Prüfung zum Erwerb der Mittleren Reife in Mathematik, Mecklenburg-Vorpommern Prüfung 2011: Aufgaben

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1 Püfung zum Eweb de Mittleen Reife in Mathematik, Mecklenbug-Vopommen Püfung 2011: Aufgaben Abeitsblatt (Pflichtaufgabe 1) Dieses Abeitsblatt ist vollständig und ohne Zuhilfenahme von Tafelwek und Taschenechne zu beabeiten. Die vewendeten Skizzen sind nicht maßstäblich. Nach eine maximalen Beabeitungszeit von 20 Minuten ist dieses Abeitsblatt abzugeben. 1. Beechnen Sie. a) = b) = c) 0, = d) = 2. Odnen Sie de Göße nach. Beginnen Sie mit de kleinsten Zahl , a) E sind 10 %. Geben Sie den Gundwet an. b) Wie viel Kilogamm sind 25 % von 200 kg? c) Wie viel Pozent sind 600 kg von kg? 4. Vegleichen Sie. a) 200 min k 3 h 25 min b) m 2 k 3 ha c) 6000M k 600 cm 3 5. Die Zeitspanne von 6:35 Uh bis 13:10 Uh desselben Tages betägt. 6. Welche Funktion wude dagestellt? Keuzen Sie an. k y = f(x) = 1,5x + 3 k y = f(x) = 2x + 3 k y = f(x) = x

2 7. 7 Stücke Pflaumenkuchen kosten insgesamt 4,20 E. 11 Stücke dieses Pflaumenkuchens kosten dann E. 8. Geben Sie die Göße des Winkels δ an. 9. Zeichnen Sie eine Paallele zu Geaden g. 10. Geben Sie x an. 11. In de Abbildung ist das Netz eines Wüfels dagestellt. Kennzeichnen Sie die Fläche, die bei dem Wüfel de makieten Fläche gegenübe liegt. 12. Skizzieen Sie ein Netz eine quadatischen Pyamide. 13. In eine Une befinden sich 5 ote, 2 blaue und 3 gelbe Kugeln. Mit welche Wahscheinlichkeit wid beim esten Ziehen eine gelbe Kugel gezogen?

3 Pflichtaufgabe 2 Familie Föhlich hat ein altes enovieungsbedüftiges Haus gekauft. Fü die Renovieung haben sie beeits E gespat. Nun sind die Umbauabeiten abgeschlossen und die Handweke haben Rechnungen übe die folgenden Betäge geschickt: I. Fliesenlege E (bei Zahlung innehalb von 10 Tagen 1 % Skonto) II. Zimmeei E (bei Zahlung innehalb von 10 Tagen 2 % Skonto) III. Dachdecke E (bei Zahlung innehalb von 10 Tagen 2,5 % Skonto) IV. Male E (bei Zahlung innehalb von 10 Tagen 1,5 % Skonto) a) Stellen Sie diese Beitäge in einem Keisdiagamm da. b) Wie viel Geld kann Familie Föhlich spaen, wenn sie alle Rechnungen innehalb von 10 Tagen bezahlt? c) Familie Föhlich hat die Möglichkeit, alle Rechnungen est nach zwei Monaten zu begleichen. Sie ehält das Angebot von de Bank, das beeits gespate Geld fü diesen Zeitaum zinsgünstig mit 4 % Zinsen po Jah anzulegen. Die Familie übelegt nun, ob sie die Rechnungen est nach 2 Monaten bezahlt. Welche Vaiante ist fü Familie Föhlich finanziell günstige? Begünden Sie. Pflichtaufgabe 3 Eine lineae Funktion y = g(x) hat den Anstieg m = 2. Ih Gaph ist die Geade g. Sie veläuft duch den Punkt P(0; 4). a) Geben Sie die Funktionsgleichung fü y = g(x) an. b) Entscheiden Sie, ob de Punkt A( 6; 12) auf de Geaden g liegt. Begünden Sie Ihe Aussage echneisch. c) De Gaph eine quadatischen Funktion y = h(x) ist eine veschobene Nomalpaabel. E veläuft duch den Koodinatenuspung und den Schnittpunkt de Geaden g mit de x-achse. Zeichnen Sie den Gaph de Funktion y = h(x) in ein echtwinkliges Koodinatensystem. Geben Sie die Koodinaten des Scheitelpunktes sowie eine Funktionsgleichung fü y = h(x) an. Pflichtaufgabe 4 Im Wekunteicht haben die Schüle kleine Holzbettchen hegestellt, die zum Anspitzen von Bleistiften vewendet weden sollen. Das echteckige Bettchen wude an eine kuzen Seite halbkeisfömig abgeundet. a) Zeichnen Sie die in de Skizze dagestellte Fläche des Bettchens im Maßstab 1 : 1. b) Die Lehein hat eine kleine Dose Fabe gekauft, die fü eine Fläche von 0,20 m 2 eichen soll. Fü wie viele Bettchen eicht die Fabe höchstens, wenn nu die dagestellte Fläche des Bettchens einmal gestichen wid?

