Analyse und Untersuchung der Quantisierungseffekte beim Goertzel-Filter

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1 Adv. Rdio Sci., 7, 73 81, Author(s) This work is distributed under the Cretive Commons Attribution 3.0 License. Advnces in Rdio Science Anlyse und Untersuchung der untisierungseffekte beim Goertzel-Filter A. Tchegho 1, H. Gräb 1, U. Schlichtmnn 1, H. Mttes 2, nd S. Sttler 2 1 Lehrstuhl für Entwurfsutomtisierung, Fkultät für Elektrotechnik und Informtionstechnik, Technische Universität München, Germny 2 Infineon Technologies, Neubiberg, Germny Zusmmenfssung. Digitle Filter können in prktischen Anwendungen nur mit endlicher Wortbreite relisiert werden. Deshlb müssen untisierungseffekte verstnden werden, um die Eigenschften und die Performnz der digitlen Filter geeignet einstellen zu können. Die m stärksten beeinflussten Aspekte sind neben Frequenzgng, die Stbilität und ds Signl-Rusch-Verhältnis. Zu geringe Wortbreiten führen zu drstischen Veränderungen der Filtereigenschften. Eine zu konservtiv gewählte Wortbreite hingegen, erhöht die Größe und somit die Anzhl der Opertionen des Filters unnötigerweise. Ziel dieses Beitrges ist es, für eine bestimmte Filterklsse optimle Wortbreiten zu finden, welche sowohl die Anzhl der Berechnungen und dmit Opertionen minimieren ls uch sicherstellen, dss vorgegebene Tolernzbereiche für spezifizierte Filtereigenschften eingehlten werden können. Die Untersuchungen werden n einem Goertzel-Filter durchgeführt, welches ufgrund seiner effizienten Eigenschften besonders für die spektrle Bewertung von Mied-Signl Schltungen und Systemen geeignet ist. 1 Einleitung Die stetig, zunehmende Funktionlität von integrierten Schltungen und Systemen führt heute bereits zu einem Kompleitätsgrd, welcher ohne zusätzliche Mßnhmen in Softwre, Firmwre oder Hrdwre nicht mehr zuverlässig gemeistert werden knn. Zukünftige Anforderungen sind vermehrt im Bereich (Verny, 2008) Sicherheit und Gewährleistung von zuverlässigen Produkten zu finden. Appliktionsspezifische Methoden und Verfhren spielen hier die große Rolle bei der Problemlösung (De Micheli, 2008). Sie Correspondence to: A. Tchegho (urelien.tchegho@tum.de) können mßgeschneidert oder jeweils n die wechselnden Rndbedingungen ngepsst werden. Insbesondere für die Dignose und Anlyse von Systemverhlten über die Zeit und während des Betriebes ist es wichtig, solche geeigneten Verfhren zukünftig uszuwählen, welche in der Lge sind, diese nstehende Aufgben ressourcensprend und schritthltend durchführen zu können. In der digitlen Signlverrbeitung hben solche Trnsformtionen ein besonderes Gewicht, mit denen die zyklische Fltungsumme (Oppenheim et l., 1999) schnell und effizient berechnet werden knn. Eine beknnte Trnsformtion, bei der die Anzhl der Werte im Orginl- und Bildbereich gleich ist, ist die Diskrete Fourier Trnsformtion (DFT). Jedem N- Tupel us dem Eingngsbereich knn dort eindeutig ein N- Tupel us dem Bildbereich zugeordnet werden (Agrwl nd Burrus, 1974). Die Lösung eines Problems im Bildbereich ist sinnvoll, wenn der Aufwnd für die Trnsformtion geringer ist ls für die Lösung im Orginlbereich. Geeignete Implementierungen dzu berücksichtigen immer die Architektur des Ziel-Systems und können so optiml integriert werden. Progrmmierbre Schltkreise (FPGA Field Progrmmble Gte Arry) sind hier uf dem Weg, die digitle Signlverrbeitung genuso zu revolutionieren, wie die progrmmierbren digitlen Signlprozessoren (DSP Digitl Signl Processor) c. 25 Jhre früher. Viele der n vorderster Front eingesetzten Algorithmen, z.b. die Schnelle Fouriertrnsformtion (FFT Fst Fourier Trnsform), die Finite Response Filter (FIR) oder die Infinite Response Filter (IIR) bis dzuml in ASICs oder progrmmierbren DSPs relisiert worden werden heute durch FPGAs ersetzt. Moderne FPGA Fmilien stellen heute rithmetische Blöcke zur Verfügung, welche Berechnungen mit hoher Verrbeitungsgeschwindigkeit und mit geringem Flächenverbruch und Kosten ermöglichen (Dipert, 2000). Knn mn im Zielsystem uf Mikroprozessoren oder progrmmierbre DSPs sogennnte eingebettete Systeme zurückgreifen, ist es wichtig, die Algorithmen optiml uf Published by Copernicus Publictions on behlf of the URSI Lndesusschuss in der Bundesrepublik Deutschlnd e.v.

