' D ' 7. ' D ' 8 ' D ' 9. T 0.r; '/ D. O 1 DR C.0; 2/ D ¹.r; '/ j r > 0; 0 < ' < 2 º; O 2 DR 2 n¹.x; 0/ j x 0º:

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1 1 R Plto Teil VIII Integrtion von Funktionen mehrerer Vriblen Definition 771 Eine stetige Abbildung T W D T!R d mit d D oder d D 3 sowie D T R d heißt Koordintentrnsformtion, flls es wei engen O 1 D T und O R d gibt, die die folgenden Eigenschften besiten: ) es sind O 1 und O beide offen und wegusmmenhängend, b) es unterscheidet sich O nur durch eine Nullmenge vom gesmten RumR d, d h für eine Nullmenge N R d gilt O [ N DR d, c) die Einschränkung T W O 1! O ist umkehrbr und stetig differenierbr, mit dett Ey/ für jedes Ey O 1 Beispiel 77 (elliptische Koordinten) Die Koordinten von Punkten x y/ R lssen sich in der Form x D r cos ' y D br sin ' mit r ', drstellen, > und b > gewisse Konstnten sind Im Speilfll D b D 1 hndelt es sich dbei gerde um die Polrkoordintendrstellung Wir betrchten die u dieser Koordintentrnsformtion gehörende Abbildung T W D T! R mit dem Definitionsbereich D T WDR C Œ und der Abbildungsvorschrift T r '/ D r cos ' br sin ' / (771) mit r ' genuer Grfische Illustrtionen du finden Sie in den Abbildungen 14 und 141 n bechte, dss sich in Abbildung 14 der eingeeichnete Winkel ' für b von dem Polrkoordintenwinkel wischen T r '/ und der x-achse unterscheidet br T r '/ ' D ' 6 ' D ' 7 ' D ' 8 ' D ' 5 ' D ' 9 ' D ' 4 ' D ' 3 ' D ' ' D ' 1 r const ' D ' 1 ' D ' ' D ' 13 ' D ' 1 ' D ' 11 Abb 141: Drstellung elliptischer Koordinten, mit ' k D k=14 für k D 1 : : : 13 Die Koordintentrnsformtion T W D T! R us (771) ist stetig prtiell differenierbr, mit T r '/ D cos ' b sin '! r sin ' br cos ' dett r '/ D br cos ' C br sin ' D br für r ' Diese Trnsformtion erfüllt die Bedingungen us Definition 771 mit den beiden engen O 1 DR C / D ¹r '/ j r > < ' < º O DR n¹x / j x º: n bechte, dss die Hlbgerde ¹x / j x º eine Nullmenge inr drstellt Elliptische Koordinten eignen sich B ur Prmetrisierung von chsenprllelen Ellipsen mit den Hlbchsen > und b > und dem Ursprung ls ittelpunkt Diese sind von der Form E D x y/ j x C y b 1 (vergleiche Beispiel 748 uf Seite 3) it der Trnsformtion T us (771) gilt die Identität T E / D E ' r E D Œ 1 Œ D r '/ j r 1 ' : Abb 14: Drstellung von T r '/ Beispiel 773 (Zylinderkoordinten) Die krtesischen Koordinten von Elementen x y / R 3 des Rums

2 Abschnitt 77 Trnsformtionsst R Plto 11 lssen sich in der Form x D r cos ' y D r sin ' D 9 = (77) mit r ' R, drstellen Die Sitution ist in Abbildung 14 drgestellt y x ' r Abb 14: Zylinderkoordinten Wir betrchten die u dieser Koordintentrnsformtion gehörende Abbildung T W D T! R 3 mit dem Definitionsbereich D T WDR C Œ R und der Abbildungsvorschrift T r ' / D r cos ' r sin ' / (773) mit r ' und Rgenuer Sie ist stetig differenierbr, mit 1 cos ' r sin ' T r ' / D B sin ' r cos ' A Ex 1 dett r ' / D r cos ' C r sin ' D r mit r ' und R Die Determinnte der Ableitungsmtrix T r ' / berechnet mn B durch Entwicklung