4 Wahlaufgabe Geben Sie alle natülichen Zahlen an, die die folgende Ungleichung efüllen. 11x 1 < 3(3x + 1) 1.2 In einem zylindefömigen Tank weden flüssige Chemikalien gemischt und aufbewaht. De Tank hat einen Außenduchmesse von 1,60 m. Die Wandstäke betägt 2,5 cm. Seine Füllhöhe betägt 1,00 m. Diese Tank wid duch zwei Zuleitungen befüllt. Je nach efodelichem Mischungsvehältnis weden die Zuleitungen jeweils fü eine gewisse Zeitdaue vollständig geöffnet. Befüllt man den Tank aus de esten Leitung 2 Minuten und aus de zweiten Leitung 3 Minuten, so fließen insgesamt 252 Lite Flüssigkeit ein. Öffnet man die este Leitung fü 5 Minuten und die zweite Leitung fü 2 Minuten, so sind dabei 333 Lite de Chemikalien in den Tank geflossen. a) Wie viele Lite de Chemikalien fließen po Minute aus jede Zuleitung? b) Emitteln Sie die Zeitdaue fü das vollständige Füllen des leeen Tanks, wenn beide Zuleitungen gleichzeitig geöffnet sind. c) Wie viele Lite de Flüssigkeit müssten aus eine ditten Zuleitung po Minute zusätzlich fließen, um den Tank in eine Vietelstunde vollständig zu füllen? Wahlaufgabe 2 Im Wahlpflichtunteicht Gatenbau wude im Winte von jedem de 12 Schüle die Keimfähigkeit von Bohnen übepüft. Jede Schüle hat in eine Pobe 20 Bohnen ausgelegt und die Anzahl de Keimlinge bestimmt. Die Egebnisse wuden wie folgt zusammengefasst. Schüle-N Anzahl de Keimlinge a) Emitteln Sie das aithmetische Mittel, den Zentalwet, den Modalwet und die Spannweite de Anzahl de Keimlinge. b) Stellen Sie die Anzahl de Keimlinge de einzelnen Poben in einem geeigneten Diagamm da. Zeichnen Sie in dieses Diagamm das aithmetische Mittel ein. c) Im Mai sollen im Schulgaten in 250 Pflanzlöche jeweils 3 Bohnen gelegt weden. Wie viele Bohnenpflanzen weden voaussichtlich keimen, wenn die Keimfähigkeit 94 % betägt? d) Max wa veantwotlich fü den Kauf de Bohnen. Weil e im Baumakt nicht ichtig aufgepasst hatte, kaufte e 6 Tüten güne und 5 Tüten gelbe Bohnen sowie 2 Tüten Stangenbohnen. In jede Tüte waen 60 Bohnen. E schüttete alle Bohnen in eine Schüssel und stellte fest, dass sie in Fabe und Fom nicht zu untescheiden waen. Mit welche Wahscheinlichkeit weden aus diese Schüssel genau 3 Bohnen de günen Sote in das este Pflanzloch gelegt?

