2.8. Prüfungsaufgaben zum Satz des Pythagoras

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1 .8. üfungsaufgaben zum Satz des ythagoas Aufgabe : Rechtwinkliges Deieck Ein echtwinkliges Deieck mit de Kathete a = 0, m hat die Fläche A = 000 cm. Beechne die estlichen Seitenlängen dieses Deiecks. 000 cm = 0 cm b b = 80 cm und c = (0 cm) + (80 cm) = 9, cm Aufgabe : Raute Eine Raute hat die Diagonalen e = 6 cm und f = 8 cm. Beechne den Umfang des Dachens. u = ( cm) + ( cm) = 0 cm Aufgabe : Abstände () Beechne den Abstand de unkte ( ) und Q( ) Q = ( ) + ( ) = + = 8 Aufgabe : Abstände () Beechne den Abstand de unkte ( ) und Q(6 8) Q = (8 ) + (6 ) = 9+ = Aufgabe : Tangenten () Im unkt A eines Keises um mit Radius = cm wid eine Tangente gezeichnet. Auf de Tangente wid de unkt makiet. Wie goß muss die Entfenung A sein, damit einen Abstand von d = cm zum Keis hat? A d ( + d) = + A A = (+ d) = d + d = 7 cm,6 cm ()

2 Aufgabe 6: Tangenten Im unkt A eines Keises um mit Radius = cm ist eine Tangente gezeichnet und auf ih in de Entfenung A = cm de unkt makiet. Die zweite Keistangente duch beühe den Keis in B. a) Beechne. b) Welchen Abstand a hat die Beühpunktssehne [AB] vom Keismittelpunkt? c) Beechne AB. d) Wie muss auf de Keistangente duch A gewählt weden, damit das Deieck A gleichseitig wid? Rechne allgemein mit den Gößen und A = t! A a B a) ythagoas: = + A = cm. b) Kathetensatz: = a a = =,8 cm c) ythagoas: = a + ( AB ) AB = a =,8 cm Aufgabe 7: Tangenten Ein Fesselballon schwebt h = 000 m übe dem eeesspiegel. Welchen Radius H hat de vom Ballon aus sichtbae Hoizont bei vollkommen klaen Sichtvehältnissen? De Radius de Ede ist = 670 km. H ( + h) = + H H = ( + h) = h + h,8 km Aufgabe 8: yamiden () Gegeben ist eine yamide, deen Gundseite ein Quadat mit de Seitenlänge a ist. Die Höhe de yamide soll h = m sein und die Höhe de Seitenflächen soll = 6 m sein. Beechne auf Nachkommastellen genau a) die Länge a de Gundfläche. b) die Kantenlänge s

3 a) h S = h a + a = hs h = m 6,6 m () b) s = h a S + s = a hs+ = 7 m 6,8 m () Aufgabe 9: yamiden () Gegeben ist eine yamide, deen Gundseite ein gleichseitiges Deieck mit de Seitenlänge a = m ist. Die Kantenlänge de yamide soll s = 6 m sein. Beechne nacheinande a) die Höhe de Seiteflächen b) den Abschnitt h de Höhe des gleichseitigen Deiecks de Gundfläche c) die Höhe h de yamide auf Nachkommastellen genau. Hinweis: Die Höhen (=Seitenhalbieenden) in einem gleichseitigen Deieck schneiden sich im Vehältnis :. h a) s = h a S + h S = s a b) h = h = a = a = 6 = m,66 m () m, m () c) = h + h h = h S h, m () Aufgabe 0: ismen () In dem unten gezeichneten isma sind ABC und DEF gleichseitige Deiecke. Die Vieecke ABED, BCFE und ACFD sind Rechtecke. ist de ittelpunkt des Deieckes ABC. Bestimme die Längen a) de Stecke A () b) de Stecke A () fü a = cm und fü beliebiges a

4 a) A ' = AD + D' = ( a) + (a) = 9 a 0,77 cm fü a = cm () b) ist de kleinee Abschnitt de Höhe des gleichseitigen Deiecks DEF mit de Kantenlänge a und hat dahe die Länge ' = a. () 6 A = A ' + ' = (a) 9a + = 6 Aufgabe : Quade (6) Bei dem echts gezeichneten Quade sind R, S und T ittelpunkte von Seitenflächen und U, V und W ittelpunkte von Kanten. Bestimme die Längen a) de Stecke ES b) de Stecke AS c) de Stecke UC d) de Stecke UV fü a = cm und fü beliebiges a a, cm fü a = cm () a) ES = b) AS = c) UC = d) UV = HU + US = AE + ES = UG + GC = UC + CV = a + a (a) = + a = 6 a + (a) a, cm fü a = cm () = (9 + )a + a = 9 + a 6,0 cm fü a = cm () 9 + a 6,08 cm fü a = cm () 0 + a,0 cm fü a = cm () Aufgabe : Beweisaufgabe () Gegeben ist ein echtwinkliges Deieck: a) Fomuliee des Satz des ythagoas fü die Deiecke ABC, DBC und ADC. () b) Beechne die Höhe h in Abhängigkeit von den Hypothenusenabschnitten p und q. Hinweis: Eliminiee die dei Gößen a, b und c in den dei Gleichungen aus a) mit Hilfe des Einsetzungsvefahens. Das Egebnis ist h = p q () a) () c = a + b () a = h + p () b = h + q () b) () und () in () einsetzen: c = h + p + h + q. () () c = p + q () () ebenfalls einsetzen: (p + q) = h + p + h + q h = (p + q) p q = pq h = p q () D

5 Aufgabe : Beweisaufgabe (6) Gegeben ist ein echtwinkliges Deieck: a) Fomuliee des Satz des ythagoas fü die Deiecke ABC, DBC und ADC. () b) Beechne die Kathete a in Abhängigkeit von de Hypothenuse c und dem Hypothenusenabschnitt p. Hinweis: Eliminiee die dei Gößen h, b und q in den dei Gleichungen aus a) mit Hilfe des Einsetzungs- ode Gleichsetzungsvefahens. Das Egebnis ist a = c p () a) () c = a + b b = c a () a = h + p h = a p () b = h + q h = b q () b) () c = p + q q = c p () () und () gleichsetzen: a p = b q () ebenfalls einsetzen: a p = b (c p) () ebenfalls einsetzen: a p = c a (c p) a = c + p (c p) = cp a = c p () Aufgabe : Tetaede (9) Ein Tetaede ist eine yamide (siehe Skizze), die aus vie gleichseitigen Deiecken gebildet wid. Beechne die Seitenhöhe und die Höhe h eines Tetaedes mit de Seitenlänge s = 6 cm. D h s h s S + = s = h + s = cm = h = = s = 6 cm.