2 74 A. Tchegho et l.: Anlyse und Untersuchung der untisierungseffekte beim Goertzel-Filter die jeweilige Hrdwre umzusetzen. Pipelining ist dbei die Implementierungstechnik, welche erlubt, viele Instruktionen während der Ausführung zeitlich überlppend uszuführen (Ptterson nd Hennessy, 1998). Dies ist der Schlüssel, um digitle Signlverrbeitung heute schneller zu mchen. Für eine Implementierung der Algorithmen in Logik trifft dies für die on-the-fly (schritthltende) Auswertung ebenflls zu. Werden Informtionen us dem Bildbereich (Spektrlbereich) für die Bewertung von Signlen und Testpunkten benötigt, ist der jeweilige Ressourcenbedrf für die Berechnung und Abspeicherung der Spektrllinien usschlggebend. Werden für die Auswertung der Dignosentwort z.b. nur wenige Spektrllinien benötigt, liefert der Goertzel Algorithmus (Tchegho et l., 2008) die optimle Implementierung in Bezug uf Pltzbedrf und Verrbeitungsgeschwindigkeit. Die Arbeit ist folgendermßen gegliedert: In Abschnitt 2 wird der Goertzel-Algorithmus vorgestellt. Ds Verfhren wird erklärt und die Grundstruktur eines Goertzel- Filters ngegeben. Abschnitt 3 geht uf die untisierungsfehler des Verfhrens ein. In Abschnitt 4 werden die verschiedenen Fehlerquellen vorgestellt und voneinnder getrennt untersucht. Ergebnisse der Untersuchung sind in verschiedenen Tbellen und Gleichungen bgelegt, die Grundlge für die optimle Dimensionierung von Goertzel-Filtern sind. Abschnitt 5 fsst die Ergebnisse der Arbeit noch einml zusmmen. 2 Der Goertzel-Algorithmus Der Goertzel-Algorithmus (Goertzel, 1958) ist ein itertives Verfhren, mit dem beliebige Punkte des Spektrums eines Signls einzeln berechnet werden können. Der Algorithmus wird meistens in der Nchrichtentechnik für die Dekodierung von DTMF (Dul-Tone Multi-Frequency) Signlen eingesetzt (Chen, 1996). 2.1 Theorie Ausgngspunkt der Herleitung ist die Definition der DFT X[k] einer endlichen Folge [n] (Länge N). X[k] = N 1 [n]w kn N, mit W N = e j 2π N. (1) Die Periodizität der Folge W kn N knn usgenutzt werden: W kn N = e j 2π N kn = e j2πk = 1. (2) D Gleichung (2) gilt, knn die rechte Seite von Gleichung (1) mit WN kn multipliziert werden, ohne die Gleichung zu beeinflussen. X[k] = W kn N = N 1 N 1 [n]w kn N [n]w k(n n) N (3) Als ds zu erwrtende Ergebnis definiert mn die Folge y k [n], welche die Fltung zweier Folgen f [n] und g k [n] drstellt: y k [n] = f [n] g k [n] = mit f [n] = und m= { [n] 0 n N 1 0 sonst f [m]g k [n m] (4) g k [n] = W kn N n. (6) Drus folgt: y k [n] = N 1 m=0 (5) [m]w k(n m) N. (7) Aus Gleichungen (3) und (7) und der Ttsche, dss f [n] eine endliche kusle Folge ist, folgt: X[k] = y k [n]. (8) n=n y k [n] ist lso die Antwort eines zeitdiskreten Systems (mit der Impulsntwort WN kn ) uf eine endliche Eingngsfolge [n]. Der N-te Wert der Folge y k [n] ist gleich dem DFT-Wert X[k]. Die übertrgungsfunktion H k (z) des Systems findet mn durch Trnsformtion der Impulsntwort in den z-bereich: H k (z) = 1 W k N z cos(2πk/n)z 1 z 2 (9) Diese Übertrgungsfunktion ist komple und lässt sich in einem reellen und einem imginären Teil teilen. H R (z) = H I (z) = 1 cos(2πk/n)z cos(2πk/n)z 1 z 2 (10) sin(2πk/n)z cos(2πk/n)z 1 z 2 (11) Abbildung 1 zeigt ds Pol-Nullstellen-Digrmm des lineren zeitdiskreten Systems mit der der Übertrgungsfunktion H k (z). Ds System besitzt ein konjugiertes komplees Polpr bei der Frequenz ±ω k (ω k =2πk/N) und eine komplee Nullstelle bei der Frequenz ω k. Pole und Nullstelle liegen Adv. Rdio Sci., 7, 73 81,

