Lineare Algebra und Numerische Mathematik für D-BAUG

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1 R Käppeli L Herrmnn W Wu Herbstsemester 206 Linere Algebr und Numerische Mthemtik für D-BAUG Beispiellösung für Serie 5 ETH Zürich D-MATH Aufgbe 5 5) Seien u und v Lösungen des LGS Ax = b mit n Unbeknnten Der Rng des LGS sei r Flls n = r gilt, so folgt u = v (i) richtig (ii) flsch Richtig Dies ist Stz I2 us den Vorlesungsnotizen 5b) Sei Ax = 0 ein homogenes LGS und x 0 eine Lösung dvon Dnn ist der Rng r des Gleichungssystems gleich der Anzhl n der Unbeknnten (i) richtig (ii) flsch Flsch Ds homogene LGS ht genu dnn nichttrivile Lösungen, wenn r < n 5c) Sei Ax = b ein LGS, ds keine Lösung besitzt Dnn ist der Rng r kleiner ls die Anzhl m der Gleichungen (i) richtig (ii) flsch Richtig Ds LGS ist genu dnn nicht für lle b lösbr, wenn r < m 5d) Sei Ax = b ein LGS mit n Unbeknnten und ebensovielen Gleichungen u 0 sei eine Lösung des homogenen LGS Ax = 0 und v eine Lösung von Ax = b Dnn ht Ax = b noch unendlich viele weitere Lösungen (i) richtig (ii) flsch Richtig Weil ds homogene LGS eine nichttrivile Lösung besitzt, ist der Rng r < n Und weil ds LGS Ax = b mit v eine Lösung besitzt, knn diese nch Stz 2 der Vorlesung nicht eindeutig sein Konkret ist für jedes λ R uch v +λu eine Lösung von Ax = b: Es gilt nämlich A(v + λu) = Av + λau = b + λ 0 = b Serie 5 Seite Aufgbe 5

2 Aufgbe 52 52) (i) Sei A symmetrisch und regulär Dnn ist uch A symmetrisch richtig (ii) flsch Richtig, denn (A ) T = (A T ) = A Die Regel (A ) T = (A T ) folgt us A T (A ) T = (A A) T = I T = I (der erste Schritt benutzt (AB) T = B T A T, vgl Stz 24(iii) im Buch) 52b) Sei A = Dnn ist A genu für = ±» 3/2 orthogonl (i) richtig Ü ê (ii) flsch Richtig A T A = I gilt genu für diese beiden Werte Nchrechnen liefert: A T A = Ö (die Mtrix muss symmetrisch sein, lso beim Ausrechnen nicht unnötig rbeiten!) und 2 + = 2 4 ht genu die gegebenen Werte ls Lösungen Dies gilt ebenso für = und 3 = Serie 5 Seite 2 Aufgbe 52

3 52c) Es gibt orthogonle Mtrizen, die singulär sind (i) richtig (ii) flsch Flsch, eine orthogonle Mtrix A besitzt immer die Inverse A T, d per Definition A T A = I gilt und (für qudrtische Mtrizen) us XA = I immer X = A folgt Aufgbe 53 53) Gegeben sei die Mtrix Zeigen Sie, dss A regulär ist A = Ö Lösung: Nch Stz 28 us dem Buch gilt für jede n n Mtrix A: A ist regulär ds Gleichungssystem Ax = 0 ht nur die trivile Lösung x = 0 Also reicht es die Lösungsmenge von Ax = 0 zu betrchten Wir verwenden den Guss Algorithmus: ( 2) ( 3) Die einzige Lösung hier ist x = 0, deshlb ist A regulär 53b) singulär? Für welche Werte des Prmeters γ ist Ö 2 γ 4 B = 2 2 γ Lösung: Aus Stz 28 folgt uch für jede n n Mtrix B: (2) B ist singulär ds Gleichungssystem Bx = 0 ht nichttrivile Lösungen Deshlb betrchten wir die Lösungsmenge von Bx = 0: 2 γ γ γ 4 0 γ γ γ (4 γ) ( 2) () γ γ γ (4 γ)(γ + 2) 0 Flls (4 γ)(γ + 2) = 0 ist, ist x 3 = α R ein freier Prmeter und Bx = 0 besitzt nichttrivile Lösungen Somit ist B singulär für γ { 2, 4} Serie 5 Seite 3 Aufgbe 53

