Archimedische Spirale 4
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- Thilo Kaiser
- vor 5 Jahren
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1 Aufgbenbltt-Achimedische Spile +Lösungen.doc Achimedische Spile Aufgbe An einem Holzpflock mit qudtischem Queschnitt (Seitenlänge z.. cm) ist im unkt eine Schnu befestigt, die von nch S eicht. Die Schnu wid im Gegenuhzeigesinn so lnge es geht um den (festen) flock gewickelt. Konstuieen Sie die hn, die ds Schnuende S bescheibt. Diskutieen Sie den Zusmmenhng mit chimedischen Spilen. Fühen Sie die Konstuktion mit DnGeo duch, ebenso den Vegleich mit eine chimedischen Spile (Ausgngsdtei ltt-.geo) S x chen Sie ds Gleiche mit einem flock, dessen Queschnitt ein gleichseitiges Deieck ist. (Ausgngsdtei ltt-b.geo) S cm - x - -
2 Aufgbenbltt-Achimedische Spile +Lösungen.doc Aufgbe Jetzt weden eguläe n-ecke zu Konstuktion vewndt. escheiben Sie, ws ds bewikt (seh vge Fge). chen Sie Skizzen! Zuletzt betchtet mn einen flock mit keisfömigem Queschnitt. Stellen Sie sich vo, die Schnu sei in ihe gnzen (endlichen) Länge um den flock gewickelt, und sie beginnen jetzt, die Schnu ufzuwickeln. Ds gibt j wohl etws Spilentiges. escheiben Sie den Zusmmenhng mit den n-eck-fosten. is zu welche Stellung wollen Sie die Schnu ufwickeln, dmit Sie eine gute Spile ehlten? chen Sie eine Skizze.
3 Aufgbenbltt-Achimedische Spile +Lösungen.doc Aufgbe 0 phi=7 70 = 7, - /90*phi, phi=7 0 =, - /90*phi, cm S x
4 Aufgbenbltt-Achimedische Spile +Lösungen.doc Aufgbe Hie sehen Sie eine Abbildung de Abwicklung eine Schnu von einem flock mit keisfömigem Queschnitt. (Dtei ltt-c.geo zum expeimentieen) Ekläen Sie die Zeichnung. (Wo ist die Schnu, ws ist sonst noch eingezeichnet?) Scheiben Sie Ekläungen n die entspechenden Stellen in de Zeichnung. egünden Sie, wum die Spile wohl kein Teil eine echten chimedischen Spile ist. egünden Sie, wum die Spile nch viiiielen Windungen eine gewisse chimedische Spile imme besse nnähet. Duch eine kleine technische Einichtung lässt sich us diese Anodnung ein echte chimedische Spilenzikel hestellen. Efinden Sie diesen neu!
5 Aufgbenbltt-Achimedische Spile +Lösungen.doc Aufgbe Schnu, tngentil n den Keis in Schnuende und hn des Schnuendes ogen, n dem die bgewickelte Schnu nlg Rdius vom ol zu Abwickelspile ist de Winkel zwischen olchse und eühdius. ist de Winkel de den Keisbogen de bgewickelten Schnu bestimmt. ol eine chimedischen Spile φ olwinkel zum Rdius S Sttpunkt de Abwickelspile S olchse Die Abwickelspile ist wohl keine echte chimedische Spile, d zw die Stecke um den Keisumfng U po 0 kontinuielich zunimmt, diese Stecke be nicht von einem festen ol us gemessen wid, sonden vom ständig wechselnden eühpunkt uf dem Keisumfng. Fü goße Winkel φ, lso nch Abwickeln von meheen Umfängen, sollte sich diese Unteschied zwischen und nicht meh stk bemekb mchen und sich die Abwickelspile eine echten chimedischen Spile nnähen. eobchtung: Wid de Winkel φ goß, dnn velufen und fst pllel, de Winkel wid imme kleine. Dmit gilt φ+90 fü goße Winkel φ, lso nch meheen Umläufen. Fü diesen Fll ist uch. ist die Länge de bgewickelten Schnu, lso so lng wie de Keisbogen von S nch. Ds heißt fü goße φ U U U U π π π π = ( + 90 ) = + 90 = + 90 = Dmit ht mn mit π π = + 80 die Gleichung eine echten chimedischen Spile, die fü goße Winkel φ imme besse mit de Abwickelspile übeeinstimmt. D imme < φ+90 ist, ist uch Keiswickelspile < chimedische Spile, d.h. die Keiswickelspile nähet sich von innen n die Keiswickelspile n.
6 Aufgbenbltt-Achimedische Spile +Lösungen.doc Vegleich de Keiswickelspile ( Keisevolvente ) und de beechneten chimedischen Spile. -90 phi=,8 0 = pi*d(;)/80*phi + pi*d(;)/,08 8 7, cm Appox Koigiet mn den Anfngspunkt, dnn stimmen die Spilen zw fü kleinee Winkel φ besse übeein, fü goße φ schneiden sich die Spilen be dnn schließlich und die chimedische Spile entfent sich von de Keisevolvente. -90 phi=,8 0 = pi*d(;)/80*phi + pi*d(;)/*0,9, , cm Appox
7 Aufgbenbltt-Achimedische Spile +Lösungen.doc 7 Exkte eechnungen: (lle Winkel im Gdmß gemessen; mit dem ogenmß weden die Ausdücke etws einfche, d de Fkto π/80 bei de eechnung de ogenlänge wegfällt) Aus de Skizze entnimmt mn sofot den Zusmmenhng zwischen den Winkeln φ und : π tn( ) 80 π = = = 80 π = tn ( ) 80 π = tn ( ) 80 D fü π tn ( ) 90, ehält mn so die zuvo vewndte Annäheung φ+90 fü goße Winkel. 80 n knn die Keisevolvente dmit uch beechnen, lledings nicht so einfch explizit ls φ--funktion, sonden in metedstellung mit dem mete : π = + = + 80 π = tn ( ) 80 = π + 80 In DnGeo knn mn eine solche Kuve in metedstellung einfch zeichnen lssen: Zu einem Zhlobjekt tu () mit geeignetem eeich (z.. 0 bis 080 ) wid ein unkt (x,) mit den Koodinten x = *cos(φ) = *sin(φ) konstuiet, wobei fü und φ die zuvo ngegebenen Teme eingesetzt weden. Fü kleine Winkel φ, : -90 phi=,8 0 8 = pi*d(s;)/80*phi + pi*d(s;)/,08 0 tu=9 0 = d(s;)*sqt( + ( pi/80*tu )^) 8,7 phi = ( tu - ctn(pi/80*tu) ) 8, Wickelspilpunkt_exkt S 7, cm Appox
8 Aufgbenbltt-Achimedische Spile +Lösungen.doc 8 Fü goße Winkel φ, : -90 phi=8,08e = pi*d(s;)/80*phi + pi*d(s;)/ 0 tu=7,08e = d(s;)*sqt( + ( pi/80*tu )^) 9 phi = ( tu - ctn(pi/80*tu) ),E+ Appox S Wickelspilpunkt_exkt Fomeln fü die Winkel im ogenmß (viel einfche): = + = tn ( )
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