5 Wahlaufgabe 3 In einem Baukasten gibt es Bauklötze aus Holz in dei unteschiedlichen Fomen: Hohlzylinde, Zylinde und Halbkugeln. g Die Dichte des vewendeten Holzes betägt 0,90. a) Die Hohlzylinde haben einen Außenduchmesse von 5,0 cm und einen Innenduchmesse, de um 2,0 cm kleine ist. Ihe Höhe betägt 7,0 cm. Zeichnen Sie fü einen diese Hohlzylinde ein Zweitafelbild im Maßstab 1 : 1. Beechnen Sie dessen Masse. b) In dem Baukasten befinden sich außedem Halbkugeln. Ih Duchmesse ist gleich dem Außenduchmesse de Hohlzylinde. Wie schwe ist eine solche Halbkugel? c) Die ditte At de Bauklötze sind Zylinde, die genau in den Hohlzylinde hineinpassen. Jede diese dei unteschiedlichen Bauklötze ist viemal vohanden. Dem Baukasten sollen nun weitee deatige Bauklötze hinzugefügt weden, bis die gesamte Masse de Bauklötze etwa ein Kilogamm betägt. Geben Sie eine Möglichkeit dafü an. Begünden Sie. cm 3 Wahlaufgabe Am Ufe de Ostsee steht ein Messgeät. Damit wid das Leuchtfeue eines Leuchttums in einem Winkel von α = 3,0 zu Hoizontalen angepeilt. Das Messgeät und de Fußpunkt des Leuchttums befinden sich auf gleiche Höhe. Das Leuchtfeue befindet sich in 38,0 m übe dem Fußpunkt. Skizzieen Sie den Sachvehalt. Bestimmen Sie die Entfenung zwischen Messgeät und Leuchttum. 4.2 Vo de Küste sind zwei Bojen veanket. Um ihen Abstand voneinande zu bestimmen, weden sie vom Ufe aus von den Punkten A und B angepeilt. Die Punkte A und B haben einen Abstand von 70 m. Die Abmessungen de Bojen weden dabei venachlässigt. α = 37 β = 120 γ = 29 δ =

6 a) Stellen Sie den Sachvehalt in eine Zeichnung in einem geeigneten Maßstab da. Geben Sie den Maßstab an. b) Bestimmen Sie echneisch den Abstand de beiden Bojen. 4.3 Ein Deieck hat einen Flächeninhalt von 28 cm 2. Geben Sie eine Möglichkeit fü die Längen zweie Seiten und die Göße des von ihnen eingeschlossenen Winkels an. Begünden Sie

7 Püfung zum Eweb de Mittleen Reife in Mathematik, Mecklenbug-Vopommen Püfung 2011: Lösungen Pflichtaufgabe 1 1. a) Nutze das Distibutivgesetz = ( ) 37 = = b) 5 = 1 Ganzes 5 2. c) d) = + 1= + 1 1= Veschiebe bei de Multiplikation mit eine Zehnepotenz das Komma um so viele Stellen nach echts, wie die Zahl Nullen hat (hie: die 100 hat 2 Nullen). 0, = 0,3 Titt in einem beliebigen Podukt die Zahl Null als Fakto auf, so ist das Egebnis gleich null = 0 Zehntel-Büche lassen sich leicht in eine Dezimalzahl umwandeln, indem man im Zähle eine Stelle absteicht = 7,5; = = 7, < 7,45 < a) De Gundwet ist 100 % = % E= E b) 25 % = % von 200 kg = von 200 kg = (200 : 4) kg = 50 kg 4 c) Pozent bedeutet po Hundetstel. Fome also in einen Buch mit dem Nenne 100 um kg von kg = = = = 30 %

