TU Dresden Fakultät Mathematik Institut für Numerische Mathematik 1

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1 TU Dresden Fkultät Mthemtik Institut für Numerische Mthemtik Aufgbe 2.7 Wie groß ist ds Volumen desjenigen Teiles der Kugel , der wischen den Kegelflächen tn 2 α) und tn 2 β) liegt > 0; 0 < α < β < π 2 )? Verwenden Sie Kugelkoordinten! Lösung: Wir wollen uns den Körper, um den es hier geht, unächst vernschulichen. Die Ungleichung lässt sich äquivlent umformen u ) 2 2. Durch diese Ungleichung wird die Kugel mit dem Mittelpunkt 0, 0, ) und dem Rdius beschrieben. Die Gleichung ) 2 2 beschreibt die Kugeloberfläche, die Ungleichung die gesmte Kugel.) Die folgenden Abbildungen eigen die Umrisse der Schnittflächen dieser Kugel mit der bw. der -Ebene die Schnittfläche mit jeder nderen Ebene, welche die -Achse enthält, sieht ntürlich genuso us) Unser Körper ist lso schonml ein Teil dieser Kugel. Die Gleichung tn 2 α) beschreibt für 0 die Oberfläche eines in Richtung der -Achse geöffneten Kreiskegels mit der Spite im Koordintenursprung. Der Winkel α ist dbei gerde der hlbe Öffnungswinkel, ds heißt der Winkel, den die seitlichen Begrenungslinien mit der positiven -Achse einschließen. Um uns ds klr u mchen, betrchten wir für einen Moment die Schnittkurve der Kegeloberfläche mit der -Ebene, lso der Ebene mit der Gleichung 0. Diese Schnittkurve wird beschrieben durch die Gleichung 2 2 tn 2 α), welche sich für 0 unter Bechtung von 0 < α < π 2 und somit tnα) > 0) uch in der Form π ) tnα) bw. tnα) tn 2 α schreiben. Drn sehen wir, dss der Anstiegswinkel dieser Kurve gegenüber der -Achse gleich π 2 α ist, der Winkel gegenüber der positiven -Achse lso gerde gleich α ist. Ds bestätigt noch einml die weiter oben bereits bemerkte Bedeutung des Winkels α. Entsprechend wird uch durch die Gleichung tn 2 β) für 0 die Oberfläche eines in Richtung der -Achse geöffneten Kreiskegels mit der Spite im Koordintenursprung beschrieben, dessen seitliche Begrenungslinien den Winkel β mit der positiven -Achse einschließen. Nch Vorussetung ist dieser Winkel größer ls α. Der Körper, um den es in dieser Aufgbe geht, soll sich wischen den beiden Kegelflächen befinden. Andererseits liegt er innerhlb der Kugel mit dem Mittelpunkt 0, 0, ) und dem Rdius. In den folgenden Abbildungen sind die Schnittflächen des Körpers mit der - bw. der -Ebene drgestellt die Schnittfläche mit jeder nderen Ebene, welche die -Achse enthält, sieht ntürlich genuso us).

2 TU Dresden Fkultät Mthemtik Institut für Numerische Mthemtik α α β β - - Die folgende Abbildung eigt den Körper schließlich noch im dreidimensionlen Koordintensstem. Nch diesen Vorüberlegungen soll nun die Berechnung des Volumens des Körpers erfolgen. Ds Volumen lässt sich beknntermßen durch ds folgende räumliche Bereichsintegrl berechnen: ˆ V d,, ). K Um dieses Integrl wiederum u berechnen, ist der Körper unächst beüglich geeigneter Koordinten u beschreiben. In der Aufgbenstellung ist bereits verrten, dss hier Kugelkoordinten r, ϕ, ϑ) geeignet sind, wobei r den Abstnd eines Punktes um Koordintenursprung beeichnet, ϕ den Winkel ngibt, den der Ortsvektor der Projektion des Punktes mit der positiven -Achse einschließt, ϑ der Winkel ist, den der Ortsvektor des Punktes selbst mit der positiven -Achse einschließt wir entscheiden uns hier lso für die Form der Kugelkoordinten, bei der ϑ den Polbstnd ngibt). Die folgende Abbildung vernschulicht nochml die Bedeutung der Kugelkoordinten.

