aufgabenteil a Beechnen Sie die Dosieung in Milligamm po Stunde diekt nach de Opeation und die Dosieung nach acht Stunden! Aufgabenteil b Emitteln Sie den Zeitpunkt, zu dem die Menge des veabeichten Medikaments maximal ist. Beechnen Sie die Dosieung zu diesem Zeitpunkt (in mg/h. Aufgabenteil c Emitteln Sie den Zeitpunkt, zu dem die Abnahme de Dosieung am stäksten ist. Beechnen Sie, wie stak die Abnahme de Dosieung zu diesem Zeitpunkt ist. Aufgabenteil d Beechnen Sie die Gesamtmenge des Medikaments in mg, die dem Patienten in den esten 7 Stunden nach de OP zugefüht wid. Seite 6 von 8

17 Ewatungshoizont M a t h e ma t ik : Klausuen und Püfungen fü den Eweb de Fachhochschuleife im Rahmen duale ode vollqualifizieende Bildungsgänge, de BOS, de FOS und de HHS a V(0,5 V(8,80 Lösungsskizze Die Dosieung diekt nach de Opeation betägt,5 mg/h, nach acht Stunden sind es,89 mg/h. b Beechnung des Maximums: V'(t 0 V'(t t t t t, t V' '(t V' '(7 V' '(5 6 t t t 0 TP 6 0 HP 6 0 Zuodnung Bewetung I II III Altenativ zu Übepüfung de hineichenden Bedingung: Hinweis auf die Gaphik: Nu bei t = 5 kann das Maximum voliegen. V(5 Nach fünf Stunden ist die Dosieung mit,50mg/h maximal. c Beechnung des Wendepunktes V' '(t,5 0 t 0 t V' ''(t 0 WP bei t Seite 7 von 8

18 M a t h e ma t ik : Klausuen und Püfungen fü den Eweb de Fachhochschuleife im Rahmen duale ode vollqualifizieende Bildungsgänge, de BOS, de FOS und de HHS Altenativ zu Übepüfung de hineichenden Bedingung: Hinweis auf die Gaphik: Wendepunkt bei t = Nach Stunden ist die Abnahme de Dosieung am stäksten. Abnahme de Dosieung: V'( 0,565 Die Abnahme de Dosieung betägt zu diesem Zeitpunkt cica 0,6 mg/h. d A 7 0 ( 7 0 V(tdt 9 t t t 85 t t t ,7799 0,78 89 dt t C 9 0 Dem Patienten wuden,78mg des Medikaments zugefüht. 6 Aufgabe : Extemwetaufgabe 0 Punkte Ein Untenehmen poduziet Konsevendosen in Fom von Zylinden (siehe Abbildung. Die gößte Dose, die das Untenehmen poduziet, hat bishe ein Fassungsvemögen von 0,75 l. Jetzt liegt eine Anfage nach eine Dose mit einem Fassungsvemögen von l vo. Um möglichst kostengünstig zu poduzieen, soll zunächst gepüft weden, welche Maße die neue Dose haben muss, wenn möglichst wenig Blech fü die Hestellung vebaucht weden soll. Bestimmen Sie die Höhe h und den Radius so, dass möglichst wenig Blech bei de Hestellung de neuen Dosengöße vebaucht wid. Zeigen Sie dafü zunächst, dass die Zielfunktion zu Emittlung de optimalen Dosengöße A( lautet. Anmekung: Sollten Sie die Zielfunktion nicht bestimmen können, vewenden Sie bitte die gegebene Funktion fü Ihe weiteen Beechnungen. Seite 8 von 8

19 M a t h e ma t ik : Klausuen und Püfungen fü den Eweb de Fachhochschuleife im Rahmen duale ode vollqualifizieende Bildungsgänge, de BOS, de FOS und de HHS Seite 9 von 8 Ewatungshoizont Lösungsskizze Zuodnung Bewetung I II III Ansatz: Deckel und Boden haben eine Fläche von A = De Zylindemantel hat eine Fläche von A = h Hauptbedingung: A (,h = + h soll minimal weden Nebenbedingung: Das Volumen soll l betagen l = dm V = h = und h in dm Auflösen de Nebenbedingung nach h: h mit 0 Einsetzen de Nebenbedingung in die Hauptbedingung ( ( A A Gesucht ist de Tiefpunkt: Beechnung von h: De Radius sollte 0,5 dm, die Höhe muss,08 dm betagen TP A A A hineichendebedingung A A notwendige Bedingung 0 ( ( 0 ( : 0,5 0 0 ( 0 ( :,08 ( h h