3 A. Tchegho et l.: Anlyse und Untersuchung der untisierungseffekte beim Goertzel-Filter 75 Im{z} : Pol : Nullstelle Re{z} H k (e jω k) [db] ω k /π Abb. 1. Pol-Nullstellen-Digrmm des Systems H k (z) (ω k =π/8). uf dem Einheitskreis. Anzumerken sei hier, dss die Einführung des redundnten Pol-Nullstellen-Prs bei der Frequenz ω k uf eine ökonomische Hrdwre-Relisierung des Filters führt. Der Frequenzgng des Systems in Abhängigkeit des Frequenzindees k wird in Abb. 2 gezeigt. Der Signlflussgrph in Abb. 3 entspricht dem System gemäß Gleichung (9). Dies ist die Struktur eines digitlen rekursiven IIR(Infinite Impulse Response)-Filters zweiter Ordnung. Abb. 2. Frequenzgng des Systems H k (z) (ω k =π/8). (n) v(n) -1 b i b r Re{y k} Im{y k} Abb. 3. Signlflussgrph des Goertzel-Filters mit =2 cos(ω k ), b r = cos(ω k ), b i = sin(ω k ). 3 untisierungsfehler Der Goertzel-Algorithmus stellt ein lineres zeitinvrintes zeitdiskretes System dr und wird durch ein digitles IIR- Filter zweiter Ordnung implementiert. Die Performnz solcher digitlen Filter wird durch die numerische untisierung strk beeinflusst. Um eine optimle Dimensionierung des Filters zu erzielen, müssen die untisierungsfehler und deren Auswirkungen verstnden und nlysiert werden. 3.1 Zhlendrstellung Bei der Implementierung digitler Filter werden Signle und Koeffizienten in einem digitlen Zhlensystem drgestellt, ds stets nur eine endliche Wortbreite ht. Ds Zweierkomplement-Formt wird dbei m häufigsten genutzt. Eine reelle Zhl wird mit einer endlichen Wortbreite ([B1]-Bit) in der Zweierkomplement-Form drgestellt ls ˆ = B [] = X m ( b 0 ) B b i 2 i = X m ˆ B, (12) i=1 wobei X m ein beliebiger Sklierungsfktor ist und die Werte der b i entweder 0 oder 1 sind. Die Größe b 0 wird ls Vorzeichenbit bezeichnet. Die reelle Zhl = 5 10 wird z.b. im Zweierkomplement (4-Bit) ls ˆ = 3 [ 5 10 ] = 2 3 ( ) = 2 3 (1 011) 2 = X m ˆ 3 drgestellt. Die kleinste Differenz zwischen den Zhlen ist = X m 2 B. (13) Der untisierungsfehler ist definiert ls e = ˆ. (14) Die quntisierten Zhlen liegen im Bereich X m ˆ<X m. Der gebrochene Teil von ˆ knn durch die Nottion ˆ B = b 0 b 1 b 2 b 3 b B (15) drgestellt werden, wobei ds Binärkomm drstellt. X m ist ein Sklierungsfktor, der die Drstellung von Zhlen erlubt, deren Betrg größer ls Eins ist. Ein Wert X m =2 0 impliziert, dss ds Binärkomm zwischen b 0 und b 1 des Binärwortes in Gleichung (15) liegt. Mn spricht vom sogennnten 1B-Formt (1 Stelle vor und B Stellen nch dem Binärkomm). Entsprechend impliziert ein Wert X m =2 2, dss ds Binärkomm ttsächlich zwischen b 2 und b 3 liegt (3[B 2]-Formt). Adv. Rdio Sci., 7, 73 81, 2009