3 TU Dresden Fkultät Mthemtik Institut für Numerische Mthemtik 3 P,, ) ϑ ϕ r P,, 0) Zur Aufstellung des Integrls sind nun drei Schritte durchuführen. Wir müssen die Grenen für r, ϕ, ϑ ermitteln. D der Körper, um den es in dieser Aufgbe geht, rottionssmmetrisch ur -Achse ist, durchläuft ϕ lle Werte des Intervlls [0, 2π], lso 0 ϕ 2π. Wir htten vorhin die Bedeutung der gegebenen Winkel α und β diskutiert. Aus dieser Diskussion können wir bleiten, dss der Winkel ϑ gerde lle Werte im Intervll [α, β] nnimmt, lso α ϑ β. Es bleiben die Grenen für r u bestimmen. Die untere Begrenung ist r 0 entspricht dem Koordintenursprung). Die obere Grene für r wird für solche Punkte des Körpers ngenommen, die uf der Oberfläche der Kugel mit dem Mittelpunkt 0, 0, ) und dem Rdius liegen. Wie groß der Abstnd solcher Punkte um Koordintenursprung ist, hängt llerdings vom Winkel ϑ b, den die Ortsvektoren dieser Punkte mit der -Achse einschließen. Wir könnten uns den Zusmmenhng wischen diesem Abstnd und dem Winkel ϑ elementrgeometrisch überlegen. Alterntiv können wir den Zusmmenhng wischen krtesischen Koordinten und Kugelkoordinten in die Gleichung , welche gerde die Kugeloberfläche beschreibt, einseten und die entstehende Gleichung nch r uflösen. Der Zusmmenhng wischen krtesischen Koordinten und der von uns gewählten Form der Kugelkoordinten ist gegeben durch r cosϕ) sinϑ), r sinϕ) sinϑ), r cosϑ). Seten wir ds in die Gleichung für die Kugeloberfläche ein und bechten, dss r 2 ist, ergibt sich die folgende Gleichung, welche lle Punkte uf der Kugeloberfläche erfüllen: r 2 2r cosϑ) r 2 cosϑ). Dmit hben wir die obere Begrenung von r in Abhängigkeit des Winkels ϑ) erhlten. Wir fssen usmmen: die Grenen für r sind gegeben durch 0 r 2 cosϑ). Wir müssen den Integrnden mittels Kugelkoordinten usdrücken. D der Integrnd ber einfch die Konstnte ist, lso nicht von,, bhängt, bleibt der Integrnd bei. Wir müssen d,, ) durch Dr, ϕ, ϑ) dr, ϕ, ϑ) erseten, wobei mit Dr, ϕ, ϑ) die Funktionldeterminnte beeichnet wird. Bei Verwendung der von uns gewählten Vrinte der Kugelkoordinten beträgt diese Dr, ϕ, ϑ) r 2 sinϑ). D sinϑ) für diejenigen Werte, die ϑ nnehmen knn, stets nichtnegtiv ist, ist uch Dr, ϕ, ϑ) r 2 sinϑ). Nch diesen Überlegungen sind wir du in der Lge, ds u berechnende Dreifchintegrl ufustellen und ds Volumen des Körpers u berechnen. V ˆ β ˆ 2 cosϑ) ϕ0 ϑα r0 r 2 sinϑ) dr dϑ dϕ

4 TU Dresden Fkultät Mthemtik Institut für Numerische Mthemtik 4 ˆ β ϕ ϑα ˆ β ϕ ϕ0 3 r3 sinϑ) ϑα 2 cosϑ) r0 dϑ dϕ cos 3 ϑ) sinϑ) dϑ dϕ 4 cos4 ϑ) cos 4 α) cos 4 β)) 4 3 π3 cos 4 α) cos 4 β)) β dϕ ϑα ϕ0 dϕ Zur Berechnung des Integrls bgl. ϑ hilft dbei eine geeignete Formel us der Integrltbelle der Formelsmmlung Formel 22 in der Formelsmmlung von Meriger u..) oder die Substitution u cosϑ).