8 4. a) 3 h 25 min = 3 60 min + 25 min = 180 min + 25 min = 205 min b) 200 min < 3 h 25 min Die Umechnungszahl bei Flächen ist 100. Das Komma muss also um 2 Stellen veschoben weden. Beim Umechnen in die kleinee Einheit wid die Zahl göße. Beim Umechnen in die gößee Einheit wid die Zahl kleine m2 = 350 a; 3 ha = 300 a m2 > 3 ha c) 1M = 1cm 3 (1; = 1dm 3) M > 600 cm 3 Von 6:35 Uh bis 12:35 Uh sind es 6 Stunden. Von 12:35 Uh bis 13:10 Uh sind es (25 Minuten + 10 Minuten =) 35 Minuten. Von 6:35 Uh bis 13:10 Uh sind es 6h35min. 6. Dagestellt ist eine lineae Funktion. Dazu gehöt eine Gleichung de Fom y= f(x) = mx+ n. y= f(x) = x2 + 3 kommt also nicht infage. De Anstieg de Funktion ist positiv. Die ichtige Funktionsgleichung ist also y= f(x) = 2x Benutze den Deisatz. 7 Stücke kosten 4,20 E. 1 Stück kostet dann 4,20 E: 7 = 0,60 E. 11 Stücke kosten 0,60 E 11 = 6,60 E 8. Hie gilt de Satz des Thales. δ= Vewende das Geodeieck! Zeichengeäte und Schablonen sind im Ohne-Hilfsmittel- Teil elaubt!

9 10. Es gilt de 2. Stahlensatz: x 2 = x 2 = x = 3 x = Es gibt unendlich viele Möglichkeiten! Beachte, dass die Gundfläche (annähend) quadatisch sein muss! (Skizze) ode Kugeln von insgesamt 10 sind gelb. Die Wahscheinlichkeit, dass beim esten Ziehen eine gelbe Kugel gezogen wid, betägt 3 P(g) = = 0,3 = 30 %

10 Pflichtaufgabe 2 a) Um die einzelnen Geldbetäge in einem Keisdiagamm dazustellen, musst du emitteln, welchem Winkel sie entspechen. Dabei stehen die gesuchten Winkel im gleichen Vehältnis zu einem Vollwinkel (360 ) wie die einzelnen Geldbetäge zu de Gesamtsumme. Gesamtsumme: E E E E= E Gesuchte Winkel: I: E: α = ; α = 360 = 360 = II: E: III: E: IV: E: β = ; β = 360 = 360 = γ = ; γ = 360 = 360 = δ = ; δ= 360 = 360 = Pobe: Die Summe alle eechneten Winkel muss 360 egeben: = 360 Keisdiagamm:

11 b) I: II: III: De Skontobetag entspicht dem Pozentwet W, de mit de allgemeinen Fomel p G W = emittelt weden kann. Konket gilt in dem Fall: 100 Pozentsatz Rechnungsbetag = % E Skontobetag = = 110 E 100 % Skontobetag 2% 40000E Skontobetag = = 800 E 100 % 2,5 % E Skontobetag = = 750 E 100 % 1,5 % E VI: Skontobetag = = 135 E 100 % Insgesamt kann Familie Föhlich 110 E+ 800 E+ 750 E+ 135 E= E spaen, wenn sie innehalb von 10 Tagen zahlt. c) Da Familie Föhlich das Geld nu fü 2 Monate anlegt, müssen die Zinsen duch 6 geteilt weden, weil 4 % de Jaheszinssatz ist. Legt Familie Föhlich die gespaten E bei de Bank an, so ehält sie Zinsen Z in Höhe von: 4 % E Z = :6= 800E 100 Die Zinsen sind deutlich geinge als de Skontobetag. Familie Föhlich sollte also die Rechnungen innehalb von 10 Tagen bezahlen. Pflichtaufgabe 3 a) Die Funktionsgleichung eine lineaen Funktion lautet y = f(x) = mx+ n, wobei m de Anstieg und n die Schnittstelle auf de y-achse ist. Die Funktionsgleichung de lineaen Funktion mit den angegebenen Eigenschaften lautet: y= g(x) = 2x+ 4 b) Setze x = ( 6) in die Funktionsgleichung ein. y= g( 6) = ( 2) ( 6) + 4= 12+ 4= 16 De Punkt A( 6; 12) liegt also nicht auf de Geaden g

