Aufgaben: Modellieren und Optimieren

Größe: px

Ab Seite anzeigen:

Download "Aufgaben: Modellieren und Optimieren"

Jasper Schuler
vor 5 Jahren
Abrufe

1 Aufgaben Modellieen und Optimieen Zelege die Zahl in zwei Summanden, deen Podukt möglichst goß ist. p x y Nebenbedingungen x y Definitionsbeeich x, y [0 ; ] Zielfunktion p x x y x x x x p x x x p ' x x p ' ' x Setze p ' x 0 x 0 x x 7 Untesuche die Stelle x 7 p ' ' 7 p ' ' 7 0 Hochpunkt an de Stelle x 7 p 0 0 p 7 globales Maximum an de Stelle x7 auf D p 0 Egebnis 7 } Henik Hostmann

2 f x x A u v Nebenbedingungen v f u u P(u v) Definitionsbeeich u [0 ; ], v [0 ; ] Zielfunktion A u u v u u Bestimmen Sie u, so dass die Fläche des Rechtecks u u so goß wie möglich wid. Au u u A ' u u A' ' u u Setze A' u 0 u 0 u u u, ± u u Untesuche die Stelle u 0 Hochpunkt an de Stelle u Untesuche die Stelle u A' ' 0 Tiefpunkt an de Stelle u A0 0 globales Maximum an de Stelle u auf D A A 0 A' ' } Egebnis, Henik Hostmann

3 Ein Rechteck soll mit l m Zaun eingefasst weden. An de Hauswand ist kein Zaun nötig. Wie goß kann die Fläche maximal weden? A l b Nebenbedingungen l b Definitionsbeeich l [0; ], b [0; ] Zielfunktion Ab l b b b b b b b b Ab b x A ' b b A' ' b Setze A' b 0 b 0 b b Untesuche die Stelle b A' ' A' ' 0 Hochpunkt an de Stelle b l A A0 0 A globales Maximum an de Stelle b auf D A 0 Egebnis } f x x u v A Nebenbedingungen v f u u Definitionsbeeich u, v [0; ] Zielfunktion u v A u Bestimmen Sie u, so dass u u die Fläche des Deiecks so goß wie möglich wid. u u u u 0 P(u v) Henik Hostmann

4 Au u u 0 A ' u u 0 A' ' u u Setze A' u 0 u 0 0 u 0 u 0 u, ± u u Untesuche die Stelle u A' ' 0 Hochpunkt an de Stelle u Untesuche die Stelle u A' ' 0 Tiefpunkt an de Stelle u Übepüfen de Randwete A0 0 } globales Maximum an de Stelle u auf D A A Egebnis, Henik Hostmann

5 f x x x u v A Nebenbedingungen v f u u u Definitionsbeeich u [ ; ], v [0; ] Zielfunktion u v A u Bestimmen Sie u, so dass die Fläche des Rechtecks so goß wie möglich wid. u u u u u u u u u u Au u u u A ' u u u A' ' u u P(u v) Setze A' u 0 u u 0 Setze a, b, c in die sfomel ein ± u, u u ± ± ± Henik Hostmann

6 Untesuche die Stelle u A'' 0 Tiefpunkt an de Stelle u Untesuche die Stelle u A'' 0 Hochpunkt an de Stelle u A 0 globales Maximum an de Stelle A u auf D A 0,0 Egebnis Wie lang muss die Seitenlänge de blauen Quadate sein, damit das aus dem gelben Katon gefaltete Kästchen maximales Volumen hat? cm cm } V h b Nebenbedingungen h b Definitionsbeeich b [0; ], h [0 ; ] Zielfunktion V h h b h h h h h h h h h h h V h h h h V ' h h h V ' ' h h Setze V ' u 0 h h 0 Setze a, b, c in die sfomel ein h, ± ± ± 0 ± h h Untesuche die Stelle h V ' ' 0 Hochpunkt an de Stelle h Untesuche die Stelle u V ' ' 0 Tiefpunkt an de Stelle h Henik Hostmann

