Elektro- und Informationstechnik SS Mathematik 1 - Übungsblatt 8 Lösungsvorschläge

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1 Mthemtik 1 - Übungsbltt 8 Lösungsvorschläge Aufgbe 1 (Drehung von Koordintensystemen) Gegeben ist der Vektor =[x y ] T (Spltenvektor) im x-y-koordintensystem. Seine Komponenten sollen in dem um den Ursprung mit den Winkel gedrehten -Koordintensystem ngegeben werden, lso =[ξ η] T, ( = griechisch xi, = griechisch et ). Der Vektor selbst ändert sich dbei nicht, nur seine Beschreibung. Diese Aufgbenstellung kommt z. B. in der Elektrotechnik im Zusmmenhng mit den rotierenden Elementen der Elektromotoren und in der Technischen Mechnik bei der Bestimmung von Trägheitsmomenten für die Biegelinien-Berechnung belsteter Blken vor. y Punkt (x,y) oder, x ) Stellen Sie mit den Angben x, y und die beiden Gleichungen uf, mit denen sich die Komponenten im gedrehten Koordintensystem beschreiben lssen. Hinweis: Überlegen Sie sich, wo der Winkel überll uftritt und verwenden Sie die Lge der grün gestrichelten Hilfslinie. Die Koordinte z. B. lässt sich dnn über zwei einfch nzugebende Anteile us den Koordinten x und y bestimmen. = x cos y sin = x sin y cos b) Stellen Sie die Gleichungen in Mtrix-Spltenvektor-Form dr und benennen Sie die Mtrix mit M. [ ξ η] [ = cos(ϕ) sin(ϕ) sin(ϕ) cos(ϕ)] [ x y] [ = M x y] c) Bilden Sie die Trnsponierte M T. M T = cos(ϕ) sin(ϕ) [ sin(ϕ) cos( ϕ)] d) Bilden Sie ds Produkt M M T. M M T = [ ] e) Ws fällt hnen beim Ergebnis zu d) uf? M T = M 1 Die Trnsponierte ist zugleich die nverse zu M M ist eine orthogonle Mtrix. Seite 1 von 7

2 Aufgbe 2 (Drehung von Koordintensystemen) Der Vektor us Aufgbe 1 soll nun im -Koordintensystem mit den Koordinten und gegeben sein. Ds x-y-koordintensystem ist um den Winkel gedreht. ) Bestimmen Sie die Trnsformtions-Gleichungen für ds x-y-system. Mn stellt diese Gleichung uf, wie bei Aufgbe 1, jetzt ist jedoch ds - Koordintensystem die Ausgngsbsis. Einfcher: D die Koordinten mit dem Winkel gedreht werden, bleibt der Abluf unverändert. Mn setzt in die Mtrix M diesen Winkel ein und vertuscht die Vektoren: [ x y] = [ cos sin sin cos ] [ ] = [ cos sin sin cos ] [ ] = M* [ b) Stellen Sie die Gleichungen in Mtrix-Spltenvektor-Form dr und benennen Sie die Mtrix mit M *. siehe ) c) Vergleichen Sie M * mit M T us Aufgbe 1c). Ws fällt hnen uf? Gleich ] Aufgbe 3 (Beschreibung von Mtrizen) Gegeben ist eine (m x q)-mtrix A und eine (n x p)-mtrix B. ) Schreiben Sie beide Mtrizen ls llgemeine Rechteckschemt mit den indizierten Elementen ij bzw. b ij q b12 b13... b1p q b 21 b 22 b b 2p A=[ B=[b11 3q m1 m2 m3... mq] b 31 b 32 b b 3p b n1 b n2 b n3... b np] b) Welche Beziehungen müssen zwischen den Grenz-ndices m, n, p und q bestehen, dmit die Mtrix-Multipliktionen C=A B oder D=B A überhupt definiert sind und usgeführt werden können? Hinweis: Anzhl von Splten und Zeilen betrchten. Für C=A B q=n, für D=B A p=m c) Schreiben Sie für die Ausführungs-Bedingungen von b) die Mtrix-Elemente von C und D in Kompktform mit dem Summenzeichen c ts d st? i=1... ( griechisch Sigm für Summe ). q = ti b is, t=1, 2, 3,... m, s=1, 2, 3,... q, q=n i=1 p = b si it, t=1, 2, 3,... p, s=1, 2, 3,... n, p=m i=1 Seite 2 von 7