4 76 A. Tchegho et l.: Anlyse und Untersuchung der untisierungseffekte beim Goertzel-Filter (n) v(n) ^ Re{y^ k} b r Im{y^ k } Im{z} : idele Pole : quntisierte Pole -1 b i Re{z} Abb. 4. Goertzel-Filter mit Fehlerquellen. (n) v(n) ^ Abb. 6. Alle mögliche Pollgen und dzugehörige quntisierte Pole Ergebnisse Abb. 5. Rekursiver Teil des Goertzel-Filters. 3.2 Fehlerquellen Abbildung 4 zeigt ein Modell des Goertzel-Filters mit verschiedenen Fehlerquellen (untisierer ). Ds Eingngssignl liegt ebenflls in quntisierter Form vor. Die Systemkoeffizienten (, b r, b i ) werden mit einer endlichen Wortbreite ([B1]-Bit) drgestellt. Die Register sind dmit [B1]- Bit breit. Wird die verzögerte [B1]-Bit Vrible ˆv[n 1] mit dem [B1]-Bit Koeffizient â multipliziert, entsteht ein [2(B1)]-Bit Produkt. Bei der Verwendung eines [B1]- Bit-Addierers muss dieses Produkt uf [B1]-Bit quntisiert werden. Entsteht bei der Addition zweier großer Zhlen eine Zhl, welche nicht mehr mit der gewählten Anzhl von Bits drstellbr ist, kommt es zu einem Überluf. Infolge der untisierer (-Blöcke) und der Möglichkeiten eines Überlufes n den Addierern ist ds System nichtliner. Die Auswirkungen der untisierer können nicht genu beschrieben werden, d sie von der jeweiligen Eingngsfolgen bhängen und diese meistens unbeknnt sind. Eine gute Abschätzung des Fehlers erreicht mn jedoch, indem mn die stochstische Ntur des untisierungsfehlers hernzieht und die Auswirkungen der untisierung von Systemkoeffizienten getrennt von der endlichen Arithmetik untersucht. 4.1 Auswirkungen der untisierung von Systemkoeffizienten Aufgrund der untisierung können die Pole bzw. Nullstelle des Systems nur begrenzte Positionen in der z-ebene einnehmen. Es kommt zu einer Verschiebung der Pole bzw. Nullstellen von deren idelen Position zur quntisierten Position. Ddurch ändert sich die Übertrgungsfunktion. Hˆ 1 [WN k k (z) = ]z 1 1 [2 cos(2πk/n)]z 1 z 2 (16) Beim Goertzel-Filter legen die Pollgen die Frequenz der zu berechnenden spektrlen Komponente fest. Verschiebungen der Pollgen führen lso zu Abweichungen in der gewünschten Frequenz. Im Folgenden wird nur der rekursive Teil (Abb. 5) des Goertzel-Filters, welcher für die Relisierung der Pole zuständig ist, betrchtet. Abbildung 6 zeigt ds Pol-Nullstellendigrmm des Systems für ein Beispiel N=8. Eingetrgen sind die idelen Pollgen und die quntisierten Pollgen. Die quntisierten Pole liegen nicht mehr uf dem Einheitskreis. Dies führt zu einem Fehler bei der Amplitude der zu berechnenden spektrlen Komponente. Viel wichtiger ist ber die Ttsche, dss die quntisierten Pole nicht mehr bei der Frequenz ω k liegen, sondern bei der Frequenz ˆω k = ω k ω k. (17) Abbildung 7 zeigt den Frequenzgng eines Goertzel-Filters mit 6-Bit quntisierten Koeffizienten. Die gestrichelte Linie stellt den Frequenzgng bei idelen Koeffizienten dr. Pole, die in der Nähe von ω k =0 oder ω k liegen, können sich mehr verschieben ls die in der Nähe von ω k =π/2. Tbelle 1 gibt den reltiven Frequenzfehler ( ω k /ω k ) in Abhängigkeit der Wortbreite der Koeffizienten wieder. Als Adv. Rdio Sci., 7, 73 81,