5 TU Dresden Fkultät Mthemtik Institut für Numerische Mthemtik 5 Aufgbe 2.0 Welche Msse ht der Körper, der von den Koordintenebenen und den Ebenen + und bc + c + b bc b > ;, c > 0) begrent wird, wenn die Mssendichte durch ϱ,, ) + b gegeben ist? Lösung: Wir wollen unächst eine Skie des Körpers sowie seines Grundbereichs in der -Ebene nfertigen. Du überlegen wir uns, dss die Ebene mit der Gleichung + prllel ur -Achse liegt, die -Achse bei schneidet und die -Achse bei schneidet. Die Ebene mit der Gleichung bc + c + b bc schneidet die -Achse bei, die -Achse bei b und die -Achse bei c. Wegen b > liegt der Schnittpunkt dieser Ebene mit der -Achse weiter vom Ursprung entfernt ls der Schnittpunkt der Ebene + mit der -Achse. Mit Hilfe dieser Informtionen können wir eine Skie des Körpers nfertigen. Die gennnten Ebenen sowie die Koordintenchsen sind in der folgenden Abbildung in Gru drgestellt, während die Begrenungen des Körpers selbst in Schwr eingetrgen sind. c b Der Grundbereich des Körpers liegt in der -Ebene. Es hndelt sich dbei um ds Dreieck mit den Eckpunkten 0, 0, 0),, 0, 0) und 0,, 0). In der folgenden Abbildung ist dieses Dreieck drgestellt. 0 Die Msse des Körpers bei vorgegebener Dichtefunktion ϱ lässt sich durch ds folgende räumliche Bereichsintegrl berechnen: ˆ M ϱ,, ) d,, ). K Um dieses Integrl wiederum u berechnen, ist der Körper unächst beüglich geeigneter Koordinten u beschreiben. Hier bietet es sich n, bei krtesischen Koordinten,, ) u bleiben. Wir beschreiben unächst den Grundbereich des Körpers in der -Ebene ls Normlbereich bgl.. Ds heißt, wir hben feste Grenen für u bestimmen, während die Grenen für von bhängen dürfen. Mn erhält schnell 0, 0. Es bleiben die Grenen für u ermitteln. Die Grundfläche des Körpers liegt in der -Ebene, die Deckfläche in der Ebene mit der Gleichung bc + c + b bc. Lettere Gleichung nch umgestellt ergibt Folglich ist begrent durch bc bc c b c ). b 0 c ). b

6 TU Dresden Fkultät Mthemtik Institut für Numerische Mthemtik 6 Nun sind wir du in der Lge, die Msse des Körpers usurechnen. ˆ M ϱ,, ) d,, ) c K ˆ 0 ˆ 0 ˆ 0 ˆ c 0 ˆ c c c c 4 c 2 0 ˆ 0 ˆ 0 ˆ 0 ˆ 0 ˆ 0 3b 2 ˆ c b ) 0 + ) d d d b + ) c b ) d d b 0 + ) b ) d d b ) ) 2 2 b 2 ] d d [ ) 2 3 3b 2 d 0 ) 3b 2 ) 3 d ) ) ) 4 4 3b 2 ) 3 b 2 ) 0

7 TU Dresden Fkultät Mthemtik Institut für Numerische Mthemtik 7 Aufgbe 2.2 Aus dem Zlinder wird durch die -Ebene und durch die Fläche e ein Körper herusgeschnitten. Welche Msse ht dieser Körper, wenn seine Dichte durch ϱ,, ) 2 gegeben ist? Lösung: Wir wollen unächst eine Skie des Körpers sowie seinem Grundbereich in der -Ebene nfertigen. Der Körper liegt im Inneren des unendlich lngen) Zlinders mit der Gleichung , lso des Zlinders mit der -Achse ls Smmetriechse und dem Querschnittsrdius 2. Die Zlinderwnd bildet gleicheitig die seitliche Begrenung des Körpers. Nch unten wird der Körper durch die -Ebene begrent. Die Grundfläche des Körpers ist lso der Kreis in der -Ebene mit dem Mittelpunkt 0, 0) und dem Rdius 2. Nch oben wird der Körper durch die Fläche mit der Gleichung e begrent. Die Deckfläche des Körpers ist derjenige Teil dieser Fläche, der im Inneren des Zlinders liegt. In der folgenden Abbildung ist der Körper drgestellt. Grob gesgt hndelt es sich um einen Kreislinder, in den eine Kerbe bw. Bohrung in Form der Fläche mit der Gleichung e eingebrcht wurde. Bei der Grundfläche des Körpers in der -Ebene hndelt es sich, wie bereits erwähnt, um den Kreis genuer: die Kreisscheibe) mit dem Mittelpunkt 0, 0) und dem Rdius 2. Die folgende Abbildung eigt die Grundfläche des Körpers Die Msse des Körpers bei vorgegebener Dichte ϱ lässt sich durch ds folgende räumliche Bereichsintegrl berechnen: ˆ M ϱ,, ) d,, ). K Um dieses Integrl wiederum u berechnen, ist der Körper unächst beüglich geeigneter Koordinten u beschreiben. Hier bietet es sich n, Zlinderkoordinten r, ϕ, ) u verwenden, denn die Projektion des Körpers in die -Ebene ist ein Kreis mit dem Mittelpunkt 0, 0) und der Körper ist rottionssmmetrisch ur -Achse. Zur Aufstellung des Integrls sind drei Schritte durchuführen.

