Wie beschreibt man Prozesse? Wie beschreibt man Prozesse? Nicht nur eine Matrix, sondern viele Matrizen 0,5 0, 2 0,3 A 0, 2 0,7 0,1

Transkript

1 Nicht nur eine Mtrix, sondern viele Mtrizen 0,5 0, 2 0,3 A 0, 2 0,7 0, ,15 0, ,1 Wie beschreibt mn Prozesse? Mkov-Modell Modell Mrkov- Prozess Mrkov-Kette ber keine Mtrize und uch keine Mtrtzen 1 2 Wie beschreibt mn Prozesse? Strtus- Wolken 3 4 Cumulus- Wolken 5 6 1

2 Wie beschreibt mn Prozesse? Drstellung mit Übergngs-Grphen, uch Zustnds-Grphen gennnt. Drstellung mit Zustnds-Grphen. Bedingungen für einen richtigen Zustndsgrphen: Alle möglichen Zustände sind Knoten des Grphen. Die schwrzen Zhlen sind originl g vom Wettermt Hmburg. Die bluen Zhlen sind usgedcht, so etw sind sie bei der Mth. Gesellschft Hmburg im Nov vorgestellt worden. Die Übergngspfeile sind mit Whrscheinlichkeiten beschriftet. Die von einem Knoten bgehenden Pfeile hben Gesmtwhrscheinlichkeit 1. 7 Wie beschreibt mn Prozesse? Wie beschreibt mn Prozesse? Drstellung mit Zustnds-Grphen. 8 Drstellung mit Zustnds-Grphen. Drstellung mit einer Übergngsmtrix Drstellung mit einer Übergngsmtrix R St Cu C R St Cu C St St Cu Cu Zeilensummen müssen 1 sein 9 10 Wie sgt mn Entwicklungen vorher? Drstellung mit Zustnds-Grphen. Übergngsmtrix Drstellung mit einer Übergngsmtrix Zeilensummen müssen 1 sein Heute ist gen. Mit welcher Whrscheinlichkeit ist übermorgen uch gen? g, Werkzeug g der Bumdigrmm, Whrscheinlichkeitsrechnung Der Tkt soll nun 1 Tg sein und nicht 6 h, dmit wir einfcher reden können

3 Wie sgt mn Entwicklungen vorher? Wie rechnet mn Vorhersgen us? Der Tkt soll nun 1 Tg sein und nicht 6 h, dmit wir einfcher reden können. Übergngsmtrix Heute ist gen. Mit welcher Whrscheinlichkeit ist übermorgen uch gen? g, Werkzeug g der Bumdigrmm, Whrscheinlichkeitsrechnung 1. Pfdregel: längs des Pfdes ml; 2. Pfdregel: mehrere Pfd-Whrscheinl. plus Die Übergngsmtrix muss mn mit sich selbst multiplizieren Wie rechnet mn Vorhersgen us? Wie rechnet mn Vorhersgen us? Die Übergngsmtrix muss mn mit sich selbst multiplizieren. 0,5 0,3 0, 2 0,5 0,3 0, 2 A A 0, 2 0,7 0,1 0, 2 0,7 0,1 0,1 0,3 0,6 0,1 0,3 0,6 Erst Zeile, dnn Splte! Merke: Erst zielen dnn schießen! 0,33 0, 42 0, 25 A A 0, 25 0,58 0,17 0,17 0, 42 0, 41 Übergngsmtrizen hben immer Zeilensumme 1. Stochstische Mtrizen hben immer Zeilensumme 1. Die Übergngsmtrix muss mn mit sich selbst multiplizieren. 0,5 0,3 0, 2 0,5 0,3 0, 2 A A 0, 2 0,7 0,1 0, 2 0,7 0,1 0,1 0,3 0,6 0,1 0,3 0,6 15 Erst Zeile, dnn Splte! Merke: Erst zielen dnn schießen! 0,33 0, 42 0, 25 A A 0, 25 0,58 0,17 0,17 0, 42 0, 41 Übergngsmtrizen hben immer Zeilensumme 1. Stochstische Mtrizen hben immer Zeilensumme Drei Zustände: Sonne, Nebel, gen Wenn heute Sonne ist, dnn ist mit 50%Whrscheinlichkeit uch morgen Sonne, mit 20 % W. ist Nebel, mit 30 % W. ist gen. Wenn heute Nebel ist, dnn ist mit 20% W. morgen Sonne, mit 70% W. wieder Nebel, mit 10% W. gen, Wenn heute gen ist, ist dnn ist mit 15% W W. morgen Sonne, mit 75% W. Nebel, mit 10% W. wieder gen. Drei Zustände: Sonne, Nebel, gen Wenn heute Sonne ist, dnn ist mit 50%Whrscheinlichkeit uch morgen Sonne, mit 20 % W. ist Nebel, mit 30 % W. ist gen. Wenn heute Nebel ist, dnn ist mit 20% W. morgen Sonne, mit 70% W. wieder Nebel, mit 10% W. gen, Wenn heute gen ist, ist dnn ist mit 15% W W. morgen Sonne, mit 75% W. Nebel, mit 10% W. wieder gen. Übung: Beschriften Sie den Zustndsgrphen. Stellen Sie die Übergngsmtrix uf. Denken Sie sich eine übermorgen-frge us und bentworten Sie sie. Übung: Beschriften Sie den Zustndsgrphen. Stellen Sie die Übergngsmtrix uf. Denken Sie sich eine übermorgen-frge us und bentworten Sie sie

