1 Koordinatentransformationen

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1 Technische Universität München Andres Wörfel Ferienkurs Anlysis für Physiker Vorlesung Mittwoch SS 0 Them des heutigen Tges sind zuerst Koordintentrnsformtionen, dnn implizite Funktionen. Diese zwei Kpitel sind sehr studentenfreundlich, d sie recht nschulich und nwendungsbezogen sind und recht viel prktische Rechnungen beinhlten. Koordintentrnsformtionen. Koordintensysteme Ein Koordintensystem KS) dient der eindeutigen Zuordnung von Punkten. Wir können dbei viele verschiedene KS unterscheiden z.b.: krtesische KS, ffine KS, polre KS, KugelKS, elliptische KS, TorusKS... Von besonderer Bedeutung sind dbei orthogonle KS, d sie besonders schön zum Rechnen geeignet sind, weil keiner der Bsisvektoren eine Komponente in Richtung eines nderen ht. Bis uf llg. ffine KS sind lle obigen Beispiele orthognle KS.. Koordintentrnsformtionen Definition. Koordintentrnsformtion / Prmetrisierung Sei U, V R n offen. Eine Koordintentrnsformtion ist ein Diffeomorphismus Φ: U V stetig differenzierbre Abbildung mit stetig differenzierbrer Umkehrfunktion); ihre Umkehrbbildung Ψ: V U nennt mn Prmetrisierung. Definition. Koordintenlinien Die Menge {x Ψξ) U : ξ j const.} heißt die Menge der Koordintenlinien in V. Die Koordintenlinen prmetrisieren V. Eine einzelne j-te Koordintenlinie durch den Punkt Ψξ) wird beschrieben durch t Ψξ + te j ). Definition.3 Orthogonle Koordintentrnsformtion, lokles n-bein Eine Koordintentrnsformtion Φ heißt orthogonl, flls DΨξ) für lle ξ V us orthogonlen Spltenvektoren besteht. Die zugehörigen Einheitsbsisvektoren sind bestimmt durch Sie bilden ds sog. lokle n-bein Hinweise: x ξ j e j x) x ) ξ j Die e j spnnen den R n uf, bilden ber nur im Flle einer orthogonlen Trnsformtion eine Orthonormlbsis. DΨξ) η ξ) η ξ) η n ξ)) R n n η j Ψξ)) ist Tngentilvektor n die j-te Koordintenlinie

2 Beispiel.4 Ebene Polrkoordinten Es ist Ψ : R + π, π) R \R r x r cos ϕ 0 {0}) mit eine Prmetrisierung ϕ y r sin ϕ für ebene Polrkoordinten. Die Prmetrisierung ist offensichtlich orthonorml, d: cos ϕ e r x) e ϕ x) r sin ϕ 0 ) sin ϕ r r cos ϕ Beispiel.5 Kugelkoordinten Es ist Ψ : R + 0, π) π, π) R 3 \R 0 Prmetrisierung für Kugelkoordinten. r x r sin ϑ cos ϕ {0} R) mit ϑ y r sin ϑ sin ϕ eine ϕ z r cos ϑ Wir hben mit sin ϑ cos ϕ cos ϑ cos ϕ e r sin ϑ sin ϕ e ϑ cos ϑ sin ϕ e ϕ sin ϕ cos ϕ 3) cos ϑ sin ϑ 0 eine orthonormle Bsis wie mn leicht nchrechnet) der Kugelkoordinten gefunden. Zustz.6 Trnsformtion konkret Um z.b. ein n-dimensionles Vektorfeld in polre Drstellung zu überführen, geht mn folgendermßen vor hier Dimensionen): vx Umschreiben der Vektoreinträge v v x e x + v y e y mittels Trnsformtion Ψ Vektor y vx nun in Polrkoordinten v ṽ x e x + ṽ y e y krt. Bsis mit pol. Prmetern) y Berechnen der Trnsformtionsmtrix A T e r e ϕ ) T, wobei die e j die Einheitsvektoren der neuen Bsis sind vr Berechnen der Polrdrstellung: v r e r + v ϕ e ϕ A T vx pol. Bsis mit pol. ṽ y Prmetern) Rücktrnsformtion: v ϕ vx vr A und dnn ersetze: ṽ y v ϕ r x + y cos ϕ x y sin ϕ x + y x + y tn ϕ y x Dies funktioniert nlog für beliebige Trnsformtionen. Beispiel.7 Trnsformtion eines -D Vektorfeldes y Wir trnsformieren ds Feld in Polrkoordinten: x) vx r sin ϕ ṽ y r cos ϕ vr cos ϕ sin ϕ r sin ϕ v ϕ sin ϕ cos ϕ r cos ϕ r cos ϕ sin ϕ r sin ϕ + r cos ϕ r sin ϕ r cos ϕ