8 TU Dresden Fkultät Mthemtik Institut für Numerische Mthemtik 8 Wir müssen die Grenen für r, ϕ, ermitteln. D die Projektion des Körpers in die -Ebene der gesmte) Kreis mit dem Mittelpunkt 0, 0) und dem Rdius 2 ist, ergeben sich ls Grenen für r und ϕ: 0 r 2, 0 ϕ 2π. Die untere Begrenung für wird beschrieben durch 0, die obere durch e Erseten wir durch r cosϕ) und durch r sinϕ) und bechten r 2 cos 2 ϕ) + r 2 sin 2 ϕ) r 2, lässt sich die obere Begrenung für wie folgt in Zlinderkoordinten beschreiben: e r2. Insgesmt luten die Grenen für lso 0 e r2. Wir müssen den Integrnden, lso die gegebene Dichtefunktion ϱ, mittels Zlinderkoordinten usdrücken. In der Vorschrift von ϱ kommt nur vor, welches durch r sinϕ) u erseten ist. Wir erhlten somit ϱr cosϕ), r sinϕ), ) r 2 sin 2 ϕ). Wir müssen d,, ) durch Dr, ϕ, ) dr, ϕ, ) erseten, wobei mit Dr, ϕ, ) die Funktionldeterminnte beeichnet wird. Bei Verwendung von Zlinderkoordinten beträgt diese Dr, ϕ, ) r. D r stets nichtnegtiv ist, ist uch Dr, ϕ, ) r. Nch diesen Überlegungen sind wir du in der Lge, ds u berechnende Dreifchintegrl ufustellen und die Msse des Körpers u berechnen. M ˆ 2 ϕ0 r0 ˆ 2 ϕ0 r0 ˆ 2 ϕ0 ϕ0 r0 ˆ er 2 0 sin 2 ϕ) r 2 sin 2 ϕ) r d dr dϕ r 3 sin 2 ϕ) er2 dr dϕ 0 r 3 e r2 sin 2 ϕ) dr dϕ ˆ 2 r0 r 3 e r2 dr dϕ ) Wir müssen ls nächstes ds innere Integrl bgl. r berechnen. Du bietet sich die folgende Substitution n: u r 2 du dr 2r dr 2r du. Als Grenen für u ergeben sich u0) 0 und u2) 4. Drus folgt ˆ 2 r0 r 3 e r2 dr 2 ˆ 4 u0 ˆ 4 u0 r u e u ue u du 2 u )eu 4 3e 4 + ). 2 u0 2r dr

9 TU Dresden Fkultät Mthemtik Institut für Numerische Mthemtik 9 Im ersten Schritt hben wir dbei r 3 ls r r 2 umgeschrieben und r 2 durch u ersett. Ds Integrl 4 u0 ueu du lässt sich mittels prtieller Integrtion oder mit Hilfe einer Formel us der Integrltbelle der Formelsmmlung lösen Formel 24 in der Formelsmmlung von Meriger u..). Ds Ergebnis seten wir nun in ) ein und berechnen nschließend noch ds äußere Integrl: M 3e 4 + ) sin 2 ϕ) dϕ 2 ϕ0 [ ϕ 2 ] 2π 4 sin2ϕ) 2 3e 4 + ) π ϕ0 258,86. Zur Berechnung des Integrls wurde dbei eine Formel us der Integrltbelle der Formelsmmlung verwendet Formel 77 in der Formelsmmlung von Meriger u..). Alterntiv hätte mn uch prtielle Integrtion nuten können.

10 TU Dresden Fkultät Mthemtik Institut für Numerische Mthemtik 0 Aufgbe 2.7 Berechnen Sie die Gesmtldung Q des Körpers, der durch die Flächen ) und begrent wird, wenn die Ldungsdichte mit ϱ ϱ,, ) ϱ 0 ngegeben wird. Fertigen Sie eine Skie des Bereiches n! Lösung: Wir wollen unächst eine Skie des Körpers sowie seiner Projektion in die -Ebene nfertigen. Durch die Gleichung ) wird eine nch oben geöffnete Prboloidfläche beschrieben, deren Scheitelpunkt im Koordintenursprung liegt. Die Gleichung beschreibt die Oberfläche desjenigen Teils der Kugel mit dem Mittelpunkt 0, 0, 0) und dem Rdius 2, der sich oberhlb der -Ebene befindet lso die Oberfläche einer Hlbkugel, der Nordhlbkugel ). Mn bechte du, dss sich die Gleichung durch Qudrieren und Umstellen in die Form überführen lässt. Dss nur die obere Hälfte der Kugeloberfläche beschrieben wird, ist drn u erkennen, dss mit die -Werte von Punkten uf der Fläche stets nichtnegtiv sind. Aus diesen Überlegungen folgt, dss der Körper, um den es in dieser Aufgbe geht, nch unten durch eine Prboloid- und nch oben durch eine Kugeloberfläche begrent wird. In der folgenden Abbildung ist der Körper drgestellt. Bei der Projektion des Körpers in die -Ebene hndelt es sich um einen Kreis mit dem Mittelpunkt 0, 0), nämlich gerde die Projektion des Kreises, in dem sich die Prboloidfläche und die Kugeloberfläche schneiden. Um den Rdius dieses Kreises u ermitteln, seten wir die Vorschriften der beiden Flächen gleich und stellen geeignet um: ) ) Der Gleichung entnehmen wir, dss der Kreis den Rdius besitt. Als Zust können wir noch usrechnen, in welcher Höhe sich der Schnittkreis der beiden Begrenungsflächen des Körpers befindet. Du seten wir um Beispiel) in die Gleichung für die Prboloidfläche ein und erhlten 3. Die beiden Flächen Prboloid- und Kugeloberfläche) schneiden sich lso in einem Kreis mit dem Rdius, der in der Höhe 3 liegt. In der folgenden Abbildung ist die Projektion unseres Körpers in die -Ebene drgestellt.

