Über Tensoren, Matrizen und Pseudovektoren

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1 Über Tensoren, Mtrizen und Pseudovektoren von Mike Bernhrdt, Februr 2006 Inhltsverzeichnis Tensoren und Koordintentrnsformtionen Tensoren und linere Koordintentrnsformtionen Tensoren knn mn nicht wegtrnsformieren! Die Symmetrieeigenschften von Tensoren sind invrint! Mtrizen und Koordintentrnsformtionen Mtrizen und linere Koordintentrnsformtionen Ist jede qudrtische Mtri ein Tensor? Pseudovektoren Tensordrstellung von Pseudovektoren ) Winkelgeschwindigkeit b) Drehimpuls c) Drehimpuls und Winkelgeschwindigkeit d) Drehimpuls und Trägheitstensor e) Zusmmenfssung Tensoren und Koordintentrnsformtionen Ein Tensor ist ddurch definiert, dss sich seine Komponenten uf bestimmte Weise trnsformieren. So ist z.b. T dnn ein Tensor zweiter Stufe, wenn sich seine beiden kontrvrinten (1), kovrinten (2) bzw. gemischten (3) Komponenten so verhlten: T b T b T b = = = b b T b (1) b T b b (2) b b T b (3) Hierbei ist jeweils über und b zu summieren 1. Frge: Mchen die Komponenten so etws von selbst? Antwort: Nein! Wenn mn sgt, die Komponenten trnsformieren sich so wie in Gleichung (1) (3), dnn meint mn dmit, bezüglich einer bestimmten Trnsformtion. Besser gesgt, bezüglich einer Koordintentrnsformtion! Ein Tensor ist zunächst ein bstrktes Objekt; erst wenn mn sich für ein Koordintensystem entscheidet, knn mn seine Komponenten bezüglich dieses Koordintensystems hinschreiben. Wenn mn nun eine Koordintentrnsformtion usführt, lso von der Koordinte zu übergeht, ändern sich uch die Komponenten des Tensors, und wenn sich diese Änderung nch Gleichung (1) (3) vollzieht: Voilà, dnn ist T ein Tensor! (1) (3) gelten für beliebige Koordintentrnsformtionen, lso uch nichtlinere wie beispielsweise der Übergng zu Polr- oder Kugelkoordinten. Im Flle von lineren Trnsformtionen, wie z.b. Drehungen im Rum oder Lorentztrnsformtionen, lssen sie sich uch nders (vielleicht einfcher) schreiben: 1 Hier und im Folgenden wird von der Summenkonvention Gebruch gemcht; über doppelt uftretende Indizes ist zu summieren. D wir konsequent zwischen ko- und kontrvrinten Indizes unterscheiden, gilt immer: Die Summe ist zu bilden, wenn in einem Produkt der gleiche Inde einml ls unterer (ko-) und einml ls oberer (kontrvrinter) Inde uftritt. 1

2 Tensoren und linere Koordintentrnsformtionen Eine linere Koordintentrnsformtion wird durch eine Mtri A repräsentiert: = A Wenn mn diese Gleichung nch bleitet, erhält mn: = A Koordintentrnsformtionen sind bijektiv. Wir können lso wieder zurücktrnsformieren, indem wir die Inverse von A nwenden: Differentition liefert: In (1) (3) eingesetzt ergibt ds: = (A 1 ) = (A 1 ) T b = A A b b T b (4) T b = (A 1 ) (A 1 ) b b T b (5) T b = A (A 1 ) b b T b (6) Mnchml sieht mn Gleichung (4) (6), oder eine dvon, ls Definition eines Tensors. Dies ist ber nur ein Spezilfll für linere Koordintentrnsformtionen. Allgemeiner sind (1) (3). Tensoren knn mn nicht wegtrnsformieren! Etws weniger slopp usgedrückt: Wenn ein Tensor in einem Koordintensystem von Null verschiedene Komponenten besitzt, dnn ht er uch in jedem nderen Koordintensystem