12 c) Bestimme den Schnittpunkt de Geaden g mit de x-achse (also die Nullstelle), indem du y= 0 in die Funktionsgleichung einsetzt und anschließend nach x umfomst. (Altenativ kannst du den Schnittpunkt de Geaden g mit de x-achse auch duch Einzeichnen von g(x) = 2x + 4 emitteln.) 0= 2x = 2x 0 :( 2) x0 = 2 De Gaph de quadatischen Funktion veläuft also duch die Punkte P(2; 0) und (laut Aufgabe) duch den Uspung O(0; 0). Zeichne diese beiden Punkte in ein Koodinatensystem ein und stelle di die veschobene Nomalpaabel vo, die duch diese beiden Punkte velaufen soll. Nutze deine Nomalpaabel-Schablone und pobiee unteschiedliche Lagen aus. So wist du den einzig möglichen Kuvenvelauf finden und einzeichnen können. De Dastellung kannst du entnehmen, dass de Scheitelpunkt die Koodinaten S(1; 1) hat. Die Scheitelpunktfom eine quadatischen Funktionsgleichung lautet allgemein y= f(x) = (x d) 2 + e, wobei d und e die Scheitelpunktkoodinaten des Funktionsgaphen sind. Funktionsgleichung: y= f(x) = (x 1)

13 Pflichtaufgabe 4 a) Die dagestellte Fläche ist zusammengesetzt aus einem Rechteck und einem Halbkeis. Aus de Höhe des Rechtecks b = 4,0 cm ekennst du, dass de Radius des Halbkeises = 2,0 cm sein muss. Ziehst du diese 2,0 cm von de Gesamtlänge ; = 8,0 cm de Figu ab, egibt sich die Länge des Rechtecks a = 6,0cm. Mit diesen Übelegungen sollte die Konstuktion de Figu gelingen. Eine Bemaßung ist nicht efodelich und hie nu zu Veanschaulichung vogenommen. Hilfslinien solltest du dünn einzeichnen und abschließend entfenen. b) Flächeninhalt des Rechtecks: A 2 R = a b= 6cm 4cm= 24cm Flächeninhalt des Halbkeises: A 2 2 HK = π = π (2cm) 6,3cm 2 2 Gesamte Flächeninhalt: A = A + A 24cm + 6,3cm = 30,3cm R HK Die Fabdose eicht fü 0,20 m2 = 20 dm2 = cm cm 2 : 30,3 cm2 66 Die Fabe eicht fü höchstens 66 Bettchen

14 Wahlaufgabe 1 Diese Aufgabe kannst du nu lösen, wenn du ein Lösungsvefahen fü Gleichungssysteme beheschst. Wenn du dich fü diese Wahlaufgabe entscheidest, solltest du siche im Umgang mit Gleichungen und Ungleichungen und den Umfomungsegeln sein. Aufgaben mit Gleichungssystemen tauchen hin und wiede in Püfungsabeiten auf x 1 < 3(3x + 1) Klamme ausmultiplizieen 11x 1 < 9x x < 9x + 4 9x 2x < 4 : 2 x < 2 L = {0;1} 1.2 a) Lege Vaiablen fü die unbekannten Gößen fest! In dem folgenden Beispiel sollen A Lite po Minute ( ) min ; duch die este Zuleitung stömen und B Lite po Minute duch die zweite. Dücke die Angaben in mathematischen Gleichungen aus: ; ; 2min A + 3min B = 252; min min ; ; 5min A + 2min B = 333; min min Stelle ein Gleichungssystem ohne Einheiten auf. Wenn du es mit dem Einsetzungsvefahen löst, musst du zunächst eine Gleichung nach eine Vaiablen auflösen. Die entstandene Gleichung I' kannst du dann in die Gleichung II einsetzen und umfomen: I 2A + 3B = 252 II 5A + 2B = 333 I 2A + 3B = 252 2A = 252 3B I' A = 126 1,5B 3B :2 I' in II: 5(126 1,5B) + 2B = ,5B + 2B = ,5B= ,5B = 297 : ( 5,5) II' B = 54 II' in I': A = 126 1,5 54 = A = 45 Duch die 1. Zuleitung fließen also A = 45 ; und duch die 2. Zuleitung B = 54 ;. min min