11 TU Dresden Fkultät Mthemtik Institut für Numerische Mthemtik - - Die Ldung des Körpers bei vorgegebener Ldungsdichte ϱ lässt sich durch ds folgende räumliche Bereichsintegrl berechnen: ˆ Q ϱ,, ) d,, ). K Um dieses Integrl wiederum u berechnen, ist der Körper unächst beüglich geeigneter Koordinten u beschreiben. Hier bietet es sich n, Zlinderkoordinten r, ϕ, ) u verwenden, denn die Projektion des Körpers in die -Ebene ist ein Kreis mit dem Mittelpunkt 0, 0) und der Körper ist rottionssmmetrisch ur -Achse. Zwr ist eine Begrenungsfläche des Körpers Teil einer Kugeloberfläche, sodss mn unächst uch n Kugelkoordinten denken könnte. Aber die untere Begrenung ist kein Kreiskegel der Körper somit kein Kugelsektor), sondern eine Prboloidfläche, weswegen die Beschreibung mittels Kugelkoordinten ufwendig wird. Zur Aufstellung des Integrls sind drei Schritte durchuführen. Wir müssen die Grenen für r, ϕ, ermitteln. D die Projektion des Körpers in die -Ebene der gesmte) Kreis mit dem Mittelpunkt 0, 0) und dem Rdius ist, ergeben sich ls Grenen für r und ϕ: 0 r, 0 ϕ 2π. Die Begrenungen für werden beschrieben durch ) bw Erseten wir durch r cosϕ) und durch r sinϕ) und bechten r 2 cos 2 ϕ) + r 2 sin 2 ϕ) r 2, lssen sich die Begrenungen für wie folgt durch Zlinderkoordinten beschreiben: 3r 2 4 r 2. Wir müssen den Integrnden, lso die gegebene Dichtefunktion ϱ, mittels Zlinderkoordinten usdrücken. Ds heißt, in der Vorschrift von ϱ ist durch r cosϕ) und durch r sinϕ) u erseten, während unverändert bleibt. D in der Vorschrift von ϱ die Koordinten und ber gr nicht vorkommen, bleibt in Wirklichkeit uch ϱ unverändert: ϱr cosϕ), r sinϕ), ) ϱ 0. Wir müssen d,, ) durch Dr, ϕ, ) dr, ϕ, ) erseten, wobei mit Dr, ϕ, ) die Funktionldeterminnte beeichnet wird. Bei Verwendung von Zlinderkoordinten beträgt diese Dr, ϕ, ) r. D r stets nichtnegtiv ist, ist uch Dr, ϕ, ) r. Nch diesen Überlegungen sind wir du in der Lge, ds u berechnende Dreifchintegrl ufustellen und die Ldung des Körpers u berechnen. Q ϕ0 ϱ 0 ˆ ϕ0 r0 ˆ ˆ 4 r 2 r0 ϱ 0 r d dr dϕ 3r 2 4 r 2 2 r2 dr dϕ 3r 2

12 TU Dresden Fkultät Mthemtik Institut für Numerische Mthemtik 2 2 ϱ 0 2 ϱ 0 2 ϱ 0 ˆ ϕ0 r0 ˆ ϕ0 2 ϱ ϱ 0 2π ϕ0 r0 r 4 r 2 3r 4) dr dϕ 4r r 3 3r 5) dr dϕ [ 2r 2 4 r4 ] 2 r6 dϕ r0 ϕ0 dϕ 5 4 πϱ 0