nichtverschwindende Komponenten. Diese Eigenschft folgt direkt us dem Trnsformtionsverhlten von Tensoren, (1) (3). An diesen Formeln knn mn nämlich blesen: Wenn es ein Koordintensystem gibt, in dem lle T b = 0 sind, dnn sind uch lle T b = 0, der Tensor ist lso in llen nderen Koordintensystemen uch Null! Ein Beispiel us der Elektrodynmik ist die kovrinte Drstellung der Mwellgleichungen mit Hilfe des Feldstärketensors. Dieser setzt sich us den E- und B-Feldern zusmmen. Ist er Null, liegt weder ein elektrisches- noch ein mgnetisches Feld vor, und ufgrund der Tensoreigenschft (1) (3) gilt ds in jedem Koordintensystem. Ist mindestens eine Komponente von E oder B von Null verschieden, so ht der Feldstärketensor uch in llen nderen Bezugssystemen nichtverschwindende Komponenten. Durch Wechsel in ein bewegtes Bezugssystem, lso eine Lorentztrnsformtion, werden die Komponenten von E und B zwr miteinnder vermischt, ber mn knn nicht lle Komponenten von E und B durch einen solchen Koordintenwechsel zum Verschwinden bringen. Die Symmetrieeigenschften von Tensoren sind invrint! Tensoren sind entweder symmetrisch, ntisymmetrisch oder gr nicht symmetrisch. An der Trnsformtionsformel knn mn blesen, dss diese Symmetrieeigenschften bei Koordintentrnsformtionen erhlten bleiben. Dies können wir kurz m Beispiel der kovrinten Komponenten eines Tensors zweiter Stufe nchrechnen: symmetrisch: T b = T b T b = b b T b = b b T b = T b ntisymmetrisch: T b = T b T b = b b T b = b b ( T b ) = T b Durch Symmetrien verringert sich die Anzhl der unbhängigen Komponenten eines Tensors. In drei Dimensionen ht ein symmetrischer Tensor zweiter Stufe miml 6 unbhängige Komponenten (in vier Dimensionen 10) und ein ntisymmetrischer Tensor zweiter Stufe miml 3 (in vier Dimensionen 6); und ds gilt in llen Koordintensystemen! 2

3 Mtrizen und Koordintentrnsformtionen Mit einer Mtri können wir ein in ein y verwndeln die Mtri vermittelt eine linere Abbildung: y = M Betrchten wir nun die Wirkung der Mtri uf die Bsisvektoren n (j) des gewählten Koordintensystems (der Inde j bezeichnet den j-ten Bsisvektor. Er steht in Klmmern, dmit mn ihn nicht mit einem Komponenteninde verwechselt). Unsere Mtri möge den j-ten Bsisvektor uf den Vektor m (j) bbilden: m (j) = M n (j) In Komponentenschreibweise lutet ds: m (j) = M b n b (j) (*) Ohne Beschränkung der Allgemeinheit wählen wir eine Orthonormlbsis; ds Sklrprodukt us zwei Bsisvektoren ergibt dnn ds Kronecker-Delt: n (i), n (j) = n (i) b n b (j) = δi j Wir überlegen uns, wie m (j) noch geschrieben werden knn: Ein Vergleich mit (*) liefert: m (j) = m (i) δi j = m (i) n (i), n (j) = m (i) n(i) b n b (j) M b = m (i) n(i) b (7) Die Mtri wird lso eindeutig durch die (orthonormlen) Bsisvektoren und deren Bilder bestimmt! (In (7) muss über i summiert werden.) Die Bedeutung dieser wichtigen Gleichung wird besonders deutlich, wenn mn ls Bsis die Stndrdbsis { e (j) } mit e i (j) = δi j wählt. Dnn vereinfcht sich (7) zu: M b = m (i) e(i) b = m (i) δi b = m (b) Und mn knn direkt blesen: Die Splten von M sind die Bilder der Bsisvektoren! Wir wissen bereits, wie sich die ko- und kontrvrinten Vektorkomponenten trnsformieren, nämlich: m = m bzw. n b = b n b b Ds können wir in (7) einsetzen, um ds Trnsformtionsverhlten der Mtri M zu erhlten: Also: M b M b = m (i) n(i) b b = m (i) n (i) b b = = b m b (i) n(i) b b b M b (8) Ein Vergleich mit (3) ergibt: Die Mtri einer lineren Abbildung besitzt ds gleiche Trnsformtionsverhlten bezüglich beliebiger Koordintentrnsformtionen wie ein gemischter Tensor zweiter Stufe. 3

