Grundwissen. 9. Jahrgangsstufe. Mathematik

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1 Gundwissen 9. Jahgangsstufe Mathematik

2 Seite Reelle Zahlen. Rechnen mit Quadatwuzeln a ist diejenige nicht negative Zahl, die zum Quadat a egibt. d.h.: ist keine Wuzel aus. Eine Wuzel kann nicht negativ sein. das geht nu fü positive a! Unte de Wuzel daf nichts negatives stehen. Fü alle a gilt, a a Rechenegeln: a b a b a a b b Rechenegeln gibt es nu fü mal und geteilt, fü plus und minus gibt es keine Rechenegeln. Rechne ohne Taschenechne Veeinfache Radiziee teilweise a 8aa a 9a 9a a a a a a a u 7 u 8u 9 u u u 9 7 u. Binomische Fomeln Plus-Fomel: a b a ab b Minus-Fomel: ab a ab b Plus-Minus-Fomel: a b ab a b

3 Beispiele: Scheibe ohne Klammen a 68a a 5 y 5 0y y Seite Scheibe ohne Wuzel a6a 9 a a Küze ab ab ba ab a a a a a a. n-te Wuzeln n Fü a 0 ist n a diejenige nicht negative Zahl mit n a a Beachte: Unte de Wuzel daf nie was Negatives stehen, und die Wuzel selbst kann auch nie negativ sein. Löse die Gleichungen 6,± 6,± 65 6,±

4 Seite. Rationale Eponenten Fü positive a ist p q a a p und q a p q a Beachte: q a p q q ap p Scheibe mit Wuzelzeichen 5 5 Scheibe als Potenz Rechenegeln s a a a a as s a s a b a b a a b b s a a s Veeinfache

5 Seite Pythagoas Im echtwinkligen Deieck gilt k k l h p q Wenn eine de beiden Gleichungen gilt, dann weiß man schon, dass das Deieck echtwinklig ist. Zum Rechnen ist auch die Flächenfomel nützlich A l h k k Beechne die Längen de Diagonale d und de eingezeichneten Höhe h im Rechteck echts. d cm cm 5cm Fläche Deieck echts unten cm cm d h cm cm 5cm h 6cm,5 cm h / :,5 cm h, cm

6 In de quadatischen Pyamide echts haben alle Kanten die Länge a. Beechne die Höhe de Pyamide h und die Höhe de Seitenflächendeiecke h s in Abhängigkeit von a. h s 0,5a a h s a 0,5 a h s a a d d a a d a a a a h ha a a a h a a h a Nenne ational machen Seite 5

7 Quadatische Funktionen und Gleichungen. Paabeln Zum Zeichnen de Paabel geht man vom Scheitel aus um nach echts und um a nach oben... um nach echts und um a nach oben... um nach echts und um 9a nach oben Wenn das a negativ ist, dann ist die Paabel nach unten geöffnet! Beispiele: Binge die Paabelgleichungen auf Scheitelfom und zeichne die Paabeln in das KOSY echts. y + + ( +6 ) + ( )+ ( +6 +9)8+ ( +) S (/) y0, ,5 ( +)+ 0,5 ( +)+ + 0,5 ()+ S (/ ) Seite 6

8 . Bestimmen des Funktionstems Oft kann man die Funktionsteme in de Scheitelfom einfach ablesen. f : y,5 ( +,5)+ vom Scheitel aus um nach echts und um,5 nach unten! g : y (,5) vom Scheitel aus um nach echts und um nach oben Wenn man die Nullstellen und kennt, dann kann man fü die Paabelgleichung den Ansatz ya machen. Das a bekommt man duch einsetzen eines zusätzlichen Punktes. Bestimme die Gleichung eine Paabel mit den Nullstellen - und und dem Scheitel (/-). ya Scheitel einsetzen gibt a a a a y y Seite 7