5 A. Tchegho et l.: Anlyse und Untersuchung der untisierungseffekte beim Goertzel-Filter 77 H k (e jω k) [db] ω k untisiert Idel ω k /π Abb. 7. Auswirkung der Koeffizientenquntisierung uf den Frequenzgng des Systems. Tbelle 1. Mimler Frequenzfehler ω k /ω k (in %) für verschiedene Werte von N in Abhängigkeit der Wortbreite (Bits) ( ( ) : k=0... N 1 ; () : k=20%n... 40%N). Bits m ( ω k /ω k ) ( ) m ( ω k /ω k ) () N=2 5 N=2 7 N=2 9 N=2 5 N=2 7 N= Prmeter wird die Vrible N verwendet. In der linken Tbellenhälfte sind die reltiven Frequenzfehler ( ω k /ω k ) us dem Frequenzbereich ω k (k=0... N 1) eingetrgen. In der rechten Tbellenhälfte wird nur der reduzierte Frequenzbereich (20%N k 40%N) betrchtet. Von den berechneten Werten werden nur die mimlen Werten in die Tbelle eingetrgen. Wie erwrtet sinkt der mimle Fehler bei steigender Wortbreite. Je mehr Bits zur Verfügung stehen, desto geringer wird der Abstnd zwischen quntisierten und idelen Pollgen. Bei konstnter Wortbreite ändert sich der Fehler in Abhängigkeit vom Prmeter N. Je größer N wird, desto feiner wird die Diskretisierung der Frequenzchse und desto größer wird der mimle reltive Fehler. Der mimle reltive Fehler wird durch Pole bestimmt, welche in der Nähe der reellen z-achse liegen. Wird nur einen Frequenzbereich betrchtet, welcher weit entfernt von der reellen Achse (z.b. 20%N k 40%N) liegt, stellt mn fest, dss der mimle reltive Fehler schon bei wenigen Bits etrem klein ist. Für N=512 und bei 6-Bit Wortbreite ist der reltive Fehler bereits unterhlb 10%. Tbelle 1 dient ls Grundlge für die Auswhl der Wortbreite (Bits) bei gegebener Rndbedingung (Frequenzuflösung ω k ). 4.2 Auswirkungen der endlichen Arithmetik In diesem Abschnitt werden die Auswirkungen der endlichen Arithmetik untersucht, welche durch die Opertionen (Multipliktion, Akkumultion) während der Filterberechnung uftreten. Diese können die Eigenschften des Goertzel-Filters erheblich beeinflussen. Hierzu gehören insbesondere die Fehler durch Überläufe und durch Runden. Überläufe stellen die kritischere Fehlerursche dr, d sich ein System ddurch nichtliner verhält, und große Fehler entstehen können, welche sogr ds Filter unzuverlässig mchen können. Es steht j im Betrieb nicht wirklich fest, welches Signl denn ttsächlich nlysiert oder berechnet wird Überläufe Bei der Addition zweier Zhlen im Zweikomplement knn es zu einem Überluf kommen. Die resultierende Zhl lässt sich nicht mehr mit dem gewählten Formt drstellen. Die Addition wird im Flle des Überlufs zu einer nichtlineren Opertion. Abhilfe schfft hier eine geeignete Sklierung des Eingngssignls des Filters, so dss es nicht zu Überläufen kommen knn. D ds Eingngssignl durch die Sklierung verkleinert wird, verschlechtert sich ds Signl/Ruschverhältnis des Ausgngssignls. Eine bessere Abhilfemßnhme beim Goertzel-Filter ist die geeignete Formtnpssung n der jeweiligen Messufgbe. Ein Kompromiss zwischen zwei widersprüchliche Forderungen muss gefunden werden: Überluf soll vermieden werden. Genuigkeit (Anzhl der Nchkommstellen) soll miml sein. Um den Überluf beim Goertzel-Filter zu vermeiden, soll eine bestimmte Anzhl V -Binärstellen vor dem Komm vorhnden sein. Bei einer Gesmtwortbreite von W-Bits führt dies zu dem Formt [V (W V )]. Ddurch erreicht mn zwr eine höhere Dynmik (der Bereich der drstellbren Zhlen wird größer), llerdings uf Kosten der Genuigkeit (sehr großer Abstnd zwischen zwei ufeinnderfolgenden Zhlen). Die Whl des optimlen Formts bzw. der Vrible V wird gezielt n der Messufgbe ngepsst. Gesucht wird die miml zulässige Amplitude A m,db, welche eine spektrle Komponente noch hben drf, dmit bei der Filterberechnung Überläufe nicht uftreten. Dzu werden verschiedene Simultionen durchgeführt. Die Ergebnisse sind in der Tbelle 2 eingetrgen. Die Amplituden (in db) werden ls Funktion der Anzhl der Akkumultionen N (Splten) und der Anzhl der Binärstellen V vor dem Komm (Zeilen) ngegeben. Adv. Rdio Sci., 7, 73 81, 2009