4 Mtrizen und linere Koordintentrnsformtionen Es ist interessnt, sich ds Verhlten einer Mtri M bezüglich linerer Koordintentrnsformtionen zu überlegen ohne von den Ergebnissen des vorigen Abschnittes Gebruch zu mchen. Es gilt: y = M y = M Betrchten wir wieder eine linere Koordintentrnsformtion A. Diese ist eine Abbildung von nch, bzw. y nch y und umgekehrt: = A y = A y = A 1 y = A 1 y Wenn wir diese Gleichungen in der Reihenfolge (ii), (iv), (i), (v) usnutzen, kommt die Beziehung zwischen M und M, lso ds Verhlten unserer Mtri bezüglich der Koordintentrnsformtion A, herus: M = y = A y = A M = A M A 1 Und d beliebig ist: In Komponentenschreibweise werden die Gleichungen (i) (vi) zu: (i) (ii) (iii) (iv) (v) (vi) M = A M A 1 (9) y = M b b y y = M b b = A = A y Und us (9) wird dmit: = (A 1 ) y = (A 1 ) y M b = A (A 1 ) b b M b (10) Dies ist mit (6) identisch, dem Verhlten eines gemischten Tensors zweiter Stufe bezüglich linerer Koordintentrnsformtionen. Ist jede qudrtische Mtri ein Tensor? Wir hben in den letzten beiden Abschnitten gesehen, dss sich die Mtri einer lineren Abbildung in ihrem Trnsformtionsverhlten forml nicht von einem Tensor unterscheidet. Eine Mtri knn jedoch mehrdeutig interpretiert werden ls linere Abbildung, linerer Opertor, Bilinerform, Koeffizientenmtri eines Gleichungssystems, etc. Dss sich nicht jede qudrtische Mtri wie ein Tensor trnsformiert, knn durch ein einfches Beispiel gezeigt werden: Wir konstruieren zwei Mtrizen M und N mit den Komponenten M b = r v b bzw. N b = r r v b, wobei r und v b jeweils die Komponenten von Tensoren 1. Stufe drstellen. Ohne Beschränkung der Allgemeinheit können wir uns drunter den Orts- und Geschwindigkeitsvektor eines Teilchens denken. v v y v z 2 v 2 v y 2 v z M = y v y v y y v z, N = y 2 v y 2 v y y 2 v z z v z v y z v z z 2 v z 2 v y z 2 v z Wir prüfen nun ds Trnsformtionsverhlten von M und N: M b = r v b = b r b vb = N b = r r v b = r b r b b M b b vb = b b N b M ist ein Tensor, N llerdings nicht. Die Antwort uf die oben gestellte Frge lutet lso: Nein! 4

5 Pseudovektoren Die Frge, ob jede Mtri ein Tensor ist, knn uch eine Stufe tiefer gestellt werden: Ist jedes n- Tupel ein Vektor (in n Dimensionen)? Antwort: Nein! Es gibt eine Reihe von Vektoren, die nicht bezüglich jeder beliebigen Koordintentrnsformtion ds selbe Trnsformtionsverhlten hben (eben jenes, welches sie zu Vektoren mcht). Bei Spiegelungen verhlten sich nämlich mnche Vektoren nders ls normle Vektoren; dher nennt mn diese uch Pseudo- oder ile Vektoren. Die Winkelgeschwindigkeit ω, der Drehimpuls L, ds Mgnetfeld B und jedes Kreuzprodukt zweier Vektoren sind Pseudovektoren. Am Beispiel der Winkelgeschwindigkeit soll dies kurz näher erläutert werden. Bei einer Drehbewegung ergibt sich die Bhngeschwindigkeit