3 d) Lässt sich für q=n, m=p, m n die Reihenfolge bei C=A B zu C * =B A vertuschen? Erklärung? Nein, d Zeilennzhl Spltennzhl nicht-qudrtischen Mtrizen Summe knn nicht vollständig usgeführt werden. e) Lässt sich für q=n, m=p, m=n die Reihenfolge bei C=A B zu C ** =B A vertuschen? Erklärung? J, d Zeilennzhl=Spltennzhl qudrtische Mtrizen Summe knn vollständig usgeführt werden. f) Sind die Ergebnisse für m = n bei C=A B und C *** =B A gleich? Erklärung? Nein, die Summen unterscheiden sich Multipliktion ist nicht kommuttiv. Trivile Ausnhme: B= A. Aufgbe 4 (Determinnten-Berechnung: Vertuschen von Zeilen) Gegeben ist A=[ ] () () 1 5 () ) Berechnen Sie det(a) -12. b) Bilden Sie die Mtrix A1 durch Vertuschen der Zeilen () und (). Berechnen Sie det(a1) A1=[ 3] () () () c) Vergleichen Sie die Ergebnisse von ) und b). Vorzeichenwechsel, Betrg unverändert d) Bilden Sie die Mtrix A2 durch Vertuschen der Zeilen () und () von A1. Berechnen Sie det(a2). A2=[ ] () () () e) Vergleichen Sie die Ergebnisse von b) und d). Vorzeichenwechsel, Betrg unverändert Allgemein: Jeder Tusch von je 2 Zeilen ergibt einen Vorzeichenwechsel. Aufgbe 5 (Determinnten-Berechnung: Vertuschen von Splten) ) Bilden Sie die Mtrix A3 durch Vertuschen der Splten () und () in A von Aufgbe 4 und. berechnen Sie det(a3). A3=[ ] b) Vergleichen Sie die Ergebnisse von ) und 4). Vorzeichenwechsel, Betrg unverändert Allgemein: Jeder Tusch von je 2 Zeilen oder je 2 Splten ergibt einen Vorzeichenwechsel. Seite 3 von 7

4 Aufgbe 6 (Determinnten-Berechnung: Addition einer Linerkombintion von Zeilen zu einer nderen Zeile) ) Bilden Sie us der Mtrix A von Aufgbe 4 die Mtrix A4 durch Addition der Linerkombintion 2 x Zeile () 3 x Zeile () zu Zeile () A4=[ 2] b) Berechnen Sie det(a4) und vergleichen Sie ds Ergebnis mit dem von 4). -12 Aufgbe 7 (Determinnten-Berechnung: Multipliktion einer Zeile mit einem Fktor) ) Multiplizieren Sie Zeile () von A us Aufgbe 4 mit -5, berechnen Sie die Determinnte und vergleichen Sie ds Ergebnis mit dem von 4). +60 b) Multiplizieren Sie Splte () von A us Aufgbe 4 mit 7, berechnen Sie die Determinnte und vergleichen Sie ds Ergebnis mit dem von 4). -84 c) Anwendung: Bestimmen Sie die det(a), in dem Sie A in eine rechte obere Dreiecksmtrix umformen und dbei ds Entstehen von Brüchen vermeiden, z. B. erst die Zeilen () und () mit 2 multiplizieren, A=[ 4] () ] () () () 2 10 () () A * =[ Multipliktion von Zeile () mit 17 und Addition des 13-fchen von Zeile () A ** =[ , ] ls Zwischenergebnis ds Produkt der Huptdigonl-Elemente bilden, det(a ** ) = 816, ds Zwischenergebnis zum richtigen Ergebnis korrigieren (Division durch die zuvor ngewendeten Zeilen-Multipliktoren): det(a) = = 12. Aufgbe 8 (Determinnten-Rechnung zur Vorbereitung der Eigenwert-Bestimmung) Gegeben ist die Mtrix D=[ ] Seite 4 von 7