6 78 A. Tchegho et l.: Anlyse und Untersuchung der untisierungseffekte beim Goertzel-Filter Tbelle 2. Miml zulässige Amplitude (in db) ls Funktion der Anzhl der Akkumultionen N und der Anzhl der Binärstellen vor dem Komm V. (n) v(n) ^ b r Re{y^ k} N=2 5 N=2 6 N=2 7 N=2 8 N=2 9 Im{y^ k } V = V = V = V = V = V = b i Abb. 9. Rundungsfehler beim Goertzel-Filter. 10 mit Überluf ohne Überluf Idel untisiert (n) e 1(n) v(n) ^ b r e 2(n) Re{y^ k } Im{y^ k } Y(k) [db] -1 b i e 3(n) k (bins) Abb. 8. Leistungsdichtespektrum in Abhängigkeit des Frequenzindees k. Aus der Tbelle 2 wird durch Interpoltion folgende Gleichung ermittelt: ( ) 2 4N 1 A m,db = f (N, V ) = 20 log. (18) 2 2 V 1 Gleichung (18) ist eine sehr gute Abschätzung für die miml zulässige Amplitude, die die spektrle Komponente hben drf, dmit Überläufe nicht uftreten. Ein Beispiel ist in Abb. 8 ngegeben. Drgestellt ist ds Leistungsdichtespektrum Y [k] eines Dreiecksignls (N=128), welches mit dem Goertzel-Filter berechnet wird. Ds Spektrum wird einml mit Gleitkommzhlen (idel) und einml mit Festkommzhlen (quntisiert) berechnet. Die Berechnung wird mit einer Wortbreite von 16 Bits durchgeführt. Als Formt für die interne Berechnung wird ds [115]-Formt (V =1) verwendet. Ab c. A m,db = 64 db treten Überläufe nicht uf. Sollen z.b. Komponenten mit mimler Amplitude -40 db bestimmt werden, dnn wird ds Formt [511] (V =5) gewählt Rundungsruschen Bei der Multipliktion im Zweierkomplement kommt es zwr nicht zu einem Überluf, llerdings erhöht sich im All- Abb. 10. Lineres Modell des Goertzel-Filters. gemeinen die Anzhl der benötigten Binärstellen. Ds Produkt von zwei [B1]-Bit Zhlen benötigt [2B1] Bits für seine ekte Drstellung. Wird ds Produkt nicht mit der vollen Wortlänge weiterverrbeitet, so wird uch die Multipliktion zu einer nichtlineren Opertion. Spätestens nch der Addition wird eine Wortlängenverkürzung vorgenommen, wenn die Werte in den [B1]-Bit Register bgespeichert werden müssen. Abbildung 9 zeigt ds nichtlinere Modell des Goertzel-Filters mit Rundungsfehler (Drstellung durch untisierer ). Die Multipliktion mit 1 und die nschliessende Addition können einfch durch eine Substrktion ersetzt werden und erzeugen somit kein Rundungsruschen. Ein lineres Modell (siehe Abb. 10) erhält mn, indem die untisierer durch linere Ruschquelle (e 1, e 2, e 3 ) ersetzt werden. Ds hier gezeigte linere Ruschmodell gestttet uns, ds im System erzeugte Rundungsruschen durch stochstische Werte wie Mittelwert und Vrinz zu chrkterisieren. Folgende Annhmen müssen llerdings hierzu getroffen werden: Ds Eingngssignl ist rein zufällig. Jede Ruschquelle stellt ein sttionäres Zufllsprozess dr. Jede Ruschquelle ist unkorreliert mit dem Eingngssignl des jeweiligen untisierers. Ds untisierungsruschen der Ruschquelle ist über ein untisierungsintervll gleichverteilt. Adv. Rdio Sci., 7, 73 81,