4 Aufgbe 54 Rundungsfehler In dieser Aufgbe sollen Sie wie ein (leistungsschwcher) Computer mit der fixen Anzhl von 4 Dezimlstellen rechnen Runden Sie lso jedes Zwischenergebnis bis uf 4 Dezimlstellen: bevor Sie weiterrechnen So wird zb us Lösen Sie ds Gleichungssystem 54) Lösung: 0m m 2 m 3 m 4 0 E, mit m 0, E Z, = Ax = b, Ç Ç 0000 mit A =, b = 0 mithilfe der gewöhnlichen LR-Zerlegung II ( 0 4 ) I Somit bekommen wir L = Ç Ç , R = und us Ly = b erhlten wir y = (, 0 4 ), lso die Lösung us Rx = y x = (0, ) b) mithilfe der LR-Zerlegung mit Spltenmximumstrtegie Die Spltenmximumstrtegie bedeutet, bei jedem Schritt des Guss Algorithmus Zeilen zu vertuschen, sodss ds Pivot im Absolutbetrg jeweils mximiert wird Lösung: Wir bemerken, dss der Absolutbetrg des zweiten Eintrgs der ersten Zeile grösser ist, ls jener der ersten Deshlb müssen wir beim Rechnen mit der Spltenmximumstrtegie die erste mit der zweiten Zeile vertuschen und strten mit folgendem Schem: Somit bekommen wir P = Ç 0, L = = Ç 0 0 4, R = und us Ly = Pb erhlten wir y = (0, ), lso die Lösung us Rx = y x = (, ) Ç 0 Serie 5 Seite 4 Aufgbe 54

5 54c) Ws stellen Sie fest, wenn Sie die Resultte us 54) und 54b) vergleichen? Versuchen Sie, eine Erklärung dfür zu geben Lösung: Vergleichen wir die beiden Resultte, stellen wir fest, dss sie völlig unterschiedlich sind Ds exkte Resultt (ohne Runden) können wir us dem Endschem von Teilufgbe 54b) einfch blesen: x = ( 000, 000 ) Dies entspricht nch Rundung des exkten Ergebnisses uf drei Nchkommstellen dem Ergebnis us 54b) Ds Ergebnis us 54) ist hingegen vollkommen flsch Grund dfür sind die strken Grössenunterschiede der Pivotelemente in 54) von 0 4 und 0000 Diese führen beim Weiterrechnen zu grossen numerischen Rundungsfehlern Durch die Pivotisierung mithilfe der Spltenmximumstrtegie in 54b) wurde solch eine schlechte Sklierung verhindert Die berechneten Pivotelemente sind und, welche den exkten Werten sehr nhe kommen Aufgbe 55 Formel für die Inverse einer 2 2-Mtrix Gegeben sei die 2 2-Mtrix Ç A := c b R 2,2 d 55) Für welche, b, c, d R ist A regulär? Tipp: Überlegen Sie sich, wieso eine n n-mtrix M R n,n genu dnn regulär ist, wenn ds Gleichungssystem Mx = 0 nur die trivile Lösung x = 0 ht, und verwenden Sie diese Ttsche Lösung: Für jede n n-mtrix M R n,n ht ds linere Gleichungssystem Mx = 0 immer die Lösung x = 0 Wenn der Rng von M kleiner ls n ist, ergeben sich usserdem noch unendlich viele weitere Lösungen, weil es mindestens eine Splte gibt, die keine Pivot-Splte ist Weil eine n n-mtrix genu dnn regulär (= invertierbr) ist, wenn sie vollen Rng ht, folgt für jede n n-mtrix M: ds Gleichungssystem Mx = 0 ht nur die trivile Lösung M ist regulär Ausserdem hben Sie in der Vorlesung gesehen, dss jede n n-mtrix M R n,n genu dnn regulär ist, wenn zu jedem b R n ds linere Gleichungssystem Mx = b genu eine Lösung ht Also gilt für jede n n Mtrix M: M ist regulär ds Gleichungssystem Mx = 0 ht nur die trivile Lösung x = 0 Zusmmen bedeuten die obigen beiden Impliktionen für jede n n-mtrix M folglich M ist regulär ds Gleichungssystem Mx = 0 ht nur die trivile Lösung x = 0 Also reicht es, die Lösungsmenge von Ax = 0 zu betrchten Wir verwenden den Guss- Algorithmus: Serie 5 Seite 5 Aufgbe 55

6 Fll 0: Es gilt b 0 c d 0 Dieses System ht Rng genu dnn, wenn d bc Mtrix regulär genu dnn, wenn d bc 0 gilt Fll = 0: Es gilt 0 b 0 c d 0 b 0 0 d bc 0 = 0 d bc = 0 gilt Folglich ist die c d 0 0 b 0 Dieses System ht Rng < 2 genu dnn, wenn entweder b oder c Null ist, lso wenn bc = 0 d bc = 0 gilt Folglich ist die Mtrix regulär genu dnn, wenn d bc 0 gilt 55b) Bestimmen Sie für die in ) ermittelten Werte von, b, c, d R die Inverse A Lösung: Sei A regulär, lso 0 Dmit wissen wir, dss die Inverse A von A existiert Setze X := A und benutze die Nottionen x () = Ç x x 2, x (2) = Ç x2 x 22 Ç Ç 0, e =, e 2 = 0 Aus der Gleichung AX = I 2 folgt, dss Ax () = e sowie Ax (2) = e 2 gelten muss Insofern entspricht AX = I 2 einem Gleichungssystem mit zwei rechten Seiten Wir lösen es mit dem Guss-Algorithmus: Ç b 0 c d 0 Fll 0: Es folgt Für Ax () = e folgt: Für Ax (2) = e 2 folgt: Drus folgt Ç b 0 0 d bc c x 2 = c d bc x = Ä + x 22 = d bc x 2 = Ä 0 A = X = = c, ä bc = =, ä b = Ç d d bc c d b b Bemerkung: Genuso gut könnten wir hier den sogennnten Guss-Jordn-Algorithmus zur Berechnung von A durchführen: Dbei wird ls rechte Seite die gnze Einheitsmtrix in ds (vom Guss-Algorithmus beknnte) Schem geschrieben und der Guss-Algorithmus uf dieses erweiterte System ngewendet, um ds Gleichungssystem in Zeilenstufenform zu bringen (insbesondere werden beim Guss-Jordn-Algorithmus lso uch die Einträge oberhlb jeder in den Serie 5 Seite 6 Aufgbe 55

