Grundkurs Mathematik II

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1 Prof Dr H Brenner Osnbrück SS 2017 Grundkurs Mthemtik II Vorlesung 33 Die Zhlenräume Die Addition von zwei Pfeilen und b, ein typisches Beispiel für Vektoren Es sei K ein Körper und n N Dnn ist die Produktmenge K n = K K }{{} n ml mit der komponentenweisen Addition, lso und der durch = {(x 1,,x n ) x i K} (x 1,,x n )+(y 1,,y n ) := (x 1 +y 1,, x n +y n ) s(x 1,,x n ) = (sx 1,,sx n ) definierten Sklrmultipliktion ein sogennnter Vektorrum Dmit ist folgendesgemeint:diemengek n istmitderverknüpfung+,diemn(vektor)- Addition nennt, eine kommuttive Gruppe, und die Opertion K K n K n, die mn Sklrmultipliktion nennt, erfüllt die folgenden Eigenschften (1) r(su) = (rs)u (2) r(u+v) = ru+rv (3) (r+s)u = ru+su (4) 1u = u 1

2 2 Diese Eigenschften lssen sich einfch direkt überprüfen MnnenntdenK n mitdiesenstrukturendenn-dimensionlenstndrdrum oder Zhlenrum Insbesondere ist K 1 = K selbst ein Vektorrum Die Elemente in einem Vektorrum nennt mn Vektoren, und die Elemente r K heißen Sklre Ds Nullelement 0 V wird uch ls Nullvektor bezeichnet, und zu v V heißt ds inverse Element ds Negtive zu v und wird mit v bezeichnet Wie in Ringen gilt wieder Punktrechnung vor Strichrechnung, dh die Sklrmultipliktion bindet stärker ls die Vektorddition Den Körper, der im Vektorrumbegriff vorusgesetzt ist, nennt mn uch den Grundkörper Alle Begriffe der lineren Algebr beziehen sich uf einen solchen Grundkörper, er drf lso nie vergessen werden, uch wenn er mnchml nicht explizit ufgeführt wird Bei K = Q spricht mn von rtionlen Vektorräumen und bei K = R von reellen Vektorräumen Zunächst entwickeln wir ber die lgebrische Theorie der Vektorräume über einem beliebigen Körper Der Nullrum 0, der us dem einzigen Element 0 besteht, ist ebenflls ein Vektorrum Mn knn ihn uch ls K 0 = 0 uffssen Die Vektoren im Stndrdrum K n knn mn ls Zeilenvektoren ( 1, 2,, n ) oder ls Spltenvektoren 1 2 n

3 schreiben Der Vektor e i := 0 0 1, 0 0 wobei die 1 n der i-ten Stelle steht, heißt i-ter Stndrdvektor Definition 331 ZuVektorenv 1,,v n imk m undsklrens 1,,s n K nennt mn s i v i i=1 eine Linerkombintion dieser Vektoren Definition 332 Die Vektoren v 1,,v n im K m heißen ein Erzeugendensystem des K m, wenn mn jeden Vektor w K m ls eine Linerkombintion mit den Vektoren v 1,,v n schreiben knn, wenn es lso Sklre s 1,,s n K mit w = s i v i gibt i=1 Mn verlngt hier keine Eindeutigkeit, bei einem Erzeugendensystem knn mn einen Vektor im Allgemeinen uf verschiedene Arten ls Linerkombintion drstellen Beispiel 333 Wir betrchten im Q 2 die drei Vektoren ( ) ( 7 1 Den Vektor knn mn ls 13 0) ( 1 0) = 9 53 ber uch ls ( ) 1 0 = 2 ( ) ( ) ( ) , ( ) ( ( ) ) 13 ( ) ( 5 4, 2 9) schreiben Besonders( deutlich wird ds Uneindeutigkeitsphänomen, wenn 0 mn den Nullvektor betrchtet Es ist 0) ( 0 0) = 0 ( ) ( ( ) ) 13 3 und