7 V 0 0 V globales Maximum an de Stelle h auf D V 0 Egebnis } 7 Die Kosten eines Betiebs G x E x K x weden duch x 0 x x x 0 x 000 K x x x 0 x beschieben. x x 0 x ist die E x x 0 x 0 x Definitionsbeeich Elösfunktion. Bei welche Stückzahl wid das Beechnung des maximalen Gewinns Gewinnmaximum ezielt? G x x x 0 x G ' x x x 0 0 G ' ' x x 0 Setze G ' x 0 mit dem GTR x,77 x, Untesuche die Stelle x,77 G ' ',77, G ' ',77 0 Tiefpunkt an de Stelle x,77 G,77 7,0 T,77 7,0 Untesuche die Stelle x,77 G ' ',, G ' ', 0 Hochpunkt an de Stelle x, G, 0,0 H, 0,0 G Da G eine ganzationale Funktion. Gades ist, muss Sie nach dem Hochpunkt monton fallend sein. Damit hat G an de Stelle x,77 ein globales Maximum auf D. De maximale Gewinn wid bei eine Stückzahl von ezielt. x, ME Egebnis, Henik Hostmann

8 Sei K f das Schaubild von f x x und K h das Schaubild von h x x x An welche Stelle ist de Abstand von K f und K h am geingsten? Zielfunktion D x f x hx x x x x x x 0 D x x x 0 D ' x x D ' ' x Setze D ' x 0 x 0 x 0 x Untesuche die Stelle x Tiefpunkt an de Stelle x Da es sich bei de Funktion D x um ein nach oben geöffnete Paabel handelt, ist de Tiefpunkt ein globales Minimum. 0 Egebnis, D' ' Henik Hostmann

9 l Das Rechteck hat eine Fläche von A0 m. Wie lang muss l sein, damit de Umfang de Fom so geing wie möglich ist? U l Nebenbedingungen 0 l Definitionsbeeich 0 l, 0 Zielfunktion U l l l l 0 l l 0 U l l l 0 U ' l l 00 U ' ' l l Setze U ' l 0 0 l 0 l l l 0 l l, ± l, ± l l Untesuche die Stelle l U ' ' 0 Tiefpunkt an de Stelle l Untesuche die Stelle l U ' ' 0 Hochpunkt an de Stelle l Untesuchung de Randwete Fü l 0, 0 l geht U ' l und fü l geht U ' l. Damit hat U an de Stelle l ein globales Minimum auf D. Egebnis, Henik Hostmann

10 0 Die Obefläche eine d V h h Dose ist O00 cm. Welchen Duchmesse muss die d Dose haben, damit das Volumen maximal ist? Nebenbedingungen 00 d h d Definitionsbeeich 0 d, 0 h Zielfunktion d V d h d 00 d d 00 d d d 00 d V d d 00 d V ' d d 00 V ' ' d d Setze U ' l 0 d d d 00 d, ± d, ±0 d 0 d 0 Untesuche die Stelle d 0 V ' ' 0 0 Hochpunkt an de Stelle d 0 Untesuche die Stelle d 0 V ' ' 0 0 Tiefpunkt an de Stelle d Henik Hostmann

11 000 und fü d geht V d. Damit V 0 0 V 0 hat V an de Stelle d 0 ein globales Maximum auf D. 0 Egebnis,77 Gesucht ist n ℕ, fü das Zielfunktion die Summe von n und ihem Kehwet minimal ist. sn n n sn n n s ' n n s ' ' n n Setze s ' n 0 n 0 n n 0 n n, ± n, ± n n Untesuche die Stelle n s' ' 0 Tiefpunkt an de Stelle n Untesuche die Stelle n s' ' 0 Hochpunkt an de Stelle n Untesuche das Monotonievehalten von s fü 0 n Fü n 0 geht s' n und fü n geht s' n, damit ist s vo dem Tiefpunkt monoton fallend und nach dem Tiefpunkt monoton steigend. Es folgt, dass s an de Stelle n ein globales Minimum hat. Egebnis Gesucht ist ein Punkt Q u v auf dem Gaphen von f x x, dessen Abstand zu P minimal ist. D u v Nebenbedingungen v f u u Zielfunktion D u u v u u u u u u u u u u Mit dem GTR 0, (gafische ) Egebnis 0, Henik Hostmann