nch der letten Zeile oder der letten Splte Diese Koordintentrnsformtion erfüllt die Bedingungen us Definition 771 uf Seite 1 B für O 1 D ¹r ' / j r > < ' < Rº O DR 3 n¹x / j x Rº: n bechte, dss die Hlbebene ¹x / j x Rº eine Nullmenge inr 3 drstellt Zylinderkoordinten eignen sich B ur Prmetrisierung von Zylindern, deren Achse mit der -Achse übereinstimmt und deren Grundfläche kreisförmig ist Beispielsweise gilt für den Zylinder Z D x y / R 3 j x C y R b (vergleiche Beispiel 748 uf Seite 3) mit der Trnsformtion T us (893) die Identität T Z / D Z Z D Œ R Œ Œ b D r ' / j r R ' b : Allgemeiner lssen sich mit Zylinderkoordinten uch vertikle Rottionskörper wie Kegel, Trichter oder Prboloid prmetrisieren, sich für die dugehörigen Zylinderkoordintenbereiche jeweils Normlbereiche ergeben Beispiel 774 (Kugelkoordinten) Die krtesischen Koordinten von Punkten x y / R 3 lssen sich in der Form 9 x D r cos ' cos ı = y D r sin ' cos ı (774) D r sin ı mit r ' und Dbei gilt Folgendes: ı drstellen ) Es ist x Cy C D r, wie mn leicht nchrechnet: D 1 ƒ x C y C D r cos ' C sin ' / cos ı C sin ı D r cos ı C sin ı / D r : ƒ D 1 Es ist lso r der Abstnd des Punktes x y / um Ursprung des krtesischen Koordintensystems Bei festem r > werden durch (774) Punkte uf der Kugeloberfläche mit Rdius r um den Ursprung des krtesischen Koordintensystems beschrieben

3 1 R Plto Teil VIII Integrtion von Funktionen mehrerer Vriblen b) In der Polrkoordintendrstellung x D % cos ' y D % sin ' mit % D %ı/ WD r cos ı gibt der Winkel ' den Winkel wischen dem Vektor x y/ und der x-achse n Der Winkel ' ist demnch ein ß für die geogrfische Länge c) Ds Dreieck mit den Eckpunkten / x y / und x y / bildet ein rechtwinkeliges Dreieck, dessen Höhe D r sin ı ist und deren Hypothenuse die Länge r besitt Es bildet dher die Zhl ı den Winkel im Bogenmß wischen den Vektoren x y / und x y /, die dmit ein ß für die geogrfische Breite drstellt Dbei stehen die Werte ı D und ı D für Nord- beiehungsweise Südpol, und ı D repräsentiert den Äqutor Die Sitution ist in Abbildung 143 drgestellt Ex ı y ' x Abb 143: Kugelkoordinten Wir betrchten nun die Längen- und Breitenkreise: (i) Für feste Werte von r und ı wird für Werte ' ein Kreis beschrieben, der uf der Kugeloberfläche x C y C D r verläuft, und dbei in einer Ebene liegt, die prllel x-y- Ebene uf der geogrphischen Breite ı verläuft, dessen ittelpunkt / ist, und dessen Rdius r cos ı ist (siehe Teil b oben) (ii) Für feste Werte von r und ' wird für Werte ı ein Hlbkreis beschrieben, der uf der Kugeloberfläche x C y C D r verläuft, und dbei in einer Ebene liegt, die durch die geogrphischen Länge ' festgelegt ist und durch den Ursprung verläuft Der Vollständigkeit hlber sei hier noch ngegeben, wie die Kugelkoordinten eines Punktes x y / R 3 bestimmt werden können: Für den Rdius r gilt r D p x C y C, für den Breitengrd ı gilt ı D rcsin r /, und den Längengrd ' erhält mn us der Polrkoordintendrstellung x D % cos ' y D % sin ' des Punktes x y/, % D p r D r cos ı