4 4 die sogennnte trivile Drstellung des Nullvektors, ber es ist uch ( ( ) ( ( ) = ) 2 9) Lemm 334 Es seien v 1 =,v 2 =,,v n = Vektoren im K m Dnn sind die folgenden Aussgen m1 m2 mn äquivlent (1) Die Vektoren bilden ein Erzeugendensystem des K m (2) Für jeden Stndrdvektor e i gibt es eine Drstellung ls Linerkombintion w 1 e i = s j v j (3) Für jedes w = K m ist ds linere Gleichungssystem w m n w 1 s 1 +s 2 + +s n = m1 lösbr m2 12 mn w m Beweis (1) und (3) sind äquivlent, d (3) lediglich eine usgeschriebene Version von (1) ist Die Eigenschft (2) ist eine Spezilisierung von (1) Die Umkehrung ergibt sich so Mn schreibt w = w 1 = w 1 e 1 + +w m e m w m D mn nch Vorussetzung die e i ls Linerkombintionen der v j usdrücken knn, ergibt sich uch eine Linerkombintion von w mit den v j Wenn die Vektoren die Stndrdvektoren e 1,,e n sind, so knn mn jeden Vektor wegen ( 1, 2,, n ) = 1 e n e n unmittelbr und eindeutig ls Linerkombintion der Stndrdvektoren drstellen Definition 335 Die Vektoren v 1,,v n im K m heißen eine Bsis des K m, wenn mn jeden Vektor w K m eindeutig ls eine Linerkombintion mit 1n

5 den Vektoren v 1,,v n schreiben knn, wenn es lso eindeutig bestimmte Sklre s 1,,s n K mit w = s i v i gibt 11 i=1 Lemm 336 Es seien v 1 =,v 2 =,,v n = Vektoren im K m Dnn sind die folgenden Aussgen m1 m2 mn äquivlent (1) Die Vektoren bilden eine Bsis des K m (2) Die Vektoren bilden ein Erzeugendensystem des K m, und die einzige Drstellung des Nullvektors ls Linerkombintion der v j ist die trivile Drstellung 12 0 = 0 v v n w 1 (3) Für jedes w = K m besitzt ds linere Gleichungssystem w m n w 1 s 1 +s 2 + +s n = m1 m2 eine eindeutige Lösung mn w m Beweis (1) und (3) sind äquivlent, d (3) lediglich eine usgeschriebene Versionvon(1)istDieImpliktionvon(1)nch(2)istklr,ddieeindeutige Drstellbrkeit insbesondere für den Nullvektor gilt Für die Umkehrung sei w = s j v j = t j v j ngenommen Dnn ist direkt 0 = w w = s j v j t j v j = (s j t j )v j Wegen der eindeutigen Drstellbrkeit der 0 muss s j t j = 0, lso s j = t j für lle j sein Es sei bemerkt, dss die Bedingungen im vorstehenden Lemm nur bei m = n erfüllt sein können 1n 5

6 6 Der Mtrizenklkül Ein lineres Gleichungssystem lässt sich m einfchsten mit Mtrizen schreiben Dies ermöglicht es, die Umformungen, die zur Lösung eines solchen Systems führen, durchzuführen, ohne immer die Vriblen mitschleppen zu müssen Mtrizen (und der zugehörige Klkül) sind recht einfche Objekte; sie können ber gnz unterschiedliche mthemtische Objekte beschreiben (eine Fmilie von Spltenvektoren, eine Fmilie von Zeilenvektoren, eine linere Abbildung, eine Tbelle von Wechselwirkungen, eine zweistellige Reltion etc), die mn stets im Hinterkopf hben sollte, um vor Fehlinterprettionen geschützt zu sein Definition 337 Es sei K ein Körper und m,n N + Unter einer m n- Mtrix über K versteht mn ein Schem der Form n n, m1 m2 mn wobei ij K für 1 i m und 1 j n ist Zu jedem i I = {1,,m} heißt ij, j J, die i-te Zeile der Mtrix, ws mn zumeist ls ein Zeilentupel (oder einen Zeilenvektor) ( i1, i2,, in ) schreibt Zu jedem j J = {1,,n} heißt ij, i I, die j-te Splte der Mtrix, ws mn zumeist ls ein Spltentupel (oder einen Spltenvektor) 1j 2j mj schreibt Die Elemente ij heißen die Einträge der Mtrix Zu ij heißt i der Zeilenindex und j der Spltenindex des Eintrgs Mn findet den Eintrg ij, indem mn die i-te Zeile mit der j-ten Splte kreuzt Eine Mtrix mit m = n nennt mn eine qudrtische Mtrix Eine m 1-Mtrix ist einfch ein einziges Spltentupel der Länge m, und eine 1 n-mtrix ist einfch ein einziges Zeilentupel der Länge n Die Menge ller Mtrizen mit m Zeilen und n Splten (und mit Einträgen in K) wird mit Mt m n (K) bezeichnet, bei m = n schreibt mn Mt n (K) Zwei Mtrizen A,B Mt m n (K) werden ddiert, indem mn sie komponentenweise ddiert Ebenso ist die Multipliktion einer Mtrix A mit einem