v im Abstnd r von der Drehchse us dem Kreuzprodukt von Winkelgeschwindigkeit ω und Abstndsvektor r: v = ω r (11) In Komponentenschreibweise lutet diese Gleichung: v v y = ω ω y y = ω y z ω z y ω z ω z (**) z ω y ω y v z ω z Betrchten wir nun eine Spiegelung n der y, z-ebene. Mthemtisch lässt sie sich durch die Mtri S = drstellen. Diese Koordintentrnsformtion uf den Orts- und Geschwindigkeitsvektor ngewndt liefert: r = S r = y = y z z v v v = S v = v y = v y v z v z Wenn zwischen den trnsformierten Vektoren v und r immer noch die Beziehung v = ω r bestehen soll 2, folgt für ds Trnsformtionsverhlten von ω: v ω ω v y = ω y y z ω z y ω y z + ω z y y = ω v z ω z z ω z =! ω z ω z z ω y + ω y ω y ω y Wobei im letzten Schritt Gleichung (**) eingesetzt wurde. Es gilt lso: ω ω = ω y = S ω ω z Die Winkelgeschwindigkeit trnsformiert sich bei dieser Spiegelung lso nders ls r und v. Letztere sind Vektoren, ω ist es nicht! Zur Vernschulichung dieses Beispiels denken wir uns eine in der, y-ebene liegende Scheibe, die um die z-achse rotiert. Die Drehung erfolge, von oben betrchtet, im Gegenuhrzeigersinn (Rechtsdrehung), sodss ω nch oben, lso in positive z-richtung, zeigt. Betrchten wir die rotierende Scheibe in einem Spiegel, der in der y, z-ebene liegt nichts nderes bedeutet die durch S repräsentierte Koordintentrnsformtion, so wird us der Rechtsdrehung eine Linksdrehung; ω muss lso nch unten zeigen. Wäre ω ein Vektor, so bliebe er beim Blick in diesen Spiegel unverändert, sein Spiegelbild zeigte ebenflls nch oben. 2 Und ds muss der Fll sein, denn sonst würde Gleichung (11), die ls Definition der Winkelgeschwindigkeit ufgefsst werden knn, gr keinen Sinn ergeben. 5

6 Tensordrstellung von Pseudovektoren ) Winkelgeschwindigkeit Wir hben im vorigen Abschnitt gesehen, dss die Winkelgeschwindigkeit kein Vektor ist, weil sie sich bei Spiegelungen nders trnsformiert ls normle Vektoren. Im Folgenden wird gezeigt, dss ω, ω y und ω z die Komponenten eines ntisymmetrischen Tensors zweiter Stufe sind, der utomtisch ds richtige Trnsformtionsverhlten bei llen Koordintentrnsformtionen, inklusive Spiegelungen, besitzt. Wir gehen wieder von der Beziehung v = ω r us, schreiben ber die Komponentendrstellung in etws kompkterer Form: v = ε bc ω b r c Hierbei ist ε bc der sogennnte Levi-Civit-Tensor mit den Werten: 1 für bc = 123, 231, 312 ε bc = 1 für bc = 132, 321, sonst Durch den Ausdruck ε bc ω b wird eine Mtri Ω c definiert, deren Elemente wir us (12) blesen können: Ω c = ε bc ω b Ω = 0 ω ω z 0 ω (13) ω y ω 0 Dmit knn die Gleichung v = ω r in einer Form geschrieben werden, die uf Pseudovektoren verzichtet: v = Ω b r b v = Ω r (14) Eine kurze Probe möge uns dvon überzeugen, dss Gleichung (14) mit (**) identisch ist: v v y = 0 ω ω z 0 ω y = ω y z ω z y ω z ω z ω y ω 0 z ω y ω y v z Ds Trnsformtionsverhlten von Ω ergibt sich, wenn wir verlngen, dss bezüglich eines nderen Koordintensystems die Beziehung v = Ω r erfüllt ist: v = v = Ωb r b = b Ωb b r b = b b Ωb r b! = Ω b r b Es gilt lso: Ω b b = b Ωb Die Komponenten von Ω trnsformieren sich bei beliebigen Koordintentrnsformtionen lso wie die eines Tensors zweiter Stufe. Trotzdem wollen wir noch einml nchrechnen, ws bei der oben betrchteten Spiegelung S pssiert: Ω = S Ω S T = ω ω z 0 ω ω y ω = ω ω z 0 ω ω y ω 0 = 0 ω z ω y 0 ω ω z 0 ω! z ω y = ω z 0 ω ω y ω 0 ω y ω 0 Und somit gilt: Ws mit dem obigen Ergebnis übereinstimmt. ω = ω ω y = S ω ω z (12) 6