7 A. Tchegho et l.: Anlyse und Untersuchung der untisierungseffekte beim Goertzel-Filter 79 Unter diesen Annhmen knn ein [B1]-Bit untisierer durch eine linere Ruschquelle mit der Vrinz σ 2 e = 2 2B 12 X2 m (19) ersetzt werden. Wie bereits im Abschnitt 2 erwähnt, ist der N-te Wert der Ausgngsfolge des Goertzel-Filters gleich dem DFT-Wert. Es ist wichtig zu wissen, wie dieser Wert durch ds im System erzeugte Rundungsruschen beeinflusst wird. Wie groß ist lso die Vrinz des N-ten Wertes der Ausgngsfolge des Systems. D ds System linerisiert wurde, knn die Vrinz der Ausgngsfolge über die Impulsntwort des Systems bestimmt werden. Die linere Ruschquelle e 1 (n) stellt ein Störsignl dr, welches dem Eingngssignl (n) einfch überlgert wird. Dieses Signl wird lso wie die Eingngsfolge (n) durch ds System gefiltert. Die lineren Ruschquellen e 2 (n) und e 3 (n) werden ebenso der Ausgngsfolge überlgert. Die Vrinz des N-ten Wertes der Ausgngsfolge (reeller und imginärer Teil) wird lso zu σ 2 R = σ 2 e 2 σ 2 e 1 σ 2 I = σ 2 e 3 σ 2 e 1 N N h 2 R (n) (20) h 2 I (n). (21) Die Impulsntworten h R (n) und h I (n) erhält mn durch inverse z-trnsformtion der übertrgungsfunktionen (siehe Gleichungen 10 und 11). h R (n) = cos(ω k n) (22) h I (n) = sin(ω k n). (23) Drus folgt für den reellen Teil N h 2 R (n) = cos 2 (ω k n) = 1 4 = 1 4 ( e jω k n e jω kn ) 2 ( e 2jω kn 2 e 2jω kn ). Über die geometrische Reihe bekommt mn e 2jωkn = (24) e 2jωkn = 1. (25) Es folgt schließlich h 2 R (n) = N 2 1 (26) Tbelle 3. Vrinzen us Gleichungen (28) und (29) in Abhängigkeit der Wortbreite B (Bits) und für N=128. B σ 2 R [db] σ 2 I [db] Ähnlich bekommt mn für den imginären Teil: h 2 I (n) = N 2 Die Vrinz des N-ten Wertes der Ausgngsfolge ist dmit σ 2 R = σ 2 e 2 σ 2 e 1 ( N 2 1 ) = 2 2B 12 X2 m σ 2 I = 2 2B 12 X2 m ( ) N 2 2 ( ) N 2 1 (27) (28). (29) Gleichungen (28) und (29) stellen vereinfchte Abschätzungen des internen Rundungsruschens des Filters dr und sollen zur Auswhl der internen Wortbreite beim Goertzel-Filter dienen. Tbelle 3 gibt die Werte der Vrinzen für verschiedene Wortbreiten (B Anzhl der Nchkommstellen) n. 4.3 Simultionen Zur Herleitung des Rundungsruschens beim Goertzel-Filter wurden verschiedenen Annhmen getroffen. Es wurde z.b. ngenommen, dss lle Signle sttionäre Zufllssignle (weisses Ruschen) sind und dss die Ruschquellen miteinnder unkorreliert sind. Für die vorgesehene Anwendung ls hochuflösender Spektrlnlystor trifft dies beim Goertzel- Filter nicht zu. Hier werden deterministische Signle zugrunde gelegt. Zwei Frgen müssen bentwortet werden: Wie groß ist der ufgrund des Rundungsruschens hervorgerufene Fehler, wenn deterministische Signle verwendet werden? Wie strk weicht der ttsächliche Fehler von dem mithilfe von Gleichung (28) und (29) bgeschätzten Wert b? Für die Simultion wird nun ein breitbndiges Dreiecksignl (Abb. 11) verwendet. Verschiedene Sequenzlängen werden jetzt eingestellt (N=32, 64, 128). Ds Rundungsruschen wird für verschiedene Wortbreiten (B) untersucht. Abbildung 12 zeigt die Vrinz des Goertzel-Filterusgngs in Adv. Rdio Sci., 7, 73 81, 2009