3 Rücktrnsformtion: vx cos ϕ sin ϕ r sin ϕ r cos ϕ sin ϕ r sin ϕ cos ϕ ṽ y sin ϕ cos ϕ r cos ϕ r cos ϕ sin ϕ + r cos ϕ cos ϕ r cos ϕ sin ϕ cos ϕ r sin ϕcos ϕ sin ) ϕ) r sin ϕcos r sin ϕ sin ϕ cos ϕ + r cos ϕcos ϕ sin ϕ + sin ) ϕ) ϕ) r cos ϕsin ϕ + cos ϕ) r sin ϕ vx y r cos ϕ x v y.3 Umrechnung von Differentilopertoren Wenn mn sich nun entschieden ht, ein Problem in einem nderen KS zu betrchten, so ist es hilfreich, wenn mn dort uch die gewohnten Opertionen wie im krtesischen KS zur Verfügung ht. Dher ist es für uns interessnt zu wissen, wie solche Opertoren trnsformiert uschuen. Stz.8 Grdient unter Trnsformtion Unter einer llgemeinen Koordintentrnsformtion Ψ : U V erhält mn den Grdienten n der Stelle x Ψξ) durch: ξ DΨξ) T x 4) Beweis: Siehe Vorlesungsskript 6.3 Beispiel.9 Grdient in Polrkoordinten In krtesischen Koordinten ist: f x y ) f e x x f) + e y y f) Nch obigem Stz ist nun unter Trnsformtion Ψ mitg f Ψ): r g DΨr, ϕ) T x f ϕ y x Auflösen nch f durch Linksmultipliktion mit DΨr, ϕ) T ) y x cos ϕ f r sin ϕ ) r cos ϕ sin ϕ y sin ϕ r cos ϕ g ϕ sin ϕ r g + cos ϕ r ϕg Mit dem Beispiel.4 oben sehen wir leicht, dss e r und e ϕ genu den erhltenen Vektoren entspricht. Dher schreiben wir ds erhltene Ergebnis um in: f e r r + r e ϕ ϕ )g 5) Beispiel.0 Divergenz in Polrkoordinten In krtesischen Koordinten ist für ein Vektorfeld F Fx F y Fx F x F x + y F y y In Polrkoordinten knn mn die Divergenz für ein Feld F berechnen: ) e x F x + e y F y Fr ) e F r F r +e ϕ F ϕ folgendermßen ϕ 3

4 F, F e r r + r e ϕ ϕ, e r F r + e ϕ F ϕ e r r, e r F r + e r r, e ϕ F ϕ + r e ϕ ϕ, e r F r + r e ϕ ϕ, e ϕ F ϕ e r, F r r e r + e r, e r r F r ) + e r, F ϕ r e ϕ + e r, e ϕ r F ϕ )+ + r e ϕ, F r ϕ e r + r e ϕ, e r ϕ F r ) + r e ϕ, F ϕ ϕ e ϕ + r e ϕ, e ϕ ϕ F ϕ ) 0 + r F r ) ) + r F r + 0) r ϕf ϕ) r F r + r F r + r ϕf ϕ r rrf r ) + r ϕf ϕ Beispiel. Lplce-Opertor in Polrkoordinten Der Lplceoperter f xf + yf in Polrkoordinten lutet: f r + r r + r ϕ)g Beweis: siehe Übung.4 Umrechnung von Bogenlängen Mn knn zeigen, dss sich die Bogenlänge unter Ψ folgendermßen trnsformiert: L γt) dt γ, g γt)) γt) dt 6) wobei gilt: γt) Ψ γt)), lso γt) z.b. der Weg in Polrkoordinten, Kugelkoordinten etc. und g γt)) DΨ) T DΨ die Trnsformtionsmtrix metr. Tensor). siehe Skript) Beispiel. Bogenlänge in Polrkoordinten Mit Gleichung 6 und Anmerkung errechnet sich leicht, dss für cos ϕ sin ϕ cos ϕ r sin ϕ g r sin ϕ r cos ϕ sin ϕ r cos ϕ L ṙ ) ϕ 0 0 r ) ṙ ) dt ϕ 0 0 r ṙ + r ϕ )dt Wer sich ds nicht merken knn, oder wenn die Berechnung der Trnsformtionsmtrix sehr kompliziert ist, bietet es sich uch oft n, die zu Fuß -Methode zu wählen. Mit xt) rt) cos ϕt) yt) rt) sin ϕt) L γt) dt ẋ b + ẏ dt ṙ cos ϕ r ϕ sin ϕ) + ṙ sin ϕ + r ϕ cos ϕ) dt ṙ cos ϕ + r ϕ sin ϕ rṙ cos ϕ sin ϕ) + ṙ sin ϕ + r ϕ cos ϕ + rṙ cos ϕ sin ϕ)dt ṙ cos ϕ + sin ϕ) + ṙ ϕ sin ϕ + cos ϕ)dt ṙ + ṙ ϕ dt Mn sieht lso, dss mn hier mit etw gleichem Aufwnd genuso uf ds gleiche Ergebnis kommt. 4