20 M a t h e ma t ik : Klausuen und Püfungen fü den Eweb de Fachhochschuleife im Rahmen duale ode vollqualifizieende Bildungsgänge, de BOS, de FOS und de HHS Aufgabe : Integalechnung 5 Punkte Aus 6 mm dickem Plexiglas wid eine Bikonvexlinse ausgeschnitten. Sie ist 0 mm beit und mm lang. Ihe beiden Bechungsflächen sollen paabelfömiges Pofil besitzen und lassen sich duch folgende Randfunktionen bescheiben: f ( x 0,0x g( x 0,0x,6 x 0,8x a Emitteln Sie die Gesamtfläche de Bikonvexlinse. b Beechnen Sie den Mateialvebauch. Ewatungshoizont Zuodnung Bewetung Ages ( 0,06x 60mm ( f ( x g( x dx 6,cm Lösungsskizze 0 0,x dx [ 0,0x ( 0,0x, x,6 x 0,0x ] 0 0 0,8x dx I II III 0 V Ages * 6mm 00mm 0,cm Seite 0 von 8

21 M a t h e ma t ik : Klausuen und Püfungen fü den Eweb de Fachhochschuleife im Rahmen duale ode vollqualifizieende Bildungsgänge, de BOS, de FOS und de HHS 6. Fachichtungsbezogene Aufgaben 6.. Technik Das Queschnittspofil eines 6m beiten Kanals ist symmetisch und soll zu veeinfachten Abbildung in einem Pospekt duch ein Polynom möglichst niedigen Gades angenähet weden. Bestimmen Sie also ein Polynom möglichst niedige Odnung, welches symmetisch zu y-achse ist und welches bei den x-weten 8m und -8m den Wet 0 annimmt. In de Kanalmitte (x = 0m soll de Kanal eine Tiefe von 9,00m haben. Auf Höhe de Wasseobefläche hat die Böschung eine Neigung von 5%. a Stellen Sie zunächst die Bestimmungsgleichungen auf und bestimmen Sie die minimale Odnung des Polynoms. b Bestimmen Sie dann das Polynom! y = f(x Seite von 8

22 Ewatungshoizont M a t h e ma t ik : Klausuen und Püfungen fü den Eweb de Fachhochschuleife im Rahmen duale ode vollqualifizieende Bildungsgänge, de BOS, de FOS und de HHS Zuodnung Bewetung Lösungsskizze Funktion ist.gades und symmetisch zu y-achse, also I II III 6 und damit ( ( Kanalmitte: ( I 9 Ufe: ( II Böschung: ( III II III IV 0 c in III V V Insgesamt also ( 9 6 Seite von 8

23 6.. Witschaft M a t h e ma t ik : Klausuen und Püfungen fü den Eweb de Fachhochschuleife im Rahmen duale ode vollqualifizieende Bildungsgänge, de BOS, de FOS und de HHS Das Untenehmen PLASMA stellt Fensehe he. Aus de Hestellung de Fensehe sind dem Poduzenten folgende Infomationen bekannt: Mit de Poduktion des Modells Vision entstehen bei de täglichen Poduktion Fixkosten in Höhe von 5.000,00. Weitehin entstehen bei de Poduktion von 0 Fensehe Gesamtkosten in Höhe von 5.000,00, bei eine Poduktion von 60 Fensehe Gesamtkosten in Höhe von ,00. De Kostenanstieg bei eine Poduktion von 50 Fensehen betägt 50,00 po Fensehe. Die Kapazitätsgenze de Poduktion liegt bei 90 poduzieten Fensehen. Die Kostenfunktion kann näheungsweise duch eine Funktion. Gades beschieben weden. a Bestätigen Sie, dass die Kostenfunktion bei den gegebenen Infomationen duch die Gleichung ( dagestellt weden kann. b Bestimmen Sie die Poduktionsmenge, bei de die Genzkosten minimal sind und makieen Sie die den zugehöigen Punkt auf dem Gaphen in de Anlage. c Intepetieen Sie die Bedeutung de minimalen Genzkosten in Bezug auf die Fensehpoduktion. Das Untenehmen vekauft die Fensehe zu einem Peis von jeweils.00,00. d Geben Sie die Gleichung de Elösfunktion ( an und zeichnen Sie den Gaphen von ( in das Koodinatensystem in de Anlage. e Zeigen Sie, dass die Gleichung de Gewinnfunktion duch ( beschieben weden kann. f Bestätigen Sie, dass das Untenehmen mit Gewinn poduziet, wenn mindestens 8 und höchstens 80 Fensehe hegestellt weden. Seite von 8