8 80 A. Tchegho et l.: Anlyse und Untersuchung der untisierungseffekte beim Goertzel-Filter Testsignl N=32 Simuliert Theoretisch 0.3 (n) 0.2 [db] σ 2 I 0.1 X(k) [db] n (smples) 10 Leistungsdichtespektrum k (bins) Abb. 11. Testsignl im () Zeit- und (b) Frequenzbereich für N=128. Abhängigkeit der Wortbreite. Ds Spektrum des Testsignls (Dreiecksignl) weist nur imginäre Komponenten uf. Deshlb wird uch nur die Vrinz (σi 2 ) des imginären Ausgngs (Im{y k }) untersucht. Wie mn us den Abbildungen entnehmen knn, sinkt die Vrinz des Rundungsruschens mit steigender Wortbreite. Für lle Werte von N ist die simulierte Vrinz im Allgemeinen kleiner ls die theoretische Vrinz. Weiterhin knn mn eine gewisse Proportionlität zwischen der theoretischen und der simulierten Vrinz erkennen. Die Abweichungen sind uf Korreltionen zurückzuführen, welche durch die deterministische Ntur des Eingngssignls hervorgerufen werden. Bei dem hier verwendeten Testsignl sind Gleichungen (28) und (29) hinreichende Abschätzungen, welche ls Grundlge für die Dimensionierung der internen Wortbreite des Filters herngezogen werden. 5 Zusmmenfssung Bei der Relisierung digitler Filter mit Festkommzhlen treten untisierungsfehler uf. Die Fehlerquellen untisierung der Systemkoeffizienten, Überläufe, Rundungsruschen werden m Beispiel eines Goertzel-Filters identifiziert und nlysiert. Eine Tbelle wird ufgestellt, nhnd derer mn die optimle Wortbreite bei geforderter Frequenz- [db] σ 2 I [db] σ 2 I B [Bits] 10 N=64 Simuliert Theoretisch B [Bits] 10 N=128 Simuliert Theoretisch B [Bits] Abb. 12. Vergleich zwischen theoretischer und simulierter Vrinz σ 2 I. uflösung uswählen knn. Es wird uch gezeigt, dss Überläufe welche ds Filter nichtliner und unzuverlässig mchen können durch eine geeignete Formtnpssung n die jeweilige Aufgbe weitgehend vermieden werden. Weiterhin wird unter geeigneten Annhmen ein theoretisches Modell zur Abschätzung des im Filter erzeugten Rundungsruschens hergeleitet. Ds Modell wird nhnd eines Dreiecksignls vlidiert. Dmit steht einer Anwendung des Algorithmus im produktiven Umfeld nichts mehr im Wege. Der Goertzel-Algorithmus knn für die zuverlässige Anlyse von spektrler Komponente verwendet werden. Adv. Rdio Sci., 7, 73 81,

9 A. Tchegho et l.: Anlyse und Untersuchung der untisierungseffekte beim Goertzel-Filter 81 Litertur Agrwl, R. nd Burrus, C.: Fst Convolution Using Fermt Number Trnsforms with Applictions to Digitl Filtering, IEEE Trnsctions on Acoustics, Speech nd Signl Processing, 22, 87 97, Chen, C.: Modified Goertzel Algorithm in DTMF Detection Using the TMS320C80, Tes Instruments, De Micheli, G.: Designing Micro/Nno Systems for Sfer nd Helthier Tomorrow, in: Design Automtion nd Test (DATE), pp. 1 1, Dipert, B.: EDN s First Annul Progrmmble Logic Directory, EDN, pp , Goertzel, G.: An Algorithm for the Evlution of Finite Trigonometric Series, The Americn Mthemticl Monthly, 65, 34 35, Oppenheim, A. V., Schfer, R. W., nd Buck, J. R.: Discrete-Time Signl Processing, Person Eduction, Inc., 2nd edn., Ptterson, D. A. nd Hennessy, J. L.: Computer Orgniztion nd Design, Morgn Kufmnn Publishers, 2nd edn., Tchegho, A., Mttes, H., nd Sttler, S.: Optimler Hochuflösender Spektrlnlystor, Entwicklung von Anlogschltungen mit CAE-Methoden (ANALOG), pp , Verny, D.: Perspective on Embedded Systems: Chllenges, Solutions nd Reserch Priorities, in: Design Automtion nd Test (DATE), pp. 2 2, Adv. Rdio Sci., 7, 73 81, 2009