7 b) Drehimpuls Ein weiteres Beispiel für einen Pseudovektor, dessen Komponenten einen ntisymmetrischen Tensor zweiter Stufe bilden, ist der Drehimpuls. Er ist definiert ls ds Kreuzprodukt us Orts- und Impulsvektor: L = r p (15) Seine Komponenten luten: L L y = y p p y = y p z z p y z p p z L z z p z p y y p Mit Hilfe des Levi-Civit-Tensors können wir ds wie folgt usdrücken: L = ε bc r b p c Um drus eine Mtri zu konstruieren, multiplizieren wir mit ε ij und summieren über : ε ij L = ε ij ε bc r b p c (***) Der Ausdruck ε ij L definiert die Mtri L ij : 0 L z L y L ij = ε ij L L = L z 0 L (16) L y L 0 Ds Produkt der beiden Levi-Civit-Tensoren in (***) können wir direkt usrechnen. Dzu mchen wir von der llgemeinen Beziehung ε ijk ε bc = δ i δ b j δ c k + δ b i δ c j δ k + δ c i δ j δ b k δ i δ c j δ b k δ c i δ b j δ k δ b i δ j δ c k Gebruch, ersetzten k durch und führen die Summe über us: ε ij ε bc = δ i δ b j δ c + δ b i δ c j δ + δ c i δ j δ b δ i δ c j δ b δ c i δ b j δ δ b i δ j δ c = δ c i δ b j + 3 δ b i δ c j + δ c i δ b j δ b i δ c j 3 δ c i δ b j δ b i δ c j = δ b i δ c j δ c i δ b j In (***) eingesetzt ergibt ds: L ij = ( δi b δj c δi c δj b ) rb p c = r i p j p i r j Dmit hben wir eine zu L = r p lterntive Schreibweise, welche keine Pseudovektoren enthält: L ij = r i p j p i r j L = r p T p r T (17) Hierbei sind mit r bzw. p die Spltenvektoren und mit r T bzw. p T die (trnsponierten) Zeilenvektoren gemeint 3 : 0 L z L y L z 0 L = y ) p p y p z p p y ( y z ) L y L 0 z p z = p p y p z y p y p y y p z p p y p z p y p y y p y z z p z p y z p z p z p z y p z z 0 p y p y p z p z = y p p y 0 y p z p y z z p z z p y p z y 0 Dss sich L wie ein Tensor trnsformiert, knn durch Einsetzen der trnsformierten Orts- und Impulsvektorkomponenten verifiziert werden: L i j = r i p j p i r j = i i j r i p j i j i j p i r j = i j i j L ij j 3 Mn bechte den Unterschied zum Sklrprodukt: r p T = r i p j ist eine Mtri und r T p = r, p = r p ein Sklr! 7

8 c) Drehimpuls und Winkelgeschwindigkeit Im Flle einer Rottion um eine feste Achse knn mn den Drehimpuls uch in Abhängigkeit von der Winkelgeschwindigkeit ngeben: L = r p = m r v = m r ( ω r ) (18) Auch diese Gleichung knn mittels der oben eingeführten Tensoren der Winkelgeschwindigkeit Ω und des Drehimpulses L usgedrückt werden. L ij = ε ij L = ε ij ε bc r b p c = m ε ij ε bc r b v c = m ε ij ε bc r b Ω cd r d = m ( δi b δj c δi c δj b ) rb Ω cd r d = m r i Ω jd r d m r j Ω id r d = m r i r d Ω dj m Ω id r d r j Wobei im letzen Schritt die Antisymmetrie von Ω usgenutzt wurde. Schließlich erhlten wir: L ij = m r i r Ω j m Ω i r r j L = m r r T Ω m Ω r r T (19) Ausgeschrieben lutet diese Gleichung: L = m y y z ) Ω m Ω y y z ) z z = m 2 y z y y 2 y z 0 ω ω z 0 ω m 0 ω ω z 0 ω 2 y z y y 2 y z z y z z 2 ω y ω 0 ω y ω 0 z y z z 2 0 zω +yzω y ( 2 +y 2 )ω z yω +( 2 +z 2 )ω y yzω z = m zω yzω y +( 2 +y 2 )ω z 0 (y 2 +z 2 )ω +yω y +zω z yω ( 2 +z 2 )ω y +yzω z (y 2 +z 2 )ω yω y zω z 0 Eine lterntive Herleitung der Gleichung (19) ergibt sich durch direktes Einsetzen des Winkelgeschwindigkeitstensors (14) in die Tensorgleichung (17): L = r p T p r T = r (m v) T (m v) r T = r (m Ω r) T (m Ω r) r T = m r r T Ω T m Ω r r T = m r r T Ω m Ω r r T d) Drehimpuls und Trägheitstensor Bei einer Rottion um eine feste Achse knn der Drehimpuls uch mit Hilfe des Trägheitstensors usgedrückt werden: L = I ω. Zur Herleitung dieser Gleichung betrchten wir die Komponentendrstellung von Gleichung (18): L = ε bc r b p c = m ε bc r b v c = m ε bc r b ε cde ω d r e = m ( δd δe b δe δd b ) rb r e ω d = m ( δd r e r e r d r ) ω d = m ( r 2 δ b r r b ) ω b = I b ω b Mit dem Trägheitstensor I: I b = m ( r 2 δ b r r b ) I = m y2 + z 2 y z y 2 + z 2 y z z y z 2 + y 2 Auch die Gleichung L = I ω knn uf eine Form gebrcht werden, die keine Pseudovektoren enthält. Dzu überlegen wir uns zunächst, wie die Umkehrung von Ω c = ε bc ω b lutet. An der Definition des Levi-Civit-Tensors Gleichung (12) und der Mtri Ω = Ω 11 Ω 12 Ω 13 Ω 21 Ω 22 Ω 23 = 0 ω ω z 0 ω Ω 31 Ω 32 Ω 33 ω y ω 0 8

9 können wir blesen: ε 1bc Ω bc = ε 123 Ω 23 + ε 132 Ω 32 = Ω 23 Ω 32 = ω ω = 2 ω ε 2bc Ω bc = ε 231 Ω 31 + ε 213 Ω 13 = Ω 31 Ω 13 = ω y ω y = 2 ω y ω = 1 2 εbc Ω bc ε 3bc Ω bc = ε 312 Ω 12 + ε 321 Ω 21 = Ω 12 Ω 21 = ω z ω z = 2 ω z Ds nutzen wir nun us: L ij = ε ij L = ε ij Ib ω b = ε ij Ib ( ) 2 εbcd Ω cd = 1 2 ε ij ε bcd Ib Ω cd = 1 2 = 1 2 = 1 2 ( δ b i δj c δ d + δi c δj d δ b + δi d δj b δ c δi b δj d δ c δi d δj c δ b δi c δj b δ d ) I b Ω cd ( I i Ω j + I Ω ij + I j Ω i I i Ω j I Ω ji I j Ω i ) ( I i Ω j + I Ω ij Ω i Ij Ii Ω j + I Ω ij Ω i Ij ) Und erhlten: e) Zusmmenfssung L ij = I i Ω j + Ω i I j I Ω ij L = I Ω + Ω I Spur(I) Ω (20) In den Abschnitten ) bis d) wurde gezeigt, wie die Pseudovektoren der Winkelgeschwindigkeit und des Drehimpulses durch ntisymmetrische Tensoren 2. Stufe usgedrückt werden können, und n einigen Beispielen vorgerechnet, wie mn dmit us physiklischen Pseudovektorgleichungen Tensorgleichungen erhält. Die Ergebnisse sind in den folgenden Tbellen noch einml zusmmengefsst: Pseudovektorgleichung Tensorgleichung v = ω r v = Ω r (14) L = r p L = r p T p r T (17) L = m r ( ω r ) L = m r r T Ω m Ω r r T (19) L = I ω L = I Ω + Ω I Spur(I) Ω (20) Physiklische Größe Tensor (usgedrückt in der Stndrdbsis) v Geschwindigkeit v =, v T = ( ) v v y v z v y v z Winkelgeschwindigkeit Ω = 0 ω ω z 0 ω = Ω T (13) ω y ω 0 Ort r = y, r T = ( y z ) z Drehimpuls L = 0 L z L y L z 0 L = L T (16) L y L 0 Impuls p = p, p T = ( ) p p y p z Trägheitstensor p y p z I = m y2 + z 2 y z y 2 + z 2 y z z y z 2 + y 2 Der Vorteil, physiklische Größen durch Tensoren drzustellen, liegt drin, dss diese utomtisch ds richtige Verhlten gegenüber beliebiger Koordintentrnsformtionen ufweisen. Von Nchteil ist, dss die physiklischen Tensorgleichungen weniger kompkt sind ls die entsprechenden Pseudovektorgleichungen. Als bkürzende Schreibweisen hben die Pseudovektoren lso durchus eine Berechtigung; die zugehörigen Tensoren sind llerdings physiklisch tiefgründiger. 9