15 b) Beechne das Volumen des zylindefömigen Tankes mit de Fomel V =π2 h. Zu Lösung de Aufgabe ist de Innenduchmesse d des Tanks notwendig. Zu seine Emittlung muss vom Außenduchmesse a = 1,60m die Wandstäke s= 2,5cm = 0,025m zweimal abgezogen weden. d = a 2s = 1,60 m 2 0,025 m = 1,60 m 0,05 m d = 1,55m 1 1 = d = 1,55m 2 2 = 0,775 m Unte Vewendung de maximalen Füllhöhe h = 1,0m kann das Volumen beechnet weden: V =π(0,775 m) 2 1 m V 1,887m 3 (1m3 = 1000 ;) V 1887; Beide Zuleitungen gleichzeitig füllen den Tank mit eine Geschwindigkeit von ; ; ; A + B = = 99. min min min ; Damit betägt die Füllzeit t = 1887 ;: min. min c) Die Gleichung, die den dagestellten Sachvehalt widespiegelt, lautet: ; ; x min = 1887 ; :15 min min min 99 ; ; + x = ; min min min ; x = 27 m in Cica 27 Lite de Flüssigkeit müssten also aus eine ditten Zuleitung po Minute zusätzlich fließen, um den Tank in eine Vietelstunde vollständig zu füllen

16 Wahlaufgabe 2 Diese Aufgabe ist eine Stochastikaufgabe. Stochastikaufgaben sind in jede schiftlichen Abschlusspüfung enthalten. a) Die Fomel zu Beechnung des aithmetischen Mittels lautet: Summe alle Wete x = Anzahl de Wete x = = x 18,7 Um den Zentalwet zu emitteln musst du die Wete in geodnete Reihenfolge aufscheiben. De Zentalwet ist de mittlee Wet bzw. wie hie, bei eine ungeaden An- zahl von Weten, de Mittelwet aus den beiden zentalen Weten. 16; 17; 18; 18; 18; 19; 19; 19; 20; 20; 20; 20 z = 19 De Modalwet ist de am häufigsten vokommende Wet. m= 20 Die Spannweite ist de Unteschied zwischen gößtem und kleinstem Wet. w = xmax xmin = x = 4 b) Ein geeignetes Diagamm ist das Säulendiagamm

17 c) Zu emitteln ist de Pozentwet. Die Fomel lautet p G W = % (250 3) W = = = % 100 Voaussichtlich weden also 705 Bohnenpflanzen keimen. d) Die Bohnenmischung enthält 6 60 güne, 5 60 gelbe und 2 60 Stangenbohnen. Gesamtzahl an Bohnen: = 780Bohnen. Wahscheinlichkeit, beim esten Ziehen eine güne Bohne zu ziehen: P(1) = = Anschließend sind nu noch 359 güne Bohnen unte den insgesamt estlichen 779. Wahscheinlichkeit, beim zweiten Ziehen eine güne Bohne zu ziehen: 359 P(2) = 779 Wahscheinlichkeit, beim ditten Ziehen eine güne Bohne zu ziehen: 358 P(3) = 778 Laut Pfadegel ist die Gesamtwahscheinlichkeit fü dieses mehstufige Zufallsexpeiment dann: P(gün; gün; gün) = = 0,098 bzw P(gün; gün; gün) 9,8 %