24 M a t h e ma t ik : Klausuen und Püfungen fü den Eweb de Fachhochschuleife im Rahmen duale ode vollqualifizieende Bildungsgänge, de BOS, de FOS und de HHS Anlage zum Aufgabenteil b und c Seite von 8

25 M a t h e ma t ik : Klausuen und Püfungen fü den Eweb de Fachhochschuleife im Rahmen duale ode vollqualifizieende Bildungsgänge, de BOS, de FOS und de HHS Ewatungshoizont a ( Lösungsskizze. Vaiante: Duch Pobieen Poduziete Mengen und damit vebundene Gesamtkosten: ( ist ichtig ( ist ichtig ( ist ichtig Kostenanstieg: ( ( ist ichtig Damit efüllt die Funktion K alle genannten Vogaben.. Vaiante: Lösen eine LGS ( ( ( ( ( ( I II III Bewetung I II III b Minimum de Genzkosten: Genzkosten: ( Minimum: ( ( ( ᴧ ( bzw. WP bei x = 0 Makieen des Wendepunkts (siehe d c Die minimalen Genzkosten weden duch den Wendepunkt de Kostenkuve angegeben. Beim Minimum von K ist die Kostensteigeung po zusätzlich poduzieten Fensehe am geingsten. Das bedeutet alledings nicht, dass hie beeits am kostengünstigsten po Stück poduziet wid langfistige Peisuntegenze. d ( s.o. Seite 5 von 8

26 M a t h e ma t ik : Klausuen und Püfungen fü den Eweb de Fachhochschuleife im Rahmen duale ode vollqualifizieende Bildungsgänge, de BOS, de FOS und de HHS e ( ( ( ( ( f Übepüfung: ( und ( bzw. ( und ( Die Nullstellen de Gewinnfunktion geben an, ab welche Mengeneinheit die Elöse die Kosten decken. Da Fensehe nu ganzzahlig poduziet weden können, muss folglich bei de Poduktion von 7 Stück bzw. 8 Stück ein Velust entstehen. Das Untenehmen poduziet mit Gewinn, wenn die tägliche Poduktionsmenge zwischen 8 und 80 Stück liegt. 7 Seite 6 von 8

27 6.. Allgemein M a t h e ma t ik : Klausuen und Püfungen fü den Eweb de Fachhochschuleife im Rahmen duale ode vollqualifizieende Bildungsgänge, de BOS, de FOS und de HHS Fü einen Kindegaten soll eine besondes lange Rutsche angefetigt weden. Sie soll m hoch und m lang weden. Am Einstieg A und am Endpunkt B soll sie waageecht velaufen. a. Emitteln Sie die Funktion. Gades fü das Höhenpofil de Rutsche. b. Das Gefälle de Rutsche daf nicht göße als 00% sein. Weisen Sie nach, dass die oben dagestellte Rutsche den baulichen Bestimmungen genügt. Ewatungshoizont Lösungsskizze Zuodnung Bewetung I II III a. De Punkt A hat die Koodinaten (0/ und Punkt B (/0 De Punkt A muss ein Hochpunkt und Punkt B ein Tiefpunkt sein. f(0= f(=0 f (0=0 f (=0 f(x=ax +bx +cx+d f (x=ax +bx+c I =a 0 +b 0 +c 0+d d= II 0=a +b +c +d 0=7a+9b+ III 0=a 0 +b 0+c c=0 Seite 7 von 8

28 M a t h e ma t ik : Klausuen und Püfungen fü den Eweb de Fachhochschuleife im Rahmen duale ode vollqualifizieende Bildungsgänge, de BOS, de FOS und de HHS Seite 8 von 8 b IV 0=a +b +c 0=7a+6b II-IV b+=0 / - b=- / : b b in IV eingesetzt: 0 ( 6 7 a 7a-=0 / + 7a= / /7 7 a 7 ( x x x f Das gößte Gefälle befindet sich am Wendepunkt. x x x f 9 '( 9 8 '( ' x x f Um den Wendepunkt zu bestimmen wid f (x=0 gesetzt. 0/ 9 8 x 8 9 / 9 8 x x Die Steigung wid übe f ( emittelt ( 9 '( f ( ' f => m = -. Diese Wet entspicht 00%. Das Gefälle entspicht de Baubestimmung. 0