4 ,5 0,2 0,3 A 0, 2 0,7 0,1 0,15 0,75 0,1 Sonne etw 27,5% ller Tge Nebel etw 57 % ller Tge gen etw 15,5% ller Tge ,5 0,2 0,3 A 0, 2 0,7 0,1 0,15 0,75 0,1 Durch hohe Potenzen der Übergngsmtrix erhält mn die stbile Wetterverteilung in Bd Mrkstein. Sonne etw 27,5% ller Tge Nebel etw 57 % ller Tge gen etw 15,5% ller Tge ist Eigenvektor zum Eigenwert Ds Wetter in Hmburg Durch hohe Potenzen der Übergngsmtrix erhält mn eine Mtrix mit luter gleichen Zeilen. So eine Zeile ist der stbile Vektor dieser Mrkov-Kette, lso die stbile Wetterverteilung in Hmburg. Achtung: Nur die erste Splte in HH ist mtlich. gen: 25% ller Tge Strtuswolken: 50% ller Tge Cumulus oder keine W.: 25% ller Tge 23 Ds Wetter in Hmburg gen: 25% ller Tge Strtuswolken: 50% ller Tge Cumulus oder keine W.: 25% ller Tge 24 4

5 Wrteschlngen Zum Merken: sind uch Mrkow-Prozesse Ein stochstischer Prozess mit Zustndsübergängen heißt Mrkov-Kette (oder Mrkov-Prozess), wenn die Übergngswhrscheinlichkeiten nicht von der Vorgeschichte, sondern nur vom letzten Zustnd bhängen. Sind sie ußerdem noch zeitlich konstnt, spricht mn von einer homogenen Mrkov-Kette. Mrkov Kette Bechte Sonderdruck Stochstik in mystudy Die Übergngsmtrizen A sind stochstische Mtrizen. (d.h. mit Zeilensumme 1) Eine Zustndsverteilung schreibt mn ls Zeilenvektor. Mit ergibt sich die nächste Zustndsverteilung. Eine stbile Zustndsverteilung erhält mn durch hohe Potenzen von A oder ls Eigenvektoren von A zum EW Definition einer Mtrix, rechnen mit Mtrizen: Definition einer Mtrix, rechnen mit Mtrizen: Eine m x n-mtrix ist ein rechteckiges Schem mit m Zeilen und n Splten. A Kurz A ij Eine m x n-mtrix ist ein rechteckiges Schem mit m Zeilen und n Splten. A Kurz A ij Erst Zeile, dnn Splte! Merke: Erst zielen dnn schießen! Mthemtische Kurzform: Die mxn-mtrizen bilden einen Vektorrum Mtrizen in der Wirtschft Mtrizen in der Wirtschft

6 Mtrizen ls Allrounder 1. Sie fssen viele Einzelgleichungen zusmmen. 2. Sie beschreiben Gleichungssysteme und helfen beim Lösen. 3. Sie vermitteln Abbildungen. 4. Sie verfolgen Prozesse. 5. Sie strukturieren und beschreiben in vielen mthemtischen Gebieten. Gleichungssysteme Mtrizen sind Mädchen für lles Gleichungssysteme Mit Mtrizen beschreibt mn ein Stück Welt, um es besser zu verstehen. Die Mtrizen sind ein sehr gutes Werkzeug