7 Pivotsplten durch Abziehen entsprechender Vielfche der Pivotzeilen eliminiert die drus resultierende Form wird in der Vorlesung Zeilenstufenform gennnt) Im Flle einer invertierbren Mtrix steht dnch uf der linken Seite die Einheitsmtrix, während uf der rechten Seite die Inverse bgelesen werden knn In Aufgbe 4 der nächsten Serie, Serie 4, erhlten Sie ein weiteres Übungsbeispiel; hier ist der Guss-Jordn-Algorithmus m Beispiel unserer llgemeinen 2 2-Mtrix illustriert Ç b 0 c d 0 ( c ) Ç b 0 0 d bc c ( 0 d 0 c b ( ) ) ( ) ( 0 d 0 c ( b 0 0 c ) b ) ( b) Fll = 0: D d bc 0 gilt, gilt b 0 und c 0 Es folgt Ç 0 b 0 c d 0 Ç c d 0 0 b 0 Für Ax () = e folgt: Für Ax (2) = e 2 folgt: Also gilt uch für = 0: { x2 = Ä b = c, d = 0ä, x = Ä ää ä c 0 d b = d { x22 = 0 Ä = ä, x 2 = ( c 0)Ä = b ä A = X = Ç d d bc c b Aufgbe 56 Gegeben sei A = Ö / ) Bestimmen Sie die LR-Zerlegung der Mtrix A, dh entsprechende Mtrizen L, R und P, für welche P A = LR gilt Serie 5 Seite 7 Aufgbe 56

8 Lösung: Wir gehen vor wie in den Notizen zu Kpitel 2 uf S 35 beschrieben: Ö Ö / Somit können wir blesen: Ö 0 0 P = 0 0, L = 0 0 und es gilt P A = LR Ö Ö Ö Ö 5 2 2/5 0 / Ö 5 2 2/5 0 /5-4/5 4/5 38/5 Ö 5 2-4/5 4/5 38/5 2/5 0 /5 Ö 0 0 Ö 5 2 4/5 0, R = 0 4/5 38/5, 2/ /5 56b) Füer b = (3, 29/5, 4) T und c = (9, 39/5, 6) T berechne die Lösungen x und y der LGS Ax = b und Ay = c mit einer LR-Zerlegung Lösung: Die Mtrizen P, L und R sind us der ersten Teilufgbe beknnt Um ds LGS Ax = b zu lösen, betrchten wir betrchten wir zunächst ds LGS Lv = P b Dnn ist ds LGS Lv = P b äquivlent zu Ö 0 Ö 0 3 P b = / Ö 3 = 4 29/5 Ö 0 0 4/5 0 2/5 0 v = Ö /5 Bezeichne v = (v, v 2, v 3 ) T, dnn erhlten wir ds folgende System v = v + v 2 = v + v 3 = 29 5, Serie 5 Seite 8 Aufgbe 56

9 welches die folgende Lösung ht v = 3 v 2 = = 5 5 v 3 = = 3 5 Nun lösen wir ds LGS Rx = v Bezeichne x = (x, x 2, x 3 ), dnn und es folgt, dss 5x + x 2 + 2x 3 = x x 3 = x 3 = 3 5 Also x = (, 2, 3) T x 3 = 3 Für ds LGS Ay = c lösen wir erst Lw = P c x 2 = 5 4 ( ) = 2 x = ( ) = 5 Dnn ist ds LGS Lw = P c äquivlent zu Ö 0 Ö 0 9 P c = / Ö 9 = 6 39/5 Ö 0 0 4/5 0 2/5 0 w = Ö /5 Bezeichne w = (w, w 2, w 3 ) T, dnn ergibt sich ds folgende System: w = w + w 2 = w + w 3 = 39 5, Serie 5 Seite 9 Aufgbe 56

10 welches die folgende Lösung ht w = 9 w 2 = = 5 5 w 3 = = 5 Nun lösen wir ds LGS Ry = w Bezeichne y = (y, y 2, y 3 ) T, dnn und die Lösung ist 5y + y 2 + 2y 3 = y y 3 = y 3 = 5 y 3 = y 2 = 5 4 ( ) = 2 y = (9 2 2) = 3 5 Also y = (3, 2, ) T Veröffentlichung m 8 Oktober 206 Abzugeben bis 26 Oktober 206 Serie 5 Seite 0 Aufgbe 56

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