gilt Beispiel 775 (Kugelkoordinten, Teil ) Wir betrchten die u dieser Koordintentrnsformtion gehörende Abbildung T W D T!R 3 mit dem Definitionsbereich und der Abbildungsvor- D T WDR C Œ Œ schrift T r ' ı/ D r cos ' cos ı r sin ' cos ı r sin ı / (775) mit r ' und prtiell differenierbr, mit ı Sie ist stetig T r ' ı/ cos ' cos ı r sin ' cos ı 1 r cos ' sin ı D sin ' cos ı r cos ' cos ı r sin ' sin ı C A sin ı r cos ı dett r ' ı/ D r cos ı für r ' und ı Diese Trnsformtion erfüllt die Bedingungen us Definition 771 uf Seite 1 für O 1 D ¹r ' ı/ j r > < ' < O DR 3 n¹x / j x Rº: < ı < º Kugelkoordinten eignen sich beispielsweise ur Prmetrisierung von Kugeln mit dem Ursprung ls ittelpunkt Diese sind von der Form B D ¹x y / j x C y C R º: it der Trnsformtion T us (771) gilt die Identität T B / D B

4 Abschnitt 77 Trnsformtionsst R Plto 13 B D Œ R Œ Œ D r ' ı/ j r R ' ı : n bechte noch, dss es sich bei llen vorgestellten Beispielen um Trnsformtionen in krtesische Koordinten hndelt 77 Trnsformtionsst Es wird nun der Trnsformtionsst ur Berechnung von Integrlen vorgestellt Diese Integrtionsregel stellt wie bereits u Beginn dieses Abschnitts erwähnt ein Anlogon ur Substitutionsregel für Integrle von Funktionen einer Veränderlichen dr Anders ls im eindimensionlen Fll geht es hier jedoch uch drum, den Integrtionsbereich durch eine geeignete Trnsformtion u vereinfchen St 776 (Trnsformtionsst für mehrdimensionle Integrle) it den Beeichnungen us Definition 771 uf Seite 1 gilt für jeden ulässigen Integrtionsbereich D R d und jede stetige Funktion f W D!Rdie Identität R D f Ev/ d Ev D R D f T Eu//jdetT Eu/j d Eu: (776) Hierbei ist D D T eine enge mit T D / D D Beweis Der Beweis wird hier nicht geführt siehe ber die nchfolgende Bemerkung Bemerkung Im Folgenden wird eine heuristische Herleitung der Identität (776) für den Fll eines chsenprllelen weidimensionlen Rechtecks D D Œ b Œc d D x y/ j x b c y d geliefert Hieru wird eine Zerlegung von D in Teilrechtecke Dij WD Œx i 1 x i Œy j 1 y j i D 1 : : : n j D 1 : : : m vorgenommen, die Gitterpunkte äquidistnt gewählt seien: x i D C ix y j D b C jy i D 1 : : : n j D 1 : : : m mit Zhlen n m Nund x D b Wir betrchten dnn n y D d c m : D ij WD T Dij / Ev ij WD T x i y j / i D 1 : : : n j D 1 : : : m: Die Sitution ist in Abbildung 144 m Beispiel weidimensionler elliptischer Koordinten drgestellt ' D T ' D r D r D 7 Abb 144: Zerlegung eines Bereiches beüglich weier Koordintensysteme m Beispiel weidimensionler elliptischer Koordinten Nun gilt für i ¹1 : : : nº und j ¹1 : : : mº fest Folgendes: es ist die Fläche D ij / klein und stimmt dmit näherungsweise mit dem von den beiden Vektoren T x i 1 y j / T x i y j / und T x i y j 1 / T x i y j / ufgespnnten Prllelogrmm überein für diese beiden Vektoren gilt T x i 1 y j / T x i y j / x x! i y x DW Eu i y j / T x i y j 1 / T x i y j / x! i y x DW Ev: i y j / Die Sitution ist in Abbildung 145 drgestellt Dmit stimmt die Fläche D ij / näherungsweise mit dem von den Eu D x x i y x Ev D y x i y j i y j x i y j / ufgespnnten Prllelogrmm überein Die Fläche des von wei Vektoren Eu R und Ev R ufgespnnten Prllelogrmms ist gleich j det Eu (siehe Beispiel 43 uf Seite 95) Dmit gilt D ij / jdeteu Ev/j D jdett x i y j /jxy: Ev/ j