12 l Das Rechteck hat eine Fläche von Am. Wie lang muss sein, damit de Umfang de Fom so geing wie möglich ist? U l Nebenbedingungen l Definitionsbeeich 0 l, 0 Zielfunktion U l U U ' U ' ' Setze U ' 0 0 0, ±, ± Untesuche die Stelle 0 Tiefpunkt an de Stelle Untesuche die Stelle U ' ' 0 Hochpunkt an de Stelle Untesuche das Monotonievehalten von U fü 0 Fü 0 geht U ' und fü geht U ', damit U vo dem Tiefpunkt monoton fallend und danach monoton steigend. Es folgt, dass U an de Stelle ein globales U '' Minimum besitzt. - - ist 00 Henik Hostmann

13 Egebnis Nebenste- hende Fom hat eine Fläche von A7 m. Wie beit ist die Fom, wenn de Umfang minimal ist?, U h h und b Definitionsbeeich 0, 0 h Zielfunktion U () π + h+ π π π π + + π Nebenbedingungen 7 ( ) Henik Hostmann

14 π + 7 U () + π + 7 U ' () U ' ' () Setze U ' () 0 π+ 7 0 π π+ π+ 7 π+, ± π+, ± π + π + π + Untesuche die Stelle ( ) π+ > 0 Tiefpunkt an de Stelle π + π+ Untesuche die Stelle π+ U ' ' < 0 Hochpunkt an de Stelle π + π+ Untesuche das Monotonievehalten von U fü 0 Fü 0 geht U ' und fü geht U ', damit ist U vo dem Tiefpunkt monoton fallend und nach dem Tiefpunkt monoton steigend. Es folgt, dass U an de Stelle ein globales π+ Minimum besitzt. Egebnis π+ (,) U ' ' ( ) Sei K f das Schaubild von f x x x und K h das Schaubild 7 von h x x x An welche Stelle ist de Zielfunktion D x f x hx 7 x x x x 0 x x Henik Hostmann

15 0 D x x x 0 0 D' x x 0 D ' ' x Abstand von K f und K h im Intevall [0 ; ] am gößten? Setze D ' x x x x Untesuche die Stelle x D ' ' 0 Hochpunkt an de Stelle x Da D x eine nach unten geöffnete Paabel ist, hat D x an de Stelle x ein globales Maximum. Egebnis Die Obefläche eine l d h Dose ist O00 cm. d Welchen Nebenbedingungen 00 d h Duch messe Definitionsbeeich 0 d, 0 h muss die Zielfunktion l d d h Dose 00 d d haben, d damit die d 00 d Länge de d Schweißnaht minimal ist? h Henik Hostmann

16 π 00 l( d ) d+ πd π 00 l ' (d ) πd 00 l ' ' (d ) π d Setze l ' ( d ) 0 π 00 d 0 πd π d π 0 + π π 00 π d π 00 d π π 00 d, ± π π d, ±0 π π d 0 π π d 0 π π Untesuche die Stelle d 0 ( ) π π l ' ' 0 > 0 Tiefpunkt an de Stelle d 0 π π π π Untesuche die Stelle d 0 π l ' ' 0 < 0 Hochpunkt an de Stelle d 0 π π π π Untesuche das Monotonievehalten von l d fü 0 d Fü d 0 geht l d und fü d geht l d. Damit ist l d vo dem Tiefpunkt monoton fallend und danach monoton steigend. Es folgt, dass l d an de Stelle d 0 ein globales Minimum π π besitzt. 0 Egebnis π π (,7 ) ( ) Henik Hostmann

Ähnliche Dokumente

Lösung 1: Die größte Schachtel

Lösung 1: Die größte Schachtel Lösung : Die gößte Schachtel Aufgabenstellung: Aus einem DIN-A-Blatt soll eine offene, quadefömige Schachtel hegestellt weden. Welches Füllvolumen ist maximal möglich, ohne dass etwas aus de Schachtel