5 Implizite Funktionen. Explizite / implizite Drstellungen, lokle Auflösung Im Folgenden seien lle uftretenden Funktionen stetig differenzierbr. Eine explizite Drstellung einer Funktionz in Abhängigkeit von zwei Vriblen x und y ist gegeben durch z hx, y). Stellt mn die Funktion z durch die Bestimmungsgleichung fx, y, z) 0 dr, so spricht mn von einer implizit drgestellten Funktion z bzw. ebenso von einer impliziten Drstellung der Funktionen x, y). Aus einer solchen Drstellung will mn oft eine explizite Drstellung gewinnen, d mn dort leichter sieht, wie die Funktion z uf Veränderung von x und y regiert. A priori ist llerdings nicht klr, dss dies nicht immer möglich ist bzw. dss es bei noch so unschönen Funktionen eine Aufösung geben knn. Dher ist es oftmls sogr schon usreichend zu wissen, dss es eine Auflösung gibt, uch wenn mn sie nicht genu hinschreiben knn. Auflösbrkeit ist eine lokle Eigenschft. Dies knn mn sich leicht n einem einfchen Beispiel klr mchen: Sei M {x, y) y x 0}. Dnn knn M in der Umgebung von 0,0) mit Sicherheit nicht eindeutig ls y fx) drgestellt werden, d es immer zwei Lösungen gibt: ±x. Befinden wir uns jedoch ußerhlb von 0,0) und suchen uns eine hinreichend kleine Umgebung, so finden wir eine eindeutige Lösung, nämlich entweder y +x oder y x. Der Stz über implizite Funktionen Stz. Stz über implizite Funktionen für f x, y) 0 Sei f : R n+m R m. Durch f x, y) 0 mit f x 0, y 0 ) 0 und invertierbrer m m-mtrix f y x 0, y 0 ) D y x 0, y 0 ) Determinnte D y 0) f y x 0, y 0 ) f f y f ym f m ) y y m )..... f my f mym ist in einer offenen Umgebung von x 0 implizit eine Funktion y h x) mit y 0 h x 0 ) und f x, h x)) 0 gegeben lokle Auflösungsfunktion nch y). Für ihre Ableitung die Jcobi-Mtrix) h x 0 ) J h x 0 ) gilt: h x 0 ) J h x 0 ) h h m ) x x m ) f y x 0, y 0 )) f x x 0, y 0 ) Beweis: etws lng, dher: siehe Vorlesungsskript Bemerkung: Mit diesem Konstrukt knn mn llerhnd nstellen, jedoch wird uns in der Regel eine bgespeckte Version dvon usreichen, d wir oft nur nch einer Funktion und nicht nch einem gnzen Stz von Funktionen uflösen wollen. Stz. Stz über implizite Funktionen für f x, y) 0 Sei f : R n+ R. Durch f x, y) 0 mit f x 0, y 0 ) 0 und f y x 0, y 0 ) 0 ist in einer offenen Umgebung von x 0 implizit eine Funktion y h x) mit y 0 h x 0 ) und f x, h x)) 0 gegeben lokle Auflösungsfunktion nch y). Für ihre Ableitung den Grdienten) h x 0 ) grd h x 0 ) gilt: h x 0 ) grd h x 0 ) f y x 0, y 0 ) f x x 0, y 0 ) f y x 0, y 0 ) f x x 0, y 0 ),, f xn x 0, y 0 )) T Beweis: folgt sofort us dem obigen Stz durch Reduktion der Bild-Dimension m uf. 5