5 14 R Plto Teil VIII Integrtion von Funktionen mehrerer Vriblen x i 1 y j / D ij x i y j / x i y j 1 / T T x i 1 y j / Ev D ij T x i y j 1 / Eu T x i y j / Dieser Wert wurde bereits in Beispiel 7311 uf Seite 198 berechnet Die hier vorgestellte Vorgehensweise unter Anwendung einer geeigneten Koordintentrnsformtion ist llerdings deutlich einfcher Die Flächeninhlte von Sektoren von Ellipsen lssen sich so ebenflls leicht berechnen Beispiel Wir betrchten nun Rottionskörper der Form D D x y / R 3 j b p x C y r/ Abb 145: Trnsformtion eines kleinen Rechteckbereiches Drus resultiert schließlich RD f Ev/ d Ev 1/ / nx mx f Ev ij /D ij / id1j D1 nx mx f T x i y j //jdett x i y j /jxy id1j D1 3 / R D f T Eu//jdetT Eu/j d Eu: Dbei stellt der Ausdruck rechts von 1 / eine riemnnsche Summe ur Approximtion des Integrls links von 1 / dr, es lettlich unerheblich ist, dss die engend ij / keine Rechteckbereiche drstellen Anlog ist der Ausdruck links von 3 / eine riemnnsche Summe ur Approximtion des Integrls rechts von 3 / Im dreidimensionlen Fll ist die heuristische Herleitung der Gültigkeit des Trnsformtionsstes gn nlog n ht nur u berücksichtigen, dss ds Volumen eines von drei liner unbhängigen Vektoren E b E Ec R 3 ufgespnnten Spts durch jdete b E Ec/j gegeben ist (siehe Seite 1) Beispiel (Ellipse) Für eine chsenprllele Ellipse E mit den Hlbchsen > und b > (siehe Beispiel 77) ergibt sich mit der in Beispiel 77 betrchteten Koordintentrnsformtion nch (776) die Identität RE R f Ex/ d Ex D b 1R f r cos ' br sin ' / r d' dr: Insbesondere ergibt sich drus für den Flächeninhlt dieser Ellipse (hier wählt mn f D 1) RE 1 d Ex D R 1 R R 1 br d' dr D b r dr D br ˇˇrD1 rd D b: mit einer nichtnegtiven stetigen Funktion r W Œ b! R C Speilfälle wurden bereits in Beispiel 741 uf Seite 3 betrchtet Für Zylinderkoordinten und die dugehörige Trnsformtion (siehe (77) und (773) uf Seite 11) gilt dnn für die enge D D r ' / j b ' r r/ die Identität T D / D D Anwendung des Trnsformtionsstes ergibt R R f Ex/ d Ex D f r cos ' r sin ' / r dr ' / D D D R b R r/ R f r cos ' r sin ' / r d' dr d: Für ds Volumen des Rottionskörpers D ergibt sich drus (mn sett hier f D 1) D/ D R D 1 d Ex D R b D R b r R r/ r dr d ˇ R ˇrDr/ b d D rd r/ d: Lerniele für diesen Abschnitt VIII Sie sollten Integrle über ebene und räumliche chsenprllele Integrtionsbereiche berechnen können, ebene und räumliche Normlbereiche identifiieren und die Integrtionsgrenen für die dugehörigen Doppel- beiehungsweise Dreifchintegrle formulieren können, Flächen- und Ruminhlte berechnen können, die in diesem Abschnitt vorgestellten elliptischen Koordinten sowie Kugel- und Zylinderkoordinten kennen, den Trnsformtionsst kennen und uf jede relevnte Koordintentrnsformtion nwenden können