9 Seite 8. Schnittpunkte und Nullstellen Mittenachtsfomel b± b ac, a Damit man die Mittenachtsfomel benutzen kann, muss man die Gleichung est auf die Fom a b c0 bingen. Wenn die Diskiminante negativ ist, dann gibt es keine Lösung. Wenn die Diskiminante Null ist, dann gibt es nu eine Lösung. Die Mittenachtsfomel kann auch zum Faktoisieen quadatische Teme benutzt weden. Beispiele: Bestimme die Nullstellen und faktoisiee den Funktionstem. f 6 g 8 ± 6 6 ±8 f, 8± 8 8±6, 6 6 g Beispiele: Beechne jeweils die Schnittpunkte de beiden Gaphen. f ; g f ; g,5 / 0,5 / ± ±,,5 /,5 0,5±,5,5±,5 Einsetzen in g() gibt, y 5 0,5 y Einsetzen in g() gibt S /5 S / y 0,5,5 y,50,5 S 0,5/ S / 0,5

10 Seite 9 Mehstufige Zufallsepeimente Im Baumdiagamm Das Podukt de Wahscheinlichkeiten entlang eines Pfades gibt die Wahscheinlichkeit fü das entstehende Egebnis. Die Summe de Zweige mit gleichem Uspung gibt. Die Summe de Wahscheinlichkeiten alle endgültigen Egebnisse gibt. In einem Kob liegen ohe und a) gekochte g Eie. Es weden zwei Eie nacheinande ausgenommen. a) Zeichne ein Baumdiagamm mit allen Wahscheinlichkeiten. b) Wie goß ist die Wahscheinlichkeit ein ohes und ein gekochtes Ei zu ewischen? b) P ein und ein g Tage alle fehlenden Wahscheinlichkeiten im Baumdiagamm echts ein ,

11 Seite 0 5 Tigonometie am echtwinkligen Deieck Im echtwinkligen Deieck gilt Gegenkathete Ankathete sin cos Hypotenuse Hypotenuse sin α w u cos α v u tan α w v sin β v u cos β w u tan β v w Beechne die fehlenden Seiten und Winkel cm sin 60 u 5cm 5cm 0 0 u cm cm sin 60 0 u cm 0 vu cos 60 cm 5 v cm tan Gegenkathete Ankathete

12 Seite 6 Raumgeometie 6. Winkel zwischen Geade und Ebene Wenn eine Geade senkecht auf zwei Geaden eine Ebene steht, dann heißt diese Geade ein Lot auf de Ebene. De Köpe echts ist ein Quade. Welche Geaden stehen senkecht auf... a)... de Ebene ABE? Die Geaden: AD ; EH ; BC ; FG b)... de Ebene BCG? Die Geaden: AB ; CD ; EF ; HG c)... de Ebene EFG? Die Geaden: AE ; BF ; CG ; DH Um den Winkel zwischen eine Geade und eine Ebene E zu bestimmen, baucht man den Schnittpunkt Q und von einem beliebigen Punkt P de Geade aus ein Lot auf die Ebene. Beechne ohne weitee Längen zu beechnen den Winkel zwischen de Raumdiagonale... a)... und de Ebene ABE cm sin α 0,6 α5 9, cm b)... und de Ebene BCG 8cm sin β 0,85 β58 9, cm

13 Seite 6. Köpe Pismen und Zylinde (Boden und Deckel sind gleich) V G h Obefläche aus Teilen zusammensetzen Pyamiden und geade Kegel (haben eine Spitze) V G h Mantelfläche Kegel: M π m Beispiele: Von einem Wüfel wude eine Ecke abgeschnitten. Antons Lesekissen ist ein geades Pisma. Beechne das Volumen de Ecke. Beechne das Volumen des Lesekissens. Die Kante echts außen ist die Höhe de Pyamide. Die Gundfläche ist ein echtwinkliges Deieck. V cm cm cm V cm 6 V 0cm 0cm 80cm V 8000 cm