5 ) Bilden Sie die die Mtrix E = D λ mit der reellen Vriblen und der (2 x 2)-Einheitsmtrix. E=[ ] [ λ 0 0 λ] = [ 2 λ λ] b) Bestimmen Sie die Gleichung det E = 0. det(e) = (2 λ) ( 5 λ ) 5 6 = λ 2 +3 λ 40 = 0 c) Lösen Sie den bei b) erhltenen Ausdruck nch uf. 1 = 8, 2 =5 Hinweis: Allgemein heißen die Werte von Eigenwerte und spielen eine entscheidende Rolle bei der Schwingungsberechnung n mechnischen Konstruktionen und in elektrischen Netzwerken. Aufgbe 9 Für ein elektrisches Widerstnds-Netzwerk sind die 3 Mschengleichungen x für die 3 unbeknnten Ströme 1, 2, 3 gegeben. ) Sind die Gleichungen liner unbhängig? LGS in Mtrixform: M =[ ] [1 2 3]=[ 0 0] 0 det (M), Rng( M)=2 nur 2 liner unbhängige Zeilen. b) Bestimmen Sie lle Lösungen. D det (M) und b ist, liegt ein homogenes LGS vor. Es wird gelöst, in dem so viele unbeknnte Ströme willkürlich uf einen festen Wert gesetzt werden, dss die verbleibende Anzhl unbeknnter Ströme der Anzhl der liner unbhängigen Gleichungen entspricht. D die rechte Seite 0 ist, reicht es, die Mtrix M durch elementre Zeilenopertionen uf rechte obere Dreiecksform zu bringen: M *=[ M ] *=[ ] Z. B. knn mn den zur letzten Splte gehörenden Strom 3 willkürlich uf den Wert 3 =1 [A ] setzen, dnn entsteht us den 3 Gleichungen ds inhomogene LGS zweiter Ordnung: M =[ ] [1 2 Lösung: =[121] T. 1]=[ 0 0 0] M * *=[ ] [1 1]=[ ] M ** **=[ ] [ 1 10] 2] = [ 3 Seite 5 von 7

6 c) Ws wurde bei der Aufstellung der 3 Gleichungen übersehen, dmit ds LGS eine eindeutige Lösung besitzt? Es wurde eine bhängige Mschengleichung mit ufgestellt bei größeren Netzwerken knn ds leicht pssieren, ohne dss mn es sofort bemerkt. Aufgbe 10 (lles selbst lösen) Gegeben ist ds folgende Widerstndsnetzwerk R i R 2 2 b 4 U q 1 3 R 1 R 4 R 3 mit U q = 100 V, R i = 10 Ohm, R 1,... R 4 = 100 Ohm. ) Welche Ströme sind unbeknnt? b) Bestimmen Sie mit Hilfe der Kirchhoff'schen Mschen- und Knotengesetze die unbeknnten Ströme. LGS ufstellen, in Mtrizendrstellung umformen und mit Scilb lösen. c) Bestimmen Sie mit Hilfe des Mschenstromverfhrens die unbeknnten Ströme. LGS ufstellen, mit Scilb lösen. Vorüberlegung zu b): Für die Berechnung der 5 unbeknnten Ströme benötigt mn 5 unbhängige Gleichungen. Dfür lssen sich 3 unbhängige Mschen, und (Zählrichtungen sind willkürlich) sowie 2 unbhängige Knoten und b bilden. Die 5 Gleichungen sind: Aus KKG für : 1 2 (1) Aus KKG für b: (2) Aus KMG für : U q R i R 1 1 (3) Aus KMG für : R 1 1 R 2 2 R 3 3 (4) Aus KMG für : R 3 3 R 4 4 (5) Dmit ist der elektrotechnische Teil der Aufgbe vollständig formuliert, lles weitere besteht in der mthemtischen Lösung des lineren Gleichungssystems (1) bis (5). Vorüberlegung zu c): Es lssen sich 3 Mschenströme einführen: R i R 2 2 b U q R 1 R 3 R 4 Seite 6 von 7

7 Die 3 Mschengleichungen sind: Msche : U q R i R1 R 1 Msche : R 1 R 1 R 2 R 3 R 3 Msche : R 3 R 3 R 4 Aufgbe 11 (ls Dessert ) Gegeben ist die folgende Brückenschltung, wie Sie in der Elektrotechnik zur Messung unbeknnter Widerstände (z.b. R 1 ) verwendet wird. Nutzbrer Effekt mit einem veränderlichen Präzisionswiderstnd R 2 Spnnungsnull in der Brücke einstellen). R i c 1 2 U q R 2 3 R 1 U R 3 b R 4 U R5 ) Stellen Sie ds LGS uf. ) Bestimmen Sie mit Scilb bei Vorgbe der Werte us Aufgbe 10 die Lösung. (Wurde bereits im Übungsblock gelöst) Seite 7 von 7