6 Zustz.3 Prktische Sonderfälle fx, y) 0 y hx) h f y f x fx, y, z) 0 z hx, y) h grd h f z fx f y ) 7) Für f : R R knn mn noch in reltiv leichter Art und Weise im Verhältnis zu höheren Dimensionen) die zweite Ableitung einer Auflösung y hx) ngeben: y x 0 ) h x 0 ) f xxfy f x f y f xy + f yy fx fy 3 Der Beweis ist reltiv einfch und erfolgt in der Übung..3 Anwendung des Stzes Knn mn uflösen? x0,y 0) Dmit der Stz in zweiter Version) ngewendet werden knn, muss zuerst geprüft werden, ob folgende Vorussetzungen erfüllt sind: Ist f differenzierbr in ll seinen Komponenten zumindest in der Umgebung des Auflösungspunktes)? Gibt es f x 0, y 0 ) 0 Auflösungspunkt)? Ist f y x 0, y 0 ) invertierbr, lso die Ableitung nch der Auflösungsfunktion 0? Beispiel.4 Betrchte fx, y, z) xe x + y sin y z ln z n der Stelle x, y, z), π, e). Wir möchten nch x, y oder z uflösen und prüfen dher die Bedingungen: f ist differenzierbr, d Verkettung us unendlich oft differenzierbren Funktionen Offensichtlich ist f, π, e) e + 0 e 0 Ableitungen in lle Richtungen f x x + )e x f x, π, e) e 0 f y sin y + y cos y f y, π, e) π 0 f z + ln z) f z, π, e) 0 Offensichtlich ist es uns nicht möglich, diese Funktion mittels lgebrischer Umformungen explizit nch x, y oder z ufzulösen, ber wir wissen uf Grund der Vorussetzungen, dss es jeweils eine Auflösung z.b. z hx, y)) gibt, die wir nicht hinschreiben können. Wie knn mn den Grdienten einer Auflösung finden? Eine Grdienten einer Auflösung h gibt es nur im Flle der zweiten Version des Stzes. Für den Fll des ersten Stzes gelten die nächsten Abschnitte Gleichungssysteme). Mn findet den Grdienten immer, sobld eine Funktion uflösbr ist, selbst wenn mn die Auflösung nicht explizit ngeben knn. grd h x 0 ) f y x 0, y 0 ) f x x 0, y 0 ),, f xn x 0, y 0 )) T 6

7 Beispiel.5 Wir nehmen die Funktion us dem vorigen Beispiel und wollen z.b. den Grdienten der Auflösung z hx, y) m gegebenen Punkt bestimmen. Dnn ist: fx, π, e) grd h, π, e) e f z, π, e) f y, π, e) π Knn mn ein Gleichungssystem uflösen? Wenn wir feststellen wollen, ob ein Gleichungssytem us m Gleichungen nch m Funktionen y ufgelöst werden knn, so befinden wir uns im Flle der ersten Version des Stzes. Sei f : R n+m R m : f x, x n, y, y m ) 0 f f x, x n, y, y m ) 0 f. f m x, x n, y, y m ) 0. f m x) 0 Prinzipiell gilt es ds gleiche zu überprüfen wie im ersten Fll: Ist f differenzierbr in ll seinen Komponenten zumindest in der Umgebung des Auflösungspunktes)? Gibt es f x 0, y 0 ) 0? Ist D y x 0, y 0 ) f y x 0, y 0 ) invertierbr, lso die Determinnte 0? Beispiel.6 Sei f : R +3 R 3 mit f y + y 3 e xy3 fx, x, y, y, y 3 ) f x y + sin x π f 3 x + y 3 + y cos y Somit ist x x, x ) R und y y, y, y 3 ) R 3, lso x, y) R +3. Für 0, π ) R und b, 0, ) R 3 gilt weiterhin f, b) 0 Wir möchten nun zeigen, dss wir nch y y, y, y 3 ) h x) uflösen können, uch wenn wir die Auflösung nicht explizit ngeben können. Die ersten zwei Bedingungen sind erfüllt, wir prüfen lso die Dritte. Dzu berechnen wir zuerst die Jcobi-Mtrix von f J f x, y) y 3 e xy3 0 0 x e xy3 0 + cos x 0 0 x sin y f x x, y) f y x, y)) Wir setzen den Punkt ein: J f, b) f x, b) f y, b)) Für die Lösung interessnt ist die invertierbre) Mtrix 7

8 f y, b) f y, b) Wir konnten die Inverse finden, d det f y, b) ) 0. Dzu knn mn die us der lineren Algebr beknnten Methoden nutzen. Also ist ds Gleichungssystem uflösbr. Wie findet mn eine Tngente / Tngentilhyper)ebene? Einen Grdienten der Auflösung finden wir us Dimensionsgründen nicht, wohl ber eine Ableitung - die Jcobi-Mtrix. Deren Splten bilden Tngentilvektoren m Auflösungspunkt. Wir verwenden: h x 0 ) J h x 0 ) h h m ) x x m ) f y x 0, y 0 )) f x x 0, y 0 ) Die Splten von h erhlten dnn einen Lufprmeter und wir ddieren unseren Auflösungspunkt y 0 ls Aufhängepunkt und hben so unsere Tngetilhyperebene definiert. Beispiel.7 Wir verwenden die Funktion von gerde eben und erhlten: h ) f y, b)) f x, b) Wir erhlten nun die Tngentilebene E: E: x 0 + r 4 + s 0 oder: E: x 0 + r + s