18 Wahlaufgabe 3 Diese Aufgabe ist eine Steeometieaufgabe. Bei de Lösung solche Aufgaben ist di die Fomelsammlung eine wetvolle Hilfe. Obwohl du dot zu allen Köpen die entspechenden Fomeln findest, solltest du abe auch siche Gleichungen umfomen und lösen können. Steeometieaufgaben kommen häufig in Abschlusspüfungen vo. a) Eine Bemaßung ist nicht efodelich und dient nu de Veanschaulichung

19 Die allgemeine Fomel zu Beechnung des Volumens dieses Köpes ist V = AG h. Die Gundfläche A G ist in diesem Fall ein Keising, dessen Inhalt beechnet wid mit A 2 2 G =π(a i ). Also gilt fü das Volumen des Hohlzylindes: V 2 2 H =π(a i ) h (Eventuell findest du diese Fomel auch in deine Fomelsammlung.) Beachte, dass mit den Radien statt mit den angegebenen Duchmessen (da = 5 cm; d i = (5 2)cm = 3cm) geabeitet wid! Volumen des Hohlzylindes: V 2 2 H =π((2,5cm) (1,5cm) ) 7,0cm V 2 H =π 4cm 7cm V 3 H =π 28cm V 88cm3 H Die Masse ehältst du, wenn du das Volumen mit de Dichte multipliziest: m = V ρ Masse des Hohlzylindes: 3 g mh 88cm 0,9 cm 3 m 79,2g b) H Beachte, dass auch in diese Aufgabenstellung auf den Duchmesse d Bezug genommen wid, in de Fomel jedoch de Radius ( = 1 d) vewendet wid. 2 In den Fomelsammlungen findest du häufig nu die Fomel zu Beechnung eines Kugelvolumens. Dieses muss im Fall eine Halbkugel halbiet weden. Volumen de Halbkugel: V 3 K = π = π V 3 K = π (2,5cm) 3 V 32,725cm3 K Masse de Halbkugel: m 32,725 cm g 0,9 cm m 29,5g 3 K 3 K

20 c) De ditte Köpe ist ein Zylinde, dessen Volumen du mit de Fomel V 2 Z =π h bestimmen kannst. De Zylinde soll in den Hohlzylinde hineinpassen. Sein Duchmesse entspicht dahe dem Innenduchmesse des Hohlzylindes. Volumen des Zylindes: V 2 Z =π (1,5cm) 7cm V 3 Z 49,48 cm Masse des Zylindes: 3 g mz 49,48 cm 0,9 cm 3 mz 44,5 g Im Baukasten befinden sich jetzt Köpe mit folgende Gesamtmasse: m= 4(mH + mk + m Z) m 4 (79,2 g + 29,5 g + 44,5 g) m 613g Ab hie lässt sich die Aufgabe am einfachsten duch Pobieen lösen: Zu 1 Kilogamm fehlen: m = g 613 g = 378 g 10 Halbkugeln zusammen haben folgende Masse: m 10 29,5g= 295g K In diesem Fall fehlen noch: m = 378 g 295 g = 83 g. Dies entspicht mit 3,8 g Abweichung etwa de Masse eines Hohlzylindes. Solch eine Abweichung sollte laut Aufgabenstellung zulässig sein. Möglich wäe also die weitee Füllung mit 10 Halbkugeln und einem Hohlzylinde. Die Gesamtmasse betägt dann m = 1000g 3,8g = 996,2g. Viele weitee Kombinationen sind ebenfalls möglich und ichtig