7 Element r K (einem Sklr) komponentenweise definiert, lso n b 11 b 12 b 1n n + b 21 b 22 b 2n m1 m2 mn b m1 b m2 b mn 11 +b b 12 1n +b 1n = 21 +b b 22 2n +b 2n m1 +b m1 m2 +b m2 mn +b mn und n r 11 r 12 r 1n r n = r 21 r 22 r 2n m1 m2 mn r m1 r m2 r mn Die Mtrizenmultipliktion wird folgendermßen definiert Definition 338 Es sei K ein Körper und es sei A eine m n-mtrix und B eine n p-mtrix über K Dnn ist ds Mtrixprodukt AB diejenige m p-mtrix, deren Einträge durch c ik = ij b jk gegeben sind Eine solche Mtrizenmultipliktion ist lso nur möglich, wenn die Spltennzhl der linken Mtrix mit der Zeilennzhl der rechten Mtrix übereinstimmt Als Merkregel knn mn ds Schem S P (ZEILE) A L = (ZS +EP +IA+L2 +ET) T verwenden, ds Ergebnis ist eine 1 1-Mtrix Die beiden soeben ngeführten Mtrizen knn mn uch in der nderen Reihenfolge multiplizieren(ws nicht immer möglich ist) und mn erhält S SZ SE SI SL SE P A L (ZEILE) = PZ PE PI PL PE AZ AE AI AL AE LZ LE LI L 2 LE T TZ TE TI TL TE 7

8 8 Insbesondere knn mn eine m n-mtrix A mit einem Spltenvektor der Länge n (von rechts) multiplizieren, und erhält dbei einen Spltenvektor der Länge m Beispiel 339 Es ist ( ) = ( ) x 1 Bemerkung 3310 Wenn mn eine Mtrix A = ( ij ) ij mit einem Splten- x vektor x = 2 multipliziert, so erhält mn x n n x 1 Ax = n x 2 = m1 m2 mn x n 11 x x n x n 21 x x n x n m1 x 1 + m2 x mn x n Dmit lässt sich ein inhomogenes lineres Gleichungssystem mit dem Störvektor c 1 c 2 kurz schreiben ls c m Ax = c Die erlubten Gleichungsumformungen (siehe die übernächste Vorlesung) durch Mnipultionen n den Gleichungen, die die Lösungsmenge nicht ändern, können dnn durch die entsprechenden Zeilenumformungen in der Mtrix ersetzt werden Mn muss dnn die Vriblen nicht mitschleppen Definition 3311 Die n n-mtrix E n := nennt mn die Einheitsmtrix Die Einheitsmtrix E n besitzt die Eigenschft E n M = M = ME n für eine beliebige n n-mtrix M Sie ist lso ds neutrle Element bezüglich der Multipliktion von qudrtischen Mtrizen

9 9 Definition 3312 Eine n n-mtrix der Form d d d n 1n d nn nennt mn Digonlmtrix

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11 Abbildungsverzeichnis Quelle = Vector Additionsvg, Autor = Benutzer Booybzook uf Commons, Lizenz = PD 1 Quelle = Vector spce illustsvg, Autor = Benutzer Oleg Alexndrov uf Commons, Lizenz = PD 2 11