21 Wahlaufgabe 4 Dies ist eine Tigonometieaufgabe. Tigonometieaufgaben sind in nahezu allen Abschlusspüfungen zu finden. Sie weden seh gene gewählt, weil de Lenstoff est küzlich, in de 10. Klasse, behandelt wude. Oftmals ist jedoch die Lösung de Aufgaben wie auch in diesem Fall mit vielen gleichfömigen Rechenschitten vebunden. Schnell schleichen sich hie Rechenfehle ein, auch wenn de Lösungsweg siche ekannt wude. Eine sogfältige Egebniskontolle (Nachechnen, Plausibilitätskontolle,...) ist dahe besondes wichtig. 4.1 Skizze: In Bezug auf den Winkel α= 3 ist die gesuchte Stecke MF die Ankathete. Die Höhe des Leuchtfeues LF = 38 m ist die Gegenkathete. Aus An- und Gegenkathete Gegenkathete lässt sich de Tangens ableiten: tan α= Ankathete 38 m tan3 = MF MF MF tan3 = 38 m :tan3 38 m MF = tan3 MF 725 m 4.2 a) In de nachfolgenden Zeichnung wid die Entfenung AB = 70 m duch eine 7 cm lange Stecke dagestellt. Folglich gilt: 7cm 70m 1cm 10m= 1000cm De Maßstab betägt also 1 :

22 b) Egänze zunächst in de Skizze auf dem Aufgabenblatt Winkelbezeichnungen und fabliche Hevohebungen von Steckenabschnitten. Übelege di anhand de Zeichnung die Lösungsstategie: Die Bestimmung von PP 1 2 geschieht übe das Deieck MP 1 P 2. Du benötigst also PM,P 1 2M und den Winkel ε 2. ε 2=ε1; ε1kannst du übe die Winkelsumme im Deieck ABM bestimmen. Fü PMbenötigst 1 du BP1 und BM. Diese Stecken bestimmst du übe den Sinussatz in den Deiecken ABP 1 und ABM. Dazu benötigst du ε4 und ε 1. Fü PMbenötigst 2 du AP2 und AM. Diese Stecken bestimmst du übe den Sinussatz in den Deiecken ABP 2 und ABM. Dazu benötigst du ε3 und ε 1. Du musst also folgende Winkel und Stecken bestimmen: ε1, ε2, ε3 und ε4, BP,BM,MP,AP,AMundMP

23 Aus de Innenwinkelsumme in Deiecken folgt: ε 1 = 180 α γ = = 114 ε 3 = 180 α δ= = 69 ε 4 = 180 β γ = = 31 ε 1 und ε 2 sind Scheitelwinkel und dahe gleich goß. ( ε 2=ε 1= 114 ) Nun kannst du mittels Sinussatz die Länge de Diagonalen bzw. de Diagonalenabschnitte bestimmen: BP1 AB BP 1 : = sinβ sin ε4 BP1 70 m = sin120 sin31 70 m BP1 = sin ,70 m sin31 BM: AP 2: BM AB = sin α sin ε1 BM 70 m = sin37 sin m BM = sin 37 46,11 m sin114 AP2 AB = sin δ sin ε3 AP2 70 m = sin 74 sin m AP2 = sin 74 72,08 m sin 69 AM AB AM: = sin γ sin ε1 AM 70 m = sin 29 sin m AM = sin 29 37,15 m sin114 Nun kann man MP1 und MP2 bestimmen: MP1 = BP1 BM MP 117,70 m 46,11 m 71,6 m 1 MP2 = AP2 AM MP2 72,08 m 37,15 m 34,9 m

24 Beechne nun PP 1 2 mit dem Kosinussatz: P1P 2 = MP1 + MP2 2 MP1 MP 2 cosε2 2 P P 2 (71, 6 m) + (34,9 m) 2 71, 6 m 34,9 m cos m PP m 91,5m De Abstand betägt ca. 91,5 m. 4.3 Fü ein beliebiges Deieck gilt: A = 1ab sinγ sinγ = 2A 2 ab a und b sind fei wählba. Zu beachten ist, dass de Quotient sin γ = 2A 1 sein a b muss, da de Sinus eines Winkels nicht göße als 1 sein kann. 2 28cm2 56cm2 sin γ= = ab ab Seh geschickt ist, a b = 56cm2 zu wählen. Dann ist sin γ = 1 und γ = 90. Das Deieck ist damit ein echtwinkliges Deieck. Eine mögliche Lösung ist a = 7cm;b= 8cm; γ = 90. Es existieen unendlich viele weitee Lösungsmöglichkeiten